清單03三角函數的圖象與性質（8個題型解讀）【考點題型一】用“五點法”作三角函數的圖像1.用五點法作函數y＝sinx的圖像的步驟(1)列表，由x＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π求出y的值，得到“五點”坐標．(2)在同一坐標系中描出各點．(3)用光滑曲線連接這些點，所成圖像即為所求．2.用五點法作函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖像的注意點(1)用五點法作函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖像，五個點應是同一個周期內使函數取得最大值、最小值的點以及曲線與x軸相交的點．(2)畫y＝Asin(ωx＋φ)的圖像時，將ωx＋φ看成整體，要把握好五個關鍵點，即令ωx＋φ＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，計算出x的值，即為五個點的橫坐標，相應的函數值即為五個點的縱坐標．3.函數y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖像的畫法(1)五點法列表如下：x－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Acos(ωx＋φ)A0－A0A(2)圖像變換法由y＝sinx→y＝Asin(ωx＋φ)的圖像變換過程，可以得到y＝cosx→y＝Acos(ωx＋φ)的圖像變換也有先平移后伸縮和先伸縮后平移兩種途徑．【例1】．（2324高一下·廣東珠海·階段練習）已知函數.

(1)求的最小正周期；(2)在給定的坐標系中用五點法作出函數的簡圖.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由周期的計算公式即可求值，（2）由五點作圖法即可求解.【詳解】（1）的最小正周期.（2）由（1），列對應值表如下：通過描出五個關鍵點，再用光滑曲線順次連接作出函數，的簡圖如圖所示：

【變式11】．（2324高一下·北京懷柔·期中）已知函數滿足.(1)求的值；(2)用五點法畫出函數在一個周期上的圖象；(3)根據（2）得到的圖形，寫出函數的圖象的對稱軸方程與對稱中心的坐標.【答案】(1)；(2)見解析；(3)對稱軸為：，；對稱中心為：,【分析】（1）由特殊角三角函數直接求解；（2）結合五點作圖進行列表描點即可作圖得解；（3）結合正弦函數的對稱性即可求解對稱軸及對稱中心；【詳解】（1），即，又，則；（2）列表如下：00100描點連線，圖像如下：（3）令，，解得，，可得函數對稱軸為：，．令，，解得，，可得函數對稱中心為：,.【變式12】．（2223高一下·北京延慶·期中）已知函數．(1)寫出決定在上形狀的關鍵的五個點，在答題卡上完成下表：0200(2)求與的交點坐標；(3)若對對任意都有成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)，.(3)【分析】（1）根據三角函數的五點作圖法，即可求解；（2）令，即，求得方程的解，進而得到交點坐標；（3）因為，求得，得到函數最值，結合題意，轉化為，即可求解.【詳解】（1）解：根據三角函數的五點作圖法，可得：00200（2）解：由函數，令，即，可得或，解得或，所以與函數的交點坐標為，.（3）解：因為，可得，所以，當時，即時，；當時，即時，，對任意都有成立，即，所以，所以實數的取值范圍.【變式13】．（2223高一下·內蒙古呼和浩特·期中）設函數的最小正周期為.且.

(1)求和的值；(2)列表并填入數據，在給定坐標系中作出函數在上的圖象；(3)當時，若，求的取值范圍.【答案】(1)，；(2)表格見解析，圖象見解析；(3).【分析】（1）利用最小正周期和，結合給定范圍與三角函數性質即可求解；（2）列表描點即可得出答案；（3）由余弦函數的圖像與性質解不等式即可得出答案.【詳解】（1）函數的最小正周期為，且，，，，，，；（2）由（1）知，由，可得，列表如下：函數在上的圖像如下圖：

（3），即，，，則，，即，，的取值范圍為.【考點題型二】判斷三角函數的奇偶性函數奇偶性的判斷方法(1)看函數的定義域是否關于原點對稱．(2)看f(x)與f(－x)的關系．【例2】．（2324高一上·浙江溫州·期末）已知函數的部分圖象如圖所示，則的解析式最有可能是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據定義域可排除AD，根據函數奇偶性排除B，即可得出答案．【詳解】由題圖可得在定義域內，AD選項的解析式的定義域為，故AD錯誤；B選項，的定義域為R，且，故為偶函數，故B錯誤；C選項，定義域為R，，故為奇函數，滿足要求.故選：C．【變式21】．（2223高一下·上海嘉定·期中）函數（其中）為奇函數，則；【答案】/【分析】根據給定條件，利用正余弦函數的奇偶性，結合誘導公式求解作答.【詳解】函數是奇函數，則，而，所以.故答案為：【變式22】．（2324高一下·上海·期中）已知函數（）是偶函數，則的最小值是．【答案】/【分析】利用三角函數的性質即可求解.【詳解】因為函數是偶函數，所以，解得，又，所以當時，的最小值是.故答案為：.【變式23】．（2324高一上·浙江寧波·期末）已知函數.若為奇函數，為偶函數，且在上沒有最小值，則的最大值是（

）A．2 B．6 C．10 D．14【答案】B【分析】根據函數的奇偶性求出，再由在上沒有最小值，求出答案.【詳解】由題意知，因為為奇函數，所以，，因為為偶函數，所以，相加得，又因為，所以，當代入得，即，代入得，即，即；當代入得，即，代入得，即，即；因為在上沒有最小值，設，則，所以，的最大值是6.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵有兩個：一是利用奇偶性求出及的表達式；二是利用區間上沒有最小值可求的不等關系.【考點題型三】三角函數的對稱性正弦曲線、余弦曲線的對稱軸一定分別過正弦曲線、余弦曲線的最高點或最低點，即此時的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲線、余弦曲線的對稱中心一定是正弦曲線、余弦曲線與x軸的交點，即此時的正弦值、余弦值為0.通過該類問題，培養直觀想象的核心素養．【例3】．（2324高一下·上海·期中）設函數的一個對稱中心是，則．【答案】/【分析】借助余弦型函數的對稱性計算即可得.【詳解】由題意可得，即，又因為，所以.故答案為：.【變式31】．（2324高一下·湖北武漢·期中）下面關于函數敘述中正確的是（

）A．關于直線對稱B．關于點對稱C．在區間上單調遞減D．函數的零點是【答案】B【分析】對于選項A：代入檢驗是否為最值即可判斷；對于選項B：直接代入即可判斷；對于選項C：求出的單調增區間即可判斷；對于選項D：令求出零點，即可判斷.【詳解】由，所以A錯，B對；由，所以，又不是子集，故C錯；由，故D錯；故選：B【變式32】．（2324高一上·廣東深圳·期末）記函數的最小正周期為.若，且的圖象關于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】C【分析】根據周期公式求出，再由對稱性確定的值，即可得到函數解析式，最后代入計算可得.【詳解】因為的最小正周期為滿足，所以，解得，又的圖象關于點中心對稱，所以，所以解得，當時，所以，則.故選：C【變式33】．（2324高一下·江蘇常州·期中）已知函數的圖象關于點對稱，且，則的最小值為．【答案】/【分析】由及得，或，結合的圖象關于點對稱，即可求出的最小值．【詳解】由的圖象關于點對稱，得，由及得，或，當時，，由得的最小值為；當時，，由得的最小值為；綜上所述，的最小值為；故答案為：．【變式34】．（2324高一上·廣東深圳·期末）已知函數（其中）.為的最小正周期，且滿足.若函數在區間上恰有一個最大值一個最小值，的取值范圍是.【答案】.【分析】根據題意可得為的一條對稱軸，即可求得，再以為整體分析可得，計算可得.【詳解】由題意可得：的最小正周期，∵，且，則為的一條對稱軸，∴，解得，又∵，則，，故，∵，則，若函數在區間上恰有一個最大值一個最小值，則，解得，故的取值范圍是.故答案為：.【變式35】．【多選】（2324高一下·四川達州·期中）已知函數，恒成立，且在區間上單調，則（

）A．是偶函數 B．C．只能為奇數 D．的最小值為1【答案】BCD【分析】根據題意結合正弦函數的性質可求出的表達式，可判斷C；由此結合正弦函數的奇偶性可判斷A；根據正弦函數對稱性判斷B；利用在區間上單調，可判斷D.【詳解】由于函數，恒成立，故①，，②故②①得，故為奇數，，即不可能為偶函數，A錯誤；由題意可知，即為函數的對稱軸，故，B正確；由A的分析知，即只能為奇數，C正確；在區間上單調，故，則，又為奇數，，當時，，，當時，，由于在上不單調，此時在上不單調；當時，，，當時，，由于在上不單調，此時在上不單調；當時，，，當時，，由于在上單調遞增，此時在上單調遞增，符合題意，當時，，，當時，，由于在上單調遞增，此時在上單調遞增，符合題意，故的最小值為1，D正確，故選：BCD【考點題型四】三角函數的單調性及應用利用正弦函數單調性比較大小的步驟(1)一定：利用誘導公式把角化到同一單調區間上．(2)二比較：利用函數的單調性比較大小．【例4】．（2324高三上·北京·期中）下列函數中，在定義域上既是奇函數又是增函數的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據基本初等函數的單調性與奇偶性判斷即可.【詳解】對于A：函數定義域為，故函數不具有奇偶性，故A錯誤；對于B：函數為奇函數且在定義域上單調遞增，故B正確；對于C：函數為奇函數，但是在定義域上不具有單調性，故C錯誤；對于D：函數定義域為，故函數不具有奇偶性，故D錯誤；故選：B【變式41】．（2223高一下·北京延慶·期中）設，，，則A． B． C． D．【答案】C【分析】由結合三角函數單調性即可比較大小.【詳解】因為，所以，即.故選：C.【變式42】．（2324高三上·河北滄州·期中）已知函數的一個對稱中心為，若函數在上單調遞減，則可取（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據題意，利用三角函數的性質，求得，再由在上單調遞減，得到，結合選項，即可求解.【詳解】由函數的一個對稱中心為，可得，則，解得，因為，所以，所以，所以當，因為在上單調遞減，則，解得，結合選項，只有A選項，符合題意.故選：A.【變式43】．（2324高一下·貴州六盤水·階段練習）已知，函數在上單調遞減，則實數的取值可以是.（填寫一個正確答案即可）【答案】內任取一個【分析】先根據函數在上單調遞減，得到求出，再結合，得到不等式組，求出且，，從而得到答案.【詳解】，在上單調遞減，故，解得，當時，，所以且，，解得且，，結合，可知只有當時，符合要求，綜上，.故答案為：內任取一個【變式44】．（2324高一下·上海·期中）若函數在上為嚴格增函數，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】根據正切型函數的單調性可得，即可求解.【詳解】在上為嚴格增函數，則，由于，則,故，因此，解得，故答案為：【變式45】．【多選】（2324高三下·江西·階段練習）已知函數，則（

）A．在區間上單調遞增 B．對C．關于點對稱 D．將的圖象向左平移個單位長度，所得到的函數是偶函數【答案】AC【分析】對于A：求出的范圍，再根據正弦函數的單調性判斷；對于B：計算的值是否是最大值即可；對于C：計算是否成立即可；對于D：平移后計算是否取最值即可.【詳解】當時，，因為是正弦函數的單調遞增區間，所以在區間上單調遞增，選項正確;，B選項錯誤;，C選項正確;將的圖象向左平移個單位長度，得函數的圖象，其中，不是函數最值，軸不是函數圖象的對稱軸，不是偶函數，D選項錯誤.故選：AC.【考點題型五】求三角函數的值域或最值1.與正弦函數有關的函數的值域(或最值)的求法(1)求形如y＝asinx＋b的函數的最值或值域時，可利用正弦函數的有界性(－1≤sinx≤1)求解．(2)求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函數的值域或最值時，可以通過換元，令t＝sinx，將原函數轉化為關于t的二次函數，利用配方法求值域或最值．求解過程中要注意正弦函數的有界性．2.與余弦函數相關的值域(最值)問題的解法(1)對于y＝acosx＋b的形式，借助余弦函數的有界性|cosx|≤1求解．(2)對于y＝Acos(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的形式，采用整體代換法求解，令ωx＋φ＝t，借助y＝cost的圖像及性質求解，注意x的取值范圍對t的影響．(3)對于y＝eq\f(acosx＋b,ccosx＋d)的形式，采用分離常數法或反解出cosx，再利用余弦函數的有界性求解．(4)對于y＝acos2x＋bcosx＋c的形式，利用二次函數的有關知識求解．【例5】．（2324高一上·湖北武漢·期末）已知，則函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，可得出，求出二次函數在上的值域即可得解.【詳解】因為，則，則，令，所以，，則，則，函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，，當時，；當時，，則.因此，當時，則函數的值域為.故選：D.【變式51】．（2324高一下·北京懷柔·期中）函數的值域為.【答案】【分析】由已知可知，，利用同角平方關系對已知函數進行化簡，然后結合二次函數的性質可求函數的最大與最小值，則值域可得.【詳解】由正弦函數的性質可知，當，當時，；當或時，，故值域為.故答案為：【變式52】．（2324高三上·河北石家莊·期中）已知函數，，若函數的值域為，則.【答案】/【分析】根據余弦函數的性質結合整體思想即可得解.【詳解】因為，則，則，則，即，則.故答案為：.【變式53】．（2324高一下·福建莆田·期中）函數，的值域為．【答案】【分析】首先確定的范圍，結合二次函數值域的求法可求得結果.【詳解】當時，，，當時，；當時，；，的值域為.故答案為：.【考點題型六】三角函數性質、圖像的應用函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有關性質名稱性質定義域R值域[－A，A]對稱性對稱中心(x1,0)有ωx1＋φ＝kπ(k∈Z)，對稱軸x＝x2有ωx2＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)奇偶性當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數，當φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時為偶函數單調性通過整體代換可求出其單調區間【例6】．（2324高一下·上海·期中）如圖是函數的部分圖象，其中點在軸上且過點的豎直線經過圖象的最高點，是圖象上一點，是線段與圖象的交點，且，則點的縱坐標是．【答案】【分析】設，進而可得點坐標，再根據條件列式，利用三角公式是計算可得答案.【詳解】設，其中，則，于是．因為是中點，所以，即或，又因為，所以，即點的縱坐標是.故答案為：.【變式61】．（2324高一下·上海·期中）已知函數在區間上有且僅有5個零點，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據復合型三角函數最小正周期的計算公式，結合其圖像性質列不等式求解.【詳解】因為，所以函數的最小正周期．因為在區間上有5個零點，所以，即，可得；故答案為：.【變式62】．（2324高一上·山西太原·期末）已知函數在上恰有兩個零點，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】結合正弦型函數的圖象與性質計算即可得.【詳解】令，則，當時，，由題意可得，解得，即實數的取值范圍為.故答案為：.【變式63】．（2324高三上·遼寧丹東·期中）函數，在上恒有4個零點，則的值為．【答案】/1.5【分析】構造函數，將問題轉化為與的圖象有4個交點，結合圖象即可得解.【詳解】恒有4個零點，等價于且有4個零點，令，則問題轉化為與的圖象有4個交點，作出與的大致圖象，如圖，

結合圖象可知，恰好是的時，滿足題意，即，所以．故答案為：.【變式64】．（2324高一上·江蘇·期末）設函數是定義在R上的奇函數，滿足，若，，則實數t的取值范圍是【答案】【分析】根據條件求出周期為，可得，求得t的取值范圍.【詳解】因為為奇函數，所以，所以，又因為，所以，，所以是周期函數，周期為，所以，因為，所以，即，，根據單位圓中的三角函數線可得：，，故答案為：【考點題型七】三角函數的圖像變換三角函數的圖像變換問題的分類及解題策略(1)已知兩個函數解析式判斷其圖像間的平移或伸縮關系時，首先將解析式化簡為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，即確定A，ω，φ的值，然后確定平移的方向和單位或伸縮的量．(2)確定函數y＝sinx的圖像經過變換后圖像對應的函數解析式，關鍵是明確左右平移的方向和橫縱坐標伸縮的量，確定出A，ω，φ的值．【例7】．（2324高一上·浙江·期末）為了得到函數的圖象，只需把函數圖象上的所有的點（

）A．向左平移1個長度單位 B．向右平移1個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位【答案】D【分析】根據三角函數圖象的平移變換規律，即可求得答案.【詳解】由于，為了得到函數的圖象，只需把函數圖象上的所有的點向右平移個長度單位，故選：D【變式71】．（2324高一下·江蘇常州·期中）將函數圖象上的點向左平移個單位長度得到點，若在函數的圖象上，則（

）A．，的最小值為 B．，的最小值為C．，的最小值為 D．，的最小值為【答案】A【分析】由題意利用的圖象變換規律及誘導公式，可得，且，即可得的最小值.【詳解】由題意得，由點向左平移個單位長度得到點，可得，代入可得，則或，即或，.又,所以的最小值為.故選：A.【變式72】．（2324高二下·上海·期中）設函數，若將的圖象向左平移個單位長度后在上有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平移變換法則得，由題意在上有且僅有兩個零點，由此可列出關于的不等式組，解出不等式組即可得解.【詳解】將的圖象向左平移個單位長度后的圖象所對應的函數表達式為，注意到，則當時，，由題意在上有且僅有兩個零點，這意味著，且顯然，也就是說，解得.故選：A.【變式73】．（2021高三上·吉林·期中）已知曲線C1：，C2：，則錯誤的是（

）A．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平行移動個單位長度，得到曲線B．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平行移動個單位長度，得到曲線C．把向左平行移動個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到曲線D．把向左平行移動個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到曲線【答案】D【分析】利用函數的圖象變換規律對各個選項進行檢驗即可.【詳解】對于A.上各點橫坐標縮短到原來的倍，得到，再向左平移個單位長度，得到，正確；對于B.上各點的橫坐標縮短到原來的倍，得到，再向右平移個單位長度，得到，正確；對于C.向左平移個單位長度，得到，再把各點橫坐標縮短到原來的倍，得到，正確；對于D.向左平移個單位長度，得到，再把各點橫坐標縮短到原來的倍，得到，錯誤.故選：D【變式74】．【多選】（2024·貴州安順·一模）已知函數，若把函數的圖像向右平移個單位長度后得到的圖像關于原點對稱，則（

）A．B．函數的圖象關于點對稱C．函數在區間上單調遞減D．函數在上有2個零點【答案】BCD【分析】根據題意，由條件可得，即可得到函數的解析式，再由正弦型函數的性質，對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】因為的圖像關于原點對稱，則，解得，又，則時，，所以，故A錯誤；因為，所以的圖像關于點對稱，故B正確；當時，則，且函數在單調遞減，故C正確；令，即，解得，又，則，共兩個零點，故D正確；故選：BCD【變式75】．（2223高一下·遼寧鞍山·期中）設，函數的最小正周期為π，且圖象向左平移后得到的函數為偶函數．(1)求解析式．(2)若，求在上的單調遞增區間．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據三角函數的周期和平移后的奇偶性得到解析式即可.（2）代入化簡函數解析式，根據三角函數的單調性即可求得上的單調增區間.【詳解】（1）函數的最小正周期，圖象向左平移后得到的函數為，由已知，又，解析式為：.（2）由題要求的單調增區間，即求的單調減區間由得.在的單調增區間為：【考點題型八】由圖像求解析式確定函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的策略(1)一般可由函數圖像上的最大值、最小值來確定|A|.(2)因為T＝eq\f(2π,ω)，所以往往通過求周期T來確定ω.(3)可以從尋找“五點法”中的第一個“零點”ωx＋φ＝0作為突破口，要從圖像的升降情況找準第一個“零點”的位置來確定φ.也可以從相鄰的最高點的ωx＋φ＝eq\f(π,2)或最低點的ωx＋φ＝eq\f(3π,2)來求解φ.【例8】．（2324高一下·湖北武漢·期中）函數的部分圖象如圖，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】由圖可知，分別求出后，由，得，結合的范圍求出，最后得到函數表達式即可求解.【詳解】由圖可知，解得，又，所以，解得，注意到，從而，所以，所以.故選：B.【變式81】．（2324高一下·河南南陽·期中）已知函數的部分圖象如