概率論的根本概念隨機試驗概率論中將滿足以下三個特點的實驗稱為隨機試驗，通常用E或E1，E2…來表示，這三個特點是：試驗可在相同的條件下重復進行；每次試驗的可能結果不止一個，但所有的結果是明確可知的；進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現。樣本空間隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為E的樣本空間，記做S。樣本空間的元素，即E的每個結果，稱為樣本點。隨機事件試驗E的樣本空間S的子集，即試驗滿足某些條件的可能結果稱為E的隨機事件。在每次試驗中，當且僅當事件中的一個樣本點出現時，稱這個事件發生。由一個樣本點組成的單點集稱為根本領件，由多于一個樣本點組成的集合稱復合事件。E和空集?都是E的子集，它們分別稱為必然事件和不可能事件。事件間的關系假設，那么稱事件B包含事件A，這指的是事件A發生必導致事件B發生。假設且，即A=B，那么稱事件A與事件B相等。事件={x|xA或xB}稱為事件A與事件B的和事件。當且僅當A，B中至少有一個發生時，事件發生。事件={x|xA且xB}稱為事件A與事件B的積事件。當且僅當A，B同時發生時，事件發生。也記作AB。事件A—B=={x|xA且xB}稱為事件A與事件B的差事件。當且僅當A發生，B不發生時事件A—B發生。假設=?，那么稱事件A與事件B是互不相容的，或互斥的。這指的是事件A與事件B不能同時發生。根本領件是兩兩互不相容的。假設=S且=?，那么稱事件A與事件B互為逆事件。又稱事件A與事件B互為對立事件。這指的是對每次試驗而言，事件A、B中必有一個發生，且僅有一個發生。A的對立事件記作，=S-A。事件的運算交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A結合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)=ABC分配律：A(B∪C)=AB∪AC,A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)德摩根律：=,=∪吸收律：A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A雙重否認律：=A排中律：A∪=Ω，A∩=?差積轉換律：A-B=A頻率在相同的條件下進行的n次試驗中，事件A發生的次數n稱為事件A發生的頻數，比值n/n稱為事件A發生的頻率，并記成f〔A〕。頻率具有下述根本性質：〔1〕0≤f〔A〕≤1；〔2〕f〔S〕=1；〔3〕假設A，A，…，A是兩兩互不相容的事件，那么：f〔A∪A∪…∪A〕=f〔A〕+f〔A〕+…+f〔A〕概率設E是隨機試驗，S是它的樣本空間，對于E的每一事件A，規定一個實數P(A)與之對應，假設集合函數P(·)滿足以下條件那么稱P(A)為事件A的概率：非負性：對于每一事件A，有P(A)≥0；標準性：對于必然事件S，有P(S)=1；可列可加性：設A，A，…是兩兩互不相容的事件，即對于AA=?，i≠j,i,j=1,2,…,有:P〔A∪A∪…〕=P〔A〕+P〔A〕+…概率的根本性質對于不可能事件?，P(?)=0；對于必然事件Ω，P(Ω)=1。有限可加性：假設A，A，…，A兩兩相斥，那么有：f〔A∪A∪…∪A〕=f〔A〕+f〔A〕+…+f〔A〕求逆公式：P()=1-P(A)。加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。廣義加法公式：特別地，P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)。減法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB),特別地,當BA時，P(A-B)=P(A)-P(B),從而P(B)≤P(A)。條件概率條件概率對于任意兩個事件A和B，其中P(A)>0，事件B在“事件A已發生”的條件下發生的概率，簡稱為“事件B關于事件A的條件概率”，定義為P(B|A)=。對于固定的事件A，條件概率P(B|A)具有〔無條件〕概率的一切性質。乘法公式設A，B為兩個事件，假設P(A)>0,那么有P(AB)=P(A)P(B|A)；假設P(B)>0,那么有P(AB)=P(B)P(A|B)。一般地，假設P(...)>0，那么有P(...)=P()P(|)P()P(|)?...P(|...)。全概率公式全概率公式設，，...，，...為一個完全事件組，且P()>0，i1,2，...，n，...，那么對于任意事件B，有P(B)=.貝葉斯公式設，，...，，...為一個完全事件組，且P()>0，i1,2，...，n，...，那么對任意概率不為零的事件B，有P()=，j=1,2，...事件獨立性事件獨立性對于兩個事件A，B，如果,那么稱事件A與B相互獨立。對于n個事件，，...，，如果其中任意兩個事件相互獨立，即對,均有，那么稱，，...，兩兩獨立。對于n個事件，，...，，如果其中任意k個事件〔〕均有P()=P()P()P()......P()，那么稱，，...，相互獨立。對于事件序列，，...，，...，如果對任意正整數n〔〕，事件，，...，相互獨立，那么稱事件序列，，...，，...相互獨立。獨立事件的性質假設A與B相互獨立，那么與B，A與，與也相互獨立。也可以等價地說，四對事件:A與B,與B，A與，與中有一對相互獨立，那么另外三對事件也相互獨立。假設，，...，相互獨立，那么其中任意個事件也相互獨立。假設，，...，相互獨立，那么P〔，，...，〕，.習題設，,，那么_____,_____,_____.設A，B為兩相互獨立的事件，，，那么_____.設在全部產品中有2%是廢品，而合格品有85%是一級品，那么任抽出一個產品是一級品的概率為_____.甲乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現目標被擊中，那么它是甲射擊中的概率為_____.某射手在三次射擊中幾個至少命中一次的概率為0.875，那么這射手在一次射擊中命中的概率為_____.將C、C、E、E、I、N、S等七個字母排成一行，那么恰好排成英文單詞SCIENCE的概率為______.假設1000件產品中有200件是不合格的產品，一次作不放回抽取兩件產品，那么第二次抽取到不合格品的概率為______.將數字1,2,3,4,5寫在5張卡片上，任意取出三張排列成三位數，這個數是奇數的概率______.假設一批產品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，從中隨意取出一件，結果不是三等品，那么取到的是一等品的概率為______.有兩只口袋，甲帶中裝3只白球，2只黑球，乙袋中裝有2只白球，5只黑球，任選一袋，并從中任取一球，此球為白球的概率是_______.，，那么_______.設A、B為兩隨機事件，且，那么以下式子正確的選項是_______.A.；B.；C；D..13.設A、B為兩個互斥事件，且P〔A〕>0,P(B)>0,那么結論正確的選項是_______.A.；B.；C.；D..14.設A表示事件“甲種產品暢銷，乙種產品滯銷”，那么其對立事件為_______.15.每次試驗成功率為p〔0<p<1〕，進行重復試驗，直到第10次試驗才取得4次成功的概率為_______.16.設P(A)=a,P(B)=b,P(A∪B)=c,那么P(A)為_______.17.設P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A|B)=0.8，那么以下結論正確的選項是_______.A.事件A與B互不相容B.ABC.事件A與B互相獨立D.P(A∪B)=P(A)+P(B)18.袋中有5個球〔3個新球，2個舊球〕，現每次取一個，無放回地抽取兩次，那么第二次取到新球的概率為_______.19.設有一批產品共100件，其中95件合格品，5件次品，從中任取10件。〔1〕求樣本空間所含根本領件個數n是多少？〔2〕求事件“所取10件全是合格品”所含根本領件的個數是多少？〔3〕求事件“取出10件中恰有兩件次品”所含根本領件個數是多少？20.10個螺絲釘中有3個是壞的，隨機抽取4個，求〔1〕恰有兩個是壞的概率是多少？〔2〕4個全是好的概率是多少？21.20名運發動中有兩名種子選手，現將運發動平分為兩組，問兩名種子選手：〔1〕分在不同組的概率是多少？〔2〕分在同一組的概率是多少？22.在400米賽跑中有7條跑道，其中有3條好跑道，7名運發動抽簽決定自己的跑道〔每條跑道對應一根簽〕，運發動小張最先抽，小李第二抽，試問小張，小李抽到好跑道的概率是否相同？并證明你的結論。23.一批燈泡共100只，次品率為10%，不放回抽取三次，每次取一只，求第三次才取得合格品的概率。24.袋內放有兩個五分的錢幣，三個二分的錢幣，五個一分的錢幣，任取其中五個，求總數超過一角的概率。25.在空戰訓練中甲機先向乙機開火，擊落乙機的概率為0.2,；假設乙機未被擊中落，就進行還擊，擊落甲機的概率為0.3；假設甲機未被擊落，那么再進攻乙機，擊落乙機的概率為0.4，求在這幾個回合中：〔1〕甲機被擊落的概率?！?〕乙機被擊落的概率。26.某倉庫有同樣規格的產品6箱，其中有箱，2箱和1箱依次是由甲、乙、丙三個廠生產的，且三個廠的次品率分別為1/10、1/15、1/20，現從這6箱任取一箱，再從取得的一箱中任取一件，試求：〔1〕取得的一件是次品的概率；〔2〕假設取得的一件是次品，試求所取得的產品是丙廠生產的概率。27.在射擊運動中，每次射擊最多得10環，某運發動在每次射擊擊中得10環的概率為0.4，得9環的概率為0.3，得8環的概率為0.2，求該運發動在5次獨立射擊中總計得到不少于48環的概率。28.向三個相鄰的軍火庫投擲一個炸彈，炸中第一軍火庫的概率為0.025，其余二個各為0.1，只要炸中一個，另兩個也要發生爆炸，求軍火庫發生爆炸的概率。29.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，問現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率為多少？30.電路由電池A與兩個并聯的電池B及C串聯而成，設電池A、B、C損壞的概率分別為0.3,0.2,0.2，求電路發生間斷的概率。31.某工廠，機器A、B、C各生產產品總數的25%，35%和40%，它們生產的產品中分別有5%，4%，2%的次品，將這些產品混在一起，今任取一只產品，發現是次品，問這一次品是由機器A、B、C生產的概率各是多少？32.某制帽廠生產的帽子合格率為0.8，一盒中裝有帽子4頂，一個采購員從每一盒中隨機地取出兩頂帽子進行檢驗，假設兩頂帽子都合格，就買下這盒帽子，求每盒帽子被買下的概率。33.甲、乙兩個乒乓球運發動進行單打比賽，如果每賽一局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4.比賽既可采用三局兩勝制，也可采用五局三勝制，問采用哪種賽制對甲更有利？34.投擲二枚骰子，求事件A為出現的點數之和等于3的概率。35.有一個問題，甲先答，答對的概率為0.4，如果甲答錯，由乙答，答對的概率為0.5，求