2023年高考數學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.已知雙曲線C：5-5=1（4>0,人>0）的焦距為2c.點A為雙曲線C的右頂點，若點A到雙曲線C的漸近

a2b2

線的距離為』c,則雙曲線C的離心率是（）

2

A.0B.6C.2D.3

2.劉徽是我國魏晉時期偉大的數學家，他在《九章算術》中對勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方，股自乘為青

方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也.合成弦方之幕，開方除之，即弦也”.已知圖中網格紙上小正方形的邊

長為1,其中“正方形ABC。為朱方，正方形BEFG為青方”，則在五邊形AGF/D內隨機取一個點，此點取自朱方的概

率為（）

9

49

3.已知二次函數［（x）=f—瓜+。的部分圖象如圖所示，則函數g（x）="+f'（x）的零點所在區間為（）

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

4.如圖，四邊形A3CO為正方形，延長CO至E,使得DE=C￡>,點P在線段CO上運動.設市=瓦

則1+>的取值范圍是（）

DP

A.[1,2]B.[1,3]C.[2,3]D.[2,4]

5.若復數z=B（匕為虛數單位）的實部與虛部相等，則。的值為（）

2+z

A.3B.±3C.-3D.±6

6.《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、

艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“■一”表示一個陽爻，表示一個陰爻）.若從含有兩個及以上陽

爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中都恰有兩個陽爻的概率為（）

嘲信“跚卜

犬修

■■

1123

A.-B.-C.—D.一

3234

x-y+l<0,

7.已知所為圓（x—iy+（y+l）2=l的一條直徑，點M（x,y）的坐標滿足不等式組＜2x+y+3?0,則磁.赤的

J.

取值范圍為（）

"o1

A.萬,13B.[4,13]

r7-

C.[4,12]D.-,12

22

8.雙曲線二2=/的漸近線與圓（工-3）2+產=/（廠＞0）相切，則r等于（）

63

A.#B.2

C.3D.6

9.已知三棱柱ABC-A4G的所有棱長均相等，側棱A4_L平面ABC,過AB1作平面a與平行，設平面a與

平面的交線為/,記直線/與直線AB,3C,CA所成銳角分別為a,d7,則這三個角的大小關系為（）

A.a>y>/3B.a-/3>y

C.y>(3>aD.a>0=y

10.已知。為坐標原點，角a的終邊經過點尸（3,m）（加＜O）且sina=辿加，則sin2a=（）

10

4334

A.-B?一C??一D.一一

5555

11.已知集合A={0,1,2,3},6=卜,=〃2-1,〃€力，P=Ac8,則P的子集共有（）

A.2個B.4個C.6個D.8個

2

12.已知實數x,y滿足三+丁"貝M+V—2,,2+,2-6%+7］的最小值等于（）

A.6^-5B.60-7C.76-V3D.9-672

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某種牛肉干每袋的質量M依）服從正態分布，質檢部門的檢測數據顯示：該正態分布為N（2,b?）,

P（1.婚物2.1）=0.98.某旅游團游客共購買這種牛肉干loo袋，估計其中質量低于l.%g的袋數大約是袋.

14.已知平面向量2=（加,2）,力=（1,3）,且坂則向量2與石的夾角的大小為.

15.已知拋物線C：V=4x的焦點為尸，斜率為2的直線/與C的交點為A3,若|A/|+1BE|=5,則直線/的方

程為.

16.在正方體中，￡為棱A4的中點，尸是棱4月上的點，且4尸=:F片，則異面直線所與BG

所成角的余弦值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數/（x）=（2-x）e*+ax.

(I)已知x=2是/(x)的一個極值點，求曲線”X)在(OJ(O))處的切線方程

(H)討論關于x的方程/(x)=alnx(aeR)根的個數.

18.(12分)已知函數/(x)=|2x-l|一卜+2|記(%)=卜+時一|無一時.

(1)解不等式/(%)>8；

(2)V%使得/(%)=g(X2)，求實數"?的取值范圍.

x123nn

19.(12分)已知數列(｛%,｝滿足^--+-一-+-__-+-?+-一-=T-

')2a｝-52a2-52%-52an-53

(1)求數列｛《,｝的通項公式；

(2)設數列」一的前〃項和為T“，證明：

[a?an+i]226

JT

20.(12分)如圖，四邊形ABC。中，ZADC=-,AD=AB=BC=2C￡>,AE=EC,沿對角線AC將AACD

2

翻折成AACD',使得BD'=BC.

(1)證明：BE上CD'；

(2)求直線BE與平面A6。'所成角的正弦值.

21.(12分)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買每滿400元的商品即可抽獎一次.抽獎規則如下：抽獎者擲各面標有

1-6點數的正方體骰子1次，若擲得點數大于4,則可繼續在抽獎箱中抽獎；否則獲得三等獎，結束抽獎，已知抽獎

箱中裝有2個紅球與機(機22,meN*)個白球，抽獎者從箱中任意摸出2個球，若2個球均為紅球，則獲得一等獎，

若2個球為1個紅球和1個白球，則獲得二等獎，否則，獲得三等獎(抽獎箱中的所有小球，除顏色外均相同).

(1)若〃2=4,求顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率;

(2)若一等獎可獲獎金400元，二等獎可獲獎金300元，三等獎可獲獎金1()0元，記顧客一次抽獎所獲得的獎金為X,

若商場希望X的數學期望不超過150元，求加的最小值.

22.(10分)若函數/0)=，一四7-如(加€夫)為奇函數，且x=/時/(x)有極小值/(%).

(1)求實數。的值與實數〃?的取值范圍;

2

(2)若/(Xo)Z—-恒成立，求實數〃?的取值范圍.

e

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

由點到直線距離公式建立a,b,c的等式，變形后可求得離心率.

【詳解】

ah_1

由題意440),一條漸近線方程為y=即區一沖=042+萬=50

a~b~12sna~(c~—a~)1244211crr

—；—=—c?即------；------=-c,e—4e-+4=0，e=A/2?

c~4c4

故選：A.

【點睛】

本題考查求雙曲線的離心率，掌握漸近線方程與點到直線距離公式是解題基礎.

2.C

【解析】

首先明確這是一個幾何概型面積類型，然后求得總事件的面積和所研究事件的面積，代入概率公式求解.

【詳解】

因為正方形ABC。為朱方，其面積為9,

五邊形AGFID的面積為+SBGFE+^ADCI+^AIEF=37,

所以此點取自朱方的概率為以9.

故選:C

【點睛】

本題主要考查了幾何概型的概率求法，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于基礎題.

3.B

【解析】

由函數八刈的圖象可知，0<八0)=。<1,式1)=1一》+。=0,所以1V6V2.

又/(x)=2x一瓦所以g(x)=e*+2x-Z),所以/(%)=廿+2>0,所以g(x)在R上單調遞增，

又g(O)=l-4VO,g(l)=e+2-*>0,

根據函數的零點存在性定理可知，函數g(x)的零點所在的區間是(0,1),

故選B.

4.C

【解析】

以A為坐標原點，以A3,A￡)分別為x軸，y軸建立直角坐標系，利用向量的坐標運算計算即可解決.

【詳解】

以A為坐標原點建立如圖所示的直角坐標系，不妨設正方形A3CD的邊長為1,

則3(1,0),￡(-1,1),設P(f,l)(0W),則Q,l)=x(l,0)+y(—l,l),所以/=%一丁，且y=l,

故尤+y=f+2e[2,3],

故選：C.

【點睛】

本題考查利用向量的坐標運算求變量的取值范圍，考查學生的基本計算能力，本題的關鍵是建立適當的直角坐標系,

是一道基礎題.

5.C

【解析】

利用復數的除法，以及復數的基本概念求解即可.

【詳解】

z=]-bi=2-b-(2b+l)i又z的實部與虛部相等，

2+z5

:.b-2=2h+\,解得匕=一3.

故選:C

【點睛】

本題主要考查復數的除法運算，復數的概念運用.

6.B

【解析】

基本事件總數為6個，都恰有兩個陽爻包含的基本事件個數為3個，由此求出概率.

【詳解】

解：由圖可知，含有兩個及以上陽爻的卦有巽、離、兌、乾四卦，

取出兩卦的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（巽，乾），（離，兌），（離，乾），（兌，乾）共6個，其中符合條件的

基本事件有（巽，離），（巽，兌），（離，兌）共3個，

31

所以，所求的概率P=：=^.

62

故選：B.

【點睛】

本題滲透傳統文化，考查概率、計數原理等基本知識，考查抽象概括能力和應用意識，屬于基礎題.

7.D

【解析】

首先將磁?礪轉化為記2只需求出用丁的取值范圍即可，而表示可行域內的點與圓心T（l,-1）距離，數

形結合即可得到答案.

【詳解】

作出可行域如圖所示

設圓心為則亞?赤=（而+元）.（而+和）=

過T作直線x-y+l=O的垂線，垂足為8,顯然MBWMTWMA，又易得A(-2,l),

|1-(-1)+1|372

所以加4=血_(_2)/+(_]_1)2=屈,TB=

2

--27

故ME.MF=MT-le[-,12].

故選：D.

【點睛】

本題考查與線性規劃相關的取值范圍問題，涉及到向量的線性運算、數量積、點到直線的距離等知識，考查學生轉化

與劃歸的思想，是一道中檔題.

8.A

【解析】

由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.

【詳解】

雙曲線的漸近線方程為7=土'x,圓心坐標為(3,0).由題意知，圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即「=

答案：A

【點睛】

本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關系，屬于基礎題.

9.B

【解析】

利用圖形作出空間中兩直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.

【詳解】

如圖，D?=CG，G&=4G，設。為AG的中點，。|為GZ的中點,

由圖可知過AB,且與BG平行的平面a為平面AB^,所以直線I即為直線AD,,

由題易知，ZD.AB,N^CB的補角，/"AC分別為。，［3,

設三棱柱的棱長為2,

在AqAB中，D1B=2底AB=2,叫=26,

c-8.(2南+"(2南_6

2x2x2石1010

在AO/C中，。￡=而，BC=2,O[C=亞,

cosNQCB.(可+”(而匚656-石；

2x2x610"10

在AAAC中，CD1=4,AC=2,陰=26，

cosZDtAC=^==—,:.cosa=—,

'2A/555

cosa=cosp<cos/>:.a=/3>y.

故選：B

【點睛】

本題主要考查了空間中兩直線所成角的計算，考查了學生的作圖，用圖能力，體現了學生直觀想象的核心素養.

10.C

【解析】

根據三角函數的定義，即可求出/〃=-1,得出P(3,-l),得出sine和cosa,再利用二倍角的正弦公式，即可求出結

果.

【詳解】

根據題意，sina=/=———m,解得m——1,

金2+910

所以加=(3,-1),

訴兇?M3V10

所以sina=-------,cosa=-------，

1010

3

所以sin2。=2sinacosa=--.

故選：C.

【點睛】

本題考查三角函數定義的應用和二倍角的正弦公式，考查計算能力.

11.B

【解析】

根據集合A中的元素，可得集合B,然后根據交集的概念，可得P,最后根據子集的概念，利用2"計算，可得結果.

【詳解】

由題可知：A={0,1,2,3),B={x[x=1eA}

當77=0時，X=-1

當〃=1時，x=0

當“=2時，x=3

當〃=3時，x=8

所以集合B={x|x=/-1,〃eA}={-1,0,3,8}

貝！]P=Ac8={0,3}

所以P的子集共有2z=4

故選：B

【點睛】

本題考查集合的運算以及集合子集個數的計算，當集合P中有〃元素時，集合P子集的個數為2"，真子集個數為

2"-b非空子集為2"-1，非空真子集為2"-2,屬基礎題.

12.D

【解析】

設x=Jocose，y=sin。，去絕對值，根據余弦函數的性質即可求出.

【詳解】

因為實數x,），滿足;+R1,

設x=V^cos。，y=sin。，

.Jx2+y2-21+1x2+y2-6x+7H2cos20+sin:0-2|+|2cos2^+sin265/2cos+71=|-sin20\+

|cos30-60cos6+81,

cos2e_6應cose+8=（cos。-3應）2-10>0恒成立，

.--IX2+/-21+1X2+y2-6x+71=sin?O+cos?6-6&cos（9+8=9-6及cos6L9-60,

故則|/+》2-2|+*+9—6_￥+7]的最小值等于9_6&.

故選：D.

【點睛】

本題考查了橢圓的參數方程、三角函數的圖象和性質，考查了運算能力和轉化能力，意在考查學生對這些知識的理解

掌握水平.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

根據正態分布對稱性，求得質量低于1.9kg的袋數的估計值.

【詳解】

1一098

由于〃=2,所以P[m<1.9）==0.01,所以10（）袋牛肉干中，質量低于19kg的袋數大約是100x0.01=1袋.

故答案為：1

【點睛】

本小題主要考查正態分布對稱性的應用，屬于基礎題.

【解析】

由近0-方），解得加=4,進而求出cosRB"],即可得出結果.

【詳解】

解：因為北色一楊，所以（1,3）?（加一1,-1）=加一1-3=0,解得加=4,所以85（叫=-廣，，（；'?2=立

\42+22-V12+322

7T

所以向量“與5的夾角的大小為「

都答案為：5

【點睛】

本題主要考查平面向量的運算，平面向量垂直，向量夾角等基礎知識；考查運算求解能力，屬于基礎題.

15.2x-y-2-0

【解析】

設直線/的方程為y=2x+f,4（%,,）,3（%,為），聯立直線/與拋物線c的方程，得到A,8點橫坐標的關系式,

代入至“4尸|+忸耳=4中，解出/的值，即可求得直線/的方程-

【詳解】

設直線l:y=2x+t,,yj,％)?

由題設得

F(1,O),^\AF\+\BF\=X1+X2+2,

由題設可得尤i+々=3.

y=2x+t,r/、，

由＜,,4可得4f+4?—1)%+廠=0,

貝%々=1一，，

從而l-r=3,得r=-2,

所以/的方程為y=2x-2,

故答案為：2x—y-2=0

【點睛】

本題主要考查了直線的方程，拋物線的定義，拋物線的簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.

16.叵

5

【解析】

根據題意畫出幾何題，建立空間直角坐標系，寫個各個點的坐標，并求得加，西■.由空間向量的夾角求法即可求得異

面直線EF與BG所成角的余弦值.

【詳解】

根據題意畫出幾何圖形，以A為原點建立空間直角坐標系:

設正方體的棱長為1,則E(0,0,30,11,8(1,0,0),G(l,1,1).

所以前=西=(0,1,1).

EF\=

EF?BQVw

所以cos<EF,BC\>=亨,

xV2

4

所以異面直線EF與BC,所成角的余弦值為粵,

故答案為：叵

5

【點睛】

本題考查了異面直線夾角的求法，利用空間向量求異面直線夾角，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)(e2+l)x-y+2=O；(II)見解析

【解析】

(I)求函數的導數，利用x=2是/(%)的一個極值點，得/(2)=0建立方程求出a的值，結合導數的幾何意義進行求

解即可；

(II)利用參數法分離法得到。="0=叵出，構造函數求出函數的導數研究函數的單調性和最值，利用數形

x-lnx

結合轉化為圖象交點個數進行求解即可.

【詳解】

(I)因為/(x)=(2-x)e、+公，則/'(x)=(l-x)e*+a,

因為x=2是4X)的一個極值點，所以/(2)=0,即。-2)e2+a=0,

所以a=e?,

因為/(0)=2,r(0)=/+1,

則直線方程為k2=卜2+1卜，即(e2+l)x-y+2=0；

(II)因為/(x)=alnx,所以(x-2)e'+alnx-ar=0,

所以(x-2)e*=—a(lnx—x),設g(x)=lnx-x(x>0),則g(x)=，-l(x>0),

所以g(x)在(0,1)上是增函數，在。,內)上是減函數，

故g(x)<g⑴=一1<。,

(冗_2)/

所以a=〃(元)=，所以〃(x)=

x-\nx

2?II

設，〃(九)=XH----lnx-1,貝h"'(x)=l——=—(x-2)(x+l),

所以m(x)在(0,2)上是減函數，(2,物)上是增函數,

所以m(x)>m(2)=2-ln2>0,

所以當0<x<l時，/?'(%)<0,函數〃(x)在(0,1)是減函數，

當%>1時，〃'(x)>0,函數〃(x)在。,內)是增函數，

因為0<x<l時，/i(x)<0,=〃(2)=0,

所以當a<-e時，方程無實數根，

當-e<a<0時，方程有兩個不相等實數根，

當。=一e或時，方程有1個實根.

【點睛】

本題考查函數中由極值點求參，導數的幾何意義，還考查了利用導數研究方程根的個數問題，屬于難題.

18.(1)(-co,—5)U(11,+00)；(2)加4一|■或7W>

【解析】

(1)分段討論得出函數f(x)的解析式，再分范圍解不等式，可得解集；

(2)先求出函數/(X),g(x)的最小值，再建立關于加的不等式，可求得實數〃，的取值范圍.

【詳解】

3—x,x?-2

(1)因為/(幻=|21|一卜+2|=<—3x—1,—2<x<—(0,0),

x—3,x一

2

所以當xW—2時，3-x>8=>x<-5；

當—2<x<，時，-3%-1>80%<-3,.?.無解;

2

當了之不時，%-3>8=>%>11；

2

綜上，不等式的解集為（F,-5）口（11,故）；

3—x,尢<—2

5

(2),/f(x)=<-3x-1,-2<xv/./(x)>

2

x—3,xN一

2

又；g(x)=|x+，”一卜一同>-2|nj|,二一2同4-g..,.同>：,

5

m<——或m>—.

44

【點睛】

本題考查分段函數，絕對值不等式的解法，以及關于函數的存在和任意的問題，屬于中檔題.

19.（1）。“=士O（2）證明見解析

2

【解析】

123nn

（1）N-7+7；--+---+?-+--=T,①當〃22時，

26一52a2—52a,-52an-53

123n—1n—1,,

商行+干+匯r…+不二？=亍,②兩式相減即得數列｛叫的通項公式；⑵先求出

144(11)

-----=石一赤—3rza——oh再利用裂項相消法求和證明.

anan+l(3〃+5)(3〃+8)313〃+53n+8)

【詳解】

123nn

(i)解.------+-------+-------+…+-------,①

吟2^-52g-52a,-52a,-53

當〃=1時，q=4.

123n-\n-\

-------------4----------------+---------------+?,?+----------------=-----------

2q—52/—52%—52。〃_]-53

由①-②，得%—-（九22）,

因為q=4符合上式，所以％=即產.

144（11>

（2）IiF明.------=-----------------=----------------

*anan+i（3〃+5）（3〃+8）3（3〃+53〃+8,

4a2。2〃3anan+\

4

=-X1__

383〃+8）

因為。＜『二所以

3〃+811226

【點睛】

本題主要考查數列通項的求法，考查數列求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

出

20.(1)見證明；(2)

T

【解析】

(D取8'的中點K,連EK,BK.可證得EK±CD',BK1CD',于是可得CDrl平面BKE,進而可得結論成

立.(2)運用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：取CD'的中點K,連EK,BK.

B

VAE=EC,

:.EKIIAD'.

又AD'_LCD',

:.EKVCD'.

在ABC。'中，BC=BD',

：.BKLCD'.

又EKcBK=K,

CD'，平面BKE,

又BEu平面BKE,

ABELCD'.

(2)解法1：取AD'的中點F,連結ERB/，

VAE=EC,

:.EF//CD',

又CDUAD',

:.AD'VEF.

又由題意得?ABD'為等邊三角形，

AAD,±BF,

VBFcEF=F,

二AU，平面BEF.

作EHLBF,則有團，平面ABD,

:.NE8F就是直線BE與平面所成的角.

設C￡>'=1,則族=’,

2

在等邊?兒?。'中，BF=BX2=6

2

故BE：）與二平

又在-ABC中，AB=BC=2Z=亞,

在?EBF中,由余弦定理得cos/EBF

sinNEBF=—

6

，直線與平面ABD'所成角的正弦值為—.

6

解法2：由題意可得E8,平面AC。'，建立如圖所示的空間直角坐標系Epz.

不妨設CQ=1,則在直角三角形AC。'中，可得AD'=2,AC=J^,

作。'GJ_AC于G,則有平面幾何知識可得。'G=25,EG=EC-CG=^-

510

\

,0.

/

設平面的一個法向量為m=(x,y,z),

一E4近275..

m-AD=------y+-------z=0屈

55但x----------y

由＜11

m--A磊B=---而--x-\---由---y=0J.z=-2y

22

令y="T,則得用=(一后,而,一2VHy

、

又麗=,0,0/,

設直線B￡與平面A6D所成的角為仇

貝"小值國卜靠(邛

所以直線班與平面A3。所成角的正弦值為且.

6

【點睛】

利用向量法求解直線和平面所成角時，關鍵點是恰當建立空間直角坐標系，確定斜線的方向向量和平面的法向量.解

題時通過平面的法向量和直線的方向向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取

其余角就是斜線與平面所成的角.求解時注意向量的夾角與線面角間的關系.

21.(1)；⑵9.

【解析】

(1)設顧客獲得三等獎為事件A,因為顧客擲得點數大于4的概率為g,顧客擲得點數小于4,然后抽將得三等獎的

4

概率為不，求出P(A)；

(2)由題意可知，隨機變量X的可能取值為100,300,400,相應求出概率，求出期望，化簡得

E(X)奏+200/+2200根+1600…100200m2+2200m+1600一、_

,由題意可知,E（X）<150,即——+-------------77------；-<150,求

3（m+2）（m+l）'）33（7w+2）（m+l）

出m的最小值.

【詳解】

(1)設顧客獲得三等獎為事件A,

因為顧客擲得點數大于4的概率為g,

2C264

顧客擲得點數小于4,然后抽將得三等獎的概率為言—x—

31515

143

所以P(A)=§+石=二；

(2)由題意可知，隨機變量X的可能取值為10(),300,400,

且P(X=100)=LM立」+

33C,t233(根+2)(，〃+l)

?ClCl8m

P(X=300)=-x^r^=

3C〃+23(m+2)(m+l)*

?C24

P(X=400)=-x-^=

3C5+23(加+2)(m+1)'

所以隨機變量X的數學期望,

18，ns八4

￡(X)=100x+300x----------------+400x

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