專題1.30整式的乘除（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點1】同底數冪的乘法法則：（都是正整數）同底數冪相乘，底數不變，指數相加。注意：底數可以是多項式或單項式。【知識點2】冪的乘方法則：（都是正整數）冪的乘方，底數不變，指數相乘；冪的乘方法則可以逆用：即【知識點3】積的乘方法則：（是正整數）積的乘方，等于各因數乘方的積。【知識點4】同底數冪的除法法則：（都是正整數，且同底數冪相除，底數不變，指數相減。如：【知識點5】零指數和負指數；（1），（ɑ≠0）即任何不等于零的數的零次方等于1。（2）（是正整數），即一個不等于零的數的次方等于這個數次方的倒數。【知識點6】科學記數法：如：0.00000721=（第一個非零數字前零的個數）【知識點7】單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式。【知識點8】單項式乘以多項式：根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即(都是單項式)【知識點9】多項式與多項式相乘的法則；多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所的的積相加。【知識點10】單項式的除法法則：單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式。【知識點11】多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，在把所的的商相加。即：【知識點12】整式乘法公式：（1）平方差公式：公式特點：（有一項完全相同，另一項只有符號不同）（2）完全平方公式：逆用：（3）常用變形：【考點目錄】【考點1]冪的運算；【考點2】應用乘法公式化簡求值；【考點3】平方差公式的運用；【考點4】完全平方公式的運用；【考點5】平方差公式與完全平方公式綜合運用；【考點6】乘法公式在幾何中的應用.【考點1]冪的運算；【例1】（2024下·全國·七年級假期作業）計算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）解：（1）原式．（2）原式．【變式1】（2024上·福建福州·八年級福建省福州第一中學校考期末）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘除除法，根據冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘除除法法則進行判斷即可，正確掌握相關運算法則是解題的關鍵．解：、，此選項計算錯誤，不符合題意；、，此選項計算錯誤，不符合題意；、，此選項計算錯誤，不符合題意；、，此選項計算正確，符合題意；故選：【變式2】（2023·上海·七年級假期作業）計算：=．【答案】【分析】先把式子變成同底數，再根據同底數冪相乘法則計算即可．解：故答案為：．【點撥】本題考查了同底數冪相乘的運算法則，解題的關鍵是注意先要將底數化為相同．【考點2】應用乘法公式化簡求值【例2】（2023上·全國·八年級課堂例題）計算：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】本題考查了多項式與多項式的乘法運算，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（1）（2）（3）（4）根據多項式與多項式的乘法法則計算即可．解：（1）．（2）．（3）．（4）．【變式1】（2024上·福建泉州·八年級統考期末）我們知道某些代數恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來解釋．現有三種類型卡片A、B、C，想要拼成如圖所示長方形，則還需要C類型卡片（

）張

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題考查了多項式乘多項式，利用長方形面積公式表示出長方形的面積，即可確定出所求．解：根據題意得大長方形的長為，寬為，所以，面積為：，所以，需要C類卡片5張，故選：C．【變式2】（2023上·湖北荊門·八年級統考期末）已知的展開式中不含項，常數項是，則．【答案】【分析】本題主要考查整式的混合運算，整式中不含某項的運算，掌握整式的運算法則是解題的關鍵．根據多項式乘以多項式展開，再根據不含的項，含項的系數為零即可求解．解：，∵常數項為，∴，∴，∵不含項，∴，∴，∴，故答案為：．【考點3】平方差公式的運用；【例3】（2023上·遼寧大連·八年級校考階段練習）計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據零次冪，同底數冪的除法，負整數指數冪進行計算即可求解；（2）根據冪的乘方積的乘方，平方差公式進行計算即可求解．（1）解：；（2）解：．【點撥】本題考查了零次冪，同底數冪的除法，負整數指數冪的運算，平方差公式等，正確的計算是解題的關鍵．【變式1】（2024上·河北保定·八年級統考期末）下列能用平方差公式計算的是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了平方差公式，正確應用平方差公式是解題關鍵．直接利用平方差公式計算得出答案．解：A、，能運用平方差公式計算，符合題意；B、，不能運用平方差公式計算，故不合題意；C、，不能運用平方差公式計算，故不合題意；D、，不能運用平方差公式計算，故不符合題意；故選：A．【變式2】（重慶市豐都縣2023-2024學年八年級上學期期末數學試題）計算．【答案】【分析】本題考查平方差計算．根據題意先將式子整理成平方差形式，再進行求解即可．解：∵，故答案為：．【考點4】完全平方公式的運用；【例4】（2024上·北京海淀·九年級統考期末）已知，求代數式的值．【答案】8【分析】本題考查了已知式子的值，求代數式的值及完全平方公式，正確變形，整體代入計算即可．解：∵，∴，∴．【變式1】（2024上·寧夏吳忠·八年級統考期末）若是完全平方式，則的值等于（）．A．8 B．4 C． D．4或【答案】D【分析】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．利用完全平方公式的特征即可求出m的值．解：∵是完全平方式，∴，∴．故選：D．【變式2】（2024上·江西宜春·八年級統考期末）已知，，則的值是．【答案】10【分析】本題考查了完全平方公式的變形應用；由完全平方公式變形即可求得結果．解：∵，∴，∴，∴；故答案為：10．【考點5】平方差公式與完全平方公式綜合運用；【例5】（2024上·湖北隨州·八年級統考期末）已知，求代數式的值．【答案】1【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據平方差公式，完全平方公式，多項式乘以單項式的計算法則去小括號，然后合并同類項，再計算多項式除以單項式，最后利用整體代入法代值計算即可．解：∵，∴．【變式1】（2021上·廣東江門·八年級校考階段練習）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據整式的乘法運算，乘法公式（平方差公式，完全平方公式）的運用即可求解．解：、，原選項錯誤，不符合題意；、，原選項錯誤，不符合題意；、，原選項錯誤，不符合題意；、，原選項正確，符合題意；故選：．【點撥】本題主要考查乘法公式的運用，掌握整式的乘法運算，平方差公式，完全平方公式的運算是解題的關鍵．【變式2】（2022上·河南南陽·八年級校考期末）化簡．【答案】/【分析】括號內的部分利用平方差公式變形，再計算除法．解：故答案為：．【點撥】本題考查了整式的混合運算，解題的關鍵是靈活運用平方差公式．【考點6】乘法公式在幾何中的應用.【例6】（2024上·安徽蕪湖·八年級統考期末）（1）下圖中的是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后拼成一個如圖中的所示的正方形．請用兩種不同的方法求圖中的陰影部分的面積．方法：______．方法：______．（2）利用等量關系解決下面的問題：，，求和的值；已知，求的值．【答案】（）；；（），；．【分析】（）可以用大正方形的面積減去個長方形的面積；也可以直接利用小正方形的面積公式得到；（）根據（）的結論代入進行計算即可求解；根據（）的結論代入進行計算即可求解；本題考查了完全平方公式的幾何背景，利用幾何圖形之間的面積關系得到完全平方公式是解題的關鍵．解：（）陰影部分的面積等于大正方形與原長方形的面積差，或小正方形的面積，∵小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，∴；，故答案為：（）①∵，，∴；∵；∴；∵，∴，

∴，∴，∴．【變式1】（2018上·遼寧大連·八年級校聯考期末）如圖：把長和寬分別為a和b的四個完全相同的小長方形（a＞b）拼成的一個“回形”正方形，圖中的陰影部分的面積正好可以驗證下面等式的正確性的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】整體看是一個邊長為（a+b）的正方形，中間的空白是一個邊長為（a-b）的正方形，利用陰影部分的面積等于兩個正方形的面積差計算即可解：∵整個圖形是一個邊長為（a+b）的正方形，中間的空白是一個邊長為（a-b）的正方形，∴陰影部分的面積等于兩個正方形的面積差，∴，故選D．【點撥】本題考查了公式與圖形的面積，準確運用圖形面積之間的關系是解題的關鍵．【變式2】（2023上·天津和平·八年級天津市第二南開中學校考開學考試）如圖，在邊長為a的正方形上裁去邊長為b的正方形．（1）圖1，陰影面積是；（2）圖2是將圖1中的陰影部分裁開，重新拼成梯形，根據圖形可以得到乘法公式；（3）運用得到的公式，計算：