專題1.18完全平方公式（直通中考）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·寧夏·統考中考真題）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023·山東泰安·統考中考真題）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023·山東日照·統考中考真題）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．4．（2023·內蒙古赤峰·統考中考真題）已知，則的值是（

）A．6 B． C． D．45．（2022·江蘇南通·統考中考真題）已知實數m，n滿足，則的最大值為（

）A．24 B． C． D．6．（2011·甘肅天水·中考真題）已知，mn=2，則的值為（

）A．7 B．5 C．3 D．17．（2021·四川廣元·統考中考真題）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．8．（2022·廣西·中考真題）如圖，是利用割補法求圖形面積的示意圖，下列公式中與之相對應的是（

）A． B．C． D．9．（2020·山東棗莊·中考真題）圖（1）是一個長為2a，寬為的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小完全相同的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，則中間空余的部分的面積是（

）

A．ab B． C． D．10．（2020·廣西賀州·統考中考真題）我國宋代數學家楊輝發現了（，1，2，3，…）展開式系數的規律：以上系數三角表稱為“楊輝三角”，根據上述規律，展開式的系數和是（

）A．64 B．128 C．256 D．612填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·江蘇宿遷·統考中考真題）若實數m滿足，則．12．（2023·山東聊城·統考中考真題）如圖，圖中數字是從1開始按箭頭方向排列的有序數陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數字提取出來組成有序數對：；；；；…如果單把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，就會發現其中的規律．請寫出第n個數對：．

13．（2023·四川涼山·統考中考真題）已知是完全平方式，則的值是．14．（2022·黑龍江大慶·統考中考真題）已知代數式是一個完全平方式，則實數t的值為．15．（2022·江蘇泰州·統考中考真題）已知用“＜”表示的大小關系為.16．（2022·山東濱州·統考中考真題）若，，則的值為．17．（2022·四川德陽·統考中考真題）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，則xy=．18．（2021·河北·統考中考真題）現有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖）．（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為；（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片塊．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·江蘇鹽城·統考中考真題）先化簡，再求值：，其中，.20．（8分）（2023·湖南·統考中考真題）先化簡，再求值：，其中．21．（10分）（2022·湖北荊門·統考中考真題）已知x+＝3，求下列各式的值：（1）（x﹣）2； （2）x4+．22．（10分）（2022·河北·統考中考真題）發現兩個已知正整數之和與這兩個正整數之差的平方和一定是偶數，且該偶數的一半也可以表示為兩個正整數的平方和．驗證：如，為偶數，請把10的一半表示為兩個正整數的平方和．探究：設“發現”中的兩個已知正整數為m，n，請論證“發現”中的結論正確．23．（10分）（2022·浙江金華·統考中考真題）如圖1，將長為，寬為的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個正方形．（1）用關于a的代數式表示圖2中小正方形的邊長．（2）當時，該小正方形的面積是多少？24．（12分）（2023·河北·統考中考真題）現有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示．某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形（不重疊無縫隙），如圖2和圖3，其面積分別為．（1）請用含a的式子分別表示；當時，求的值；（2）比較與的大小，并說明理由．參考答案：1．D【分析】根據合并同類項，同底數冪的除法，完全平方公式，積的乘方，逐一計算判斷即可．解：A、，故選項A錯誤；B、，故選項B錯誤；C、，故選項C錯誤；D、，故選項D正確；故選D．【點撥】本題考查整式的運算．熟練掌握合并同類項，同底數冪的除法，完全平方公式，積的乘方法則，是解題的關鍵．2．D【分析】A、不能合并，本選項錯誤；B、利用完全平方公式展開得到結果，即可作出判斷；C和D、利用積的乘方及冪的乘方運算法則計算得到結果，即可作出判斷．解：和不是同類項，不能合并，故A選項錯誤，不符合題意；，故B選項錯誤，不符合題意；，故C選項錯誤，不符合題意；，故D選項正確，符合題意；故選：D．【點撥】此題考查了完全平方公式，合并同類項，同底數冪的除法，積的乘方與冪的乘方，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.3．B【分析】根據整式乘法運算法則及加法法則逐一判斷即可．解：A、，故錯誤；B、，故正確；C、，故錯誤；D、不是同類項，不能合并，故錯誤；故選：B．【點撥】本題考查整式乘法與加法運算法則，熟記基本的運算法則是解題關鍵．4．D【分析】變形為，將變形為，然后整體代入求值即可．解：由得：，∴，故選：D．【點撥】本題主要考查了代數式求值，解題的關鍵是熟練掌握整式混合運算法則，將變形為．5．B【分析】先將所求式子化簡為，然后根據及求出，進而可得答案．解：；∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最大值為，故選：B．【點撥】本題考查了完全平方公式、平方差公式的應用，不等式的性質，正確對所求式子化簡并求出的取值范圍是解題的關鍵．6．C【分析】將完全平方式展開，然后根據（m+n）2=11，mn=2，求出m2+n2的值，再整體代入求解．解：∵（m+n）2=11，mn=2，∴m2+n2+2mn=11，∴m2+n2=11-2mn=11-4=7，∴（m-n）2=m2+n2-2mn=7-4=3．故選：C．【點撥】此題主要考查完全平方式的展開式，解此題的關鍵是學會將（m-n）2進行拆分，然后再整體代入，比較簡單．7．B【分析】分別根據完全平方公式、平方差公式、單項式乘以多項式法則、多項式乘以多項式法則進行計算即可判斷求解．解：A.，原選項計算錯誤，不合題意；B.，原選項計算正確，符合題意；C.，原選項計算錯誤，不合題意；D.，原選項計算錯誤，不合題意．故選：B【點撥】本題考查了整式的乘法運算，乘法公式等知識，熟知乘法公式和整式的乘法法則是解題關鍵．8．A【分析】根據大正方形的面積=邊長為a的正方形的面積+兩個長為a，寬為b的長方形的面積+邊長為b的正方形的面積，即可解答．解：根據題意得：（a+b）2=a2+2ab+b2，故選：A．【點撥】本題考查了完全平方公式的幾何背景，用整體和部分兩種方法表示面積是解題的關鍵．9．C【分析】先求出正方形的邊長，繼而得出面積，然后根據空白部分的面積=正方形的面積-矩形的面積即可得出答案．解：由題意可得，正方形的邊長為（a+b），故正方形的面積為（a+b）2．又∵原矩形的面積為4ab，∴中間空的部分的面積=（a+b）2-4ab=（a-b）2．故選C．【點撥】此題考查了完全平方公式的幾何背景，求出正方形的邊長是解答本題的關鍵．10．C【分析】由“楊輝三角”的規律可知，（a+b）8所有項的系數和為28，即可得出答案．解：由“楊輝三角”的規律可知，展開式中所有項的系數和為1，展開式中所有項的系數和為2，展開式中所有項的系數和為4，展開式中所有項的系數和為8，……展開式中所有項的系數和為，展開式中所有項的系數和為．故選：C．【點撥】本題考查了“楊輝三角”展開式中所有項的系數和的求法，解題關鍵是通過觀察得出系數和的規律．11．【分析】根據完全平方公式得，再代值計算即可．解：故答案為：．【點撥】本題考查完全平方公式的應用，求代數式值，掌握完全平方公式及其變式是解題本題的關鍵．12．【分析】根據題意單另把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，可發現第個數對的第一個數為：，第個數對的第二個位：，即可求解．解：每個數對的第一個數分別為3，7，13，21，31，…即：，，，，，…則第個數對的第一個數為：，每個數對的第二個數分別為5，10，17，26，37，…即：；；；；…，則第個數對的第二個位：，∴第n個數對為：，故答案為：．【點撥】此題考查數字的變化規律，找出數字之間的排列規律，利用拐彎出數字的差的規律解決問題．13．【分析】根據，計算求解即可．解：∵是完全平方式，∴，解得，故答案為：．【點撥】本題考查了完全平方公式．解題的關鍵在于熟練掌握：．14．或【分析】直接利用完全平方公式求解．解：∵代數式是一個完全平方式，∴，∴，解得或，故答案為：或【點撥】本題考查了完全平方公式的運用，熟記完全平方公式的特點是解題的關鍵．15．【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再與0比較大小即可求解．解：由題意可知：，∵，∴，∴；，當且僅當時取等號，此時與題意矛盾，∴∴；，同理，故答案為：．【點撥】本題考查了兩代數式通過作差比較大小，將作差后的結果配成完全平方式，利用完全平方式總是大于等于0的即可與0比較大小．16．90【分析】將變形得到，再把，代入進行計算求解．解：∵，，∴．故答案為：90．【點撥】本題主要考查了代數式求值，完全平方公式的應用，靈活運用完全平方公式是解答關鍵．17．4【分析】根據完全平方公式的運算即可.解：∵，∵+=4=16，∴=4.【點撥】此題主要考查完全平方公式的靈活運用，解題的關鍵是熟知完全平方公式的應用.18．4【分析】（1）直接利用正方形面積公式進行計算即可；（2）根據已知圖形的面積公式的特征，利用完全平方公式即可判定應增加的項，再對應到圖形上即可．解：（1）∵甲、乙都是正方形紙片，其邊長分別為∴取甲、乙紙片各1塊，其面積和為；故答案為：．（2）要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，則它們的面積和為，若再加上（剛好是4個丙），則，則剛好能組成邊長為的正方形，圖形如下所示，所以應取丙紙片4塊．故答案為：4．【點撥】本題考查了正方形的面積公式以及完全平方公式的幾何意義，解決本題的關鍵是牢記公式特點，靈活運用公式等，本題涉及到的方法為觀察、假設與實踐，涉及到的思想為數形結合的思想．19．，【分析】根據完全平方公式和平方差公式展開后化簡，最后代入求值即可．解：當，時，原式．【點撥】本題考查整式混合運算的化簡求值，解題的關鍵是根據完全平方公式和平方差公式展開．20．，24【分析】先展開，合并同類項，后代入計算即可．解：當時，原式．【點撥】本題考查了平方差公式，完全平方公式的計算，熟練掌握兩個公式是解題的關鍵．21．（1）5；（2）47【分析】（1）由＝、＝，進而得到﹣4x?即可解答；（2）由＝可得=7，又＝，進而得到＝﹣2即可解答．（1）解：∵＝∴＝＝＝﹣4x?＝32﹣4＝5．（2）解：∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．【點撥】本題主要考查通過對完全平方公式的變形求值．熟練掌握完全平方公式并能靈活運用是解答本題的關鍵．22．驗證：；論證見分析【分析】通過觀察分析驗證10的一半為5，；將m和n代入發現中驗證即可證明．解：證明：驗證：10的一半為5，；設“發現”中的兩個已知正整數為m，n，∴，其中為偶數，且其一半正好是兩個正整數m和n的平方和，∴“發現”中的結論正確．【點撥】本題考查列代數式，根據題目要求列出代數式是解答本題的關鍵．23．（1）；（2）36【分析】（1）分別算出直角三角形較長的直角邊和較短的直角邊，再用較長的直角邊減去較短的直角邊即可得到小正方形面積；（2）根據（1）所得的小正方形邊長，可以寫出小正方形的面積代數式，再將a的值代入即可．（1）解：∵直角三角形較短的