立體幾何（文）知識(shí)點(diǎn)與大題16道專練（培優(yōu)題）（解析

版）

一.空間幾何體的三視圖

正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；反映了物體的高度和長

度

側(cè)視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖；反映了物體的高度和寬

度

俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖。反映了物體的長度和寬

度

三視圖中反應(yīng)的長、寬、高的特點(diǎn)：“長對(duì)正”，“高平齊”，“寬相等”

二.空間幾何體的直觀圖

斜二測(cè)畫法的基本步驟：①建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系xOy（盡可能使更多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）

②建立斜坐標(biāo)系/尤。丁，使NxOy'=45°（或135°）

③畫對(duì)應(yīng)圖形

在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X'軸，且長度保持不變；

在已知圖形平行于丫軸的線段，在直觀圖中畫成平行于丫,軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?

直觀圖與原圖形的面積關(guān)系：s直觀圖=s原圖形—

三.空間幾何體的表面積與體積

⑴圓柱側(cè)面積；S側(cè)面⑵圓錐側(cè)面積：S側(cè)面=〃〃?/

⑶圓臺(tái)側(cè)面積：S側(cè)面+?/

正三棱錐是底面是等邊三角形，三個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形的三棱錐。

正四面體是每個(gè)面都是全等的等邊三角形的三棱錐。

平面基本性質(zhì)即三條公理

公理1公理2公理3

圖形

語言/rS-/上

如果一條直線上的兩點(diǎn)在過不在一條直線上的三點(diǎn)，有如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公

文字

一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線且只有一個(gè)平面.共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該

語言

在此平面內(nèi).點(diǎn)的公共直線.

符號(hào)Ael,Bel]4,8。不共線=>\CL\B=1

>/ua

語言Aea,Bea\確定平面a

作用判斷線在面內(nèi)確定一個(gè)平面證明多點(diǎn)共線

公理2的三條推論：

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.

二.直線與直線的位置關(guān)系

一共面直線：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。(既不平行，也不相交)

三.直線與平面的位置關(guān)系有三種情況：

在平面內(nèi)一一有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).符號(hào)aUa

相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)符號(hào)aAa=A

平行一一沒有公共點(diǎn)符號(hào)a〃a

說明：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aa來表示

1.直線和平面平行的判定

(1)定義：直線和平面沒有公共點(diǎn)，則稱直線平行于平面；

(2)判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

a(Za

簡記為：線線平行，則線面平行。符節(jié)：bua>=alla

a//b

2.直線和平面平行的性質(zhì)定理：

一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

aa

簡記為：線面平行，則線線平行.符號(hào)：au0>=>ab

a\/3=b

3.直線與平面垂直

⑴定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這條直線和這個(gè)平

面垂直。

⑵判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

簡記為：線線垂直，則線面垂直.

符號(hào):m,nua

mn=A>n/J_a

/_Lm,/n

4.直線與平面垂直

性質(zhì)I：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

aLa

符號(hào):=>ab

bLa

性質(zhì)II:垂直于同一直線的兩平面平行

aVI

符號(hào):nap

推論：如果兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.

符號(hào)語言：a〃b,a±a,=4b±a

四.平面與平面的位置關(guān)系：

平行一一沒有公共點(diǎn)：符號(hào)a〃B

相交---有一條公共直線：符號(hào)aCB=a

1.平面與平面平行的判定

⑴定義：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，稱這兩個(gè)平面平行；

（2）判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

aua,b<za

簡記為：線面平行，則面面平行.上7符號(hào):

b=A-=>a/3

B，b邛.

2.平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它

們的交線平行。

簡記為：面面平行，則線線平行.符號(hào):>=>ab

補(bǔ)充：平行于同一平面的兩平面平行；夾在兩平行平面間的平行線段相等；

兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個(gè)平面平行；

3.平面與平面垂直的判定

⑴定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。

⑵判定定理：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直。

簡記為：線面面垂直，則面面垂直./符號(hào)：/,,|nC,

面面垂直的判定定理

推論：如果一個(gè)平面平行于另一個(gè)平面的一條垂線，則這個(gè)平面與另一個(gè)平面垂直。

4.平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂

直于另一個(gè)平面。

簡記為：面面垂直，則線面垂直./

面面垂直的性質(zhì)定理

證明線線平行的方法

①三角形中位線②平行四邊形③線面平行的性質(zhì)④平行線的傳遞性

⑤面面平行的性質(zhì)⑥垂直于同一平面的兩直線平行；

證明線線垂直的方法

①定義：兩條直線所成的角為90°；（特別是證明異面直線垂直）；②線面垂直的性質(zhì)

③利用勾股定理證明兩相交直線垂直；

④利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；

五：三種成角

1.異面直線成角

步驟：1、平移，轉(zhuǎn)化為相交直線所成角；2、找銳角（或直角）作為夾角；3、求解

注意：取值范圍：（0：90。］.

2.線面成角：斜線與它在平面上的射影成的角，取值范圍：（0，，90，］.

如圖：PA是平面。的一條斜線，A為斜足，0為垂足，0A叫斜線PA在平面。上

射影，NPA。為線面角。

3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面形成的圖形

如圖：在二面角a-/-月中，。棱上一點(diǎn)，OAca,08u6，

且。4，/,03，/,則為二面角a-/-夕的平面角。

取值范圍：（0\180。）￥

六.點(diǎn)到平面的距離：定義法和等體積法

1.在四棱錐尸-A5CD中，平面A3C。，底面四邊形ABC。是邊長為1的正

方形，側(cè)棱與底面成的角是45。，M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).

（1）求證：MN〃平面PAD；

（2）求三棱錐M-P3C的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）—.

12

【分析】

（1）取的中點(diǎn)Q,可證四邊形AAW0是平行四邊形，利用線面平行判定定理即

可證明；

（2）由%"BC=K>-MBC即可求解問題.

【詳解】

證明：（1）取尸￡）的中點(diǎn)Q,連結(jié)QN、AQ,

?.?"是尸。的中點(diǎn)，，。人？〃。，且QN=gc。，

:底面四邊形A5CD是邊長是1的正方形，又〃是A3的中點(diǎn),

/.AMHCD，且AM=-CD,

2

QN//AM,且QN=A",.?.四邊形AMNQ是平行四邊形，

MN//AQ,又AQu磁面PAO，肱V0平面PAD，二MN〃平面QAD.

(2)：PDJ_平面ABCD,NR4D是側(cè)棱與底面成的角，

???NB4O=45°,???△P4。是等腰直角三角形，則QD=AD=L

VPBC=匕MBC=_S&MBC.PD=-----AB-BC=—.

M1V1-rDCr-/WoC3ZA/WDC34]2

【點(diǎn)晴】

方法點(diǎn)晴：等體積轉(zhuǎn)化法是求三棱錐體積的常用方法.

2.如圖，三棱柱A3C—4月￡中，CC]，平面ABC,AB=5,AC=3,

5C=CG=4,〃是CG的中點(diǎn).

(I)求證：BC±AM,

(II)若N是A3上的點(diǎn)，且。V//平面A與”，求5N的長.

【答案】(I)證明見解析；(H)

2

【分析】

(I)可證3CL平面A41clC,從而可得BC,AM.

(II)可證N為A5的中點(diǎn)，從而可得5N的長.

【詳解】

(I)證明：CG，平面A5C，BCu平面平面ABC,二CC1

又AB=5,AC=3,BC=4,AC2+BC2=AB2，即3CLAC.

又A。CG=C,BCJ_平面A41clC,又AMu平面441Gc，??.

(ID過點(diǎn)N作NE//BB1交AB1于點(diǎn)、E，連ME,

由三棱柱43。一4四￡可得3用//。6，二NE//CC]即四邊形NEMC為平面圖形.

又CN〃平面AB]M,CNU平面NEMC,且平面NEMC〕平面AB]M=〃￡,

CN//ME,.??四邊形NEMC為平行四邊形，

NE=CM,更NEHCM,

又點(diǎn)M為CG中點(diǎn)，,CM=gBB[,且CMHBB「：.NE=^BBlt且NE//BB,,

：.BN=-AB=-.

22

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：線面垂直的判定可由線線垂直得到，注意線線是相交的，也可由面面垂直得

到，注意線在面內(nèi)且線垂直于兩個(gè)平面的交線.由線面平行得到線線平行時(shí)，注意構(gòu)造

過線的平面.

3.在三棱錐P-ABC中，G是底面ABC的重心，。是線段PC上的點(diǎn)，且

2PD=DC.

p

D

B

(1)求證：￡>G〃平面R4B；

(2)若△PA3是以融為斜邊的等腰直角三角形，求異面直線。G與必所成角的余

弦值.

【來源】浙江省溫州市十校聯(lián)合體2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

【答案】(1)證明見解析；(2)主叵.

10

【分析】

(1)由重心的性質(zhì)結(jié)合一=—=2得出DG//PM,再由線面平行判定定理證明即

PDMG

可；

(2)由DG〃尸M得出。G與依所成的角為令PA=AB=2,求出MB，

P5的長度，再由余弦定理求出異面直線。G與05所成角的余弦值

（1）證明：連接CG并延長交AB于河點(diǎn),連接R0

：G是，ABC的重心，,2GM=GC

CDCG?

??-----=-------=2,..DG//PM

PDMG

平面E43，0G,平面R45.

DG〃平面R43.

P

B

(2)由(1)可知，DG//PM,所以。G與PB所成的角即為

在直角△B43中，令PA=AB=2,則"3=1,PM=NPA+AM?=布，

PB=2近

PB2+PM2-MB28+5-13/—

在2MB中，由余弦定理cosZMPB=-----------=乙.=—V10.

2PBPM2-2^2-4510

所以異面直線。G與尸5所成角的余弦值為吃河.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：在證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是利用重心的性質(zhì)以及一=—=2,證明

PDMG

DG//PM.

4.如圖所示，在四棱錐尸—ABCD中，AD//BC,AD=3,BC=4,M為線段AD

上點(diǎn)，且滿足AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).

(I)證明：MN〃平面PAB；

(II)設(shè)三棱錐的體積為匕，四棱錐尸-ABCD的體積為匕，求于?

【答案】(I)證明見解析；(II)方=亍.

%/

【分析】

(I)要證明線面平行，需證明線線平行，取的的中點(diǎn)T，連接AT,TN,證明

MN//AT-,(II)利用錐體體積公式，分別求兩個(gè)錐體底面積和高的比值，表示體積

比值.

【詳解】

(I)如圖，取5P的中點(diǎn)T,連接AT,TN.

因?yàn)镹為PC的中點(diǎn)，所以7N//BC,且力V=，BC=2.

2

又因?yàn)锳M=2AD=2,且AZ)〃BC,

3

所以力V〃4M,TN=AM，即四邊形AAWT為平行四邊形，

所以

因?yàn)锳Tu平面R43,MNa平面？A3,所以MN〃平面

(II)設(shè)四棱錐尸—A3CD的高為力，A。與BC間的距離為d.

1117

則匕=gx，xS梯形形⑺=3"5"(3+4)=苫〃,

“1h。1h1.jhd

Vi1——x_xS——x_x_x4u=—

32ABCM3223

因此9=1.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查了線面平行的判斷定理，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算求解能力，不

管是證明面面平行，還是證明線面平行，都需要證明線線平行，證明線線平行的幾種常

見形式，1.利用三角形中位線得到線線平行；2.構(gòu)造平行四邊形；3.構(gòu)造面面平行.

5.如圖,在三棱錐A—BCD中，BC=BD=2,AB=CD=2也,AC=2&AB1BD

(1)證明：平面ABC_L平面ABD.

(2)在側(cè)面AC。內(nèi)求作一點(diǎn)"，使得平面ACD,寫出作法(無需證明)，并

求線段AH的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析，AH=^^-.

5

【分析】

(1)由長度以及勾股定理逆定理可得A3,3c然后根據(jù)線面垂直的判定

定理可得結(jié)果.

(2)取CD的中點(diǎn)E，然后根據(jù)平面ACD的判定定理找到點(diǎn)H，計(jì)算

BE,AE,使用等面積法可得9,最后簡單計(jì)算可得AH.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)锽C=BD=2,AB=CD=26,AC=2不，

所以AB2+BC-=AC2,BD2+BC2=CD2,

則AB_LBC,BD_LBC

因?yàn)锳BBD=B,AB,BDu平面ABD

所以3C_L平面ABD,

又BCu平面ABC所以平面ABC_L平面ABD

(2)解：(作法)取CD的中點(diǎn)E,

連接AE,過3作出垂足H即為要求作的點(diǎn)

如圖

因?yàn)锳B，3D,AB，3c,3Cc3￡>=3,

BC,BD^^BCD,所以AB，平面5cD,

連接BE,則

由(1)知BD工BC,則BE=收，

則AE=7AB2+BE2=M

由等面積法可得BH=垃義巖=/=士叵，

V10V105

故==f2^.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：面面垂直的常用證明方法

(1)平面與平面所成角為90

(2)面面垂直的判定定理即利用線面垂直來得到面面垂直

(3)兩個(gè)平面的法向量互相垂直

6.如圖，圓柱的軸截面ABCD是長方形，點(diǎn)E是底面圓周上異于4,3的一點(diǎn)，AFLDE，

F是垂足.

￡

(1)證明：AF工DB；

(2)若AB=2,AD=3,當(dāng)三棱錐￡>-ABE體積最大時(shí)，求點(diǎn)C到平面的距

離.

【答案】(1)證明見解析；(2)五.

【分析】

(1)根據(jù)題中條件，由線面垂直的判定定理,證明”_L平面DEB；即可推出AF_LDB；

(2)先由題意，得到4物是等腰直角三角形時(shí)，三棱錐O-A3石體積最大，設(shè)點(diǎn)C

到平面￡?￡>的距離為/z,由匕一°BE=%.CBD，根據(jù)等體積法，即可求出結(jié)果.

【詳解】

(1)QEBu平面AEB,二八4，￡3,

QA8是圓柱底面的直徑，點(diǎn)E在圓周上，

:.AE±EB,又=AEu平面DAE,ZMu平面DAE，

.?.BE,平面ZME,

AFu平面ZME,:.EB±AF，

又?.AP_LDE，且班IDE=E,EBu平面DEB,DEu平面。￡B，

.?.AFL平面DEB,DBu平面DEB,

:.AF±DB-,

=xX

(2)VD_AEB~^VAEB\DA^,|-DA|=3,

當(dāng)VD-AEB最大時(shí)，即SVAEB=^\EA\-\EB\最大，

因?yàn)镾VAEB=；EA-E34；但司;怛同，當(dāng)且僅當(dāng)|E4|=|E@相等時(shí)，等號(hào)成立；

即"EB是等腰直角三角形時(shí)，的面積最大；

Q|DA|=3,|的=2,.?.g=行，|DE|=J32+(V2)2=711，

點(diǎn)E到平面ABCD的距離-|ABl=l,

2'1

V

設(shè)點(diǎn)C到平面EBD的距離為h,則VC-DBE=E-CBD，

即工x工x后x&Tx/z二,x工x3x2x1,

3232

解得：/i=^V22.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：

求解空間中點(diǎn)尸到面戊的距離的常用方法：

(1)等體積法：先設(shè)所求點(diǎn)到面的距離，根據(jù)幾何體中的垂直關(guān)系，由同一幾何體的

不同的側(cè)面(或底面)當(dāng)作底，利用體積公式列出方程，即可求解；

(2)空間向量法：先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面a的一個(gè)法向量加，以及

PA-m

平面。的一條斜線所對(duì)應(yīng)的向量Q4,則點(diǎn)P到面。的距離即為d=

H

7.如圖，在三棱柱A5C—451G中，產(chǎn)為AC中點(diǎn).

B

(1)若此三棱柱為正三棱柱，且4人=95,求異面直線A片與BE所成角的大小;

(2)求證：AB"/平面班C.

【答案】(1)60；(2)證明見解析

【分析】

(1)取AG中點(diǎn)E，連接4E,E￡AE,可得B]E//BF,得出NA^E即為異面直線

AB1與8歹所成角，求出即可；

(2)先通過B\EU平面BFC,和AE//平面BFCX得出平面AB.EII平面BFCX,即可證明.

【詳解】

(1)取AC中點(diǎn)E，連接用E,",AE,

;在三棱柱中，E,尸是中點(diǎn)，則麻=的之84,

：.四邊形跳是平行四邊形，B[EHBF,

NA4E即為異面直線A片與BF所成角或其補(bǔ)角，

；三棱柱為正三棱柱，設(shè)底面邊長為2,「.44=Ji41G=2也，

22

則AE=J(20『+F=3,ABX=^(2A/2)+2=273,B、E=$x2=6

…尸12+3-91

cosNAB]石=-----T=—=一,/.NA_B[E=60,

2x2V3xV32

所以異面直線A片與3尸所成角的大小為60;

(2)由(1)可知與E〃5E,&E①平面BFG,BFu平面BFC],

:.B]E〃平面BFC],

E,斤是中點(diǎn)，，￡G=AE，二四邊形A尸CE是平行四邊形，??.AE〃CiP,

AE<Z平面段C，GEu平面段C，.?.AE〃平面9G，

用EcAE=E,.?.平面ABlEH平面BFCX,

AB,u平面AB[E,平面BFC「

彳1

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，

把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

(1)平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

(2)認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

(3)計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它

的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角.

8.在四棱錐尸—ABCD中，ZABC=ZACD=90，ZBAC=ZCAD=60，PAI.

平面ABC。，E為的中點(diǎn)，"為AD的中點(diǎn)，PA=2AB=4.

(1)取PC中點(diǎn)尸，證明：PCJ_平面AEE；

(2)求點(diǎn)。到平面ACE的距離.

【答案】(1)證明見解析；(2)2^/3

【分析】

(1)先證明所//CD,再證明CD,平面陰C,所以PCLCD,因此

從而可得結(jié)論；

(2)設(shè)點(diǎn)。到平面ACE的距離為限利用等體積變換可得

ZJ-AACC?匕E^Ec—ACCZ/D^3--SACiS3從而可得結(jié)果.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)镻C中點(diǎn)P，

在ABC中，AB=2,Z5AC=60,則BC=26,AC=4.

而E4=4,則在等腰三角形APC中，PC,”①.

又在_PCD中，PE=ED,PF=FC,則EF//CD,

因?yàn)槠矫鍭BC。，COu平面ABCD,則B4LCD,

又ZACZ>=90，即ACJ.CD,ACoPA=A,

則CDJ_平面PAC,因?yàn)槭珻u平面上4C,所以尸CLCD,因此母，PC②.

又EFAF=F,由①②知尸Cl.平面AEE；

(2)在火/AACD中，CD=4拒,AC=4,：.SACD=86，

又EMIIPA,K4,平面ABCD,

.?.W,平面ABCD，即石"為三棱錐E—ACD的高，

[7_10_1Q質(zhì)、_、6也

■■VE-ACD^~SACD,EM=18A/3.2=3，

在aACE中，AE=CE=2瓜AC=4,：.SACE^S,

設(shè)點(diǎn)D到平面ACE的距離為h,

則v=v^-S-h=16?,

八」vD-ACEvE-ACD30ACE〃3

.?./?=26，即點(diǎn)。到平面ACE的距離為2TL

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的證明和點(diǎn)面距離的求解，在求解空間點(diǎn)面距離時(shí)，一般采用等體積

法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如本題利用％_ACE=VE-ACO求解.

走進(jìn)高考

9.2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo)I)

如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為

。0上一點(diǎn)，ZAPC=90°.

(1)證明：平面平面協(xié)C；

(2)設(shè)D0=72，圓錐的側(cè)面積為耳,求三棱錐P-ABC的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)如.

8

【分析】

(1)根據(jù)已知可得24=尸5=尸。，進(jìn)而有△24。會(huì)上尸3。，可得

ZAPC=ZBPC=90，即。BLPC,從而證得尸C，平面7^45,即可證得結(jié)論；

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為母線/和底面半徑廠的關(guān)系，進(jìn)而求出底面半徑，由正弦定理，

求出正三角形ABC邊長，在等腰直角三角形APC中求出AP，在KTAPO中，求出

PO,即可求出結(jié)論.

【詳解】

(1)連接。4,。氏。。，Q。為圓錐頂點(diǎn)，。為底面圓心，.?.8,平面ABC,

P在DO上,OA=OB=OC,:.PA=PB=PC,

ABC是圓內(nèi)接正三角形，...AC=3C,APACnPBC,

ZAPC=ZBPC=90°,即PC,PALPC,

PA。5=e,。。，平面248,。。＜=平面上4。，，平面上鉆，平面24。；

(2)設(shè)圓錐的母線為/,底面半徑為廣，圓錐的側(cè)面積為"〃=岳,"=6，

OD-=l2-r=2,解得r=l,/=6，AC=2rsin60=百，

在等腰直角三角形APC中，AP=—AC=—，

22

在RtB4O中，PO=VAP2-OA2=J--1=—

V42

也x旦3=逅

二三棱錐P—ABC的體積為%,=-PO-S.=~x

r—AzB>C3ZLXAZRJCC3

248

D

【點(diǎn)睛】

本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，求錐體的體積，注意空間垂直間

的相互轉(zhuǎn)化，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.

10.2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo)II)

如圖，已知三棱柱ABC-Ai51cl的底面是正三角形，側(cè)面3B1GC是矩形，M,N分別

為BC,31cl的中點(diǎn)，尸為AM上一點(diǎn).過51G和尸的平面交A3于E,交AC于尸.

(1)證明：AAiUMN,且平面平面E31G尸；

兀

(2)設(shè)。為△431G的中心，若AO=AB=6,AO〃平面尸，且NMPN=一,求四

3

棱錐B-EBiCtF的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)24.

【分析】

(1)由",N分別為5C,用。]的中點(diǎn)，MNHCC、,根據(jù)條件可得"http://8耳，可證

,要證平面平面只需證明±平面即可；

MN11AAiEBgF1\AMN,EF\AMN

(2)根據(jù)已知條件求得S四邊形E4GF和M到PN的距離，根據(jù)椎體體積公式，即可求得

?-EB]C[F-

【詳解】

(I)M,N分別為BC,B|G的中點(diǎn)，

MN//BBl

又AA,IIBB,

：.MNHAA^

在等邊,ABC中，河為6C中點(diǎn)，則3c

又?側(cè)面GC為矩形，

BC1BB]

MNHBB、

MN±BC

由M7VcAM=〃，知?7,2471/(3平面44必7

8(7_1_平面4人出

又?B.CJ/BC,且4GZ平面ABC,BCu平面ABC,

.?.AG〃平面ABC

又?.4。1<=平面防。/，且平面E4GPC平面ABC=EF

:.BC、//EF

:.EF//BC

又-5。，平面AAMN

EF_L平面4AMV

EEu平面EBQIF

；.平面EAGRJ,平面AAMN

(2)過M作PN垂線，交點(diǎn)為“，

畫出圖形，如圖

49<=平面44削，平面AAMNc平面E3]C/=NP

AO//NP

又.NO//AP

,AO=NP=6

。為4G的中心.

ON=1^Cjsin60°=1X6Xsin60°=73

故：ON=AP=6，則AM=3AP=3G，

平面EBgF，平面A^AMN,平面石印。/c平面\AMN=NP,

MHu平面AA腦V

??.MH，平面目5iC/

-—EFAP

又?在等邊45c中一=——

BCAM

即所=空型與=2

AM3V3

由（1）知，四邊形為梯形

EF+BC2+6

四邊形EBiG廠的面積為：S四邊形鶴G尸~11?NP=——x6=24

2

?'?VB—EBJGF1<?.h

―=3Q四邊形明G尸〃，

〃為“至UPN的距離MH=26?sin60°=3，

.-.7=1x24x3=24.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了證明線線平行和面面垂直，及其求四棱錐的體積，解題關(guān)鍵是掌握面面

垂直轉(zhuǎn)為求證線面垂直的證法和棱錐的體積公式，考查了分析能力和空間想象能力，屬

于中檔題.

11.2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)III）

如圖，在長方體—中，點(diǎn)E,尸分別在棱。2,BB1上，且2DE=ER,

BF=2FBi.證明:

(1)當(dāng)AB=5C時(shí)，EF±AC；

（2）點(diǎn)G在平面AEE內(nèi).

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】

（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得AC1BD，根據(jù)長方體性質(zhì)得AC1BB｝，進(jìn)而可證AC，平面

3用DQ,即得結(jié)果;

（2）只需證明ECJ/AF即可，在CG上取點(diǎn)〃使得CM=2/G，再通過平行四邊形

性質(zhì)進(jìn)行證明即可.

【詳解】

(1)因?yàn)殚L方體ABCD-ABiG。，所以1平面ABCD：.AC±BBt,

因?yàn)殚L方體ABCD-4B1C1D1,A5=BC,所以四邊形ABC。為正方形，AC±BD

因?yàn)?3JBD=B,BB「3。u平面,因此AC，平面BBQQ,

因?yàn)榧磚平面BBRD，所以AC，EF；

(2)在C￡上取點(diǎn)M使得CM=2MC,，連DM,MF,

因?yàn)?E=2ED,DDJICQ,DDl=CCl以ED=MCV,ED//MCl,

所以四邊形D"GE為平行四邊形，，。〃〃石。］

因?yàn)镸/〃ZM,"尸所以M、F、4。四點(diǎn)共面，所以四邊形AffiA。為平行四

邊形，DM//AF,:.ECJ/AF,所以E、￡、A、四點(diǎn)共面，

因此G在平面AEE內(nèi)

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直判定定理、線線平行判定，考查基本分析論證能力，屬中檔題.

12.2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo)I)

如圖，直四棱柱ABCO-AIiG0的底面是菱形，AAi=4,A3=2,NBAO=60。，E,M,

N分別是5C,BBi,40的中點(diǎn).

DiCi

(2)求點(diǎn)C到平面GDE的距離.

【答案】(1)見解析；

⑵"

17

【分析】

(1)利用三角形中位線和ANUB。可證得〃后4沏，證得四邊形為平行四

邊形，進(jìn)而證得MN//DE,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)題意求得三棱錐G-8E的體積，再求出AGDE的面積，利用

%—CDE=Vc—C[DE求得點(diǎn)C到平面QDE的距離，得到結(jié)果.

【詳解】

(1)連接ME,Be

M,E分別為8及，8。中點(diǎn)為的中位線

MEIRC且ME=g4。

又N為4。中點(diǎn)，且4。〃片。:.ND”B[C且ND=LB、C

一2

■,?MEUND四邊形MNDE為平行四邊形

：.MN//DE,又W平面G°E,OEu平面CDE

.?.肱V//平面GDE

（2）在菱形A3CD中，E為BC中點(diǎn),所以DELBC,

根據(jù)題意有DE=百，CrE=V17，

因?yàn)槔庵鶠橹崩庵杂蠨EL平面3CGA，

所以DELEG，所以SANG=gxGxg,

設(shè)點(diǎn)C到平面QDE的距離為d，

V

根據(jù)題意有％.CDE=C-C<DE，貝I］有！義而'xd=^-X-ixlxV3x4,

3232

44#7

解得1=冬

V1717

所以點(diǎn)C到平面GDE的距離為上叵.

17

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定，點(diǎn)到平面的距

離的求解，在解題的過程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋

找思路，再者就是利用等積法求點(diǎn)到平面的距離是文科生常考的內(nèi)容.

13.2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)H）

如圖，長方體ABC。-431Gzh的底面ABC。是正方形，點(diǎn)E在棱441上，BE±ECu

（1）證明：BE,平面EB1C1；

（2）若AE=AiE,A3=3,求四棱錐E-的體積.

【答案】⑴見詳解；(2)18

【分析】

(1)先由長方體得，4G，平面得到與G_L3E,再由3ELEG，根據(jù)

線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；

(2)先設(shè)長方體側(cè)棱長為2a,根據(jù)題中條件求出。=3；再取8月中點(diǎn)P，連結(jié)政，

證明所，平面5片CC,根據(jù)四棱錐的體積公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】

(1)因?yàn)樵陂L方體ABC。—4耳￡。中，耳￡_L平面A44B；

跖匚平面相片^,所以用G，5E,

又BELECI，BCcECi=G，且EQu平面仍?，與Qu平面EBG，

所以Ml平面EB1G；

(2)設(shè)長方體側(cè)棱長為2a,則AE=4E=。，

2

由(1)可得EBi±BE:所以EB：+BE=BB；,即2BE?=BB；,

又4?=3,所以2AE2+2A*=3歐，即2a2+18=4〃，解得。=3；

取881中點(diǎn)r，連結(jié)所，因?yàn)锳E=AE,則石尸〃⑷5；

所以平面5與C。，

所以四棱錐E-BB?C的體積為

><

%.BB￡C矩形%月,Eb=g3x6x3=18.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面垂直的判定，依據(jù)四棱錐的體積，熟記線面垂直的判定定理，以及四

棱錐的體積公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.

14.2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo)III)

圖1是由矩形和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中

AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60，將其沿AB,8。折起使得助與5尸重合，連

結(jié)DG,如圖2.

(1)證明圖2中的A,C,G,O四點(diǎn)共面，且平面ABC,平面3CGE；

(2)求圖2中的四邊形ACGO的面積.

【答案】(1)見詳解；(2)4.

【分析】

(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦蜛BED,和菱形BEGC內(nèi)部的夾角，所以

AD//BE,5F//CG依然成立，又因E和尸粘在一起，所以得證.因?yàn)锳3是平面

BCGE垂線,所以易證.(2)欲求四邊形ACGD的面積，需求出CG所對(duì)應(yīng)的高，然后

乘以CG即可.

【詳解】

⑴證：AD//BE,BF//CG,又因?yàn)镋和歹粘在一起.

?.AD//CG,A,C,G,D四點(diǎn)共面.

又1AB±BE,AB1BC.

.?.AB，平面BCGE,ABu平面ABC,..?平面ABC1平面BCGE,得證.

(2)取CG的中點(diǎn)"，連結(jié)EM,DM.因?yàn)锳B/ADE,AB_L平面BCGE,所以DEL平

面BCGE,故。E_LCG,

由已知，四邊形BCGE是菱形，且NEBC=60得EMLCG,故CGL平面DEM.

因此DMLCG.

在放△￡)￡川r中，DE=1,EM=6，故DM=2.

所以四邊形ACGD的面積為4.

D