第二章一元二次函數、方程和不等式知識詳解精講溫故知新（一）不等式與不等關系1、應用不等式（組）表示不等關系；不等式的主要性質：(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)加法法則：；(同向可加)(4)乘法法則：；(同向同正可乘)倒數法則：(6)乘方法則：(7)開方法則：2、應用不等式的性質比較兩個實數的大小：作差法（作差——變形——判斷符號——結論）3、應用不等式性質證明不等式例1：1．（2019·浙江·高考真題）若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】本題根據基本不等式，結合選項，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當時，，則當時，有，解得，充分性成立；當時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【點睛】易出現的錯誤有，一是基本不等式掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能靈活的應用“賦值法”，通過特取的值，從假設情況下推出合理結果或矛盾結果.2．（2014·四川·高考真題（文））若則一定有A． B． C． D．【答案】D【解析】【詳解】本題主要考查不等關系．已知,所以，所以，故．故選3．（2022·上海崇明·二模）如果，那么下列不等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】對A,B,C，舉反例判定即可，對D，根據判定即可【詳解】對A，若，則，不成立，故AB錯誤；對C，若，則不成立，故C錯誤；對D，因為，故D正確；故選：D4．（2022·上海交大附中模擬預測）已知，，則下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用不等式的基本性質即可求解【詳解】∵，，∴，則選項不正確；當，時，即，∴和成立，則選項、不正確；∵,∴，∴，則選項正確；故選：.舉一反三1．（2022·江蘇南京·模擬預測）設、均為非零實數且，則下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】取特值說明判斷A，B，C；作差判斷D作答.【詳解】對于A，取，，則，A錯誤；對于B，取，，則，B錯誤；對于C，取，，則，C錯誤；對于D，因，則，即，D正確．故選：D2．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））已知且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設，求出結合條件可得結果.【詳解】設，可得，解得，，因為可得，所以.故選：C.3．（多選）（2022·廣東佛山·模擬預測）下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則【答案】AD【解析】【分析】A．由不等式的性質判斷；B.舉例判斷；C.由判斷；D.作差判斷.【詳解】A．由不等式的性質可知同向不等式相加，不等式方向不變，故正確；B.當時，，故錯誤；C.當時，故錯誤；D.，因為，，，所以，故正確；故選：AD4．（2013·全國·高考真題（文））設滿足約束條件，則的最大值為______．【答案】3；【解析】【詳解】【分析】做出可行域可知，當的時候有最大值3.【考點定位】本題考查線性規劃知識，考查學生的數形結合能力以及邏輯推理能力.（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：設相應的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：二次函數（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根R例2：1．（2015·天津·高考真題（理））設，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求絕對值不等式、一元二次不等式的解集，根據解集的包含關系即可判斷充分、必要關系.【詳解】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A2．（2019·天津·高考真題（文））設，使不等式成立的的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】通過因式分解，解不等式．【詳解】，即，即，故的取值范圍是．【點睛】解一元二次不等式的步驟：(1)將二次項系數化為正數；(2)解相應的一元二次方程；(3)根據一元二次方程的根，結合不等號的方向畫圖；(4)寫出不等式的解集．容易出現的錯誤有：①未將二次項系數化正，對應錯標準形式；②解方程出錯；③結果未按要求寫成集合．舉一反三1．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（文））不等式成立是不等式成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據指數不等式和一元二次不等式的解法解出對應的不等式，結合必要不充分條件的概念即可得出結果.【詳解】解不等式，得，解不等式，得，又，所以不等式成立是不等式成立的必要不充分條件.故選：B.2．（2015·廣東·高考真題（文））不等式的解集為_________．（用區間表示）【答案】【解析】【詳解】由得：，所以不等式的解集為，所以答案應填：．考點：一元二次不等式．2、簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數為正；（2）將每一個一次因式的根標在數軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據曲線顯現的符號變化規律，寫出不等式的解集。例3：1．（2022·天津·一模）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】分別解不等式和，求得它們的解集，看二者的關系，根據其邏輯推理關系，可得答案.【詳解】解不等式，即得；解不等式，即或，解得，由于推不出，也推不出，故“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D舉一反三1．（2022·陜西·武功縣普集高級中學一模（文））使不等式成立的一個充分不必要條件是（

）A．且 B．C． D．【答案】D【解析】【分析】求解已知不等式，從集合的角度，以及充分性和必要性的定義，即可選擇.【詳解】因為，故不等式的解集為且，故不等式成立的一個充分不必要條件所構成的集合應是且的真子集，顯然，滿足題意的只有.故選：D.2．（2022·陜西·咸陽市高新一中高一期中）不等式的解集是_________【答案】或【解析】【分析】將該不等式等價轉化為整式不等式，利用數軸標根法可得結果.【詳解】不等式等價于，利用數軸標根法解得或，即不等式的解集是或，故答案為：或.3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。例4：1．（2022·浙江紹興·模擬預測）設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據分式不等式的解法求的解集，結合充分必要性定義判斷題設條件間的關系即可.【詳解】當時，有或，所以是的充分條件，但不是必要條件.故選：A舉一反三1．（2017·上海·高考真題）不等式的解集為________【答案】【解析】【詳解】由題意，不等式，得，所以不等式的解集為.1．（2022·河南河南·一模（理））若成立的一個充分不必要條件是，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式?分式不等式求得題設條件為真時對應的范圍，再根據條件的充分不必要關系求參數a的取值范圍.【詳解】由，可得：；由，則，可得；∵成立的一個充分不必要條件是，∴，可得.故選：D.（二）基本不等式1．若a,b∈R,則a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時取等號.2．如果a,b是正數，那么變形：有:a+b≥；ab≤,當且僅當a=b時取等號.3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),當且僅當a=b時,a+b有最小值;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),當且僅當a=b時,ab有最大值.注：（1）當兩個正數的積為定值時，可以求它們和的最小值，當兩個正數的和為定值時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．（2）求最值的重要條件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）(根據目標不等式左右的運算結構選用)；（2）a、b、cR，（當且僅當時，取等號）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。例6：1．（2022·上海市嘉定區第二中學模擬預測）若、，且，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據基本不等式計算求解.【詳解】因為、，所以，即，所以，即，當僅當，即時，等號成立.故選：A.2．（2022·全國·模擬預測（文））若實數，滿足，則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】由條件結合基本不等式求的最小值.【詳解】因為，又所以所以，當且僅當，時取等號，所以的最小值為2，故選：C.3．（2022·上海虹口·二模）函數的值域為_________.【答案】【解析】【分析】根據基本不等式即可解出．【詳解】因為，所以，當且僅當時取等號．故答案為：．4．（2022·浙江·杭師大附中模擬預測）已知正數，則的最大值為_________．【答案】【解析】【分析】將分母變為，分別利用基本不等式即可求得最大值.【詳解】（當且僅當，時取等號），的最大值為.故答案為：.舉一反三1．（2022·上海黃浦·二模）若、均為非零實數，則不等式成立的一個充要條件為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式及充要條件的定義判斷即可；【詳解】解：因為、均為非零實數且，所以，因為，，所以，所以，由，可得，，所以，當且僅當，即時取等號，所以不等式成立的一個充要條件為；故選：A2．（2022·青海·海東市第一中學模擬預測（文））已知是圓上一點，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為，所以，即，所以，當且僅當時取等號（），要使盡可能大，則，依題意，所以，所以，當且僅當時取等號．故選：B3．（2022·湖南·金海學校高一期中）若，則的最小值為_____.【答案】【解析】【分析】將式子構造成，即可利用基本不等式，最后驗證取等號的情況，即可得到答案.【詳解】由題，，，當即時，不等式等號成立.故答案為：4．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【詳解】，，當且僅當且，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.5．（2017·山東·高考真題（文））若直線過點，則的最小值為________．【答案】8【解析】【分析】由直線過點，可得，從而有，展開后利用基本不等式可求得其最小值【詳解】解：因為直線過點，所以，因為所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為8故答案為：8【點睛】此題考查基本不等式的應用，利用基本不等式求最值時要注意“一正二定三相等”的條件，屬于基礎題6．（2020·天津·高考真題）已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【解析】【分析】根據已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】，,，當且僅當=4時取等號，結合,解得，或時，等號成立.故答案為：【點睛】本題考查應用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關鍵，屬于基礎題.拓展提升（一）（含參一元二次不等式分類討論） 三個兩次之間的關系含參一元二次不等式常用的分類方法有三種：一、按項的系數的符號分類，即;例1解不等式：分析：本題二次項系數含有參數，，故只需對二次項系數進行分類討論。解：∵解得方程兩根∴當時,解集為當時，不等式為,解集為當時,解集為舉一反三解不等式分析因為，，所以我們只要討論二次項系數的正負。解當時，解集為；當時，解集為二、按判別式的符號分類，即；例2解不等式分析本題中由于的系數大于0,故只需考慮與根的情況。解：∵∴當即時，解集為；當即Δ＝0時，解集為；當或即,此時兩根分別為，，顯然,∴不等式的解集為舉一反三解不等式解因所以當，即時，解集為；當，即時，解集為；當，即時，解集為R。變式：解關于的不等式：三、按方程的根的大小來分類，即；例3解不等式分析：此不等式可以分解為：，故對應的方程必有兩解。本題只需討論兩根的大小即可。解：原不等式可化為：，令，可得：∴當或時，，故原不等式的解集為；當或時，,可得其解集為；當或時,,解集為。舉一反三例6、若關于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍。（【解析】不等式可化為(4－a)x2－4x＋1＜0①，由于原不等式的解集中的整數恰有3個，所以，解得0＜a＜4，故由①得，又，所以解集中的3個整數必為1,2,3，所以3＜≤4，解得＜a≤拓展提升（二）（含參一元二次不等式恒成立問題）“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數、三角、幾何等內容有機地結合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數與方程”、“化歸與轉化”、“數形結合”、“分類討論”等數學思想對鍛煉學生的綜合解題能力，培養其思維的靈活性、創造性都有著獨到的作用。本文就結合實例談談這類問題的一般求解策略。

一、判別式法若所求問題可轉化為二次不等式，則可考慮應用判別式法解題。一般地，對于二次函數,有1）對恒成立;2）對恒成立例1：若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應用上面的結論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數含有參數m，所以要討論m-1是否是0。（1）當m-1=0時，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；（2）時，只需，所以，。舉一反三1．已知關于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】當時，不等式顯然成立；當時，由題意有，求解不等式組即可得答案.【詳解】解：當時，恒成立，符合題意；當時，由題意有，解得，綜上，.故選：B.二、最值法將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1）恒成立2）恒成立例2、若時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：設，則問題轉化為當時，的最小值非負。當即：時，又所以不存在；當即：時，又當即：時，又綜上所得：舉一反三關于的不等式在內有解，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據不等式有解可得當時，，結合二次函數的最值可求得結果.【詳解】在內有解，，其中；設，則當時，，，解得：，的取值范圍為.故答案為：.三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍。這種方法本質也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1）恒成立2）恒成立例3、已知時，不等式恒成立，求的取值范圍。例11解：令，所以原不等式可化為：，要使上式在上恒成立，只須求出在上的最小值即可。舉一反三若時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】.【解析】【分析】根據給定條件，等價變形不等式，構造函數，借助基本不等式計算作答.【詳解】對于任意的，不等式，即，因此，對于任意的，恒成立，當時，，，當且僅當，即時取“=”，即當時，取得最小值4，則，所以實數的取值范圍是.四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數變量進行“換位”思考，往往會使