證明舉例

內容分析

幾何證明是八年級數學上學期第十九章第一節內容，主要對演繹證明和命題、

公理、定理的概念進行講解，重點是真假命題的判定，難點是改寫出已知命題.通

過這節課的學習一方面為我們后面學習垂直平分線和角平分線等幾何內容提供

依據，另一方面也為后面學習直角三角形性質奠定基礎.

知識結構

模塊一：演繹證明

知識精講

1、演繹證明的概念

演繹證明：演繹推理的過程就是演繹證明.也就是說演繹證明是指：從已知的概念、條

件出發，依據已被確認的事實和公認的邏輯規則，推導出某結論為正確的過程.

演繹推理是數學證明的一種常用的、完全可靠的方法.演繹證明是一種嚴格的數學證明,

是我們現在要學習的證明方式，筒稱為證明.

班假暑級年八

【例1】填空：

（1）如圖，因為/1=60。（已知），N2=60。（已知），

所以//__________（）.

（2）如圖，因為A5//CD（已知），

所以+ND=（）,

因為AD//BC（已知），

所以ZL4+=（）,

【答案】（1）。，b,內錯角相等，兩直線平行；（2）180°,兩直線平行，同旁內角互補;

Zfi,兩直線平行，同旁內角互補；D,B,同角的補角相等.

【解析】略

【總結】考查有關平行線的性質和判定定理的掌握.

【例2】已知：如圖，△ABC中，AB=AC,是外角/CAE的平分線.

求證：ADUBC.

【答案】略

【解析】證明：?.?AB=AC,

:.ZB=NC

?.?NG場是的外角，

:.ZCAE=ZB+ZC

ZB=ZC=-ZC4E

2

4）是NC4E的角平分線,

NDAE=ZCAD=-ZCAE

2

：.ZDAE=ZB:.AD//BC

【總結】考查平行線的性質和判定，先判定平行再應用平行線的性質.

【例3】已知：如圖，于。，EF1.BC于F,交E5_LBCAB于G,交C4延長

線于E,Z1=Z2.

求證：AO平分NB4C,填寫分析和證明中的空白.

分析：要證明AD平分NBAC,只要證明=,

而已知N1=N2,所以應聯想這兩個角分別和N1=N2的關系，由已知BC的兩條垂線可

推出____//.，這時再觀察這兩對角的關系己不難得到結論.

證明：ADVBC,EFA.BC（已知）

//（）,

（兩直線平行，內錯角相等），

=（兩直線平行，同位角相等），

__________（已知），

即AD平分N84c（）.

【答案】ZBAD，NC4￡＞，EF,ADxEF,AD?垂直于

同一直線的兩直線平行；ZBAD,Zl,ZCAD,Z2；

N1=N2,ZBAD=ZCAD，角平分線的定義.

【解析】略

【總結】分析過程考查證明題的逆推法思想，證明過程利用相

關平行線的性質和判定，先判定再應用相關性質.

模塊二：命題、公理、定理e

⑥）知識精講

1、命題：能界定某個對象含義的句子叫作定義；對某一件事情做出判斷的句子叫作命題；

其判斷為正確的命題叫作真命題；其判斷為錯誤的命題叫作假命題.

數學命題通常由假設、結論兩部分組成，可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”

開始的部分是題設，“那么”開始的部分是結論.

班假暑級年八

2、公理：人們從長期的實踐中總結出來的真命題.它們可以作為判斷其他命題真假的原始

依據.

3、定理：從公理或其他真命題出發，用推理方法證明為正確的，并進一步作為判斷其他命

題定理真假的依據，這樣的真命題叫做定理.

例題解析

【例4】判斷下列語句是不是命題？

（1）畫NAO3的角平分線；

（2）兩條直線相交，有幾個交點？

（3）直角大于銳角；

（4）直角大于鈍角；

（5）今天可能要下雨；

（6）幾何多有樂趣啊！

【答案】（1）（2）（5）（6）不是命題：（3）（4）是命題

【解析】命題是對某一件事情做出判斷的句子，由此可知只有（3）（4）是可以判斷正誤的

句子，即命題.

【總結】考查命題的定義，能判斷一個句子是否是命題.

【例5】判斷下列命題的真假.

（1）平行于同一條直線的兩直線平行；

（2）垂直于同一條直線的兩直線平行；

（3）同角的余角相等；

（4）異號的兩數相加得負數：

（5）乘積為1的兩個數互為倒數.

【答案】（1）（2）（3）（5）是真命題；（2）（4）是假命題

【解析】判斷為正確的命題叫做真命題，判斷為錯誤的命題叫做假命題，正確的是（1）（3）

（5）,由此可知即為真命題，（2）（4）為假命題，注意（2）需直線在同一平面內方可

成立.

【總結】考查真假命題的判定，根據常見的公理定理以及定義性質等進行判斷，正確的命題

即為真命題.

【例6】下列描述不屬于定義的是().

A.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

B.正三角形是特殊的三角形；

C.在同一平面內三條線段首尾相連得到的圖形是三角形；

D.含有未知數的等式叫做方程.

【答案】B

【解析】能界定某個對象含義的句子叫做定義，ACD都可判定，只有B不能判定正三角形

是何種特殊類型的三角形.

【總結】考查定義的含義，并能判定一個句子是否是定義.

【例7】把下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式：

(1)直角三角形的兩個銳角互余；

如果，那么;

(2)角平分線上點到角兩邊的距離相等；

如果，那么；

(3)線段垂直平分線上點到線段兩端點的距離相等；

如果,那么.

【答案】(1)一個三角形是直角三角形，這個三角形兩個銳角互余；

(2)一條射線是一個角的角平分線，這條射線上的點到角兩邊的距離相等；

(3)一條直線是一條線段的垂直平分線，這條直線上的點到線段兩端點的距離相等.

【解析】略

【總結】考查命題的“如果……，那么……”形式的改寫，注意在改寫過程中添加適當的輔

助語，使得題目表意清晰完整，注意對相關命題前提的理解和深化.

【例8】舉出下列假命題的反例：

(1)兩個角是銳角的三角形是銳角三角形；

(2)相等的角是對頂角；

(3)一個角的補角大于這個角；

(4)若片〉/^,則

(5)若已知直線b、c,若b±c,貝!laJLc.

班假暑級年八

【答案】答案不唯一，以下是幾個例子

【解析】(1)任意三角形中至少有兩個角為銳角，取三角形兩內角分別為30。，40°,則第

三個內角為110。，該三角形是鈍角三角形；

(2)對頂角必有公共頂點，且角的兩邊互為反向延長線，兩直線平行，此時取一對同位角，

可知這對同位角相等，不為對頂角；

(3)取一角大小為110。,則這個角補角180。一110。=70。＜110。；

(4)取a=T,b=-2,此時/＜從；

(5)同一平面內，al.b16_Lc,則有a//c.

【總結】假命題的反例，需對命題所涉知識點進行分析，找準題目考查的知識內容，結合知

識點的理解，即可進行舉例.

【例9】下列說法中，正確的是().

A.命題一定是正確的：B.不正確的判斷就不是命題；

C.公理都是真命題；D.真命題都是定理.

【答案】C

【解析】根據命題的定義，命題是對某一件事情做出判斷的句子，判斷正確的是真命題，判

斷錯誤的是假命題，由此可知AB錯誤，公理是人們從長期實踐中總結出來的真命題,

可知C正確，真命題且可用來推導其它命題正確與否的命題是定理，可知D錯誤.

【總結】考查命題、公理、定理的定義和相互關系，公理和定理一定是真命題，但真命題不

一定是定理或公理.

【例10】下列命題是假命題的是().

A.有兩角及其中一角的角平分線對應相等的兩個三角形全等；

B.有兩角及其中一角的對邊上的高對應相等的兩個三角形全等：

C.有兩邊及其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等；

D.有兩邊及其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等.

【答案】C

【解析】三角形中，兩角確定，第三個角大小也可確定，即三角形形狀固定，加上一條邊上

的高或角平分線可確定三角形，可知AB正確；“倍長中線法”可證明D選項圖形唯一

確定，對于C選項，三角形形狀有銳角三角形和鈍角三角形的差別，可作出不止一種

圖形，可知C錯誤.

【總結】考查全等三角形判定的拓展延伸，只要根據三角形的邊角關系對應確定即可.

模塊三：證明舉例

例題解析

【例11】已知：如圖，在AABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點。，點E在AC上,

CE=BC,過E點作AC的垂線，交8的延長線于點F.

求證：AB=FC.

【答案】略

【解析】證明：?.?￡F_LAC,CDA.AB

:.NF+NFCE=90。,ZA+ZFC￡,=90°

,-.Z4=ZF

-.-zS4CB=ZCEF=90°,CE=BC

:.^ABC^\FCE

AB=FC

【總結】垂直較多的圖形中，根據同角（或等角）的余角相等易得到相等角，進而可證全等.

【例12]如圖，已知ABC中，ZACB=90。，CD_L/W于。，AE為NA的角平分線,

交CD于E,過E作BC的平行線，交于點F.

求證：AF=AC.

【答案】略

【解析】證明：?.,NACB=90。，CD1AB

:.ZACD+ZBCD=90°,NB+N8C￡>=90°

:.ZACD=ZB

?;EFIIBC

：.ZDFE=ZB

:.ZACD=ZDFE

班假暑級年八

???AE是NA的角平分線，.\ZCAE=ZDAE

\AE=AE

:.\CAE=\FAE

:.AF=AC

【總結】考查等角的余角相等知識點，結合相關平行線的性質證角相等證全等即可.

【例13】已知：如圖，AB=CD,AD=BCfAE=CF.

求證：ZE=ZF.

【答案】略

【解析】證明：連結AC,

?.AB=CD,AD=BC,AC=AC

:.^ABC^\CDA

.-.ZB=ZD

?.?AB=CD,AE=CF

.\AB+AE=CD+CF,即BE=DF

\AD=BC

MCE=AZMF

.\ZE=ZF

【總結】考查全等三角形的判定條件，在合適的知識體系條件下進行應用，不能應用平行四

邊形知識證明.

【例14]如圖，四邊形中，DE平分NADC,交AB于點E,NBGC=NGBC，

8G平行即交4）延長線于點P.

求證：AD//BC.

【答案】略

【解析】證明：平分/MQ,

:.ZADC=2^EDC

-,-BG//ED

:.ZEDC=ZBGC

ZBGC=NGBC,

ZADC=2NBGC=NBGC+NGBC

ZBGC+NGBC+ZC=180°

.\ZAZX?+ZC=180°

ADIIBC

【總結】考查平行線的性質和判定，經常可以跟三角形的內角和180。結合起來.

【例15]如圖，已知“IBC中，。是邊3c的中點，E、F分別在邊A3,AC上，且

EF//BC,ED=FD.

求證：ZAEF=ZAFE，

【答案】略

【解析】證明：???

:.ZFED=ZEFD

EFIIBC

:.ZFED=ZEDBfZEFD=ZFDC

ZAEF=&ZAFE=NC

.\ZEDB=ZFDC

???ED=FD,BD=DC

:ZDB三"DC

.,./B=NC

ZAEF=ZAFE

【總結】考查平行線的性質，結合全等三角形可以進行相互關聯得到相關邊角關系.

【例16]如圖，點。是AB上的一點，在的同旁做等邊小。。和等邊AE與

8交于點M,BD與CE相交于點、N.

求證：CM=CN.

【答案】略

【解析】證明：?.?AACO和ABCE是等邊三角形,

:.AC=CD,BC=CE,ZACD=/BCE="。

/.ZDCE=60°,ZACE=ZDCB=120°

:2CE三XXJB

.\ZCAE=ZCDB

結合NACM=NDCE=60。，AD=CD

:.\\CM三bDCN

:.CM=CN

【總結】考查等邊三角形中的旋轉平移，會產生全等三角形，先判定再應用相關性質.

班假暑級年八

【例17]如圖，已知在“LBC中，AZZ平分N8AC,BE//AD,交C4延長線于點石，F

是防的中點.

求證：AFVBE.

【答案】略

【解析】證明：???4）平分NB4C,

:.ZBAD=ZCAD

\'BEIIAD

"BAD="BA^CAD=Z.E

:.ZFBA=ZE

:.AE=ABC

???F是BE的中點，

s.AFLBE

【總結】考查平行線和角平分線一起會產生等腰三角形的基本圖形，注意對基本圖形的分離

和等腰三角形性質的應用.

【例18]如圖，已知5石、CE是AABC的高，且.

.求證：APYAQ.

【答案】略

【解析】證明：???6￡、C尸是△ABC的高，

.\ZAFC=AEB=90°

.?.ZMC+ZACr=90。，ZE4C+ZAB￡=90°

:.ZACF=ZABE

?/BP=AC,CQ=AB

:.^AQC^\PAB

ZBAP=ZQ

???NQ4b+NQ=90。

/.Z0AF+ZBAP=9O°,即NQA尸=90。，得證AP_L4Q.

【總結】考查同角的余角相等的知識點，即“子母三角形”基本圖形.

【例19]如圖所示，問Nl、N2、N3、N4要滿足什么條件可以證明AB||CD?

【答案】N2+N3=N1+N4

【解析】過點E作射線EM//A3,過點尸作射線

FN//CD

則有Nl=Nfi￡M,N4=N/VFC,

?/Z2-Z1=Z3-Z4

:.ZMEF=ZEFN

s.EMUFN

:.AB//CD

【總結】考查平行線的基本性質，在“Z”字型平行線間角的等量關系.

【例20]已知：如圖所示，AB=AC,ZA=90°,AE=CF9BD=DC.

求證：FDLED.

【答案】略

【解析】證明：連結4),

???AB=AC,ZBAC=90°

/.ZB=ZC=45°

???BD=CD

.\AD±BC,BPz64T)C=90o

/./.BAD=Z.CAD=-ABAC=45°

2

:.CD=AD

?：AE=CF

.\MED=ACFD

ZADE=ZCDF

ZADE+ZADF=ZADF+ZCDF=90°即

【總結】考查等腰直角三角形斜邊上的高把三角形分成兩個全等的小等腰直角三角形，結合

相關條件可分割成全等的兩個部分.

班假暑級年八

【例21]如圖，已知銳角A/WC,分別以8C、84為一直角邊,皆以8為直角頂點，向

△ABC內側作等腰ABCD和延長0A、EC,交于點尸.

求證：DFVEF.

【答案】略

【解析】證明：?.?N/MC=NABE=90。

ZDBC-ZABC=ZABE-ZABC,B|JZDBA=NCBE

.AB=BE,DB=BC

ADBA=ACBE

:"DAB=/CEB

.?./CEB+NBAF=/DAB+ZBAF=180°

vZABE=90°

:.ZF=3600-ZCEB-ABAF-ZABE=900

即。尸_L斯

【總結】考查等腰直角三角形的旋轉變形，兩個等腰直角三角形疊加會產生全等三角形，先

全等判定再應用性質.

【例22]如圖，已知。、E兩點分別在AB、AC上，AD=AE,BD=CE,BE、CD交

于點F.

求證：FB=FC.

【答案】略

【解析】證明：=BD=CE,

：.AD+DB=AE+CE,BPAB^AC

-,-AD=AE,ZA=ZA

AAB￡=AACD

.,.NB=NC

???BD=CE,ZDFB=ZEFC

ADFB=AEFC

:.FB=FC

【總結】考查全等三角形的判定和性質，結合題意，發現題目中的全等三角形往往不止一對.

12/22

【例23]如圖所示，在AA5c中，AB=2AC,。是鉆的中點，E是AD的中點.

求證：BC=2CE.

【答案】略

【解析】證明：延長所到F,使EF=CF,連結￡>F,

.AE=DE,ZAEC^ZDEF

AAEC=ADEF

:.ZA=&DE,AC=DF

\AB=2AC9AD=DB

:.BD=AD=AC=DF

:,ZADC=ZACD

，ZBDC=ZA+ZACD=NFDE+ZADC=NFDC

\CD=CD

.?.&CFD3ACBD:.BC=FC=2CE

【總結】''倍長中線法”構造全等三角形可將線段或角轉移到全等或一個圖形中.

隨堂檢測

【習題1】命題“互余的兩個角一定是銳角”是命題（填“真”或"假”）.

【答案】真

【解析】根據互余的定義，兩個角和為90。即為互余，且角都為正值，可判斷出兩個角大小

都在0。到90。之間，即為銳角.

【總結】定義均為真命題，本題考查互余的定義.

【習題2】下列命題中，是真命題的有（）.

A.兩銳角之和是銳角B.鈍角減去銳角得銳角

C.鈍角大于它的補角D.銳角小于它的余角

【答案】C

【解析】根據補角的定義，可知鈍角的補角是銳角，由此可知鈍角大于它的補角，C正確，

為真命題，ABD選取合適的角度均可找到反例，都為假命題.

【總結】考查關于角的互余和互補的相關概念，抓住概念，即可得出相關命題真假，若有反

例則為假命題.

班假暑級年八

【習題3】將下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式：

（1）同角的余角相等；

（2）直角都相等；

（3）對頂角相等；

（4）在一個三角形中，等角對等邊.

【答案】（I）如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等；

（2）如果有一些角是直角，那么它們都相等：

（3）如果兩個角互為對頂角，那么它們相等；

（4）在一個三角形中，如果有兩個相等的角，那么這兩個角所對的邊相等.

【解析】略

【總結】考查命題的“如果……，那么……”形式的改寫，注意在改寫過程中添加適當的輔

助語，使得題目表意清晰完整，注意對相關命題前提的理解和深化.

【習題4】求證“三角形內角和等于180。”，并說明其中的因果關系.

【答案】略

【解析】證明：如圖，延長到點。，過點C作

射線CE7/A8,

-.-CE//AB（己知）

.-.ZB=Z￡CD（兩直線平行，同位角相等）

ZA=ZACE（兩直線平行，內錯角相等）

ZACB+ZACE+AECD=180°（平角定義）

.?.NA+ZB+448=180。（等量代換）

【總結】三角形內角和的證明過程需進行記憶，充分利用平行線的相關性質即可進行證明和

理解應用.

【習題5】已知：四邊形ABCZ）中，AD\\BC,E是線段10c的中點，AE是NBA。的

平分線.

求證：BE是NABC的平分線.

【答案】略

【解析】證明：延長AE與8C的延長線交于點F,

-.■ADHBC

:.ZDAE=ZF

\DE=CE,ZAED=ZCEF

:,MDE三,CE

:,AE=EF

?.?AE是NSW的角平分線，

:.ZBAE=ZDAE=ZF

:.AB=BF

\-AE=EF

BE是ZABC的角平分線.

【總結】考查“倍長中線法”結合平行線證等腰三角形，再結合等腰三角形的性質可以證明

一系列的結論.

【習題6]如圖，己知：在△ABC中，AD平分N8AC,BD=CD.

求證：AB=AC.

【答案】略

【解析】證明：延長4）到使。￡=">,連結CE,

?,BD=CD,ZADB=/CDE

:.N\BD=^ECD

:.ZBAD=ZEfAB=CE

???AD平分々AC

/CAD=/BAD=NE

/.AC=CE

.\AB=ACE

【總結】注意，邊邊角不能用來證明全等，在這個題目里面根據中點“倍長中線”構造全等

三角形即可.

【習題7】如圖，已知，是△ABC的角平分線，ZC=2ZB,將△43C沿直線翻

折，點C落在的七處.試判斷△￡?￡）的形狀，并加以證明.

【答案】△￡?￡＞等腰三角形

【解析】證明：?.,AA￡D是AACD翻折形成,

即得AAC。=AA￡D

D

B

班假暑級年八

.\ZAED=ZC

???ZC=2ZB9

??.ZA￡L>=2Zfi=ZEDS+ZB

:.ZB=ZEDB

：.BE=DE

即證△￡1班）是等腰三角形.

【總結】翻折問題，翻折前后兩個三角形始終保持全等不變.

【習題8]如圖，已知C4J_AB,￡:為AB上一點，CE平分NACO,DE平分NCDB,

ZCED=900.

求證：AB1DB.

【答案】略

【解析】證明：?.?NCEE>=90。，

/.ZECD+Z￡DC=90°

?：CE平分ZACD,DE平分NCDB,

/.ZACD+/CDB=2/ECD+2ZEDC=180°

/.AC//BD

\CA±AB

:.ABLDB

【總結】反推思想證明題可知證上下底邊平行即可,根據角平分線即可快速得出結論.

【習題9】己知：如圖，AABC中，ZC=90°,AC=BC,AD=DBfAE=CF.

求證：DE=DF.

A

【答案】略

【解析】證明：連結8,

?.?AC=8GZBG4=90°

:.ZA=ZB=45°

???AD=DB

:.CD1.AB

ZACD=/BCD=-ZBCA=45°

2

:.CD=AD

\AE=CF

:.MEDwACFD

:.DE=DF

【總結】考查等腰直角三角形斜邊上的高把三角形分成兩個全等的小等腰直角三角形，結合

相關條件可分割成全等的兩個部分.

課后作業

【作業1】下列語句中，正確的是（）.

A.相等的角是對頂角；

B.三角形的兩銳角互余；

C.判定兩個三角形全等，至少需要一對邊相等；

D.面積相等的兩個三角形全等.

【答案】C

【解析】對頂角必須是有公共頂點且角的兩邊互為反向延長線的角，A錯誤；互余是兩角相

加和為90。，只有直角三角形兩銳角互余，B錯誤；全等判定定理中，都至少包含一條

邊，C正確；面積相等，底和高可能都不相等，不一定全等，D錯誤.

【總結】考查三角形中一些基本知識和相關定理的認識.

【作業2】把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，并指出這個命題的題設和結

論.

（1）對頂角相等；

（2）同位角相等，兩直線平行；

（3）同角的余角相等.

【答案】（I）如果兩個角互為對頂角，那么它們相等；

（2）一條直線截另兩條宜線形成一對同位角，如果這都同位角相等，那么被截的兩條直線

平行；

（3）如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等.

【解析】略

【總結】考查命題的“如果……，那么……”形式的改寫，注意在改寫過程中添加適當的輔

助語，使得題目表意清晰完整，注意對相關命題前提的理解和深化.

班假暑級年八

【作業3】如圖，已知：△A8C中，NB=2NC,BC=2AB.

求證：ZA=90°.4

【答案】略

【解析】證明：作N/3C的角平分線BD交AC

于點D,作DELBC交BC于E,

???ZABC=2ZDBE=2ZCE

:2DBE=/C

:.BD=DC

..BE=CE=-BC

2

???BC=2AB

：.AB=BE

?.ZABD=NEBD,BD=BD

.-.AABD^AEBD

.\ZA=ZB￡D=90°

【總結】考查30。,60。,90。角的直角三角形問題，注意本題中不能通過取中點證明.

【作業4】已知：如圖，Z1=Z2,AB>AC.

求證：BD>DC.

【答案】略A

【解析】證明：在AB上截取AF=AC,連結。尸,

vZl=Z2,AD=AD

:.^ADF=^ADC

.\ZADC=ZADF,DF=DC

vZA￡>C=Zl+ZB

NBFD=N1+ZADF=2N1+NBBC

.\ZBFD>ZB

:.BD>DF=DC

【總結】本題應用“大角對大邊”知識點，或通過延長AD作AB平行線也可證，但會應用

到相似三角形知識點.

BE是ZCBA的角平分線，

：.AE=EF

-.-ZAED^ZCEF

:.^ADE=\FCE:.AD=CF

:.AB=BF=BC+CF=AD+BC

【總結】考查“倍長中線法”結合平行線證等腰三角形，再結合等腰三角形的性質可以證明

一系列的結論.

【作業6】已知：AB=AC,ZA=108°,Z1=Z2.

求證：BC=AB+CD.A

【答案】略

【解析】證明：在3c上截取=

連結。

???N1=N2,BD=BD

/.Z\AB￡)=AEBD

:.AB=BE,ZBED=ZA=WS°

vZA=108°,AB=AC

ZABC=ZC=36°

由N3ED=108。，可得NEDC=108。，故NE￡)C=72。

班假暑級年八

:.CE=CD

..BC=BE+CE=AB+CD

【總結】考查“倍角三角形”中的角平分線分三角形為等腰三角形，由此可得線段之間的等

量關系.

【作業7】如圖，已知：在四邊形ABC。中，AB//CD,班:平分NA3C,AB+CD=BC.

求證：CE平分NBCD.

【答案】略

【解析】證明：在3c上截取M=AB,

連結。尸，

?.ZABE=/CBE,BE=BE

:.^ABE=/^FBE

:.ZA=ZBFE

ABIICD

/.ZA+ZEZX?=180°

-.?ZBFE+ZEFC=180°

..Z￡DC=ZEFC

???BC=AB+CD=BF+CF,AB=BF

:.CD=CF

/CFD=/CDF

:.ZEFD