2023年四川省成都市統招專升本高數自考

真題（含答案）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（20題）

1.

設積分曲線L為.i+v=4,則對弧長的曲線積分電1）&=（

A.8KB.10nC.12nD.147r

2.

.微分方程單+2”=e4滿足y（0）=0的特解為（）

A.y=_re"'B.y=—j-e-J

C.y=2xe~r'D.y=-2xe~r

3.

與向量（2,1.2｝同向的單位向量是（

.（2I2）122■,

，可1■司u（亍司

r.i212,（122）

4.

y=x—cos.r（0《i《/）的拐點為（

。信量）D.不存在

5.

f54A

已知矩陣A=.則|(AB)-1|=）

17

B-n7D4

6.

211'

312的逆矩陣Af=().

1-10

111i

-1一工7177

11

A.1B.1-1

一"2

w2

-277-2T

11

7i7

1

C.1D.1

T一2-7

-2g-22

T一"7一2

7.

由方程=限心確定的隱函數/=的導數表=

)

c.xyD??三

8.

%

lim.r2(1—cos()

A—B.--j-c.oD.CO

,2

9.

21+3.7V1,

函數1/（.r）=v2,x=1?則lim/(.r)為()

1

,-1.?>1.

A.OB.2C.5D.不存在

10.

函數f（r）=1十arcsin：在其定義域內是（）

A.奇函數B.偶函數C.周期函數D.有界函數

11.

微分方程.rdv+di=e*dr的通解為()

A.y=Gre'B.y=W+C

C.y=—In(1+0)D.y=—ln(l+x)+C

12.

函數kI,在（I」,內()

A.單調增加B.單調減少C.有極大值D.有極小值

13.

設/(4)則，(/)=

()

〃/+5r

、6.rp7+5.r~「3.r[i6.r

28/+56.r281+57+5〉

14.

40^lim/(=e.limg(1)=2.則必有()

''k\.

A.lim「fix)+g(.r)1=ooB.一《(/)[=0

一'”‘一.；"

C.lim———7—r=0D.Q)為非零常數)

■?<?JCr)+g(J)…,，

15.

設函數/(x)=+3D九貝U/Cr)=

r-*i>

A.e"+3ie"B.eij-3ie"

C.3.reljD.e—-3.re-3'

16.

下列行列式不等于零的是

123123

A.111B.222

—0.8-0.8-0.80.51.52.5

153一11-1

C.121D.4一12

0.542.512一5

17.

曲線》，=公）的拐點為()

B.(2.—e2)C.(2，)D.(2.一J)

?N)e

18.

一心+1

工#1,

已知函數/(“?)=?-1'-1則在點z=1處,下列結論正確的是（

2,h=1,

A.a=2時./(#)必連續B.a=2時JQ）不連續

C.a=—1時?/(、丁)連續D.a=1時?/（了）必連續

19.

若函數/(/)滿足/(x)=M+4T/Q)dc則f(.r)=

A.x2+4-B..r2+4-C./+,D.--J-

3636

20.

下列函數在［-1.門上滿足羅爾定理條件的是（）

、1

A.y-B.y=1+1x1

C.y=id—1)D.y=ln(1+j)

二、填空題（10題）

已知-1.唬二

21.

22.

a+2心一30

設w,〃為實數.當a=?〃=時,行列式3—ba+20=0.

56-1

23.

e"—a,x0?

設函數/（工）=y為（-8,+8）上的連續函數?則a=

ar+acos^,x>0

已知函數J（x）=工?，則jf

24.

如果lim（，4.，—1—aT—〃）=0?則a=

?-?4--

25.b=

'2x

設/（之）連續，且/a）&=i+與，則/（8）=

J0

26.

向量a=\1.2.1}與向量6={2.2.1）的夾角余弦是

27.

已知微分方程+ay=-的一個特解為尸=1―，則a=

28.

3

曲線），的凸區間為

/+4

29.

2

c‘一1

極限lim

..-ocos.r—1

30.

三、判斷題(10題)

極限lim普：=2.

31.2sin4rA.否B.是

32若當才*時，連續函數/(1)的極限存在為a,則f(jo)=u.

B.是

函數y=arctan(j--1)的最大值是

33.1A.否B.是

-sin(.r+cos.r)dj=0.

34.d-rJ-'A.否B.是

35.

才=1是函數八])=一一1。的第一類間斷點.<)

A.否B.是

36.

6.設函數/(J)=siru-.j￡[“,〃]?由拉格朗日巾值公式得存在c6Q,6),使sin。—sina

=cos??(b—a).()

A.否B.是

在區間[-1,口上.函數/■)=.“3滿足羅爾定理.

37."十1A.否B.是

38.

，./=7,

參數方程1在I=五處的切線方程為I+y—1=0.()

Iy=1+sin/

A.否B.是

39.

，=0為函數/(r)=sinxsiny的可去間斷點.()

A.否B.是

40.

導數值/'(Ho)=(fGo))'.()

A.否B.是

四、計算題(5題)

計算不定積分/TKdr

41.

計算定積分工也.

JV丁

42.

43.

24.設拋物線*=“1+岳?+?過原點,當0〈1時.)，20?又已知該拋物線與，軸及

.r=1所圍圖形的面積為試確定使此圖形繞，軸旋轉一周形成旋轉體的體積最小.

44.

：rL—2.r2+.r；＜=1.

當人取何值時.非齊次線性方程組2彳?+必一力=入.有解,若有無窮解?求方程組

4彳?—+17=A

此時的通解.

45.

z20,I

1+4x2

求定積分「JQ')d.r.

設/(.r)=?

_e_j-<0.

1+e''

五、證明題(2題)

46.

設函數f(設在閉區間［0,1］上連續，在開區間(0,1)內可導，且/(0)=0,/(1)=2.證

明：在(0,1)內至少存在一點&使得/'(前=2E+1成立.

47.

設函數/")在［1.3］上連續.在(1,3)內可導.且/(3)=0.證明：至少存在一點

1€(1，3).使"'($乂*+/(0=0.

六、應用題(5題)

48.

25.將周長為2P的矩形繞它的一邊旋轉而構成一個圓柱體,矩形的邊長各為多少時，才可

使制柱體的體積最大？

49.

JUG表示由曲線)=In”及直線I+y=1,>?=1圍成的平面圖形.

(1)求G的面積；

(2)求G繞y軸旋轉一周而成的旋轉體的體積.

50.

為倡導低碳生活,某節能產品生產廠家擬舉行消費者購買產品獲補貼的優惠活動.若

廠家投放A、B兩種型號產品的價值分別為a、〃萬元時?則消費者購買產品獲得相應的補貼分

別為擊wlnd+b)萬元(，〃>0且為常數).已知廠家把總價值為10萬元的A、B兩種型號的

產品投放到市場,且A、B兩種型號的投放金額都不低于1萬元，參考數據；ln4y1.4)

(1)設投放B型產品的金額為I萬元,請寫出這次活動中消費者得到的總補貼函數L(.r).

并求其定義域.

(2)當，〃=!■時,當投放H型產品的金額為多少萬元時.消費者得到的總補貼最多,并求

出最大值.

51.

.統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關于行駛速度

a(km/h)的函數解析式可以表示為:y=-^―.r3-+8(0<.r<120),已知甲、乙兩地

相距100km.當多汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升？

52.

20,設需求函數為P+0.1Q=80,成本函數為C(Q)=5OOO+2OQ,其中Q是商品的需求

量,P為商品價格，計算邊際利潤函數,以及Q=150,400時的邊際利潤,并解釋其經濟意義.

參考答案

1.C

［答案］c

【精析】令/=2cosf.y=2sinf"G［0,2兀_?則

r*_______it*______________Ry

i(I/J**+y~+1)ds=(2+1)\/4sin'Z+4cos'/d/=6d/=12TT.

JLJ(tJu

【精析】由公式得J=ef也(C+卜)/也th)=e-/(C+x),

2A令-r=°，得y=('=°?故所求特解為V=.

3.A

［答案］A

【精析】，2?+1+22=3,故與《2.1,2｝同向的單位向量為

?o6o

4.C

［答案1C

【精析】y=H-siiu-.jT=cosu-.令y"=0得a=￡.y傳）=專.當0VhV］?

/>0.當<工V兀時,/<0.所以曲線的拐點為信后）?故選°

5.A

【精析】|A|=7.|B|=-3.|（ABT1|=|厘.4T|=1=-±

IAII"I，I

6.D

【精析】因為IA1=2*故A可逆（逆矩陣存在）.得

—4———

22

7.A

［答案1A

【精析】兩邊微分.得.?<1>+_y<b——<以精+N&r），即（：-3）<Lr=1i■卜3,

所以孚=一二.故應選A.

dyy

［答案］A

【精析】因為當if8時，1-cos'

所以lim、//1—cos—=limj'?Py=5.故應選A.

8A一\「2r2

9.D

［答案］D

【精析】因為lim/(u)=lim(2j+3)=5?=lirn(jJ—1)=0.lim/(.r)豐

lim/O所以lim/Q）不存在.

10.D

匚答案1D

【精析】因為aresin14號是有界的.所以《)=1+arcsin/是有界函數.故應選D.

11.C

t精析】由.rdy+da-=evd.r得-rdy=(e，-1)dr.分離變量.得『、丫.=".兩邊積

W-1X

分f苫彳=f空，其中f孑彳=［產=?=fyL^def,故可得.y=一片(1+

5

Je—1JJ:Je--1J1—eJe--1

Cr),故選C.

12.A

［答案］A

【精析】］=(1-一需21)f+,1＞o.因此＞，在(T,i)內單調增加，故

應選A.

13.A

［答案］A

2

【精析】令/=白?則T=，故/(［=/(/)=------2j—=如則f(r)

L.1Zzn?_/14?5

7+。(萬＞

6.r

―28〉+5,

14.D

［答案］D

【精析】lim/(JT)=8.limg(z)=8,顯然limA/G)=Alim/Xw)=8,其他三項均

L，L.%L%L.,

不一定成立?比如令/(w)=工?*(1)=—-t.r,)=0.故應選D.

JCx

15.A

［答案］A

3

【精析】/(J)=limj(1+3/)^=JClim(l+3,聲"=x(lim(1+3/)^)'=ie",則

/'(.r)=e"+3.re”.

16.D

［答案］D

123123

【精析】顯然A項等于0；B項中2220-2-4=0：C項中

0.51.52.500.51

153032-11一103-6

121=121=0：4一12=0一922=12.故選D.

0.542.503212—512-5

17.A

【精析】yf=-jre-^，>‘"=一e-x——.re-x)=.re-x-2e-x=e-x(,r-2).

令/=0得l=2,且在①=2左右兩側凹凸性改變?又當1=2時?y=Ze-?即拐點

為(2.卦

18.B

【精析】要使函數/(.r)在y=1處連續?則有limfQ)=/(I).EPlim、+1=2,而

當a=2時，lim-----十1=lim-------=］im(、r——1)=0#2,故當a=2時，/"(.r)

不連續?故選B.

［答案1A

【精析】令|=/.則/(J-)=*/+/，

所以I=|1/(,r)d.r=「/&?+《/=5+［/，

JoJ1>LoL

解/=5?.則f⑺=-:,故應選A.

19.A§

20.C

［答案］C

【精析】選項A在i=0處無定義.選項B在-r=0處不可導.選項D在，=一1處

無定義,只有選項C符合題意.故選C.

21.

e’

［答案］一導

25

【精析】方程兩邊同時對才求導得1十23卑=。.則畢=一￡

dwdj-Ly

22.

［答案］-2.3

4+2I)-30

a+2。一3

【精析】3-ba+20=(-1)?(一1產

3一/)a+2

56一1

=—C(a+2)2—(〃一3)(3—Z>)J

=—［(a+2)?+(〃-3尸］=0.

則a=-2,〃=3.

23.

［答案］;

【精析】因函數在(一oo,+s)上連續，故函數在分段點1=0處一定連續，則

limf(r)=lim/(x)=/(0)；

j-*01~*0一

而limf(H)=lim(x+acos2x)=ajim/(z)=lim(e"—a)=1—a,f(O)=1—a,

+

r-*0L。-LO-

故a=1-a,a=J.

24.1/x

【精析】因為義工）=1,則/=3所以f［f6)］=?*)=+?

25.2

(4.r-—1)—(ar

【精析】lim(/I/—1—a.r—h)=lim

x/—1+ax+b

(4——2abx—(b:+1)

y/4x~—1+ax十〃

(4-a2).r-2a6-^—

lim

/n4——r+.aI.---b-

、A.廠①

=0.

所以4—a=0,—2ab=0,11［t］上式知a2.解得a=2?〃=0.

26.24

［答案124

【精析】等式兩邊對~r求導可得，2/（2_r）=3/./（2x）=^r2.當2H=8時.①=4.

所以/（8）==24.

27.

［答案］噌

1O

，性、4八+缶小“加Ca?b1X2+2X2+1X17V6

【精析】設a為夾角為。,則CO?=——rr-z-r=,=——,，…二=

4II方a+2,+1，.722+22+I218

28.-1

【精析】〉=/e，，?/=+.2d代入微分方程y'+"=/，得1+/—+ue1=e，,

（1+=0.解得以=-1.

29.

［答案］（—等.竽）

【精析】根據題意?曲線的定義域為（一8.+8）.

,-6.rtt_6（3./—4）

（》+4）2'>0+4>

人”--Arnii24^25/3-

vy<0，則—<J<.

MM

故曲線的凸區間為（一零?空）.

JJ

30.

［答案］-2

【精析】hm=lim=—2.

-0COS1-1i一口19

一工￡

【精析】lim蹩=lim”=1

3］NJ"。sinLz'J>o4.rT

【精析】V/（.r）為連續函數，lim/（X）=/（）=a.

32.Y

【精析】v=arctan（才一1）的隹M域是（一今號）,沒有最大值.

33.N

【精析】由于定積分fsinl+coq)di是個常數?故其導數為0.

34.Y

35.N

［答案］x

【精析】"］)=F二、=:二一興尸二2?所以工=2-=-1是間斷點..r=1

不是間斷點.

36.Y

【精析】:/(/)=sin/,???/(］)在上連續，在(a，6)內可導，且/(.r)=cos/,

：?由拉格朗日中值公式得存在SW(a而，使嗎—sina="芟，即sin6_sinti=

b-a

cos^?(6—a).

37.Y

【精析】因為在上連續，在(一1.1)上可導，且/(-1)=/(1)=1,所以

八))滿足羅爾定理.

38.N

［答案］x

dlx

dy

-=

【精析】d-1卓=c。",所以K=

d.z

dr

所以t=滅處的切線方程為y—1=—1(J—K).即才十y—1—IT=0.

39.Y

［答案］"

【精析】當I-*0時,sin.r-*O.sin上有界.則limsirkrsin—=0.乂因為/(.r)在ar=0

處無定義，所以1=0為/(.r)的可去間斷點.

40.N

［答案］X

【精析】/")=lim八］)二15)=/(.「)?而(/(*))'=0,因此/'(-)

.ra,,.】才uI4?小

w(/(*)

41.

【精析】［./?*，仆一/d/=IJ*?/l-./d.r

=j-y(4—T■—4)(4—jJd(4—J2)

j乙

-yj[(4--4(4-.r2)'?]cl(4-.r')

=1玲(4-＞洌

NIJ3

=4-(4—./”—^-(4—.r*)+(】，

03

42.

【精析】令/=sin/d,=coszd/,則

1—x2j產cos2/?1號1—sin2/*

dj=一出=-d/

JfsirrfJfsin2/

=匕esc2fdz—j：Idf

=彳—A=i_IL

43.

【精析】因為拋物線v=a/+/〃+，過原點?有，=0.乂當0《才41時,y》0.

故該拋物線與才軸及r=1所圍圖形的面積為

|（＜u+hr）d.r=-y,

JP3

于是2a+34=2?

該平面圖形繞i軸旋轉一周膨成的立體體積為

V=TT|（a.r+bx）dx

=八（4-a2+gab+4■叫

\□Z3/

=工(6。2+15ah+10//)

壬「6az+10a(1—a)+當(1—以)2(1-a)

3

aIja+10

要使V’最小,令a告.此時6=/

于是a=-0〃==0時.此圖形繞“軸旋轉一周形成旋轉體的體積最小.

4Z

44.

【精析】對增廣矩陣B作初等行變換:

1-21:111-21：1

r'—2r)

B21—1A05—3：A—2

ri--bj

4-31A05—3)一4

1-211

05-3A—2*

000-A-2

當且僅當六一/一2=0.即入=-1或2時?方程組有解.

11

10

1-2112-T一亍

5

①當義=一1時.8-??55-3-31

0-y-亍

Q'0005

0000

得到與原方程組同解的方程組為

11

55

33

55

55

令-瓦?則可得方程組的通解為3+3為任意常數.

5

0

01

1-211

②當;1=2時.B--()5-303

00

□

000

0000

則與原方程組同解的方程組為

II.

3

一“

o

-

51

令。=2,則可得方程組的通解為心=^1+0?后為任意常數.

.r；(50

1

45.

【精析】原式=「占丁丁+廣，J&

Jt］+eJo1+41

=ln(l+e，)|：+1|+"&r

=ln2—ln(1+e-1)+-1-arctan(2j-)|

=In2—ln(1+e-1)+

o

46.

【證明】構造函數F("=f(z)—/,

因為義工)在閉區間［0.1］上連續,在開區間(0,1)內可導，所以函數F(外在閉區間

［0,1］上連續，在開區間(0,1)內可導，且F'(z)=八］)一2-

于是FQ)在［0.1］」二滿足拉格朗日中值定理的條件.故在開區間(0,1)內至少存在一

點豈使得

F0=口'

將/(0)=0,./(l)=2代人上式.得

F，⑷=F(1二f(0)=［八］)一］］_［/(0)_0］=i,

即『'(3—2f=l.

于是/(e)=2e+1.

47.

【證明】令F(.r)=/(i)lnn￡[1.3].

因為F(為在[1.3]上連續，在(1.3)內可導.

F(l)=/(l)lnl=0,F(3)=/(3)ln3=0,滿足羅爾定理的條件.

所以至少存在一個￡使得F(￡)=0?其中S0(1.3).

又F'(9=/(Qing十馬=0.

q