第一講中考壓軸題十大類型之動點問題.

1.（2008河北）如圖，在RtZkABC中，NC=90°,45=50,4C=30,D,E,尸分別是

AC,AB,5c的中點.點P從點。出發(fā)沿折線。EER尸CCD以每秒7個單位長的

速度勻速運動；點。從點3出發(fā)沿&L方向以每秒4個單位長的速度勻速運動，過點

。作射線QKLAB,交折線5CCA于點G.點P,。同時出發(fā)，當(dāng)點尸繞行一周回到

點。時停止運動，點。也隨之停止.設(shè)點P,。運動的時間是/秒（co）.

（1）A/兩點間的距離是;

（2）射線QK能否把四邊形CD所分成面積相等的兩部分？若能，求出/的值.若不

能，說明理由；

（3）當(dāng)點P運動到折線EF-NC上，且點尸又恰好落在射線QK上時，求才的值；

（4）連結(jié)PG,當(dāng)PG〃AB時，請邕舉寫出/的值.

備用圖

2.（2011山西太原）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形。45。是平行四邊形.直線

/經(jīng)過0、。兩點.點A的坐標(biāo)為（8,0）,點5的坐標(biāo)為（11,4）,動點尸在線段

0A上從點0出發(fā)以每秒1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)以每

秒2個單位的速度沿A-5—。的方向向點。運動，過點尸作尸N垂直于入軸，與

折線O-C-5相交于點M.當(dāng)P、。兩點中有一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止

運動，設(shè)點尸、。運動的時間為1秒(，＞0),的面積為S.

(1)點。的坐標(biāo)為,直線/的解析式為.

(2)試求點。與點"相遇前S與1的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的/的取值范圍.

(3)試求題⑵中當(dāng)才為何值時，S的值最大，并求出S的最大值.

(4)隨著P、。兩點的運動，當(dāng)點M在線段CB上運動時，設(shè)PN的延長線與直

線,相交于點N.試探究：當(dāng)才為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出才的

值.

3.(2011四川重慶)如圖，矩形A5co中，AB=6,5。=2小，點。是A5的中點，

點尸在AB的延長線上，且5尸=3.一動點E從。點出發(fā)，以每秒1個單位長度的

速度沿。4勻速運動，到達(dá)4點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點尸從尸點

出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線B4勻速運動，點E、尸同時出發(fā)，當(dāng)兩點

相遇時停止運動.在點石、廠的運動過程中，以EF為邊作等邊八EFG,使AEFG

和矩形在射線B4的同側(cè)，設(shè)運動的時間為/秒(侖0).

(1)當(dāng)?shù)冗叀?G的邊尸G恰好經(jīng)過點。時，求運動時間才的值；

(2)在整個運動過程中，設(shè)等邊AE/G和矩形A5CD重疊部分的面積為S,請直

接寫出S與彳之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量才的取值范圍；

（3）設(shè)EG與矩形A5CD的對角線AC的交點為“，是否存在這樣的b使△A0"

是等腰三角形？若存在,求出對應(yīng)的力的值；若不存在,少請說明理由.C

備用圖1備用圖2

三、測試提高

1.（2011山東煙臺）如圖，在直角坐標(biāo)系中，梯形A5CZ）的底邊A5在％軸上，

底邊CD的端點。在y軸上.直線的表達(dá)式為y=-點A、。的坐標(biāo)分

別為（一4,0）,（0,4）.動點尸自4點出發(fā)，在A5上勻速運動.動點。自點5

出發(fā)，在折線5CD上勻速運動，速度均為每秒1個單位.當(dāng)其中一個動點到達(dá)終

點時，它們同時停止運動.設(shè)點尸運動方（秒）時，尸。的面積為S（不能構(gòu)成

△0尸。的動點除外）.

（1）求出點5、。的坐標(biāo)；

（2）求S隨才變化的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)方為何值時S有最大值？并求出最大值.

備用圖

第二講中考壓軸題十大類型之函數(shù)類問題

1.（2011浙江溫州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（-4,

0）,點5的坐標(biāo)為（0,b）S>0）.尸是直線A5上的一個動點，作PCXx軸，垂

足為C,記點尸關(guān)于y軸的對稱點為PY點P不在y軸上），連結(jié)PP,P'A,P'C,

設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a.

（1）當(dāng)》=3時，

①直線AB的解析式;

②若點P的坐標(biāo)是(T,m),求根的值;

(2)若點尸在第一象限,記直線A3與PC的交點為。.當(dāng)尸7):。。=1:3時，求a

的值;

(3)是否同時存在mb,使△〃小為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足

要求的m8的值；若不存在，請說明理由.

2.(2010武漢)如圖，拋物線％=以2_2以+"經(jīng)過A(-1,0),C(2,|)兩點，與

%軸交于另一點8

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若拋物線的頂點為點尸為線段05上一動點(不與點5重合)，點。在線

段MB上移動，且NMPQ=45。，設(shè)線段OP=x,MQ^y2,求刃與X的函數(shù)關(guān)系式,

并直接寫出自變量％的取值范圍；

(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線％=祖，分別與拋物線交于點E,G,

與(2)中的函數(shù)圖象交于點尸，H.問四邊形EFHG能否為平行四邊形？若能，求m,

”之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，請說明理由.

3.（2011江蘇鎮(zhèn)江）在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，直線4過點A（l,0）且與y軸平行，直線

4過點5（0，2）且與％軸平行，直線4與4相交于點尸.點石為直線6上一點，反比例

函數(shù)y=七（Q0）的圖象過點E且與直線4相交于點F.

X

（1）若點E與點尸重合，求上的值；

（2）連接08、OF、EF.若k>2,且△0E尸的面積為△尸E尸的面積2倍，求點E

的坐標(biāo)；

（3）是否存在點E及y軸上的點使得以點V、E、尸為頂點的三角形與APE尸

全等？若存在，求E點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.（2010浙江舟山）△人與。中，N4=N5=30。，AB=26.把△A5C放在平面直角坐標(biāo)

系中，使A3的中點位于坐標(biāo)原點O（如圖），△A5C可以繞點。作任意角度的旋

轉(zhuǎn).

(1)當(dāng)點5在第一象限，縱坐標(biāo)是逅時，求點5的橫坐標(biāo)；

2

(2)如果拋物線丁=以2+法+。(存0)的對稱軸經(jīng)過點C,請你探究：

①當(dāng)即好，b」,C一至?xí)r，A,5兩點是否都在這條拋物線上？并說明理由；

425

②設(shè)b=-2am,是否存在這樣的加值，使A,5兩點不可能同時在這條拋物線上?

若存在，直接寫出機的值；若不存車，請說明理由.

5.(湖北黃岡)已知二次函數(shù)的圖象如圖所示.

(1)求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點〃的坐標(biāo)；

(2)若點N為線段上的一點，過點N作％軸的垂線，垂足為點。.當(dāng)點N在

線段上運動時(點N不與點5,點"重合)，設(shè)0。的長為才，四邊形NQAC面

積為S,求S與方之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量力的取值范圍；

(3)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使△出€;為直角三角形？若存在，求

出所有符合條件的點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(4)將△04。補成矩形，使得△。4。的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三

個頂點落在矩形這一邊的對邊上,試直接寫出矩形的未知的頂點坐標(biāo)(不需要計算過

程).

1.（2011山東東營）如圖所示，四邊形。4BC是矩形，點A、C的坐標(biāo)分別為（-3,0）,

（0,1）,點。是線段5。上的動點（與端點5、。不重合），過點Z）作直線y=gx+b交

折線OAB于點E.

（1）記△ODE的面積為工求S與。的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)點E在線段。4上時，_atanZDEO=-.若矩形。45。關(guān)于直線DE的對稱圖

2

形為四邊形QABC.試探究四邊形4G與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生

變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由.

第三講中考壓軸題十大類型之面積問題

1.(2011遼寧大連)如圖，拋物線y=a%2+—+c經(jīng)過A(—1,0)、B(3,0)、C(0,

3)三點，對稱軸與拋物線相交于點P、與直線相交于點V,連接尸8

(1)求該拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在一點。，使與△PMB的面積相等，若存在，求點。

的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

(3)在第一象限、對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點H,使與的

面積相等，若存在，直接寫出有￡的總標(biāo)；若不存在，說明理由.

2.(2011湖北十堰)如圖，己知拋物線y=%2+bx+c與X軸交于點A(1,0)和點B,

與y軸交于點C(0,-3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖(1),己知點”(0,-1).問在拋物線上是否存在點G(點G在y軸的

左側(cè))，使得&GHC=SAGHA?若存在，求出點G的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由：

(3)如圖(2),拋物線上點。在入軸上的正投影為點E(-2,0),尸是OC的中

點，連接。尸，尸為線段5。上的一點，若/EPF=NBDF,求線段尸E的長.

3.（2010天津）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-

+c與x軸交于點A、B（點A在點3的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C,頂點為E.

（I）若b=2,c=3,求此時拋物線頂點E的坐標(biāo)；

（II）將（I）中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形A5EC中滿足S

△BCE=S^ABC，求此時直線BC的解析式；

（III）將（I）中的拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭?，若平移后，在四邊形A5EC中滿足

=2&AOC,且頂點后恰好落在直線y=-4x+3上，求此時拋物線的解析式.

4.（2011山東聊城）如圖，在矩形A5CD中，AB=12cm,5C=8cm.點E、F、G分別

從點4、B、C同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動，點E、G的速度均為2cm/s,

點戶的速度為4cm/s,當(dāng)點尸追上點G（即點尸與點G重合）時，三個點隨之停止移

動.設(shè)移動開始后第ts時，/\EFG的面積為Sen?.

（1）當(dāng)才=ls時，S的值是多少？

（2）寫出S與力之間的函數(shù)解析式，并指出自變量力的取值范圍；

（3）若點尸在矩形的邊上移動，當(dāng)才為何值時，以點B、E、尸為頂點的三角形

與以。、下、G為頂點的三角形相似？請說明理由.

5.(2011江蘇淮安)如圖，在RtZ\A5C中，ZC=90°,AC=8,BC=6,點尸在A5上，

AP=2,點E、尸同時從點尸出發(fā)，分別沿B4、以每秒1個單位長度的速度向點

A、5勻速運動，點E到達(dá)點A后立刻以原速度沿AB向點5運動，點下運動到點5

時停止，點E也隨之停止.在點E、尸運動過程中，以E尸為邊作正方形E/G”,使

它與△A5C在線段A5的同側(cè).設(shè)E、下運動的時間為方秒。＞0),正方形EFGH

與AABC重疊部分面積為S.

(1)當(dāng)尸1時，正方形的邊長是.當(dāng)1=3時，正方形的邊長是.

(2)當(dāng)0＜，W2時，求S與彳的函數(shù)關(guān)系式；

(3)直接答出：在整個運動過程中，當(dāng)彳為何值時，S最大？最大面積是多少?

備用圖

三、測試提高

1.(2010山東東營)如圖，在銳角三角形A5C中，BC=12,△A5C的面積為48,D,

E分別是邊AbAC上的兩個動點(O不與4,5重合)，且保持。石〃以DE

為邊，在點A的異側(cè)作正方形。及G.

(1)當(dāng)正方形。EFG的邊G尸在上時，求正方形。"G的邊長；

(2)設(shè)。E=%,△A5C與正方形。EFG重疊部分的面積為y,試求y關(guān)于％的函數(shù)

關(guān)系式，寫出工的取值范圍，并求出y的最大值.

第四講中考壓軸題十大類型之

三角形存在性問題

板塊一、等腰三角形存在性

1.（2011江蘇鹽城）如圖，已知一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)y=的圖象交于點

A,且與X軸交于點8

（1）求點A和點5的坐標(biāo)；

（2）過點A作AC_Ly軸于點C,過點5作直線/〃y軸.動點尸從點O出發(fā)，以

每秒1個單位長的速度，沿O—C—4的路線向點4運動；同時直線/從點5出發(fā),

以相同速度向左平移，在平移過程中，直線/交工軸于點H,交線段BA或線段AO

于點。.當(dāng)點尸到達(dá)點A時，點尸和直線/都停止運動.在運動過程中，設(shè)動點

產(chǎn)運動的時間為/秒.是否存在以4、尸、。為頂點的三角形是等腰三角形？若存

在，求才的值；若不存在，請說明理由.

（備用圖）

2.（2009湖北黃岡）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X0y中，拋物線y=fY—[x—io與％軸

的交點為點A,與y軸的交點為點5,過點5作入軸的平行線交拋物線于點C,

連結(jié)AC現(xiàn)有兩動點尸，。分別從0,。兩點同時出發(fā)，點尸以每秒4個單位的速

度沿0A向終點A移動，點。以每秒1個單位的速度沿CB向點5移動，點尸停止

運動時，點。也同時停止運動，線段0C,尸。相交于點。，過點。作。石〃。4,

交CA于點E,射線。E交工軸于點足設(shè)動點尸，。移動的時間為《單位：秒）

⑴求A,B,。三點的坐標(biāo)和拋物線的頂點的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)/為何值時，四邊形尸。CA為平行四邊形？請寫出計算過程；

⑶當(dāng)o時，^尸。尸的面積是否總為定值？若是，求出此定值，若不是，請說

明理由；

⑷當(dāng)才為何值時，^尸。尸為等腰三角形？請寫出解答過程.

板塊二、直角三角形

3.（2009四川眉山）如圖，已知直線y=gx+l與y軸交于點A,與％軸交于點。，拋

物線y=與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標(biāo)為（1,

0）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）動點尸在入軸上移動，當(dāng)△B4E是直角三角形時，求點尸的坐標(biāo).

4.(2010廣東中山)如圖所示，矩形的邊長A5=6,BC=4,點尸在。。上，

DF=2.動點V、N分別從點。、5同時出發(fā)，沿射線線段向點A的方向

運動(點M可運動到D4的延長線上)，當(dāng)動點N運動到點A時，M、N兩點同時

停止運動.連接/N、FN,當(dāng)下、N、"不在同一直線上時，可得4FMN,過AFMN

三邊的中點作△PW。.設(shè)動點〃、N的速度都是1個單位/秒，M、N運動的時間為

%秒.試解答下列問題：

(1)說明△尸腦VsZ\0WP；

(2)設(shè)0WxW4(即M從。到A運動的時間段).試問工為何值時，△PW。為直角

三角形？當(dāng)％在何范圍時，△PQW不為直角三角形？

(3)問當(dāng)％為何值時，線段最短？求此時的值.

板塊三、相似三角形存在性

5.(2011湖北天門)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=以2+法

+3與x軸的兩個交點分別為A(-3,0)、B(1,0),過頂點。作CH，入軸于點

(1)直接填寫：a=,b=,頂點。的坐標(biāo)為;

(2)在y軸上是否存在點。，使得△ACZ)是以4。為斜邊的直角三角形？若存在，

求出點。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

(3)若點尸為X軸上方的拋物線上一動點(點尸與頂點。不重合)，尸0LAC于點

Q,當(dāng)△尸。。與△AC"相似時，求點尸的坐標(biāo).

（備用圖）

三、測試提高

1.（2009廣西欽州）如圖，已知拋物線丁=3f+桁+。與坐標(biāo)軸交于4、B、C三點、,A

4

點的坐標(biāo)為（一1,0）,過點。的直線y=」x-3與％軸交于點0,點尸是線段5C

上的一個動點，過尸作尸于點若PB=5t,且0<r<l.

（1）填空：點。的坐標(biāo)是,b=,c=；

（2）求線段。"的長（用含力的式子表示）；

（3）依點尸的變化，是否存在彳的值，使以尸、H、。為頂點的三角形與△CO。相

似？若存在，求出所有才的值；若不存在，說明理由.

第五講中考壓軸題十大類型之

四邊形存在性問題

1.(2009黑龍江齊齊哈爾)直線y=-3x+6與坐標(biāo)軸分別交于A、5兩點，動點P、Q

4

同時從。點出發(fā)，同時到達(dá)A點，運動停止.點。沿線段。4運動，速度為每秒1

個單位長度，點尸沿路線。-5-A運動.

(1)直接寫出A、5兩點的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點。的運動時間為，秒，△。為2的面積為S,求出S與1之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)S=F時，求出點。的坐標(biāo)，并直接寫出以點。、P、。為頂點的平行四邊

形的第四個頂點”的坐標(biāo).

2.(2010河南)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(T,0),B(0,-4),C(2,0)

三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點〃為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為機，的面積為

S.求S關(guān)于機的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.

(3)若點尸是拋物線上的動點，點。是直線y=-x上的動點，判斷有幾個位置能

夠使得點尸、。、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點。的坐標(biāo).

3.（2011黑龍江雞西）已知直線y=6x+46與％軸、y軸分別交于4、B兩點，

ZABC=60°,BC與x軸交于點C.

（1）試確定直線的解析式；

（2）若動點尸從A點出發(fā)沿AC向點。運動（不與A、。重合），同時動點。從。

點出發(fā)沿CBA向點A運動（不與。、A重合），動點P的運動速度是每秒1個單位

長度，動點。的運動速度是每秒2個單位長度.設(shè)△A尸。的面積為S,尸點的運動

時間為方秒，求S與力的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)AAP。的面積最大時，y軸上有一點平面內(nèi)是否存

在一點N,使以A、0、M、N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出N點的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

7

4.(2007河南)如圖，對稱軸為直線x=5的拋物線經(jīng)過點A(6,0)和B(0,4).

(1)求拋物線解析式及頂點坐標(biāo)；

(2)設(shè)點石(％,y)是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形0必尸是以0A

為對角線的平行四邊形，求四邊形0E4方的面積S與％之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出

自變量％的取值范圍；

(3)①當(dāng)四邊形OEA廠的面積為24時，請判斷0E4方是否為菱形？

②是否存在點E,使四邊形OEAb為正方形？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

5.(2010黑龍江大興安嶺)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)丫=2%+12的圖象分別交

x軸、y軸于A、B兩點.過點A的直線交y軸正半軸于點M,且點M為線段OB

的中點.

(1)求直線AM的解析式；

(2)試在直線AV上找一點尸，使得利=S"OB,請直接寫出點尸的坐標(biāo)；

(3)若點”為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點“，使以4、

B、M、”為頂點的四邊形是等腰梯形？若存在，請直接寫出點”的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

三、測試提高

1.(2009遼寧撫順)已知：如圖所示，關(guān)于％的拋物線

嚴(yán)加+x+c(“wo)與％軸交于點4(-2,0)、點B(6,0),與y軸交于點C

(1)求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標(biāo)；

(2)在拋物線上有一點。，使四邊形A5OC為等腰梯形，寫出點。的坐標(biāo)，并求

出直線A。的解析式；

(3)在(2)中的直線4。交拋物線的對稱軸于點拋物線上有一動點P,%軸

上有一動點。.是否存在以A、M、P、。為頂點的平行四邊形？如果存在，請直

接寫出點。的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

第六講中考壓軸題十大類型之

線段之間的關(guān)系

1.（2010天津）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點A、B

分別在X軸、y軸的正半軸上，（M=3,05=4,。為邊05的中點.

（I）若E為邊。4上的一個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點E的坐標(biāo);

溫馨提示：如圖，可以作點力關(guān)于X軸

的對稱點￡>',連接CD與X軸交于點E,

此時△CDE的周長是最小的.這樣，你只需

求出OE的長，就可以確定點E的坐標(biāo)了.

(II)若E、尸為邊。4上的兩個動點，且即=2,當(dāng)四邊形Q)所的周長最小時，

求點E、口的坐標(biāo).

2.(2011四川廣安)四邊形A5co是直角梯形，BC//AD,

ZBAD^90°,5。與y軸相交于點V,且M是5。的中點，A、B、。三點的坐標(biāo)分

別是A(-1,0),5(-1,2),D(3,0).連接。并把線段。河沿D4方向平

移到ON.若拋物線y+Z?x+c經(jīng)過點￡)、M、N.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在點P,使得B4=PC,若存在，求出點尸的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由；

(3)設(shè)拋物線與工軸的另一個交點為石，點。是拋物線的對稱軸上的一個動點，

當(dāng)點。在什么位置時有最大？并求出最大值.

3.（2011四川眉山）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點A（O,1）,Bj4）,將點B

繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點C,頂點在坐標(biāo)原點的拋物線經(jīng)過點5.

（1）求拋物線的解析式和點。的坐標(biāo)；

（2）拋物線上有一動點P,設(shè)點尸到％軸的距離為4,點尸到點A的距離為試

說明a=4+1；

（3）在⑵的條件下，請?zhí)骄慨?dāng)點尸位于何處時，的周長有最小值，并求出

的周長的最小值.

4.（2011福建福州）已知，如圖，二次函數(shù)y=&+2奴-3a（"0）圖象的頂點為與

%軸交于A、5兩點（5在A點右側(cè)），點“、5關(guān)于直線/:尸gx+若對稱.

（1）求A、5兩點坐標(biāo)，并證明點4在直線/上;

(2)求二次函數(shù)解析式；

(3)過點5作直線5K〃A“交直線/于K點，M、N分別為直線A"和直線/上的

兩個動點，連接HN、NM、MK,求“N+MV什MK和的最小值.

5.(2009湖南郴州)如圖1,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點又(一2,

—1),且尸(一1,—2)為雙曲線上的一點，。為坐標(biāo)平面上一動點，垂直于工

軸，垂直于y軸，垂足分別是A、B.

(1)寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；

(2)當(dāng)點Q在直線M0上運動時，原線M0上是否存在這樣的點Q,使得△OBQ

與△04尸面積相等？如果存在，請求點。的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由;

(3)如圖2,當(dāng)點。在第4吧動時，作以0尸、0。為鄰邊的平行

A

X

四邊形0尸。。，求平行四邊形州最小值.

P

圖1圖2

6.（2010江蘇蘇州）如圖，以A為頂點的拋物線與y軸交于點氏已知4、5兩點的

坐標(biāo)分別為（3,0）、（0,4）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)”（必可是拋物線上的一點（加、〃為正整數(shù)），且它位于對稱軸的右側(cè).若

以M、AO、A為頂點的四邊形四條邊的長度是四個連續(xù)的正整數(shù)，求點M的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，試問：對于拋物線對稱軸上的任意一點P,尸發(fā)+尸52+產(chǎn)河2>28

是否總成立？請說明理由.

三、測試提高

1.(2009浙江舟山)如圖，已知點4(-4,8)和點5(2,八)在拋物線>=加上.

(1)求。的值及點B關(guān)于％軸對稱點P的坐標(biāo)，并在入軸上找一點。，使得AQ+QB

最短，求出點。的坐標(biāo)；

(2)平移拋物線》=以2,記平移后點4的對應(yīng)點為4,點5的對應(yīng)點為Q，點C(-2,

0)和點。(-4,0)是入軸上的兩個定點.

①當(dāng)拋物線向左平移到某個位置時，最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；

②當(dāng)拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A5CD的周長最短？

若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由.

第七講中考壓軸題十大類型之定值問題

1.(2011天津)已知拋物線G：乂=32-X+1,點/(1,1).

(I)求拋物線G的頂點坐標(biāo)；

(II)①若拋物線G與y軸的交點為A,連接AF并延長交拋物線q于點'求證:

11、

--------1---------2;

AFBF

②拋物線C上任意一點尸(與，力)(o<xp<i),連接尸尸，并延長交拋物線G

于點。(與，坨)，試判斷-^+'=2是否成立？請說明理由；

QQPFQF

(III)將拋物線G作適當(dāng)?shù)钠揭?，得拋物線。2：

%=g(x)2，若時，恒成立，求機的最大值.

2.(2009湖南株洲)如圖，已知△ABC為直角三角形，ZACB=90°,AC=BC,點A、

。在無軸上，點3坐標(biāo)為(3,m)線段AB與y軸相交于點。，以P(1,0)

為頂點的拋物線過點3、D.

(1)求點A的坐標(biāo)(用冽表示);

(2)求拋物線的解析式;

(3)設(shè)點。為拋物線上點尸至點3之間的一動點，連

結(jié)PQ并延長交于點E,連結(jié)3Q并延長交AC于點

F,試證明：FC(AC+EC)為定值.

3.（2008山東濟南）已知：拋物線產(chǎn)底+法+“分0）,頂點。（1,-3）,與％軸交于A、

5兩點，4-1,0）.

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）如圖，以為直徑作圓，與拋物線交于點。，與拋物線對稱軸交于點E,依次

連接4D、B、E,點尸為線段4?上一個動點（尸與4、5兩點不重合），過點尸作

PWL4E于胚PMLD5于N,請判斷我+空是否為定值？若是，請求出此定值；若

BEAD

不是，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，若點S是線段EP上一點，過點S作尸GLE尸，尸G分別

與邊4E、BE相交于點尸、G（尸與A、E不重合，G與E、5不重合），請判斷尤="

?PBEG

是否成立.若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

4.（2011湖南株洲）孔明是一個喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋

物線丁=以25<0）的性質(zhì)時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標(biāo)系的原

點。，兩直角邊與該拋物線交于A、3兩點，請解答以下問題：

（1）若測得OA=OB=2&（如圖1）,求a的值；

（2）對同一條拋物線，孔明將三角板繞點。旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時，過3作取，x

軸于點人測得斯=1,寫出此時點8的坐標(biāo)，并求點A的橫坐橋；

（3）對該拋物線，孔明將三角板繞點。旋轉(zhuǎn)任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點A、5的

連線段總經(jīng)過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標(biāo).

5.（2009湖北武漢）如圖，拋物線丁=/+法—4a經(jīng)過A（-l,0）、C（0,4）兩點,與x軸交

于另一點B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知點或加，根+1)在第一象限的拋物線上，求點。關(guān)于直線對稱的點的坐

標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，連接5。，點尸為拋物線上一點，且ZZ汨尸=45。，求點尸的

坐標(biāo).

三、測試提高

1.(2009湖南湘西)在直角坐標(biāo)系％0y中，拋物線y=Y+bx+c

與％軸交于兩點A、B,與y軸交于點C,其中4在5的左側(cè)，B的坐標(biāo)是(3,0).將

直線y="沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過點B、C.

(1)求人的值；

(2)求直線和拋物線的解析式；

(3)求△45。的面積；

(4)設(shè)拋物線頂點為。，點尸在拋物線的對稱軸上，且

ZAPD^ZACB,求點尸的坐標(biāo).

“y

4,

3,

2

i

-4-3-2-11~~2~~34^

-1

-2(

-31

-41

第八講中考壓軸題十大類型之

幾何三大變換問題

1.（2009山西太原）問題解決：如圖（1）,將正方形紙片ABCD折疊，使點5落在

邊上一點E（不與點C,。重合），壓平后得到折痕MN.當(dāng)名=」時，求4絲的值.

CD2BN

方法指導(dǎo)：

為了求得型的值，可先求BN、AM的長，不妨設(shè)：AB=2

類比歸納：在圖（1）中，若則處的值等于

BN

若晉T則處的型CE1z

于—；右——=-（n

BNCDn

為整數(shù)），則處的于（用含〃的式

BN

子表示）

聯(lián)系拓廣：如圖（2）,將矩形紙片ABCD折疊，使點3落在邊上一點E（不與點

C,。重合），壓平后得到折痕

BCm''CD~n

則4”的值等于.（用含m,〃的式子表示）

BN

2.（2011陜西）如圖①，在矩形ABCD中，將矩形折疊，

使5落在邊A。（含端點）上，落點記為E,這時折痕與

邊或邊8（含端點）交于點F,然后再展開鋪平，

則以5、E、尸為頂點的△5EF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”.

（1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個“折痕△5"”是一個

________三角形；

（2）如圖②，在矩形A5CD中，AB^2,BC=4.當(dāng)它的“折痕的頂點E位

于邊A。的中點時，畫出這個“折痕△5。"，并求出點尸的坐標(biāo)；

（3）如圖③，在矩形A5co中，A5=2,BC=4,該矩形是否存在面積最大的“折

痕ABEF”？若存在，說明理由，并求出此時點石的坐標(biāo)；若不存在，為什么？

圖

3.（2010江西南昌）課題：兩個重疊的正多邊形，其中的一個繞某一個頂點旋轉(zhuǎn)所形

成的有關(guān)問題.

實驗與論證

設(shè)旋轉(zhuǎn)角NAiAoS=a（a<N4AoA2）,仇，仇，仇，仇，仇，仇所表示的角如圖所示.

（1）用含a的式子表示：03=

，仇=，05=；

（2）圖1—圖4中，連接4?！睍r，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線

Ao"垂直且被它平分的線段？若存在，請選擇其中的一個圖給出證明；若不存在，

請說明理由；歸納與猜想

設(shè)正“邊形AoAiAz-A"』與正〃邊形AoB艮…即1重合（其中,Ai與3重合），現(xiàn)將

正n邊形AoB^-Bn-i繞頂點Ao逆時針旋轉(zhuǎn)a（o。＜a＜竺匕）.

n

（3）設(shè)仇與上述“仇，仇,…”的意義一樣，請直接寫出嘮的度數(shù)；

（4）試猜想在n邊形且不添加其他輔助線的情形下，是否存在與直線A0H垂直且

被它平分的線段？若存在，請將這條線段用相應(yīng)的頂點字母表示出來（不要求證明）;

若不存在，請說明理由.

4.（2009山東德州）已知正方形中，E為對角線5。上一點，過E點作石尸，

BD交BC于F,連接。尸，G為。尸中點，連接EG,CG.

（1）求證：EG=CG；

（2）將圖①中△5環(huán)繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②所示，取DF中點G,連接

EG,CG.問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說

明理由.

（3）將圖①中/繞5點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問

（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）

圖①圖②圖③

5.（2010江蘇蘇州）劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見

圖①、②.圖①中，ZB=90°,ZA=30°,5C=6cm；圖②中，ZD=90°,ZE=45°,

。石=4cm.圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個實驗：他將△。跖的直角邊OE與△ABC的斜

邊AC重合在一起，并將△0EF沿AC方向移動.在移動過程中，D、E兩點始終在

4。邊上（移動開始時點。與點A重合）.

（1）在△0EF沿AC方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點間的距離逐漸

.（填“不變”、“變大”或“變小”）

（2）劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進一步地研究，編制了如下問題：

問題①：當(dāng)△。跖移動至什么位置，即4）的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與平行？

問題②：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即A￡＞的長為多少時，以線段AD、FC、5C的長

度為三邊長的三角形是直角三角形？

問題③：在的移動過程中，是否存在某個位置，使得NFCD=15。?如果存在，

求出AD的長度；如果不存在，請說明理由.

請你分別完成上述三個問題的解答過程.

（圖②）

三、測試提高

1.（2009湖南常德）如圖1,若△ABC和△ADE為等邊三角形，M,N分別EB,CD

的中點，易證：CD=BE,AAAW是等邊三角形.

(1)當(dāng)把△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，是否仍然成立？若成立請證

明，若不成立請說明理由；

(2)當(dāng)△APE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，是否還是等邊三角形？若是，

請給出證明，并求出當(dāng)A8=2A。時，△ADE與△ABC及△AW的面積之比；若不是,

請說明理由.

中考壓軸題十大類型之

實踐操作、問題探究

1.(2009陜西)問題探究

(1)請在圖①的正方形ABC。內(nèi)，畫出使NAP3=90°的：個點P,并說明理由.

(2)請在圖②的正方形ABCD內(nèi)(含邊)，畫出使NAP6=60°的所有的點尸，并說

明理由.

問題解決

(3)如圖③，現(xiàn)在一塊矩形鋼板ABCD,A5=4,BC=3.工人師傅想用它裁出兩塊

全等的、面積最大的△4尸5和4

CPZ>鋼板，且NAPB=NC尸Z>=60°.請你在圖③中畫出符合要求的點P和尸，，

并求出的面積(結(jié)果保留根號).

2.(2011江西)某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下:

設(shè)(0°<0<90°).現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線A5、AC之間，并使小棒兩

端分別落在兩射線上.

活動一：

如圖甲所示，從點片開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直，

44為第1根小棒.

圖甲

數(shù)學(xué)思考:

(1)小棒能無限擺下去嗎？答：.(填“能”或“不能”)

(2)設(shè)44]=44=44=1.

①6=度；

②若記小棒怎_怎的長度為明(八為正整數(shù)，如=44=出，...)，求出

此時的，生的值，并直接寫出4(用含〃的式子表示).

活動二：

如圖乙所示，從點A開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A4為第1根小棒，

且A4=AA].

數(shù)學(xué)思考：

(1)若已經(jīng)向右擺放了3根小棒，則4=，%=，耳=；(用含

B

A.4

。的式子表示)

(2)若區(qū)熊擺放4根小棒,

人4A3C

圖乙

求。的范圍.

3.(2009浙江義烏)已知點A、5分別是入軸、y軸上的動點，點。、。是某個函數(shù)

圖象上的點，當(dāng)四邊形ABC。(4、B、。、。各點依次排列)為正方形時，稱這個

正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形.例如：如圖，正方形A5co是一次函數(shù)y=x+l

圖象的其中一個伴侶正方形.

(1)若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+l,求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；

(2)若某函數(shù)是反比例函數(shù)丁=幺(左>0),它的圖象的伴侶正方形為ABCD,點D

X

(2,m)(m<2)在反比例函數(shù)圖象上，求根的值及反比例函數(shù)解析式；

(3)若某函數(shù)是二次函數(shù)照加+腐功)，它的圖象的伴侶正方形為A5CZ),C、D

中的一個點坐標(biāo)為(3,4).寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標(biāo),

寫出符合題意的其中一條拋物線解析式，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正

方形的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？.（本小題只需直接寫出答案）

4.（2011江蘇南京）

問題情境

已知矩形的面積為Q（。為常數(shù)，?！?）,當(dāng)該矩形的長為多少時，它的周長最小？

最小值是多少？

數(shù)學(xué)模型

設(shè)該矩形的長為％,周長為》則y與％的函數(shù)關(guān)系式為尸2,+:］〉0）.

探索研究

（1）我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗，先探索函數(shù)y=x+1（x>0）的圖象性質(zhì).

X

②觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；

③在求二次函數(shù)>=0x2+以+。（?#0）的最大（?。┲禃r，除了通過觀察圖象，還

可以通過配方得到.請你通過配方求函數(shù)y=工+工（%>0）的最小值.

X

解決問題

（2）用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接

寫出答案.

4-

3-

2-

1-

—I--------1111

~\）12345x

5.（2011黑龍江哈爾濱）已知：在△ABC中，BC=2AC,NDBC=NACB,BD=BC,CD

交線段45于點E.

（1）如圖1,當(dāng)NAC5=90。時，則線段DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系為；

（2）如圖2,當(dāng)NACB=120。時，求證：DE=3CE?,

（3）如圖3,在（2）的條件下，點尸是5。邊的中點，連接。尸，。尸與交于G,

D

△DKG和關(guān)于直線DG對稱（點B的對稱點是點K）,延長DK交AB于點

H.若BH=10,求CE的長.

三、測試提高

1.（2010北京）問題：已知△ABC中，ZBAO2/AC5,點。是△A5C內(nèi)的一點，且

AD=CD,BD=BA.

探究NDBC與乙鉆。度數(shù)的比值.

請你完成下列探究過程：

先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明.

(1)當(dāng)/BAO90。時，依問題中的條件補全下圖.

觀察圖形，與AC的數(shù)量關(guān)系為；

當(dāng)推出時，可進一步推出ND5c的度數(shù)為；

可得到與NA5C度數(shù)的比值為；

(2)當(dāng)NR4CW90。時，請你畫出圖形，研究與/ABC

度數(shù)的比值是否與(1)中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以

第十講中考壓軸題十大類型之圓

1.（2011湖南湘潭）已知，A5是。。的直徑，A5=8,點。在。。的半徑。4上

運動，PCLAB,垂足為C,PC=5,尸T為。O的切線，切點為?

（1）如圖（1）,當(dāng)。點運動到O點時，求尸T的長;

（2）如圖（2）,當(dāng)。點運動到A點時，連結(jié)尸0、BT,求證：PO//BT-,

求y與尤的函數(shù)關(guān)系式及y的最小值.

圖（3）

2.（2010廣東廣州）如圖，。。的半徑為1,點尸是。。上一點，弦A5垂直平分

線段。尸，點。是弧AP5上任一點（與端點A、5不重合），DELAB于點E,以點

。為圓心、DE長為半徑作。。，分別過點A、5作。。的切線，兩條切線相交于點

C.

（1）求弦A5的長；

（2）判斷NACB是否為定值，若是，求出NACB的大??；否則，請說明理由；

（3）記△A5C的面積為S,若三=4百，求△A5C的周長.

DE2C

y/Pn\

O

3.(2011福建莆田)已知菱形A5CD的邊長為1.