第1頁（共13頁）一元二次方程的應用1．（2015?河北模擬）劉謙的魔術表演風靡全國，小明也學起了劉謙發明了一個魔術盒，當任意實數對（a，b）進入其中時，會得到一個新的實數：a2+b﹣1，例如：把（3，﹣2）放入其中，就會得到32+（﹣2）﹣1=6．現將實數對（m，﹣2m）放入其中，得到實數2，則m的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣1【考點】一元二次方程的應用．【專題】數字問題．【分析】按照相應的運算方法與順序，讓得到的含m的一元二次方程的結果為2，列式求值即可．【解答】解：由題意得：m2+（﹣2m）﹣1=2，m2﹣2m﹣3=0，（m﹣3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=﹣1．故選D．【點評】考查一元二次方程的應用；理解新定義的運算方法是解決本題的關鍵．2．（2015?濰坊一模）如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′，若兩個三角形重疊部分的面積為1cm2，則它移動的距離AA′等于（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm【考點】一元二次方程的應用；平行四邊形的性質；正方形的性質；平移的性質．【分析】根據平移的性質，結合陰影部分是平行四邊形，△AA′H與△HCB′都是等腰直角三角形，則若設AA′=x，則陰影部分的底長為x，高A′D=2﹣x，根據平行四邊形的面積公式即可列出方程求解．【解答】解：設AC交A′B′于H，∵∠A=45°，∠D=90°∴△A′HA是等腰直角三角形設AA′=x，則陰影部分的底長為x，高A′D=2﹣x∴x?（2﹣x）=1∴x=1即AA′=1cm．故選B．【點評】解決本題關鍵是抓住平移后圖形的特點，利用方程方法解題．3．（2015?蘭州一模）如圖，要設計一幅寬20cm，長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫豎彩條的寬度比為2：1，如果要使彩條所占面積是圖案面積的，則豎彩條寬度為（）A．1cm B．2cm C．19cm D．1cm或19cm【考點】一元二次方程的應用．【專題】幾何圖形問題．【分析】可設豎彩條的寬是xcm，則橫彩條的寬是2xcm，根據彩條所占面積是圖案面積的，可列方程求解．【解答】解：設豎彩條的寬為xcm，則橫彩條的寬為2xcm，則（30﹣2x）（20﹣4x）=30×20×（1﹣），整理得：x2﹣20x+19=0，解得：x1=1，x2=19（不合題意，舍去）．答：豎彩條的寬度為1cm．故選：A．【點評】本題考查的是一元二次方程的應用，設出橫豎條的寬，以面積做為等量關系列方程求解．4．（2015?濠江區一模）某機械廠一月份生產零件50萬個，三月份生產零件72萬個，則該機械廠二、三月份生產零件數量的月平均增長率為（）A．2% B．5% C．10% D．20%【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題．【分析】設平均每月增長率為x，根據等量關系“一月份生產零件的個數×（1+平均每月增長的百分率）2=三月份生產零件的個數”，列出方程即可求解．【解答】解：設平均每月增長的百分率為x，根據題意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合題意，舍去）故選D．【點評】此題為運用方程解決實際問題的應用題型，同學們應加強訓練，培養解題能力．5．（2015?淳安縣自主招生）徐工集團某機械制造廠制造某種產品，原來每件產品的成本是100元，由于提高生產技術，所以連續兩次降低成本，兩次降低后的成本是81元．則平均每次降低成本的百分率是（）A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題；壓軸題．【分析】設平均每次降低成本的百分率為x的話，經過第一次下降，成本變為100（1﹣x）元，再經過一次下降后成本變為100（1﹣x）（1﹣x）元，根據兩次降低后的成本是81元列方程求解即可．【解答】解：設平均每次降低成本的百分率為x，根據題意得100（1﹣x）（1﹣x）=81，解得x=0.1或1.9（不合題意，舍去）即x=10%故選D．【點評】這是一道典型的數量調整問題，數量上調或下調x%后就變為原來的（1±x%）倍，調整2次就是（1±x%）2倍．6．（2015?日照）某縣大力推進義務教育均衡發展，加強學校標準化建設，計劃用三年時間對全縣學校的設施和設備進行全面改造，2014年縣政府已投資5億元人民幣，若每年投資的增長率相同，預計2016年投資7.2億元人民幣，那么每年投資的增長率為（）A．20% B．40% C．﹣220% D．30%【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題．【分析】首先設每年投資的增長率為x．根據2014年縣政府已投資5億元人民幣，若每年投資的增長率相同，預計2016年投資7.2億元人民幣，列方程求解．【解答】解：設每年投資的增長率為x，根據題意，得：5（1+x）2=7.2，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），故每年投資的增長率為為20%．故選：A．【點評】此題主要考查了一元二次方程的實際應用，解題的關鍵是掌握增長率問題中的一般公式為a（1+x）n，其中n為共增長了幾年，a為第一年的原始數據，x是增長率．7．（2015?濟南）將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，已知盒子的容積為300cm3，則原鐵皮的邊長為（）A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm【考點】一元二次方程的應用．【專題】幾何圖形問題．【分析】設正方形鐵皮的邊長應是x厘米，則做成沒有蓋的長方體盒子的長、寬為（x﹣3×2）厘米，高為3厘米，根據長方體的體積計算公式列方程解答即可．【解答】解：正方形鐵皮的邊長應是x厘米，則沒有蓋的長方體盒子的長、寬為（x﹣3×2）厘米，高為3厘米，根據題意列方程得，（x﹣3×2）（x﹣3×2）×3=300，解得x1=16，x2=﹣4（不合題意，舍去）；答：正方形鐵皮的邊長應是16厘米．故選：D．【點評】此題主要考查長方體的體積計算公式：長方體的體積=長×寬×高，以及平面圖形折成立體圖形后各部分之間的關系．8．（2015?佛山）如圖，將一塊正方形空地劃出部分區域進行綠化，原空地一邊減少了2m，另一邊減少了3m，剩余一塊面積為20m2的矩形空地，則原正方形空地的邊長是（）A．7m B．8m C．9m D．10m【考點】一元二次方程的應用．【專題】幾何圖形問題．【分析】本題可設原正方形的邊長為xm，則剩余的空地長為（x﹣2）m，寬為（x﹣3）m．根據長方形的面積公式方程可列出，進而可求出原正方形的邊長．【解答】解：設原正方形的邊長為xm，依題意有（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x1=7，x2=﹣2（不合題意，舍去）即：原正方形的邊長7m．故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的應用．學生應熟記長方形的面積公式．另外求得剩余的空地的長和寬是解決本題的關鍵．9．（2016?深圳校級模擬）某種品牌的手機經過四、五月份連續兩次降價，每部售價由1000元降到了810元．則平均每月降價的百分率為（）A．9.5% B．20% C．10% D．11%【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題．【分析】本題可根據：原售價×（1﹣降低率）2=降低后的售價，然后列出方程求解即可．【解答】解：設每次降價的百分率為x，依題意得：1000（1﹣x）2=810，化簡得：（1﹣x）2=0.81，解得：x=0.1或1.9（舍去），所以平均每次降價的百分率為10%．故選：C．【點評】本題考查降低率的問題，解題關鍵是根據原售價×（1﹣降低率）2=降低后的售價列出方程，難度一般．10．（2015?江岸區校級模擬）新年里，一個小組有若干人，若每人給小組的其它成員贈送一張賀年卡，則全組送賀卡共72張，此小組人數為（）A．7 B．8 C．9 D．10【考點】一元二次方程的應用．【分析】設這個小組的人數為x個，則每個人要送其他（x﹣1）個人賀卡，則共有（x﹣1）x張賀卡，等于72張，由此可列方程．【解答】解：設這個小組有x人，則根據題意可列方程為：（x﹣1）x=72，解得：x1=9，x2=﹣8（舍去）．故選C．【點評】本題考查的是一元二次方程在實際生活中的應用，正確找準等價關系列方程即可，比較簡單．11．（2015?山西模擬）九（1）班同學畢業的時候，每人都必須與其他任何一位同學合照一張雙人照，全班共照相片780張，則九（1）班的人數是（）A．39 B．40 C．50 D．60【考點】一元二次方程的應用．【分析】設九（1）班共有x人，根據等量關系：每人都必須與其他任何一位同學合照一張雙人照，全班共照相片780張，列出方程求解即可．【解答】解：設九（1）班共有x人，根據題意得：x（x﹣1）=780，解之得x1=40，x2=﹣39（舍去），答：九（1）班共有40名學生．故選B．【點評】考查了一元二次方程的應用，判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．找到關鍵描述語，找到等量關系準確的列出方程是解決問題的關鍵．12．（2015?潮陽區一模）“五一”節老同學聚會，每兩個人都握一次手，所有人共握手28次，則參加聚會的人數是（）A．7 B．8 C．9 D．10【考點】一元二次方程的應用．【分析】設參加聚會的人數是x人，每個人都與另外的人握手一次，則每個人握手（x﹣1）次，且其中任何兩個人的握手只有一次，因而共有x（x﹣1）次，設出未知數列方程解答即可．【解答】解：設參加聚會的人數是x人，根據題意列方程得，x（x﹣1）=28，解得x1=8，x2=﹣7（不合題意，舍去）．答：參加聚會的人數是8人．故選：B．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，理解：設參加聚會的人數是x人，每個人都與另外的人握手一次，則每個人握手（x﹣1）次是關鍵．13．（2015?紅橋區二模）某服裝店原計劃按每套200元的價格銷售一批保暖內衣，但上市后銷售不佳，為減少庫存積壓，兩次連續降價打折處理，最后價格調整為每套128元．若兩次降價折扣率相同，則每次降價率為（）A．8% B．18% C．20% D．25%【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題．【分析】設每次降價的百分率為x，則第一次降價后的售價為200（1﹣x）元，第二次降價后的售價為200（1﹣x）（1﹣x）元，根據第二降價后的售價為128元建立方程求出其解即可．【解答】解：設每次降價的百分率為x，由題意，得200（1﹣x）2=128，解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合題意，舍去）．答：每次降價的百分率為20%．故選C．【點評】本題考查了列一元二次方程解降低率的問題的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時根據降低率的數量關系建立方程是關鍵，檢驗根是否符合題意是容易忘記的過程．14．（2015?蘭州二模）有一人患了流感，經過兩輪穿然后共有49人患了流感，設每輪傳染中平均一個人傳染了x人，則x的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【考點】一元二次方程的應用．【專題】應用題．【分析】根據題意列出方程，求出方程的解即可得到結果．【解答】解：根據題意得：1+x+x（1+x）=49，解得：x=6或x=﹣8（舍去），則x的值為6．故選：B．【點評】此題考查了一元二次方程的應用，找出題中的等量關系是解決本題的關鍵．15．（2015?泰安模擬）某工廠第二季度的產值比第一季度的產值增長了x%，第三季度的產值又比第二季度的產值增長了x%，則第三季度的產值比第一季度增長了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）?x% D．（2+x%）?x%【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題．【分析】根據題意列出正確的算式即可．【解答】解：根據題意得：第三季度的產值比第一季度增長了（2+x%）?x%，故選D【點評】此題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．16．（2015?臨沂模擬）某中學2012年投資11萬元新增一批電腦，計劃以后每年以相同的增長率進行投資，2014年投資18.59萬元．則該學校為新增電腦投資的年平均增長率為（）A．18% B．15% C．28% D．30%【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題．【分析】設該學校為新增電腦投資的年平均增長率為x，根據以后每年以相同的增長率進行投資，2014年投資18.59萬元，列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：設該學校為新增電腦投資的年平均增長率為x，根據題意得：11（1+x）2=18.59，解得：x1=0.3=30%，x2=﹣2.3（不合題意，舍去）．答：該學校為新增電腦投資的年平均增長率為30%．故選D．【點評】此題主要考查了一元二次方程的知識，屬于增長率的問題，一般公式為原來的量×（1±x）2=后來的量，其中增長用+，減少用﹣，難度一般．17．（2015?江岸區校級模擬）為提高民生，讓人民更好的享受經濟和社會發展的成果，今年多數藥品生產的企業對某些藥品實行降價，其中某種藥品經過再次降價，每盒下降了36%．假設每次降價的百分率相同，降價前的藥品價格為100元，則第一次降價后的價格為（）A．18元 B．36元 C．64元 D．80元【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題．【分析】設該藥品平均每次降價的百分率為x，根據降價后的價格=降價前的價格（1﹣降價的百分率），則第一次降價后的價格是100（1﹣x），第二次后的價格是100（1﹣x）2，據此即可列方程求解．【解答】解：∵原價為100元的藥品經過兩次降價后下降了36%，∴降價后的藥品價格為100（1﹣36%）=64元，設平均每次降價的百分率是x，依題意得：100（1﹣x）2=64，解方程得：x1=0.2=20%，x2=1.8（舍去），第一次降價的價格為100×（1﹣20%）=80元．故選D．【點評】本題考查了降低率問題的數量關系p（1﹣x）2=q的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時由降低率問題的等量關系建立方程是關鍵．18．（2015?東西湖區校級模擬）衛生部門為了控制前段時間紅眼病的流行傳染，對該種傳染病進行研究發現，若一人患了該病，經過兩輪傳染后共有121人患了該病．若按這樣的傳染速度，第三輪傳染后我們統計發現有2662人患了該病，則最開始有（）人患了該病．A．1 B．2 C．3 D．4【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題．【分析】首先設每輪一人傳染了x人，根據題意可得：第一輪患病的人數為1+1×傳播的人數；第一輪患病人數將成為第二輪的傳染源，第二輪患病的人數為第一輪患病的人數×傳播的人數，等量關系為：第一輪患病的人數+第二輪患病的人數=121求得每輪被傳染的人數，然后代入求得結果即可．【解答】解：設每輪一人傳染了x人，由題意得：1+x+（1+x）×x=121，（1+x）2=121，∵1+x＞0，∴1+x=11，x=10．∴每輪一人傳染了10人；設最開始有y人被傳染，則根據題意得：y+10y+10（y+10y）+10[y+10y+10（y+10y）]=2662，解得：y=2．故選B．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，有關傳染問題是一個一元二次方程的老問題，有著廣泛的應用，求得每輪傳染的人數是解答本題的關鍵．19．（2015?槐蔭區三模）如圖，矩形ABCD是由三個矩形拼接成的．如果AB=8，陰影部分的面積是24，另外兩個小矩形全等，那么小矩形的長為（）A．7 B．6 C．5 D．4【考點】一元二次方程的應用．【專題】幾何圖形問題．【分析】設小矩形的長為x，則小矩形的寬為8﹣x，然后表示出陰影部分的寬，從而根據其面積列出方程求解即可．【解答】解：設小矩形的長為x，則小矩形的寬為8﹣x，根據題意得：x[x﹣（8﹣x）]=24，解得：x=6或x=﹣2（舍去），故選B．【點評】考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是表示出陰影部分的長和寬，難度不大．20．（2015?新市區二模）為防治霧霾，保護環境，某市掀起“愛綠護綠”熱潮，經過兩年時間，綠地面積增加了21%，則這兩年的綠地面積的平均增長率是（）A．10% B．11.5% C．12% D．21%【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題．【分析】設出綠地面積的參數為a，利用原有綠地面積×（1+平均每年綠地面積的增長率）2=現在的綠地面積，列方程解答即可．【解答】解：設綠地面積為a，這兩年平均每年綠地面積的增長率是x，根據題意列方程得，a（1+x）2=a（1+21%），解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合題意，舍去）；答：這兩年平均每年綠地面積的增長率是10%．故選：A．【點評】此題考查一元二次方程的應用中最基本的數量關系：原有綠地面積×（1+平均每年綠地面積的增長率）2=現在的綠地面積．21．（2015?崇川區模擬）某種襯衣的價格經過連續兩次降價后，由每件150元降至96元，平均每次降價的百分率是（）A．10% B．20% C．30% D．40%【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題．【分析】如果價格每次降價的百分率為x，降一次后就是降到價格的（1﹣x）倍，連降兩次就是降到原來的（1﹣x）2倍．則兩次降價后的價格是150×（1﹣x）2，即可列方程求解．【解答】解：設平均每次降價的百分率為x，由題意得150×（1﹣x）2=96，解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合題意，舍去）．答：平均每次降價的百分率是20%．故選：B．【點評】本題考查數量平均變化率問題．原來的數量（價格）為a，平均每次增長或降低的百分率為x的話，經過第一次調整，就調整到a（1±x），再經過第二次調整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增長用“+”，下降用“﹣”．22．（2015?開江縣二模）“低碳生活，綠色出行”，電動汽車將逐漸代替燃油汽車，成為人們出行的主要交通工具，某城市一汽車銷售4S店，今年2月份銷售電動汽車共計64輛，4月份銷售電動汽車共計100輛．若每月汽車銷售增長率相同，則該汽車銷售4S店5月份能銷售電動汽車（）輛．A．111 B．118 C．125 D．132【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題．【分析】先根據2月份和4月份的銷售量求得月平均增長率；再根據求得的增長率求得5月份的銷量即可．【解答】解：設2月到4月電動汽車銷量的月平均增長率為x，根據題意列方程：64（1+x）2=100，解得x1=﹣225%（不合題意，舍去），x2=25%，100×（1+25%）=125（輛）．答：該汽車銷售4S店5月份能銷售電動汽車125輛．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是根據題意列出方程，這也是本題的難點．23．（2015?河西區二模）如圖，把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積擴大了一倍，則小圓形場地的半徑為（）A．5m B．（5+）m C．（5+3）m D．（5+5）m【考點】一元二次方程的應用．【專題】幾何圖形問題．【分析】根據等量關系“大圓的面積=2×小圓的面積”可以列出方程．【解答】解：設小圓的半徑為xm，則大圓的半徑為（x+5）m，根據題意得：π（x+5）2=2πx2，解得，x=5+5或x=5﹣5（不合題意，舍去）．故選D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，本題等量關系比較明顯，容易列出．24．（2015秋?廈門期末）某藥廠2013年生產1t甲種藥品的成本是6000元．隨著生產技術的進步，2015年生產1t甲種藥品的成本是3600元．設生產1t甲種藥品成本的年平均下降率為x，則x的值是（）A． B． C． D．【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題．【分析】設生產1t甲種藥品成本的年平均下降率為x，根據2013年生產1噸某藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，2015年生產1噸藥品的成本是3600元可列方程解答即可．【解答】解：設生產1t甲種藥品成本的年平均下降率為x，由題意得6000（1﹣x）2=3600解得：x1=，x2=（不合題意，舍去），答：生產1t甲種藥品成本的年平均下降率為．故選：A．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，根據增長率一般公式列出方程即可解決問題．25．（2015秋?沙河市期末）芳芳有一個無蓋的收納箱，該收納箱展開后的圖形（實線部分）如圖所示，將該圖形補充四個邊長為10cm的小正方形后，得到一個矩形，已知矩形的面積為2000cm2，根據圖中信息，可得x的值為（）A．10 B．20 C．25 D．30【考點】一元二次方程的應用．【專題】幾何圖形問題．【分析】根據矩形的面積公式列出關于x的一元二次方程，通過解方程即可求得x的值．【解答】解：依題意得：（x+10+2x）（x+x+x）=2000，解得x=20．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的應用．題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．26．（2015秋?武漢校級期末）某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是13，則每個支干長出（）A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支【考點】一元二次方程的應用．【專題】應用題．【分析】設每個支干長出x個小分支，利用主干、支干和小分支的總數是13列方程得到1+x+x?x=13，整理得x2+x﹣12=0，再利用因式分解法解方程求出x，然后檢驗即可得到x的值．【解答】解：設每個支干長出x個小分支，根據題意得1+x+x?x=13，整理得x2+x﹣12=0，解得x1=3，x2=﹣4（舍去）．答：每個支干長出3個小分支．故選B．【點評】本題考查了一元二次方程的應用：列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設未知數，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．27．（2015秋?蓮湖區期末）一件產品原來每件的成本是100元，在市場售價不變的情況下，由于連續兩次降低成本，現在利潤每件增加了19元，則平均每次降低成本的（）A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題．【分析】本題可設平均每次降低成本x，因為原來每件成本為100元，由于兩次降低成本，該產品在售價不變的情況下，每件利潤增加19元，所以有100﹣100（1﹣x）2=19，解這個方程即可求解．【解答】解：設平均每次降低成本x，根據題意得100﹣100（1﹣x）2=19，即（1﹣x）2=0.81，解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），所以平均每次降低成本10%．故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程的應用．只需仔細分析題意，利用方程即可解決問題，但要注意解的取舍．28．（2015秋?東平縣期末）元旦當天，小明將收到的一條短信，發送給若干人，每個收到短信的人又給相同數量的人轉發了這條短