第1頁（共1頁）2024年吉林省長春市高新區中考數學一模試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）《九章算術》是中國古代第一部數學專著，成書于公元一世紀左右．書中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，則分別叫做正數與負數，若氣溫為零上5℃記作+5C（）A．零下10℃ B．零下15℃ C．零上15℃ D．零上10℃2．（3分）清代袁枚的一首詩《苔》中的詩句：“苔花如米小，也學牡丹開”，已知1nm＝10﹣9m，若苔花的花粉直徑約為84000nm，則84000nm用科學記數法表示為（）A．8.4×10﹣5m B．0.84×10﹣4m C．8.4×10﹣4m D．8.4×104m3．（3分）如圖，建筑工人砌墻時，經常用細繩在墻的兩端之間拉一條參照線，這樣做蘊含的數學原理是（）A．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行 B．兩點確定一條直線 C．兩點之間線段最短 D．同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直4．（3分）如圖所示，從①②③④中選取一個正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖的是（）A．① B．② C．③ D．④5．（3分）不等式2x﹣4≥0的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．6．（3分）如圖，O為蹺蹺板AB的中點，支柱OC與地面MN垂直，當蹺蹺板的一端B著地時，蹺蹺板AB與地面MN的夾角為20°，則OC的長為（）A． B． C．0.8sin20° D．0.8cos20°7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝4，使得CD與BD的長度比等于3：4（即），則下列尺規作圖正確的是（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與函數的圖象交點A、B兩點，若△OAB的面積為3，則k的值為（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）因式分解：m2﹣2m＝．10．（3分）已知關于x的方程x2﹣3x﹣m＝0有兩個不相等的實根，則m的取值范圍是．11．（3分）如圖，BE是正五邊形ABCDE的對角線，點M在BE上．若AE＝EM．12．（3分）如圖是某位同學用帶有刻度的直尺在數軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行，則點P表示的數是．13．（3分）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4.8，BD平分∠ABC，若M，BC上的動點，則CM+MN的最小值為．14．（3分）如圖，將一個含45°的直角三角板ABC放在平面直角坐標系的第一象限，使直角頂點A的坐標為（1，0），過點A，C作拋物線y＝2x2+bx+c，且點A為拋物線的頂點．要使這條拋物線經過點B，那么拋物線要沿對稱軸向下平移個單位．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．（6分）先化簡，再求值：[3x2（1﹣2x）﹣3（x+1）（x﹣1）﹣3]÷（﹣2x），其中．16．（6分）春和景明，陽光和煦，小明和小亮相約周末外出游玩．現有三個景點可供游客選擇，B：長春市動植物公園，C：長影世紀城．請用畫樹狀圖（或列表）17．（6分）用計算機處理數據，為了防止數據輸入出錯，某研究室安排兩位程序操作員各輸入一遍，兩人各輸入2640個數據，已知甲的輸入速度是乙的2倍，這兩個操作員每分鐘各能輸入多少個數據？18．（7分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°．以AB為直徑的⊙O交BC于點D，連結DE．（1）求證：DE為⊙O的切線．（2）若AB＝8，∠C＝40°，則弧AD的長為.（結果保留π）19．（7分）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點．點A、B都在格點上，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．（1）在圖①中，作出與線段AB平行的線段CD，使點C、D都在格點上；（2）在圖②中，以AB為腰作等腰△ABE．（3）在圖③中，作出△ABF，使△ABF的面積為320．（7分）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然之氣．”某校為了解學生在停課不停學中的閱讀情況（七、八年級學生人數相同），調查了他們周一至周五的閱讀情況，根據調查情況得到如下統計圖表：參加閱讀學讀時間折線統計圖年級參加閱讀人數周一周二周三周四周五七年級2530354035八年級2031293540合計4561647575（1）根據上述統計圖表，八年級周一至周五平均閱讀時間的中位數為分鐘；（2）若七年級參加閱讀人數的方差為，八年級參加閱讀人數的方差為，則（填“＞”，“＜”或“＝”）．（3）請你結合周一至周五閱讀人數統計表，估計該校七、八年級共1200名學生中，周一至周五平均每天有多少人進行閱讀？21．（8分）蓄電池發展水平是制約新能源汽車發展的關鍵要素．小明爸爸根據自家電動汽車儀表顯示，感覺蓄電池充滿電后，用前半部分電量所行駛的路程，并將蓄電池剩余電量y（千瓦時）和已行駛路程x（千米），用函數圖象表示如下．（1）電池充滿電時的電量為千瓦時；（2）求BC所對應的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）在電量允許的情況下，如果在某段連續行駛時間里，汽車消耗了10千瓦時的電量22．（9分）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓．【問題原型】如圖①，連結AO，延長AO交弦BC于點M；【問題解決】小明給出了自己的證明方法如下：∵三角形外接圓的圓心為三邊垂直平分線的交點且△ABC為等邊三角形，∴，，∴∠BOP＝∠BAP+∠BAP＝60°，則△OBP為等邊三角形，同理可得：△OPC也為等邊三角形，∴PA＝AO+OP＝PB+PC．【方法應用】如圖②，若P為BC上任意一點，連結PA，PC，（1）中的結論是否成立？若成立；若不成立，請說明理由．【拓展提升】如圖③，若⊙O的半徑為3，且P為BC上一點，且．23．（10分）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝4，沿線段CA以每秒1個單位的速度向終點A運動，點P從點B出發，作點Q關于AB的對稱點為M，以PQ、QM為鄰邊構造?PQMN．點P、Q同時出發，點P也隨之停止運動，設點P的運動時間為t秒．（1）求線段PC的長（用含t的代數式表示）．（2）連結BM，則BM的最小值是．（3）當?PQMN是菱形時，求t的值．（4）連結QN，當QN與△ABC的一條邊平行或垂直時，直接寫出t的值．24．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（4，2）．點A在拋物線上，點A的橫坐標為m．點C的坐標為（2﹣m，2﹣2m），使AB⊥y軸．（1）求拋物線所對應的函數表達式．（2）當m＝2時，求拋物線在矩形ABCD內部的圖象（包含邊界）的最大值與最小值的差．（3）當拋物線與矩形ABCD的邊恰好有4個交點時，求m的取值范圍．（4）當點A在拋物線對稱軸左側時．若矩形ABCD的邊BC或CD與拋物線交于點E（點E不與點A重合），連結AE．若AE與坐標軸恰好有一個交點時，直接寫出m的取值范圍．

2024年吉林省長春市高新區中考數學一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）《九章算術》是中國古代第一部數學專著，成書于公元一世紀左右．書中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，則分別叫做正數與負數，若氣溫為零上5℃記作+5C（）A．零下10℃ B．零下15℃ C．零上15℃ D．零上10℃【解答】解：氣溫為零上5℃記作+5℃，則﹣10℃表示氣溫為零下10℃，故選：A．2．（3分）清代袁枚的一首詩《苔》中的詩句：“苔花如米小，也學牡丹開”，已知1nm＝10﹣9m，若苔花的花粉直徑約為84000nm，則84000nm用科學記數法表示為（）A．8.4×10﹣5m B．0.84×10﹣4m C．8.4×10﹣4m D．8.4×104m【解答】解：84000nm＝84000×10﹣9m＝8.6×10﹣5m．故選：A．3．（3分）如圖，建筑工人砌墻時，經常用細繩在墻的兩端之間拉一條參照線，這樣做蘊含的數學原理是（）A．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行 B．兩點確定一條直線 C．兩點之間線段最短 D．同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【解答】解：建筑工人砌墻時，經常用細繩在墻的兩端之間拉一條參照線，這樣做蘊含的數學原理是兩點確定一條直線．故選：B．4．（3分）如圖所示，從①②③④中選取一個正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖的是（）A．① B．② C．③ D．④【解答】解：由圖可得，一個正方形放在①能圍成正方體、③、④不能圍成正方體．故選：A．5．（3分）不等式2x﹣4≥0的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：不等式2x﹣4≥7的解集是x≥2，又知：大于應向右畫，包括2時，故選：C．6．（3分）如圖，O為蹺蹺板AB的中點，支柱OC與地面MN垂直，當蹺蹺板的一端B著地時，蹺蹺板AB與地面MN的夾角為20°，則OC的長為（）A． B． C．0.8sin20° D．0.8cos20°【解答】解：∵O為蹺蹺板AB的中點，AB＝1.6m，∴OB＝5.8m，在Rt△OCB中，sinB＝，則OC＝OB?sinB＝0.5sin20°，故選：C．7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝4，使得CD與BD的長度比等于3：4（即），則下列尺規作圖正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項C中，過點D作DEAB于點E．由作圖可知AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴＝＝，∵AB＝4，AC＝4，∴＝，∴點D符合條件．故選：C．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與函數的圖象交點A、B兩點，若△OAB的面積為3，則k的值為（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3【解答】解：如圖，連接AC，∵直線BC的解析式為直線，∴C（0，2），∵兩條直線的k值相等，∴AO∥BC，∴S△AOB＝S△AOC＝7，∴丨xA丨＝3，∴xA＝﹣3，將xA＝﹣3代入正比例函數得，y＝﹣×（﹣6）＝2，∴A（﹣3，7），∵A（﹣3，2）在反比例函數圖象上，∴k＝﹣5．故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）因式分解：m2﹣2m＝m（m﹣2）．【解答】解：m2﹣2m＝m（m﹣5）．故答案為：m（m﹣2）．10．（3分）已知關于x的方程x2﹣3x﹣m＝0有兩個不相等的實根，則m的取值范圍是m＞﹣．【解答】解：根據題意得Δ＝（﹣3）2﹣6×（﹣m）＞0，解得m＞﹣．故答案為m＞﹣．11．（3分）如圖，BE是正五邊形ABCDE的對角線，點M在BE上．若AE＝EM72°．【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE＝＝108°，∴∠ABE＝∠AEB＝＝36°，∵AE＝EM，∴∠AME＝∠MAE＝＝72°．故答案為：72°．12．（3分）如圖是某位同學用帶有刻度的直尺在數軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行，則點P表示的數是．【解答】解：設點P表示的數為x，根據平行線分線段成比例可得，，解得x＝，經檢驗：x＝是原方程的解且符合題意，∴點P表示的數是．故答案為：．13．（3分）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4.8，BD平分∠ABC，若M，BC上的動點，則CM+MN的最小值為5．【解答】解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于點E，∴MN＝ME，∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面積為12，AB＝4.8，∴×4.3?CE＝12，∴CE＝＝5．即CM+MN的最小值為5．故答案為：4．14．（3分）如圖，將一個含45°的直角三角板ABC放在平面直角坐標系的第一象限，使直角頂點A的坐標為（1，0），過點A，C作拋物線y＝2x2+bx+c，且點A為拋物線的頂點．要使這條拋物線經過點B，那么拋物線要沿對稱軸向下平移7個單位．【解答】解：如圖，過B作BM⊥x軸于M，∵拋物線y＝2x2+bx+c的頂點為A（7，0），∴x＝﹣＝4，∴b＝﹣4，∴2﹣8+c＝0，解得c＝2，∴拋物線為：y＝6x2﹣4x+3，∴C（0，2），∵AC＝AB，∠CAB＝∠COA＝∠AMB＝90°，∴∠CAO+∠BAM＝∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠CAO＝∠ABM，∴△CAO≌△ABM（AAS），∴CO＝AM＝3，OA＝BM＝1，∴B（3，5），∵y＝2x2﹣5x+2＝2（x﹣3）2，設拋物線向下平移n個單位后過B點，∴y＝2（x﹣8）2﹣n過B點，∴8﹣n＝4，解得：n＝7．故答案為：7．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．（6分）先化簡，再求值：[3x2（1﹣2x）﹣3（x+1）（x﹣1）﹣3]÷（﹣2x），其中．【解答】解：原式＝（3x2﹣5x3﹣3x3+3﹣3）÷（﹣7x）＝（﹣6x3）÷（﹣6x）＝3x2，當x＝﹣時，原式＝3×（﹣）5＝15．16．（6分）春和景明，陽光和煦，小明和小亮相約周末外出游玩．現有三個景點可供游客選擇，B：長春市動植物公園，C：長影世紀城．請用畫樹狀圖（或列表）【解答】解：畫樹狀圖為：共有9種等可能的結果，其中兩名同學選擇同一景點游玩的結果數為3，所以小明和小亮恰好選擇同一景點游玩的概率＝＝．17．（6分）用計算機處理數據，為了防止數據輸入出錯，某研究室安排兩位程序操作員各輸入一遍，兩人各輸入2640個數據，已知甲的輸入速度是乙的2倍，這兩個操作員每分鐘各能輸入多少個數據？【解答】解：設乙每小時輸x個數據，根據題意得：﹣＝2，解得x＝660；經檢驗x＝660是原方程的解．則甲每小時輸1320名學生成績；1320÷60＝22（個），660÷60＝11（個）．答：甲每分鐘輸22個數據，乙每分鐘輸11個數據．18．（7分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°．以AB為直徑的⊙O交BC于點D，連結DE．（1）求證：DE為⊙O的切線．（2）若AB＝8，∠C＝40°，則弧AD的長為.（結果保留π）【解答】（1）證明：連結OD，如圖，∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB＝90°．∴∠ADC＝90°，∵點E為AC中點，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD+∠DAE＝∠ODA+∠ADE，∴∠ODE＝90°，∴∠ODA+∠ADE＝90°，即∠ODE＝90°．∴OD⊥DE∵OD是⊙O半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵∠BAC＝90°，∠C＝40°，∴∠B＝50°，∴∠AOD＝2∠B＝100°．∵AB＝8，∴OA＝OD＝2．∴弧AD的長為＝．故答案為：．19．（7分）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點．點A、B都在格點上，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．（1）在圖①中，作出與線段AB平行的線段CD，使點C、D都在格點上；（2）在圖②中，以AB為腰作等腰△ABE．（3）在圖③中，作出△ABF，使△ABF的面積為3【解答】解：（1）如圖①中，線段CD即為所求（答案不唯一）；（2）如圖②中，△ABE即為所求；（3）如圖③中，△ABF即為所求．20．（7分）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然之氣．”某校為了解學生在停課不停學中的閱讀情況（七、八年級學生人數相同），調查了他們周一至周五的閱讀情況，根據調查情況得到如下統計圖表：參加閱讀學讀時間折線統計圖年級參加閱讀人數周一周二周三周四周五七年級2530354035八年級2031293540合計4561647575（1）根據上述統計圖表，八年級周一至周五平均閱讀時間的中位數為24分鐘；（2）若七年級參加閱讀人數的方差為，八年級參加閱讀人數的方差為，則＜（填“＞”，“＜”或“＝”）．（3）請你結合周一至周五閱讀人數統計表，估計該校七、八年級共1200名學生中，周一至周五平均每天有多少人進行閱讀？【解答】解：（1）由統計圖可知：八年級周一至周五平均閱讀時間由小到大排列如下：15，20，30，共5個數據，處在中間的一個數據是24，∴八年級周一至周五平均閱讀時間的中位數為：24，故答案為：24；（2）七年級參加閱讀人數的平均數＝（25+30+35+40+35）＝33，七年級參加閱讀人數的方差＝[（25﹣33）2+（30﹣33）2+（35﹣33）2+（40﹣33）6+（35﹣33）2]＝26，八年級參加閱讀人數的平均數＝（20+31+29+35+40）＝31，八年級參加閱讀人數的方差＝[（20﹣31）6+（31﹣31）2+（29﹣31）2+（35﹣31）6+（40﹣31）2]＝44.4，∵31＜44.4，∴＜，故答案為：＜；（3）樣本中周一至周五平均每天進行閱讀的人數為（45+61+64+75+75）＝64，×1200＝960（人），答：周一至周五平均每天約有960人進行閱讀．21．（8分）蓄電池發展水平是制約新能源汽車發展的關鍵要素．小明爸爸根據自家電動汽車儀表顯示，感覺蓄電池充滿電后，用前半部分電量所行駛的路程，并將蓄電池剩余電量y（千瓦時）和已行駛路程x（千米），用函數圖象表示如下．（1）電池充滿電時的電量為60千瓦時；（2）求BC所對應的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）在電量允許的情況下，如果在某段連續行駛時間里，汽車消耗了10千瓦時的電量【解答】解：（1）觀察函數圖象可知，電池充滿電的電量為60千瓦時；故答案為：60；（2）設BC所對應的函數關系式為y＝kx+b，把（150，35）和（200，解得，∴BC所對應的函數關系式為y＝﹣x+110；（3）當在AB段消耗了10千瓦時的電量時，s＝；當在BC段消耗了10千瓦時的電量時，s＝；∴20≤s≤60．22．（9分）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓．【問題原型】如圖①，連結AO，延長AO交弦BC于點M；【問題解決】小明給出了自己的證明方法如下：∵三角形外接圓的圓心為三邊垂直平分線的交點且△ABC為等邊三角形，∴，，∴∠BOP＝∠BAP+∠BAP＝60°，則△OBP為等邊三角形，同理可得：△OPC也為等邊三角形，∴PA＝AO+OP＝PB+PC．【方法應用】如圖②，若P為BC上任意一點，連結PA，PC，（1）中的結論是否成立？若成立；若不成立，請說明理由．【拓展提升】如圖③，若⊙O的半徑為3，且P為BC上一點，且．【解答】解：【方法應用】結論成立．延長PC到D，使CD＝BP，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵四邊形ABPC為圓內接四邊形，∴∠ACD＝∠ABP，∴△ABP≌△ACD，∴AP＝AD，∠BAP＝∠CAD，∵∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠CAD+∠PAC＝60°，∴△APD為等邊三角形，∴PA＝PD，∴PA＝PC+CD，即PA＝PB+PC．【拓展提升】如圖③，連接PA，且四邊形ABPC的面積等于以PA為邊長的等邊三角形的面積．作OF⊥BC于F，∴BF＝CF，連接OB，作CE⊥BP的延長線于E，∵O為等邊三角形的中心點，∴∠OBF＝30°，∴OF＝OB＝，∴BF＝＝，∴BC＝2BF＝3，∵四邊形ABPC為圓內接四邊形，∴∠CPE＝∠BAC＝60°，∴∠PCD＝30°，∴PE＝PC＝，∴CE＝＝，∴BE＝＝，∴PB＝BE﹣PE＝，∴PB+PC＝＝PA，∴以PA為邊的等邊三角形的面積為：＝，∴四邊形ABPC的面積為：．故答案為：．23．（10分）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝4，沿線段CA以每秒1個單位的速度向終點A運動，點P從點B出發，作點Q關于AB的對稱點為M，以PQ、QM為鄰邊構造?PQMN．點P、Q同時出發，點P也隨之停止運動，設點P的運動時間為t秒．（1）求線段PC的長（用含t的代數式表示）．（2）連結BM，則BM的最小值是4．（3）當?PQMN是菱形時，求t的值．（4）連結QN，當QN與△ABC的一條邊平行或垂直時，直接寫出t的值．【解答】解：（1）由題意得：PB＝2t，分兩種情況：當0≤t＜4時，點P在邊BC上；當2＜t≤4時，點P在BC的延長線上；（2）如圖4，連接BQ，∵點Q關于AB的對稱點為M，∴BM＝BQ，當BQ最小時，BM的值最小，∴當BQ⊥AC時，此時Q與C重合，∴BM的最小值是4；故答案為：4；（3）由題意得：CQ＝t，∴AQ＝6﹣t，如圖2，設QM與AC交于點T，∵Q關于AB的對稱點為M，AC＝BC＝4，∴△AQT是等腰直角三角形，∴QT＝AQ，∴，在Rt△PCQ中，由勾股定理得：，當?PQMN是菱形時，PQ＝QM，∴，t2＝，∴t1＝﹣（舍去），t5＝；（4）如圖3，當QN⊥CB時，由（3）知∠AQM＝45°，∴∠NQM＝135°，∵四邊形PNMQ是平行四邊形，∴QM＝PN，QM∥PN，∴∠NQM＝∠PNQ＝135°，∴∠CNP＝45°，∵∠ACB＝∠ACP＝90°，∴△PCN是等腰直角三角形，∴PN＝PC，∴QM＝PC，∴4﹣t＝，∴t＝；如圖4，當QN∥BC時，此時，PC＝0，∴2﹣2t＝0，∴t＝3；如圖4，當QN∥AB時，∴∠ATQ＝∠NQM＝90°，∵QM∥PN，∴∠PNQ＝∠NQM＝90°，∵∠AQT＝45°，∴∠GQN＝∠QGN＝∠PGC＝45°，∴△PGC和△QGN是等腰直角三角形