2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試

數(shù)學(xué)?全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、

準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無(wú)效.

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

4.測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合要求的。

1.（本題4分）已知集合”={1,2,3},8={x|x（2r"0},則/口8=（）

A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,2,3}

【答案】A

【分析】求出集合3,利用交集運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)?=口,2,3}

8={x|x（2-x）20}={x|x（x-2）4（）}={x104x42}

所以/n8={i,2},

故選：A.

2.（本題4分）復(fù)數(shù)z=獸，在復(fù)平面內(nèi)z的共軌復(fù)數(shù)彳對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到z,再由共朝復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

3+2i(3+2i)(l+i)_l5

【詳解】----------------------1

1-i(l-i)(l+i)22

1

復(fù)數(shù)Z=答的共軻復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，

1-1

故選：D.

3.（本題4分）已知向量Z=（2#石=（尤,2）,若,+3@/（力）,則實(shí)數(shù)x=（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù).

［詳解］<7+3/5=（2+3x,7）,a-b=,

因?yàn)?+3郎/（“-3）,所以（2+3x）x（-l）=7x（2r）,解得x=4.

故選：B

4.（本題4分）已知直線”7,〃與平面生力,7滿足。_1￡,￡|"|"=加,"，。,"<=7，則下列判斷一定正確

的是

A.m///,cr±/B.〃//尸,a_LyC.（31ly.aLyD.mLn,aLy

【答案】D

【分析】根據(jù)利用線面垂直的性質(zhì)證得"，"，，再結(jié)合面面垂直的判定定理，證得

即可得到答案.

【詳解】因?yàn)?口力=加，可得加ua,

又因?yàn)?_La,所以力1加，

因?yàn)?_La,且"uy,所以a_L九

故選：D.

5.（本題4分）在AZSC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是。,b,c,已知ccos2+6cosC=2acosA,

a=2,AABC的面積為百，則“8C的周長(zhǎng)是（）

A.4B.6C.8D.18

【答案】B

【分析】由正弦定理和和角公式得到COS/=：,得到/=三，由三角形面積公式得到bc=4,再利用

余弦定理求出b+c=4,得到答案.

【詳解】ccosB+bcosC=2acosA,由正弦定理得，sinCcosB+sin3cosc=2sin/cosN,

2

XsinCcos5+sin5cosC=sin（5+C）=sin74,

所以sinZ=2sin4cos/,

因?yàn)榱Α辏?,兀），所以sinZwO,故cos4=；,

因?yàn)榱?0,兀），所以力J,

由三角形面積公式可得=，故6c=4,

24

2

由余弦定理得cos/=1+cT=（b+c）2-=（Z>+C）-8-4J_,

2bc2bc82

解得6+c=4或-4（舍去），

故三角形周長(zhǎng)為4+2=6.

故選：B

6.（本題4分）己知E,是公差為d（d#0）的無(wú)窮等差數(shù)列｛0“｝的前”項(xiàng)和，設(shè)甲：數(shù)列｛Sj是遞

增數(shù)列，乙：對(duì)任意“eN*,均有S.>0,貝！］（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【分析】利用定義法直接判斷

【詳解】充分性：因?yàn)閿?shù)列｛$“｝是遞增數(shù)列，取數(shù)列為：-1,1,3,5……符合數(shù)列｛%｝為無(wú)窮

等差數(shù)列，

且｛邑｝是遞增數(shù)列，但H=-l<0,故充分性不滿足；

必要性：因?yàn)閷?duì)于任意的〃eN*,均有S“>0,所以得岳=%>0,又因?yàn)閿?shù)列｛%｝為無(wú)窮等差數(shù)列，

所以公差大于零，所以可得數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，故必要性滿足.

綜上所述：甲是乙的必要不充分條件，故B項(xiàng)正確.

故選：B.

7.（本題4分）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術(shù)”，劉徽認(rèn)為圓的內(nèi)接正"邊形

隨著邊數(shù)〃的無(wú)限增大，圓的內(nèi)接正〃邊形的周長(zhǎng)就無(wú)限接近圓的周長(zhǎng)，并由此求得圓周率兀的近似

值.如圖當(dāng)〃=6時(shí)，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為6人故兀合￡,即萬(wàn)々3.運(yùn)用“割圓術(shù)”的思想，下

3

列估算正確的是()

A.幾=12時(shí)，7i?12sinl5°B.〃=12時(shí)，JT?6sinl50

C.〃=12時(shí)，兀212cos15°D.〃=12時(shí)，兀q24cos15°

【答案】A

【分析】求出正十二邊形的周長(zhǎng)可得出兀。當(dāng)，即可得解.

2r

【詳解】設(shè)圓的內(nèi)接正十二邊形被分成12個(gè)如圖所示的等腰三角形，其頂角為30。，即乙4。2=30。,

作。”于點(diǎn)H,則H為48的中點(diǎn)，且NNOH=15°,

因?yàn)镺/=OB=r,在RtZkZ。"中，sinZAOH=——,即sinl5-=——，

OAr

所以，AH=rsm\5°,則=2NH=2廠sinl5°,

T?4rsin15°

所以，正十二邊形的周長(zhǎng)為￡=12x2rxsinl5。=24rsinl5°,所以，兀a—=----------12sin150.

2r2r

故選：A.

8.(本題4分)函數(shù)/(x)=Nsin(ox-mj+6(N>0,a)>0,6eR)的圖象向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)

度后得到函數(shù)g(x)的圖象，g(x)與“X)的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，則。可能的取值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】先根據(jù)圖象平移得到函數(shù)g(x)的解析式；再根據(jù)兩函數(shù)圖象關(guān)于夕軸對(duì)稱及誘導(dǎo)公式得到

關(guān)于。的等式即可得出答案.

4

【詳解】由題意可得函數(shù)目⑴二人由卜卜+3-1+b=Asin（COTI心7

COK+.......1+/?

133）

因?yàn)間（x）與/（x）的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，

所以g（x）=/（-x）,gpAsin^69%++b=Asin^-cox-\口+6,

.（G7l兀）（兀、

BnnPsin1cox+———y1=sinl-cox-y1.

由誘導(dǎo)公式可得：sin（-Gx_；）=_sin（Gx+E）=sin）《2左+）兀,kA

所以sin（ox+*^-T=sin[ox+0左+1）兀,kGZ

口n。兀兀兀c八7）一（①兀兀、

即cox+————=cox+—+\2kx+1）兀,左GZ,或1+—y1+COX+=2左2兀，左2WZ.

因?yàn)閤eR

所以解得：g=2+3（2%+1）兀,左1GZ

故當(dāng)左=0時(shí)，0=5.

故選：C.

22

（本題分）已知雙曲線：（。>）的左、

9.4C?-1r=10,6>0右焦點(diǎn)分別為￡,F2,雙曲線的左頂

點(diǎn)為A,以片片為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P,。兩點(diǎn)，其中點(diǎn)。在了軸右側(cè)，若

\AQ\>2\AP\,則該雙曲線的離心率的取值范圍是(

A.(1,6]B.C.□D.]亍，+8)

【答案】C

+/=c2,不妨設(shè)雙曲線的漸近線為y=2x,

【分析】先由題意，得到以耳鳥為直徑的圓的方程為V

a

求出點(diǎn)尸，。的坐標(biāo),結(jié)合條件求出。，C之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率的取值范圍.

1不妨設(shè)雙曲線的漸近線為，

【詳解】由題意，以片工為直徑的圓的方程為C,y=2X

a

brr

y=—x\x=a\x=-a

由｛a,解得\人或｛人，

22

x+/=c3jI%-。

5

Q（a,b）,P（-a,-b）.

又A為雙曲線的左頂點(diǎn)，則-a,0),

A\AQ\=&+4+r,\AP\=-{-a+b~=b,

V\AQ\>2\AP\,

：.^a+a)2+b2>2b,即4/23(c2-a2],

,7_

/?e~<—,又e>1,

3

故選：c.

10.(本題4分)在一個(gè)正方體力BCD-4耳C01中，尸為正方形44GA四邊上的動(dòng)點(diǎn)，。為底

面正方形N8CD的中心，M,"分別為/及8<?中點(diǎn)，點(diǎn)。為平面/3CD內(nèi)一點(diǎn)，線段DQ與OP互

相平分，則滿足而。=2礪的實(shí)數(shù)2的值有

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【詳解】因?yàn)榫€段D/。與OP互相平分,

所以四點(diǎn)。，。，P,。共面，

6

且四邊形。0尸。/為平行四邊形.若尸在線段GD上時(shí),

。一定在線段ON上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)尸為GD的中點(diǎn)時(shí)，

0與點(diǎn)”重合，此時(shí)%=1,符合題意.

若P在線段CiBi與線段BiAi上時(shí)，在平面ABCD找不到符合條件。；

在尸在線段。上時(shí)，點(diǎn)0在直線0M上運(yùn)動(dòng),

只有當(dāng)尸為線段D/4的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)M重合,

此時(shí)4=0符合題意，所以符合條件的力值有兩個(gè)

故選C.

第n卷（非選擇題共uo分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.（本題5分）已知函數(shù)/（x）=<

HU，則"）+“」）

【答案】0

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式進(jìn)行求值.

2Tx40

【詳解】依題意，

log2x,x>0

7

L111

=log22+——1=-+—1=0.

2?222

故答案為：0

「的展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16,則展開(kāi)式中V的系數(shù)

12.（本題5分）若X二

X

為.

【答案】-10

X-；：展開(kāi)式中第『+1項(xiàng)為

【分析】由展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16可得〃=5,則

.J-",令5—2尸=3可得答案.

=16=〃=5.

-x5-2r

令5-2廠=3可得r=l,則V的系數(shù)為-2?以=-10.

故答案為：-10

13.（本題5分）已知命題P：若。，，為第一象限角，且。>夕，貝!|tana>tan/?.能說(shuō)明夕為假命題

的一組的值為,。=.

.小田、9兀71

【答案】彳J

【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ龋?tan尤在jo,日上單調(diào)遞增，若0<%<九<^，則tanq）<tan4，

取二=24兀+%,尸=2《兀+月就,《GZ,

則tana=tan（2左兀+4）=tanao,tanj0=tan（2k27i+j8o）=tan^,即tana<tan尸，

令左1〉左2，則a—夕=（2左1兀+4）_（2左2兀+夕0）=2（尢_左2）兀+（g_尸0）,

因?yàn)?（左1）兀227t,-y<4—人<0,貝!ja_萬(wàn)=2（尢一左2）冗+（g_￡o）>>0，

即左1〉左2，則。>尸.

8

jrjrMjrir

不妨取左i=1,后2=="凡=§，即a=—，^=］滿足題意.

1>“人.〉)、r9兀7T

故答案為：—.

43

14.(本題5分)已知定義在{xeR|xwO}上的函數(shù)/(x)具備下列性質(zhì)，①/(x)是偶函數(shù)，②/(x)

在(0,+司上單調(diào)遞增，③對(duì)任意非零實(shí)數(shù)X、了都有/(盯)=1(x)+15),寫出符合條件的函數(shù)

〃x)的一個(gè)解析式(寫一個(gè)即可).

【答案】/(x)=ln|x|(答案不唯一)

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)、函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出結(jié)果.

【詳解】函數(shù)/(尤)=1中|的定義域?yàn)閧xeR|?0},

對(duì)任意的xe{xeR|xH。},/(-x)=ln|-x|=ln|x|=/(x),

即函數(shù)/(x)=ln|x|為偶函數(shù)，/(x)=ln|x|滿足①；

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=lnx,則函數(shù)/(x)=lnW在(0,+e)上為增函數(shù)，/(x)=ln|x|滿足②；

對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x、y,f(xy)=ln\xy\=ln\x\+ln\y\=f(x)+f(y),/(x)=ln|x|滿足③.

故滿足條件的一個(gè)函數(shù)解析式為〃尤)=ln|x|.

故答案為：/(x)=ln|x|(答案不唯一).

15.(本題5分)對(duì)于定義在R上的函數(shù)/⑺，及區(qū)間//［R,記及={〃x)|xe/*}(左=1,2),

f—x?—2xx<0

若耳口$2力0，則稱4/2為“X)的平區(qū)間對(duì)”.已知函數(shù)y(x)=2-，+°'x；o'給出下列四個(gè)結(jié)

論:①若(-⑼和(0,+8)是“X)的，區(qū)間對(duì)“，則。的取值范圍是(F』；②若(-8,0］和(0,+8)

不是/(X)的““區(qū)間對(duì)”，則對(duì)任意〃7>0,(-8,間和(加,+00)也不是〃龍)的““區(qū)間對(duì)”；③存在實(shí)數(shù)

%,使得對(duì)任意。eR,(-8,X。］和(％,+00)都是/(X)的“步區(qū)間對(duì)”；④對(duì)任意aeR,都存在實(shí)數(shù)看,

使得和(％,+8)不是〃x)的“產(chǎn)區(qū)間對(duì)”；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③④

【分析】根據(jù)““區(qū)間對(duì)”的定義，逐條進(jìn)行判斷即可求解.

9

【詳解】由題意得上)=尸：一2%y,

[2x+a,x>0

對(duì)于①：若(-8,0]和(0,+8)是的，歡區(qū)間對(duì)”,不妨設(shè)/=(-?>,0],Z2=(O,+?),

所以SiClS27t0,當(dāng)xe(0,+oo),f(x)=2~x+a<f(0)=\+a,即a</(x)<a+1,S]=(a,a+l)

22

當(dāng)xe(-8,0],/(x)=-x-2x=-(x+l)+1<1,即S2=(-<?,1]

因?yàn)镠AS2片0，所以a<l,則a的取值范圍為(-00/).故①錯(cuò)誤.

對(duì)于②：若(-8期和(0,+動(dòng)不是“X)的”區(qū)間對(duì)",則En$=0,

即a>l,所以對(duì)任意的〃z>0,當(dāng)xe(-coj〃],即xe(-oo,0]5(),m)時(shí)

此時(shí)〃x)在區(qū)間(-8,0]上〃x)Wl,在(0,〃)上2-6+aV/(x)<a+l,所以

Sj=(-oo,l]u[a+2-m,a+l),

當(dāng)xe(m,+co),a<f(x)<a+2'm,所以S?=(a,a+2-“)，

所以Ens=0成立，即(-叫間和(見(jiàn)+s)不是〃尤)的“〃區(qū)間對(duì)”，故②正確.

對(duì)于③：存在％0?-2,0],由①知,當(dāng)xe(Yo,0],/(X)=-x2-2x=-(x+1)2+1,關(guān)于x=-l對(duì)稱,

當(dāng)總有/(%)=f(-2-x0),因?yàn)椋(-00,x0],-2-x0e(%,+00),即

故符合題意；

當(dāng)修五一1,0]時(shí)，總有/(X。)=f(-2-Xo),因?yàn)橐?-Xoe(-00,%],x0e(x0,+ao)，即EDS?W0,

故符合題意；

因?yàn)?e(-00,x0],-2-x0e(%,+(?),即品口邑片。，故符合題意；

綜上所述：存在無(wú)。4-2叫，使得對(duì)任意aeR,(-應(yīng)x0]和(％,+8)都是〃x)的“產(chǎn)區(qū)間對(duì)”故③正確.

對(duì)于④：由①知，當(dāng)aeR,不妨設(shè)〃>1,由②知，存在x°e(0,+s)使w口邑=0,故符合題意；

當(dāng)04a41時(shí),存在x°e(-叫-2),^xe(-w,x0],/(x)<0,

當(dāng)尤e(%,+8),0</(x)<a+l,所以5加52=0,故符合題意；

當(dāng)”0,存在毛e(-oo,a),當(dāng)xe(-oo,Xo],f(x)<a,

10

當(dāng)xe(x°,+8),a</(x)<l,所以耳口凡=0,故符合題意；

綜上所述：對(duì)任意”R,都存在實(shí)數(shù)%,使得和(％,+8)不是〃x)的““區(qū)間對(duì)”故④正確.

故答案為：②③④.

三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

16.(本題13分)已知函數(shù)/卜)=2$皿5+夕)(。>0,0<夕<3的圖象與直線〉=2的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)

間的距離為2兀，且.在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中，并解答(若選擇多個(gè)

分別解答，以選擇第一個(gè)計(jì)分.)

①函數(shù)皆為偶函數(shù)；

②佃3

③VxeR,/(x)</^

⑴求函數(shù)〃x)的解析式；

⑵若將“X)的圖象向右平移;個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(H在區(qū)間住,個(gè)]上的最

大值和最小值，并指出相應(yīng)的X的值.

【答案】(l)〃x)=2sin["(2)g(x)的為最大值2,x=gg(x)的最小值為1,x=^

【分析】(1)由題意可得函數(shù)最小正周期，由此求出。=1,選①：結(jié)合函數(shù)的奇偶性求出?，即得

答案；選②，根據(jù)特殊角的函數(shù)值求得?，即得答案；選③，可確定x==時(shí)，函數(shù)取最大值，由此

求得夕，即得答案；

(2)根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移可得g(x)的表達(dá)式，由x的范圍確定x+R的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)

的性質(zhì)，即可求得答案.

【詳解】(1)由題意知函數(shù)〃x)=2sin(0x+p)的圖象與直線y=2的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2兀，

2兀

故函數(shù)最小正周期「=」=2兀，即。=1,

a)

故/(x)=2sin(x+p)；

選①:函數(shù)1+胃為偶函數(shù)，即/"￡|=2sin(x+9+皆為偶函數(shù)，

兀兀兀

故夕+—=—+ku,左￡Z,.?.0=一+左兀,左￡Z,

623

11

又0＜。苦,故9=則/(x)=2sinX+y

TTTTTT27r

則一+°=—+2far,左EZ或一+夕=——+2E,A:eZ,

3333

7T

即夕=2/CTI,左GZ或夕=§■+2/CTI,左￡Z,

71

結(jié)合o(夕<>故"則〃x)=2sinX+~

，3

選③：VxeR,/(x)</則x=B時(shí),函數(shù)取最大值,

6

兀兀7L

—(P——F2左兀,k￡Z,(p——F2左兀,左wZ,

623

結(jié)合0<0苦，故"=],則/(x)=2sinX+y

(2)將〃x)的圖象向右平移;個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象,

兀71兀71c?兀

艮Rg(x)=2sinX-—I——2sinx+—,

43I12

,713兀,71715兀

當(dāng)XC時(shí),XH------G

1249~6

7171兀

y=2sinx氣上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減，2s嗚=V2,2sin-=1,

4246

可知當(dāng)x+$5,即時(shí)，g(x)取最大值2;

當(dāng)"?也即x音時(shí)，g(x)取最小值L

17.(本題14分)如圖,棱柱ABCD-431GA的所有棱長(zhǎng)都為2，/Cfl&D=。，側(cè)棱與底面ABCD

的所成角為60。,4。J_平面/3CR/為。。的中點(diǎn).

(1)證明：BD1AAt；

(2)證明：。9//平面8。。圈；

12

(3)求二面角。-74-。的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)g

【分析】(1)利用線面垂直證明線線垂直即可；

(2)利用線面平行的判定定理即可；

(3)利用三垂線法求二面角即可.

【詳解】(1)棱柱/BCD的所有棱長(zhǎng)都為2,

所以底面28CD為菱形，故AC，BD,

???4。1平面ABCD,BDu平面ABCD,

4。_L5。,且&OcNC=O,%。,ACu平面AflC,

8Z)_L平面4。。，

且4Zu平面

BD1AAt

(2)連接BG,

尸為。。的中點(diǎn)，。為DB的中點(diǎn)，

：.OF/IBC,，且8Gu平面BCC.B,,OF<z平面BCC.B,,

二。尸//平面8cq4

(3)4。，平面ABC。，

所以側(cè)棱與底面48。的所成角為60°,即乙4"。=60°,

13

作。河，44,由（1）知，B"AA1,

且（WriAO=O,（W,AOu平面”5。，

AAX1平面地。，且A?u平面MBD,

:.AAXVMD^

故NOMD即二面角。-44]-C的平面角，

由（1）知，平面4。。，

且M?u平面4。。，

J.BDLMO,

/?彳八M0

cosZOMD=---,

MD

n

且ZO=/4cos60°=l,MO=4Osin600=匚，

2

DO=YIAD2-AO2=6

MD=NDO?+MO?=—,

2

MOV5

MD5

故二面角D-AAX-C的余弦值為9

18.（本題13分）根據(jù)《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，高三男生和女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)如下（單位:

cm）：

立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)高三男生高三女生

優(yōu)秀260及以上194及以上

良好245?259180-193

14

及格205-244150-179

不及格204及以下149及以下

從某校高三男生和女生中各隨機(jī)抽取12名同學(xué)，將其立定跳遠(yuǎn)測(cè)試成績(jī)整理如下(精確到1cm)：

男生180205213220235245250258261270275280

女生148160162169172184195196196197208220

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)同學(xué)的測(cè)試成績(jī)相互獨(dú)立.

(1)分別估計(jì)該校高三男生和女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率；

(2)從該校全體高三男生中隨機(jī)抽取2人，全體高三女生中隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為這3人中立定跳遠(yuǎn)單

項(xiàng)等級(jí)為優(yōu)秀的人數(shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)從該校全體高三女生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)“這3人的立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)既有優(yōu)秀，又有其它等級(jí)，，為事

件A,“這3人的立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)至多有1個(gè)是優(yōu)秀”為事件B.判斷A與3是否相互獨(dú)立.(結(jié)論不要

求證明)

17

【答案】⑴刀(2)-(3)A與3相互獨(dú)立

36

【分析】(1)樣本中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為4,獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為6,計(jì)算

頻率得到優(yōu)秀率的估計(jì)值；

(2)由題設(shè)，X的所有可能取值為2,3.算出對(duì)應(yīng)概率的估計(jì)值，得到X的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值;

(3)利用兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義判斷即可.

【詳解】(1)樣本中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為4,獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為6,

所以估計(jì)該校高三男生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率為i4=1估計(jì)高三女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率為

6_1

72-2,

(2)由題設(shè),X的所有可能取值為0,1,2,3.

710

P(X=0)估計(jì)為號(hào))2弓=(；

2

P(X=1)估計(jì)為C^x|x|x1+(|)xUi;

P(X=2)估計(jì)為C；x；x：xg+(1)2XX；

尸(X=3)估計(jì)為針

52lo

15

估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0xW7+lx4m+2x52+3x1J=7g

9918186

(3)PQ)估計(jì)為C；*夫出2+c：*\I*>:；

「⑸估計(jì)為

P(N8)估計(jì)為C；x，xpL[=3,

32UJ8

P(AB)=P(A)P(B),所以A與B相互獨(dú)立.

19.(本題15分)已知橢圓C:—+/=1(〃?>0),片、區(qū)為橢圓的焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，滿足

m

性名|+恨工|=2后，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程和離心率.

(2)設(shè)點(diǎn)P(0,2),過(guò)戶的直線/與橢圓C交于A、8兩點(diǎn)，滿足秒=/麗，點(diǎn)。滿足25=/麗滿足,

求證：點(diǎn)。在定直線上.

【答案】(1)]+必=1；e=^.(2)點(diǎn)。在定直線y=g上

【分析】(1)由橢圓的定義求出機(jī)=2,即可求出橢圓C的方程和離心率；

(2)若直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為：y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立消去了整理為關(guān)于x的

一元二次方程，由題意可知其判別式大于0,從而可得上的范圍.再由韋達(dá)定理可得兩根之和，兩

根之積.根據(jù)沙=/而可得占戶2，/間的關(guān)系式.設(shè)。(%,%),再由75=/而可得％,馬,玉間的關(guān)系

式，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即可得出點(diǎn)。在定直線y=g上，再檢驗(yàn)直線/的斜率不存在是否滿足.

【詳解】(1)由橢圓的定義知，I町I+W里|=2VI=2&7,故a=2,

2______

所以橢圓。的方程為]■+/=1,故a=6,b=l,c=飛。2-1>2=1，

所以橢圓c的離心率為6=￡=3=巫.

ay/22

(2)若直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為：y=kx+2,

y=kx+2

則聯(lián)立，x22可得：(1+2人?卜?+8去+6=o,

---1-y=1

I2/

3

貝ijA=64左2—24(2左2+1)=16左2—24〉0,解得：k2>~,

16

—8k6

設(shè)，（%1，必）'8（工2，%）,則X]+,=2k2+]'$入2=2左2+1'

由》=/而可得：（國(guó),乂-2）=/（工2,%-2）,即工=2一=/,

%2%一乙

設(shè)。（%,%）,由而=/而可得：（％一再,%-%）=/（9-%,%-%）,

L

即/一X]=-(x2-x0),gpx2x0-xTx2=xtx2-xxx0,

12

則5=子=普產(chǎn)=,

xx+x2-3.-2k

_2k2+1

31

因?yàn)辄c(diǎn)。在直線/上，所以為=^o+2=hF+2=7

-2k2

所以點(diǎn)。在定直線y=g上,

若直線/的斜率不存在，過(guò)尸的直線/與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),

^(O,1),S(O,-1),P3=(0,-I)=?PS=?(0,-3),所以1=；,

則石=國(guó),％-1)=；而=；(-%,-1-%),

111

所以為-1=3（T-%），解得：%='，滿足點(diǎn)。在定直線y上.

20.（本題15分）已知函數(shù)/卜）=y+$3一gj+x+b,且曲線y=/（x）在無(wú)=0處與x軸相切.

（1）求6的值;

（2）令g（x）=/（x）,證明函數(shù)g（x）在（0,+“）上單調(diào)遞增;

17

(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(1)。=-1力=-1(2)證明見(jiàn)解析(3)1個(gè)

【分析】(1)求導(dǎo)，利用/'(。)=。+1=0且/(。)=1+6=0即可求解，

(2)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)即可得函數(shù)的單調(diào)性，

(3)求導(dǎo)，根據(jù)到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的定義即可求解.

【詳解】(1)/'(x)=ae"+fT+l,

由題意可知尤=0是/'(X)在x=0處的切線方程，

所以"0)=.+1=0且/(0)=1+6=0,故0=7,6=T

(2)由(1)知。=—l,b=—1,所以g(x)=/"'(x)=—e"+——x+1,

所以g'a)=eT+2x-l,

令〃(x)=g'(無(wú))=ex+2無(wú)一1,”(x)=-e~r+2,

當(dāng)》>-1112,"'々)>0,01)單調(diào)遞增，當(dāng)》<-1112,"'(%)<0,力1)單調(diào)遞減，

因止匕//(x)=g'(x)在(0,+<?)單調(diào)遞增，故g'(x)>g'(0)=0,

所以函數(shù)g(x)在(0,+司上單調(diào)遞增

(3)由(2)知:當(dāng)x>-ln2,g〈x)單調(diào)遞增，當(dāng)尤<-ln2,g(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=-ln2時(shí)，g'(x)取最小值，且g'(0)=0,g'(-2)=e2-5>0,g'(-l)=e-3<0,故存在

xoe(-2,-l),使得g'(%)=0,

因此當(dāng)x>0和x<x(),g'(x)〉0,當(dāng)/<x<0,g'(x)<0,

因此/'(x)=g(x)在(O,+?0上單調(diào)遞增，在(-*％)上單調(diào)遞增，在(％,o)時(shí)單調(diào)遞減，

由于/'(一3)=-e3+9+3+l=13-e3<13-2.73<0,y-(0)=0,

因此存在尤；e(-3,0)使得/'卜。')=0,

故當(dāng)尤<%'時(shí)，r(x)<0,此時(shí)、(x)單調(diào)遞