專題2.2函數(shù)與方程思想中的九種題型

題型一：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.（2022秋?上海黃浦?高三階段練習(xí)）定義可導(dǎo)函數(shù)y=在x處的彈性函數(shù)為

f（x）

其中/‘（X）為〃x）的導(dǎo)函數(shù).在區(qū)間。上，若函數(shù)“X）的彈性函數(shù)值大于1,則稱"X）在區(qū)間。上具有彈性，相應(yīng)的

區(qū)間〃也稱作“X）的彈性區(qū)間.

（1）若r（x）=e*-x+l,求r（x）的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點(diǎn);

（2）對于函數(shù)/（x）=（x-l）e、+lnx-tr（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

（i）當(dāng)f=0時(shí)，求f（x）的彈性區(qū)間〃；

（ii）若/（x）＞l在（？）中的區(qū)間〃上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

題型二：三角函數(shù)與解三角形

一、單選題

1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知銳角.ABC的面積為3百，AC=3,BC=4,則角C的大小為

（）

A.-B.-C.-D.-

6543

2.（2022春?上海普陀?高一曹楊二中校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/■（x）=?〃cos（x+a）+〃cos（x+0,其中加、”、

a、夕為已知實(shí)常數(shù)，xeR,有下列四個(gè)命題：⑴若八。）=/圖=0,則/*）=0對任意實(shí)數(shù)x恒成立；

（2）若/（0）=0,則函數(shù)“X）為奇函數(shù)；（3）若/仁）=0,則函數(shù)/（x）為偶函數(shù)；（4）當(dāng)/（0）=/仁卜0

時(shí)，若/（%）=.〃X2）=°，則占-當(dāng)=2就（keZ）；則上述命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

3.（2022春?上海浦東新?高一校考期末）已知扇形的圓心角大小為（，半徑為2,則扇形的弧長為

4.（2022秋?上海徐匯?高二上海市南洋模范中學(xué)校考開學(xué)考試）在AABC中，b2+c2=a2+bc,ACAB=4,則

AABC面積為.

5.（2021春?上海?高一期末）已知函數(shù)y=/（x）是"上的偶函數(shù)，當(dāng)xWO時(shí),

關(guān)于由勺方程/（x）=〃，（，〃eR）有且僅有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若。是四個(gè)根中的最大根，則sin（1+a）=—.

6.（2021秋?上海徐匯?高三上海市校考期中）已知m是實(shí)常數(shù)，若k|cos2x+sinx+/M=0卜0,

則府的取值范圍是.

7.（2023春?上海金山?高一附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)y=jin的定義域是

三、解答題

8.（2021秋?上海青浦?高三校考階段練習(xí)）在ABC中，角A,B,C的對邊分別是。，

b,c,已知cos2A=-q,c=g,sinA=#sinC.

（1）求〃的值；

（2）若角A為銳角，求人的值及43c的面積.

_sin（4+a）cos（2乃-a）tan（24-a）

9-（2021春?上海?高一期末）已知°=tan（一”小吁苧一”?

（1）化簡：/（?）；

（2）在ABC中，內(nèi)角爾B、C所對的邊長分別是a、b、c,若c=2,/（C）=-1,且/8C的面積S=G，求

a、6的值.

題型三：平面向量

一、填空題

1.（2022春?上海閔行?高三上海市開學(xué)考試）已知平面向量“、人滿足|2"+0=卜-3〃卜1,則

卜+0的取值范圍是

2.（2019秋?上海徐匯?高二上海市階段練習(xí)）已知向量“、滿足向=忖=4+H=1，則

a、。的夾角為.

3.（2021春?上海?高一專題練習(xí)）已知AABC內(nèi)一點(diǎn)。是其外心，cosA=1,&AO=niAB+nAC,則利+〃的

最大值為.

題型四：數(shù)列

一、單選題

1.（2022?上海?二模）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若4=2,且臬=與，則下列說法中正確的是

（）

A.｛可｝為遞增數(shù)列

B.當(dāng)且僅當(dāng)〃=5時(shí)，S,,有最大值

C.不等式5“>0的解集為｛“e箱”410｝

D.不等式>0的解集為R

2.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足：??>0,且q；=2q3-a“T（”eN*）,下列說法正確的是

（）

A.若4=；，則B.若4<%+i，則4>1

C.a,+a5<2a3D.\all+2-an+l\<~^\a?+l-a?\

二、填空題

3.（2022?上海?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛4｝滿足q=l,J」+4=—匚，記若邑向-5“對任意的

Van。〃+|?=?3U

neN*恒成立，則正整數(shù)f的最小值為.

4.（2020?上海市高三階段練習(xí)）已知數(shù)列｛《,｝的首項(xiàng)為4,且滿足2（〃+1）。“-叫”=O（〃wN*）,則下

列命題：①｛半｝是等差數(shù)列；②｛〃,｝是遞增數(shù)列；③設(shè)函數(shù)=,則存在某個(gè)區(qū)間

+使得在+上有唯一零點(diǎn)；則其中正確的命題序號(hào)為一

5.（2020?上海?高三專題練習(xí)）己知數(shù)列｛q｝是公差不為零的等差數(shù)列，且4=2,S,,為其前“項(xiàng)和，等比數(shù)

列也｝的前三項(xiàng)分別為g嗎，即，設(shè)向量00=（?，%），則IOQI的最大值是.

6.（2020?上海交大附中高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛q｝（公差不為零）和等差數(shù)列出｝,如果關(guān)于x的方

程：2021年-（q+%4Ha2O21）x+i>,+b2H----卜%21=0有實(shí)數(shù)解，那么以下2021個(gè)方程x?—aix+hi=0,

22

x-a2x+h2=0,x-a3x+h^O,-??,x?=。中，無實(shí)數(shù)解的方程最多有_____個(gè).

三、解答題

7.（2019?高三階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，對一切正整數(shù)〃，點(diǎn)都在函

數(shù)〃x）=V+2x的圖像上，過點(diǎn)月（〃,邑）的直線/斜率為￡且與〃"=』+2》的圖像有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)5=卜卜=幻,”€“｝,T=｛x\x=2a,?n^N-｝,等差數(shù)列｛q,｝的任一項(xiàng)%eSIT,其中q是ST中的最小

數(shù)，110<cl0<115,求｛5｝的通項(xiàng)公式.

8.（2020?上海?高三專題練習(xí)）已知4，4,，%為等差數(shù)列，其中奇數(shù)項(xiàng)和比偶數(shù)項(xiàng)和大15,且％）=3%,求

4+。2++"20?

9.（2021?上海師大附中高三期中）有下列三個(gè)條件：①數(shù)列｛q-2｝是公比為a的等比數(shù)列，②是公差

為1的等差數(shù)列，③S“=2%-1,在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題中“處，使問題完整，并加

以解答.

設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，q=l,對任意的“eN*,都有.已知數(shù)列出｝滿足a=信］,是否存在

kwN,使得對任意的〃eN’,都有34詈？若存在，試求出上的值;若不存在，請說明理由.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

10.(2022?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開學(xué)考試)對于有限數(shù)列｛a〃｝,nWN,43,/VGN*,定義：對于任意的

kWN,ZrGN*,有

⑴6(A)=Ia,|+1a?|+1a?|+”?+1ak\；

(2)對于ceR,記￡(A)=|a7-c|+|a?-c|+|a?-c|+-+|aA-c|.對于WN*,若存在非零常數(shù)c,使得/(A)=

9(4),則稱常數(shù)c為數(shù)列｛an｝的郊介。系數(shù).

(i)設(shè)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為=(-2)”，計(jì)算9(4),并判斷2是否為數(shù)列｛a〃｝的4階Q系數(shù);

(ii)設(shè)數(shù)列｛aH的通項(xiàng)公式為a〃=3〃-39,且數(shù)列｛a〃｝的/那介①系數(shù)為3,求m的值；

(iii)設(shè)數(shù)列｛a〃｝為等差數(shù)列，滿足-1,2均為數(shù)列仿力的廨介3系數(shù)，且9(血=507,求臧最大值.

11.(2021?上海普陀?模擬預(yù)測)設(shè)數(shù)列他"的前”項(xiàng)和為S“，若對任意的"eN*,均有S“=q〃-以上是常數(shù)

且-N*)成立,則稱數(shù)列｛““｝為"P(幻數(shù)列”，已知｛4｝的首項(xiàng)4=1.

(1)若數(shù)列｛“"｝為"尸⑴數(shù)列”，求數(shù)列｛可｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛%｝為“P⑵數(shù)列”，且與為整數(shù)，若不等式|4-411區(qū)20對一切"22,〃wN*恒成立？求數(shù)列

｛%｝中0的所有可能的值；

(3)是否存在數(shù)列｛/｝既是“P(朽數(shù)列”，也是“P(左+2)數(shù)列”？若存在，求出符合條件的數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式

及對應(yīng)的上的值，若不存在，請說明理由.

12.（2022?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S”=24,-2向，數(shù)歹支斗｝滿足

噫制’其中〃€N,

⑴證明｛墨｝為等差數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式:

（2）求使不等式（1+1］八+；1+1—卜m口對任意正整數(shù)〃都成立的最大實(shí)數(shù)機(jī)的值;

I4八by）

⑶當(dāng)時(shí)，求證：（+亭+“?+客+3~4盧.

么/瓦“td“+1瓦向

題型五：不等式

一、填空題

1.（2022秋?上海奉賢?高一校考階段練習(xí)）已知一元二次方程V+3x-5=O的兩根為小w，則X：+后

2.（2020?上海?高一專題練習(xí)）已知方程V-日+2=0在區(qū)間（。，3）中有且只有一解，則實(shí)數(shù)橄取值范圍是

二、解答題

3.（2021秋?上海浦東新?高三上海師大附中校考階段練習(xí)）（1）若關(guān)于x的不等式如2+3工+2＞。的解集為

3,1）,求實(shí)數(shù)4力的值；

（2）若。＞0,解關(guān)于x的不等式加+3x+2＞-or-l.

4.（2020?上海?高一專題練習(xí)）求實(shí)數(shù)人為何值時(shí)，方程丁-履+左+1=0的兩個(gè)實(shí)根.

4

（1）分別在區(qū)間（1,2）和（3,4）內(nèi)；

（2）絕對值小于1.

5.(2023?上海?高三專題練習(xí))自2017年起，上海市開展中小河道綜合整治，全面推進(jìn)“人水相依，延續(xù)風(fēng)

貌，豐富設(shè)施，精彩活動(dòng)”的整治目標(biāo).某科學(xué)研究所針對河道整治問題研發(fā)了一種生物復(fù)合劑.這種生物復(fù)合

.._256._1+的,0<x<4

劑入水后每1個(gè)單位的活性隨時(shí)間x(單位：小時(shí)D變化的函數(shù)為"=?x+4,已知當(dāng)x=4

a(12-x),4<x<12

時(shí)，”的值為28,且只有在活性不低于3.5時(shí)才能產(chǎn)生有效作用.

(1)試計(jì)算每1個(gè)單位生物復(fù)合劑入水后產(chǎn)生有效作用的時(shí)間；(結(jié)果精確到0」小時(shí))

(2)由于環(huán)境影響，每1個(gè)單位生物復(fù)合劑入水后會(huì)產(chǎn)生損耗，設(shè)損耗剩余量v關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)為

v=-'-,0<x<12,記""為每1個(gè)單位生物復(fù)合劑的實(shí)際活性，求出“w的最大值.(結(jié)果精確到0.1)

x+1

Y-L1

6.(2022春?上海寶山?高一上海市練習(xí))己知函數(shù)/(x)=bg3—/aeR)為奇函數(shù).

ar-1

(1)求。的值；

⑵設(shè)函數(shù)g&)=廣'(x)+bg〃存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)『的取值范圍：

3

(3)若不等式/(x)-%*3,在xe[2,3]上恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)最大值.

題型六:空間向量與立體幾何

1.（2023?上海?高三專題練習(xí)）已知。4，OB，OC是空間兩兩垂直的單位向量，OP^xOA+yOB+zOC>且

x+2y+4z=l,貝1」|。尸一。4-。8|的最小值為.

題型七：解析幾何

一、單選題

1.（2021?上海?高三專題練習(xí)）已知尸為拋物線>2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，A（x,,yJ、川々??）是拋物線上的不

同兩點(diǎn)，則下列條件中與“A、F、8三點(diǎn)共線”等價(jià)的是（）

2

A.中2=?B.y\y2=-p

1,1.23p2

c-網(wǎng)\FB\~~PD,&&+%%=-

二、填空題

2.（2020?上海靜安?高三階段練習(xí)）一個(gè)水平放置的等軸雙曲線型的拱橋橋洞如圖所示，已知當(dāng)前拱橋的最

高屋點(diǎn)離水面5米時(shí)，量得水面寬度鉆=30米，則當(dāng)水面升高1米后，水面寬度為________.米（精確到0.1米）

3.（2022?上海寶山?一模）在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，已知圓C:（x-2『+y2=4,點(diǎn)A是直線x-y+2=O上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AP,AQ分別切圓C于只。兩點(diǎn)，則線段戶。長的取值范圍為_____.

三、解答題

4.（2016?上海?高三階段練習(xí)）已知橢圓：+丁=1；

（1）若該橢圓的焦點(diǎn)為耳、入，點(diǎn)尸是該橢圓上一點(diǎn)，且NKP且為直角，求點(diǎn)尸坐標(biāo)；

（2）若橢圓方程總+y2=l同時(shí)滿足條件孫<0,則由此能否確定y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式?若能，請寫出y=.f（好的

解析式，并寫出該函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，只需寫出結(jié)論；若不能，請寫出理由.

22

5.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知橢圓「:方+左=1（〃>8>0）,右焦點(diǎn)為F，動(dòng)直線/與圓O：/+y2=從相

切于點(diǎn)。，與橢圓交于4（內(nèi),乂）、8（9,%）兩點(diǎn)，其中點(diǎn)。在y軸右側(cè).

（D若直線，：x-y-2=0過點(diǎn)尸，求橢圓方程;

（2）求證：|AF|+|42|為定值.

6.（2020?上海市高三階段練習(xí)）已知橢圓C：￡+￡=1上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最近距離是6-立,

a~

且短軸兩端點(diǎn)和長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點(diǎn)M為直線/：x+y-4=O在第一象限上一點(diǎn)，且尸到直線OM的距離為1,求以線段。知為直徑的圓方

程；

（3）設(shè)2（花，%），6（W，%）是橢圓C三個(gè)不同點(diǎn)，記：4=|X+X-4|,%=|%+%-4|,

%=|毛+%-4|,若q,a2,生成等差數(shù)列，求其公差d的取值范圍.

題型八：計(jì)數(shù)原理

一、填空題

1.（2021秋?上海浦東新?高三上海市進(jìn)才中學(xué)校考期中）（?-京）-的展開式中常數(shù)項(xiàng)是.

題型九：統(tǒng)計(jì)與概率

一、填空題

1.（2022?上海?高二專題練習(xí)）某校為了解學(xué)生關(guān)于校本課程的選課意向，計(jì)劃從高一、高二這兩個(gè)年級共

500名學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取50人進(jìn)行調(diào)查.已知高一年級共有300名學(xué)生，那么應(yīng)抽取高一年級學(xué)

生的人數(shù)為

專題2.2函數(shù)與方程思想中的九種題型

題型一：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.(2022秋?上海黃浦?階段練習(xí))定義可導(dǎo)函數(shù)y=在x處的彈性函數(shù)為了'(X)?小，

f(x)

其中/‘(X)為的導(dǎo)函數(shù).在區(qū)間。上，若函數(shù)“X)的彈性函數(shù)值大于1,則稱"X)在區(qū)間。上具有彈性，相應(yīng)的

區(qū)間地稱作“X)的彈性區(qū)間.

(1)若心)=e*-x+l,求"X)的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點(diǎn);

(2)對于函數(shù)/(x)=(x-l)e、+lnx-a(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

(i)當(dāng)f=0時(shí)，求f(x)的彈性區(qū)間〃；

(ii)若/(x)>l在(Z)中的區(qū)間〃上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

YY

【答案】(1)rXx)--=(^-1)—x=O；(2)(i)(1,田)，(ii)(7,-1].

r(x)e一九+1

【分析】(1)由廠(x)=e'-x+l,可得/(x)=e，-l,根據(jù)題設(shè)條件，即可求得，1X)的彈性函數(shù)及彈性零點(diǎn)；

(2)(i)函數(shù)f(x)=(x-l)/+lnx,可得函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),函數(shù)/(x)是彈性函數(shù)

YY~fiX4-1

/(?<=,二：>1,得出不等式組，進(jìn)而求得函數(shù)的彈性區(qū)間；

/(x)(x-l)e"+lnx

(ii)由〃x)>l在(L-)上恒成立，可得，<(1-3，+電口在x>l上恒成立，設(shè)〃(x)=(l-1)e'+小口，利用

XXXX

導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而求得f的取值范圍.

【詳解】(1)由心)=e*-x+l,可得/(4)=e”T,

xX

則/⑶?麗=(ef777T

xX

-=(ev-l)---------=0,解得1=0,

r(x)e-x+1

所以雙幻彈性函數(shù)的零點(diǎn)為x=0.

(2)(i)當(dāng)f=0時(shí),函數(shù)“r)=(x-l)/+lnx,可得函數(shù)，(%)的定義域?yàn)?0,m),

中、J11rz八v1X2eX+1

因?yàn)閒M=(x-l)e+Inx=e+(x-l)e+—=---------,

xx

vI*?"，_i_1

函數(shù)fM是彈性函數(shù)/=/…?>1，

/(x)(x-l)e+lnx

此不等式等價(jià)于下面兩個(gè)不等式組：

(x-l)eA+lnx>0①、(x-l)ev+Inx<0.....③

(i)i.…或(n)〈，?

x"ex+l>(x-l)ev+lnx......②[x2ex+1<(x-\)ex+Inx.......④

因?yàn)棰賹?yīng)的函數(shù)就是f(x),

由所以/(X)在定義域上單調(diào)遞增，

又由/⑴=。，所以①的解為x>l;

由可得g(x)=x2e'+l-[(%-l)e'+lnx]=(x2-x+l)e'+l-lnx>0,

且g'(x)=(2x-l)ex+(x2-x+1)ex--=(儲(chǔ)+——在了>1上恒為正，

XX

則g(x)在x>l上單調(diào)遞增,所以g(x)>g⑴>0,故②在x>l上恒成立，

于是不等式組(I)的解為X>1,

同①的解法，求得③的解為0<x<l;

因?yàn)?<x<l時(shí)，④de"+l>0,(x-l)e'+lnx<0,所以不成立,

所以不等式(II)無實(shí)數(shù)解，

綜上，函數(shù)f(x)的彈性區(qū)間。=(1,田).

(ii)由/(x)>l在(1,位)上恒成立，可得￡<(1-3/+皿匚在x>l上恒成立，

XX

設(shè)/z(x)=(l--)ex+皿匚,則h'(x)=1)；+27nx,

XXX

而(x2-x+W+2-lnx=g(x)+l,

由(i)可知，在x>l上恒為正，

所以"(x)>0,函數(shù)"x)在(1,2)上單調(diào)遞增,所以〃(x)>〃(l)=-1,

所以f4-1,即實(shí)數(shù)f的取值范圍是(7,-1].

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點(diǎn)的求法，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或解不等式問

題，通常首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)

的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，試卷綜合性強(qiáng)，屬于難題.

題型二：三角函數(shù)與解三角形

一、單選題

1.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知銳角一ABC的面積為36，AC=3,BC=4,則角C的大小為

()

.7tn7tn

A.-B.-C.-D.一

6543

【答案】D

【分析】本題先建立方程3V5=gx4x3sinC,再求sinC,最后求角C的大小即可.

【詳解】解：因?yàn)殇J角ABC的面積為3\Q，b=AC=3,a=BC=4,

所以S.c=；"sinC,即3j5=；x4x3sinC,解得：sinC=3，

222

由因?yàn)榻荂是銳角，所以NC=。

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查利用三角形的面積公式求角，是基礎(chǔ)題.

2.(2022春?上海普陀?高一曹楊二中校考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=/77cos(x+a)+”8s(x+尸)，其中加、〃、

a、月為已知實(shí)常數(shù)，xeR,有下列四個(gè)命題：⑴若/(0)=/閨=0,則小)=0對任意實(shí)數(shù)x恒成立；

(2)若"0)=0,則函數(shù)/⑶為奇函數(shù)；⑶若/⑵二°，則函數(shù)?"*)為偶函數(shù)；⑷當(dāng)尸(0)=尸與聲o

時(shí)，若/(%)=/*2)=0,貝"-七=2既(ksZ)；則上述命題中，正確的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】利用兩角和的余弦公式化簡/(X)表達(dá)式.

對于命題(1),將〃0)=。，/(5)=0化簡得到的表達(dá)式代入上述/")表達(dá)式，可判斷出(1)選項(xiàng)的真假；

對于命題(2)選項(xiàng)，將/(0)=0化簡得到的表達(dá)式代入上述/")表達(dá)式，可判斷出/(x)為奇函數(shù)，由此判斷出

(2)選項(xiàng)的真假；

對于命題(3)選項(xiàng)，將八次=0化簡得到的表達(dá)式代入上述Ax)表達(dá)式，可判斷出/(x)為偶函數(shù)，由此判斷出

(3)選項(xiàng)的真假；

對于命題⑷選項(xiàng)，根據(jù)尸(。)+尸圖/0、/(x,)=/(x2)=0,求得f(x)的零點(diǎn)的表達(dá)式，進(jìn)而判斷出(4)選

項(xiàng)的真假.

【詳解】/(工)=/w(cosxcosa—sinxsina)+n(cosxcos/3—sinxsinf3)

=(mcosa+ncos/?)cosx—(msina+〃sin/3)sinx

不妨設(shè)/(x)=(Kcosq+kycosa2)cosx-(A:(sin/+k2sin?2)sinx.k^k2,a],a2為已知實(shí)常數(shù).

若/(0)=0,則得^costZ]+A:2cosa2=0；若/(/)=0,則得《sin,+%2sin%=。.

于是當(dāng)/(0)=/6)=0時(shí)，f(x)=o對任意實(shí)數(shù)X恒成立，即命題(1)是真命題；

當(dāng)/(0)=。時(shí)，./?(x)=-(《sin%+&sin%)sinx,它為奇函數(shù)，即命題(2)是真命題；

當(dāng)嗎)=0時(shí)，/W=(^icosa,+k2cosajcosx,它為偶函數(shù)，即命題⑶是真命題；

當(dāng)/(0)+廣圖#0時(shí)，令f(x)=0,則

(勺cos^cos<z2)cosx-(Z:1sin^+^2sinaf2)sinx=0,

上述方程中，若cosx=0,則sinx=O,這與cc^x+sinOul矛盾，所以cosxwO.

將該方程的兩邊同除以cos大得

tanx-cos%+hcosa盡kcosa+kcosa

2x}22(fwO),

kxsin?1+k2sina2'、kxsina}+k2sina2

則tanx=Z,解得x=^4-arctan/(ZwZ).

不妨取％=匕4+arctan，，=k27t+arctant(4^Z且包^工),

則石一七=化一22）萬，即無］一為二人乃（kwZ）,所以命題（4）是假命題.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查兩角和差公式，三角函數(shù)零點(diǎn)，三角函數(shù)性質(zhì)，重點(diǎn)考查讀題，理解題和推理變形的能力，屬

于中檔題型.

二、填空題

3.（2022春?上海浦東新?高一校考期末）已知扇形的圓心角大小為（，半徑為2,則扇形的弧長為

【答案】y

【分析】直接根據(jù)扇形的弧長公式求解即可.

【詳解】a=^,R=2,:.l=\a\-R=^-x2=^-.

故答案為：y

222

4.（2022秋?上海徐匯?高二上海市南洋模范中學(xué)校考開學(xué)考試）在ZVIBC中，b+c=a+bc,ACAB=4,則

AABC面積為.

【答案】2月

［分析］由"+c、2="+he,結(jié)合余弦定理推論可求得COSA,進(jìn)而求得sinA,利用平面向量數(shù)量積的定義可求得兒

的值，再利用三角形的面積公式SMBC=gocsinA即可求解.

【詳解】在AABC中因?yàn)?+<?="+bc,

所以由余弦定理的推論知，8$4=3+『一"2="2+加一.」,

2bc2bc2

因?yàn)镺vAv4,所以A=X,sinA=@，

32

因?yàn)锳。AB=4,即力c?cosA=4,解得力c=8,

所以AABC的面積心肥=；A5m4=；'8、#=26.

故答案為：2百

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的余弦定理和三角形的面積公式;其中余弦定理與平面向量數(shù)量積結(jié)合是求解本題

的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.

5.（2021春?上海?高一期末）已知函數(shù)y=/（x）是在的偶函數(shù),當(dāng)xWO時(shí)，/(x)=

關(guān)于”的方程/。）=皿機(jī)6R）有且僅有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若a是四個(gè)根中的最大根，則sin（5+a）=

【答案】

2

【分析】作出函數(shù)）=/*）的圖像，結(jié)合圖像可得機(jī)=1,即y=i,從而可得四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得

a=一，代入即可求解.

4

【詳解】

作出函數(shù)當(dāng)xNO時(shí)的圖像如圖，

函數(shù)函數(shù)y=F（x）是發(fā)上的偶函數(shù)，

，當(dāng)X<0時(shí)y=f（X）的圖像與當(dāng)X20時(shí)的圖像關(guān)于y軸對稱,

故函數(shù)xeR的圖像如圖所示，

將=（機(jī)wR）進(jìn)行平移，可得當(dāng)m=1時(shí)，

兩圖像有且僅有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

34

令k1'可得T

3兀

所以C

./乃、3乃J2

sin（—+a）=cosa=cos—=----

242

故答案為：-也

2

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像以及根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)值、特殊角的三角函數(shù)值，考查了數(shù)形結(jié)合的

思想，屬于中檔題.

6.（2021秋?上海徐匯?高三上海市南洋模范中學(xué)校考期中）己知皿是實(shí)常數(shù)，^{x|cos2x+sinx+w=o}^0,

則對勺取值范圍是.

【答案】

4

【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為機(jī)=sin2x-sinx-l有解，換元求函數(shù)的值域即可.

【詳解】由cos?x+sinx+"2=0可得：

m=sin2x-sinx-l>

若卜卜os2x+sinx+機(jī)=。）/0,

則方程=sin?x-sinx-1

令/=sinx,-1<r<1,

則>=J-r-l=（r-^）2,

244

所以只需〃zel-"”，

故答案為：［-］」］

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了含sinx的二次函數(shù)的值域，分離參數(shù)的方法，集合的概念，屬于中檔題.

7.（2023春?上海金山?高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)y=Jsinx-g的定義域是

TT54

【答案】2k7i+-2k7r+—,keZ

L6f6

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出解析式成立的條件，即可求得函數(shù)的定義域.

【詳解】由題意知，sinx-^>O=>sinx>^,

TT、冗

B|J2k7r+-<x<2k7r+—,kGZ

66f

所以/（X）的定義域?yàn)椋?2hr+J,2&;r+￥］,keZ

66

TTT

故答案為：2kn+j2k兀S+E彳,keZ

oo

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解，根據(jù)函數(shù)的解析式列出滿足的條件是解答的關(guān)鍵,

著重考查了推理與運(yùn)算能力.

三、解答題

8.(2021秋?上海青浦?高三上海市青浦高級中學(xué)校考階段練習(xí))在-ABC中，角A,B,C的對邊分別是。，

b,c,已知cos2A=-§,c=G，sinA=VbsinC-

(1)求。的值；

(2)若角A為銳角，求力的值及一43c的面積.

【答案】⑴a=3叵(2)b=5,%“=差

【分析】(1)結(jié)合題設(shè)條件和正弦定理一^7=—三,即可求解；

sinAsmc

(2)由余弦的倍角公式，求得cosA=正，sinA="，再結(jié)合余弦定理和三角形的面積公式，即可求解.

33

【詳解】(1)在一ABC中，因?yàn)閏=G，sinA=V6sinC,

由正弦定理告:今，解得4=3&

sinAsinC

(2)因?yàn)閏os2A=2cos24-1=-g,X0<A<y,

所以cosA=,sinA=—.

33

由余弦定理/=b2+c2-2bccosA,得"2-26-15=0,

解得人=5或人=一3(舍),所以$41此=；匕。sinA=

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要抓

住題設(shè)條件和利用某個(gè)定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能

力，屬于基礎(chǔ)題.

、_sin(乃+a)cos(2%-a)tan(2;r-a)

9.(2021春?上海?高一期末)已知"tan(-a-.)cos[-^-a]-

(1)化簡：/(?)；

(2)在一ABC中，內(nèi)角4B、C所對的邊長分別是a、b、c,若c=2,/(C)=,且的面積S=6，求

a、b的值.

【答案】(1)/(a)=-cosa；(2)a=b=2.

【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式可化簡〃a);

TT\ao=^

（2）由（1）可得C=g,再根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理可求得2/。，解之得答案.

3a=8

.、*的、，八ed，，、-sinacosa(-tana)

【詳解】(1)因?yàn)閒(a)=----------------：----------=-cosa所以/(a)=-cosa；

-tanasina

（2）因?yàn)閒（C）=-g,即-cosC=-g,又0<C<兀,所以C=（,

因?yàn)橐?C的面積5=6,所以S=:"sing=6,解得必=4,又cose=’,*/，一一2一二）,所以/+〃=8,

232ab2

,\ab=4fa=2__

由《，/。，解得）.c，所以a=0=2.

[?-+*=8[b=2

【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡，三角形的面積公式和余弦定理的運(yùn)用求解三角形，屬于中檔題.

題型三：平面向量

一、填空題

1.（2022春?上海閔行?高三上海市開學(xué)考試）已知平面向量°、匕滿足"+0=卜-3匕卜1,則

卜+W的取值范圍是______

35

【答案】py

【分析】利用待定系數(shù)法，可得。+8=京2。+。）-3（〃-3〃），再利用數(shù)量積運(yùn)算可得到關(guān)于8的關(guān)系式，進(jìn)而可

求得卜+4的取值范圍.

【詳解】不妨設(shè)2〃+。與的夾角為夕，且a+〃=x（2a+/?）+），（a-3。），

4

7

得a+〃=（2x+y）a+（4-3y）/,故解得<

J=-

7

所以〃+/?=5（2a+b）-,

為計(jì)算方便，不妨令2a+Z?=〃，a-3b=n,則。+8二,“一,〃，同=卜卜1,

所以卜+。『=36一!〃=-tn---m-n+—n=^l,w|-|,w|t|,7|cos+|,2|=~^_~rcos^?

II77494949491149111149114949

因?yàn)?1推os。1,所以二9w三17-8acos2"5',BP9—<I-a+-*|2<?—5,

4949494949??49

故|'K|"+"卜m，即卜+匕卜"I，].

故答案為：k，：].

2.（2019秋?上海徐匯?高二上海市南洋模范中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量〃、6滿足口=向=卜+方卜1,則

a、6的夾角為.

【答案】y

【分析】由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)知=卜『+2〃力+加］，再利用平面向量的數(shù)量積的夾角公式

3=扁即可求解.

【詳解】由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)知，,+葉=,『+2a力+卜才，

因?yàn)椴凡封?,+*1,所以a-6=_g,

因?yàn)?@,*箭，所以s'（叫='=,

因?yàn)?4仙》萬，所以〃、6的夾角為等.

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其夾角公式;重點(diǎn)考查學(xué)生的運(yùn)算能力；屬于基礎(chǔ)題.

3.（2021春?上海?高一專題練習(xí)）已知AABC內(nèi)一點(diǎn)。是其外心，cosA=1,S.AO=mAB+nAC,則機(jī)+〃的

最大值為________.

【答案】4

4

【分析】如圖所示，延長A。交5c于。，^AO=AAD=>AD=-=-AB+-AC,由B,C,。三點(diǎn)共線，得

A.A>A

m+n=A,將問題轉(zhuǎn)化為求4的最大值，利用解三角形知識(shí)，即可得答案.

【詳解】如圖所示，延長AO交BC于。，

^AO=AAD=^>AD=^-=—AB+-AC,

A>A>4

4,C,。三點(diǎn)共線，?+g=l=〃任〃=幾,

/tA

二/l取最大值時(shí)，加+〃取最大值，

.?.2=也，?.?|AO|為外接圓的半徑定值，

\AD\

二當(dāng)|AL?|取得最小時(shí)，力取最大值,此時(shí)ADLBC,

.?.AABC為等腰三角形，且8S4=!，；.$畝4=延，

33

..Ay/3AV6A1

??sin—=—,cos—=—,tan—=-,

232325/2

a

'：|AO|=-7^—=,|AD|=-2—=

smA4立fad2

2

3a

?2-472_3

?…一回一4。

F

3

故答案沏-

【點(diǎn)睛】本題考查向量在三角形中的運(yùn)用、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、倍角公式、解三角形，考查函數(shù)與方程思

想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng).

題型四：數(shù)列

一、單選題

1.（2022?上海?二模）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若4=2,且邑=其，則下列說法中正確的是

（）

A.｛4｝為遞增數(shù)列

B.當(dāng)且僅當(dāng)〃=5時(shí)，S.有最大值

C.不等式S“>0的解集為｛“eN*|〃410｝

D.不等式4>0的解集為R

【答案】C

【分析】根據(jù)已知求出首項(xiàng)和公差即可依次判斷.

【詳解】由54=§7，知。5+。6+%=。，即。6=。，

10

,.（久=6+2d=2fl|=T

設(shè)等差數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)外,公差'la=]+5,/=0,解得

3

對于A,由d<0,知｛q｝為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；

對于B,由4=0，知當(dāng)"=5或"=6時(shí)，S.有最大值，故B錯(cuò)誤；

對于C,由等差數(shù)列求和公式知S.=若+嗎也義,|)=答五>0,即解得即

｛raeATIn<10｝,故C正確;

對于D,由等差數(shù)列求通項(xiàng)公式知4,=藍(lán)-：*(〃-1)=4-：">0,解得〃<6,故D錯(cuò)誤；

故選：C.

2.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛/｝滿足：??>0,且a；=2摩|-”向(〃€”)，下列說法正確的是

()

A.若4=萬，則a”>。”+1B.若則q>1

C.4+%42%D.\an+1-an+t\<^-|a?+1-an\

【答案】D

【分析】化簡已知遞推關(guān)系式可得至1](4-1)(。向-1)>0，由此分別判斷A,B選項(xiàng)，可知A,B錯(cuò)誤；

設(shè)為+i=x,則為=亞=，”,+2=匕互空；采用數(shù)形結(jié)合的方式知｛q-4向｝越來越小，C錯(cuò)誤；假設(shè)。成

立，通過化簡不等式可知不等式恒成立，知。正確.

【詳解】=2^+l-a?+l,.-.a；-l=2a；+1-an+l-l,-1)(??+1)=(??+|-1)(2??+1+1),

又4>0,，《,+1>0,2an+l+l>0,..(a,,-l)(a?+1-1)>O

對于A,若4=；,則+1-1<0,

a；-q；+i=4、一=4“(4出一。<°，；?4<4M，A錯(cuò)誤;

對于B,若則q”a；+i=。3-4"+|=a“+i(a“+|-l)<。，

.-.an-l<0,即a“<l,8錯(cuò)誤；

對于C,設(shè)%+i=x,則a?=-J2x2-x,

考慮函數(shù)0=12屋-4與。=*的圖象,如下圖所示：

當(dāng)4>0時(shí)，｛%｝單調(diào)遞減,且｛。“一4用｝越來越小，

.,?4+%>2%，C錯(cuò)誤；

對于。，設(shè)“"+|=x,則a“=\!2x2—x,。”+2=—'—：.<

若?+2-??+1|4-a,\'則-X4?卜一，2『一$,

等價(jià)于1+8x>/2x2—x?Jl+8^2,（4x—1），即272犬-xK3x-1,即尤?—2x+1之0,

而x2-2x+l=（x-1）2z0顯然成立，.?.|a“+2-a“+j4^|a“M-aJ,。正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式研究數(shù)列的性質(zhì)的問題，關(guān)鍵是能夠通過遞推關(guān)系式得到數(shù)列前后項(xiàng)所滿

足的關(guān)系，同時(shí)借用函數(shù)的思想將數(shù)列前后項(xiàng)的大小關(guān)系變化利用函數(shù)圖象來進(jìn)行表現(xiàn)，屬于難題.

二、填空題

3.（2022?上海