圓的問題

專題知識(shí)回顧

一、與圓有關(guān)的概念與規(guī)律

1.圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑。圓的半

徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。

2.圓的性質(zhì)：（1）圓具有旋轉(zhuǎn)不變性；（2）圓具有軸對稱性；（3）圓具有中心對稱性。

3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。

4.推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

5.圓心角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。

6.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也

相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦心距也

相等。

7.圓周角：頂點(diǎn)在圓周上，并且兩邊分別與圓相交的角叫做圓周角。

8.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

9.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

10.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：

①點(diǎn)在圓內(nèi)0點(diǎn)到圓心的距離小于半徑

②點(diǎn)在圓上0點(diǎn)到圓心的距離等于半徑

③點(diǎn)在圓外0點(diǎn)到圓心的距離大于半徑

11.過三點(diǎn)的圓：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

12.外接圓和外心：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。

外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)。外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距

離相等。

13.若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接

圓。

14.圓內(nèi)接四邊形的特征：

①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；

②圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角。

15.直線與圓有3種位置關(guān)系：

如果。。的半徑為r,圓心。到直線1的距離為d,那么

①直線’和。0相交od<r.

②直線,和。0相切od=r.

d>r

③直線,和。0相離=o

16.和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。內(nèi)心是三角形三個(gè)角的角

平分線的交點(diǎn)。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。

17.切線的性質(zhì)

(1)經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

(2)經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

(3)圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

18.切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

19.切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，并且圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切

線的夾角。

20.設(shè)圓。的半徑為廣，圓。的半徑為廣，兩個(gè)圓的圓心距d=l。。I,則：

112212

兩圓外離=d〉廠+廠；

12

兩圓外切=d=廠+廠；

12

兩圓相交=1/一廠\<d<r；

1212

兩圓內(nèi)切=d=1廠一廠I；

12

兩圓內(nèi)含<=>t/<1r-rI

12

21.圓中幾個(gè)關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化

弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相轉(zhuǎn)化這在圓中的證明和計(jì)算中經(jīng)常用到.

22.與圓有關(guān)的公式

設(shè)圓的周長為r,貝

(1)求圓的直徑公式d=2r

(2)求圓的周長公式C=2Jtr

(3)求圓的面積公式S=“r2

二、解題要領(lǐng)

1.判定切線的方法：

(1)若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有

時(shí)可通過計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；

(2)若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平

分線；

總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：

①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點(diǎn)）；

②直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化要善于進(jìn)行由此

及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.

2.與圓有關(guān)的計(jì)算：

計(jì)算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識(shí)的結(jié)合，形式

復(fù)雜，無規(guī)律性。分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是

要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為己

知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學(xué)思想方法有：

（1）構(gòu)造思想：①構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；②構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它

所有線段長）；③構(gòu)造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；④構(gòu)造勾股定理模型；⑤構(gòu)造三角函數(shù)

（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，

解決問題。

（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關(guān)系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基

本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。

專題典型題考法及解析

【例題1】（2019?山東省濱州市）如圖，AB為。。的直徑，C,D為。。上兩點(diǎn)，若/BCD=40°,則/ABD

的大小為（）

A.60°B.50°C.40°D.20°

【答案】B

【解析】考點(diǎn)是圓周角定理。本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓周角是解答此題

的關(guān)鍵.連接AD,先根據(jù)圓周角定理得出/A及NADB的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

連接AD,

：AB為。。的直徑，AZADB=90°.

VZBCD=40°,AZA=ZBCD=40°,

.\ZABD=90°-40°=50°.

【例題2】(2019?南京)如圖，PA.PB是。。的切線，A.B為切點(diǎn)，點(diǎn)C.D在。。上.若NP=102°,則/A+

【答案】219°.

【解析】連接AB,根據(jù)切線的性質(zhì)得到PA=PB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/PAB=/PBA得(180°-

102°)=39°,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到/DAB+NC=180。，于是得到結(jié)論.

連接AB,

???PA.PB是。。的切線，.\PA=PB,

VZP=102",AZPAB=ZPBA=—(180°-102°)=39°,

2

VZDAB+ZC=180°,

AZPAD4-ZC=ZPABI-ZDAA-ZC=180°+39°=219°

【例題3】(2019?甘肅武威)如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,點(diǎn)D在BC邊上，OD經(jīng)過點(diǎn)A和

點(diǎn)B且與BC邊相交于點(diǎn)E.

(1)求證：AC是。D的切線；

(2)若CE=2?,求。D的半徑.

【答案】見解析。

【解析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

(1)連接AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NB=/C=30。，ZBAD=ZB=30°,求得/ADC=60°,根據(jù)

三角形的內(nèi)角和得到/DAC=180。-60°-30°=90°,于是得到AC是。D的切線；

證明：連接AD,

VAB=AC,ZBAC=120°,

.".ZB=ZC=30O,

VAD=BD,AZBAD=ZB=30°,：.ZADC=60°,

.\ZDAC=180°-60°-30°=90°,

.?.AC是。D的切線；

(2)連接AE,推出4ADE是等邊三角形，得到AE=DE,ZAED=60°,求得/EAC=/AED-/C=30°,得

至|JAE=CE=26,于是得到結(jié)論.

連接AE,

VAD=DE,NADE=60°,

.'.△ADE是等邊三角形，.?.AE=DE,NAED=60°,

???NEAC=ZAED-ZC=30°,NEAC=ZC,

,-.AE=CE=2V3，?D的半徑AD=2V3.

【例題4】(2019?江蘇蘇州)如圖，AE為e。的直徑，D是弧BC的中點(diǎn)BC與AD,OD分別交于點(diǎn)E,F.

(1)求證：DO//AC；

(2)求證：DEDA=DC2;

(3)若tanACAD=1,求sinZCDA的值.

2

【答案】見解析。

【解析】（1）證明：：D為弧BC的中點(diǎn)，0D為e。的半徑

/.ODLBC

又為eO的直徑

/.ZACB=90°/.AC//OD

（2）證明：:D為弧BC的中點(diǎn)

，&D=*D：.NDCB=ADAC：.NDCE^/^DAC

.DCDE

即DE-DA=DC2

'DA-DC

⑶解：VADCE^ADAC,tanZCA￡>=-

2

.CDDECE1

"DA-5c-AC-2

設(shè)CD=2a,則DE=a,DA=4a

又?:AC//OD：.KXEC^DEF

—=3所以=

EFDE3

5LAC=2CEAAB=—CE

，3

3

即sinZCDA=sinZCBA=—=-

AB5

專題典型訓(xùn)練題

一、選擇題

1.（2019甘肅隴南）如圖，點(diǎn)A,B,S在圓上，若弦AB的長度等于圓半徑的血倍，則/ASB的度數(shù)是（）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

【答案】C.

【解析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.

設(shè)圓心為0,連接0A.0B,如圖，先證明MAB為等腰直角三角形得到NA0B=90°,然后根據(jù)圓周角定理確

定/ASB的度數(shù).

設(shè)圓心為0,連接0A.0B,如圖，

???弦AB的長度等于圓半徑的6倍，

即AB=6OA,

/.0A2+0B2=AB2,

???△0AB為等腰直角三角形，NA0B=90。，

AZASB=—ZA0B=45°.

2

2.（2019?山東省聊城市）如圖，BC是半圓。的直徑，D,E是BC上兩點(diǎn)，連接BD,CE并延長交于點(diǎn)A,連

接0D,0E.如果/A=70°,那么/DOE的度數(shù)為（）

A.35°B.38°C.40°D.42°

【答案】C.

【解析】考點(diǎn)是圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)。連接CD,由圓周角定理得出NBDC=90°,求出/ACD=

90°-ZA=20°,再由圓周角定理得出ND0E=2NACD=40°即可，

連接CD,如圖所示：

「BC是半圓0的直徑，AZBDC=90°,：.ZADC=90°,

.,.ZACD=90°-ZA=20°,AZD0E=2ZACD=40°

3.（2019?廣西貴港）如圖，AD是。。的直徑，物CD若/A0B=40°,則圓周角/BPC的度數(shù)是（）

【答案】B.

【解析】根據(jù)圓周角定理即可求出答案.

;疝=而，ZA0B=40°,

ZC0D=ZA0B=40°,

VZA0BI-ZB0C+ZC0D=180O,

.\ZB0C=100°,

AZBPC=-=-ZB0C=50°

2

4.（2019?湖北天門）如圖，AB為。。的直徑，BC為。。的切線，弦AD〃OC,直線CD交BA的延長線于點(diǎn)E,

連接BD.下列結(jié)論：①CD是。。的切線；②COLDB；③△EDAS^EBD；（4）ED-BC=BO-BE.其中正確結(jié)論的

個(gè)數(shù)有（）

【答案】A

【解析】本題主要考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，注意掌握

輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解答此題的關(guān)鍵.

連結(jié)DO.

?；AB為。。的直徑，BC為。。的切線，.?./CB0=90°,

AD//OC,NDAO=NCOB,NADO=NCOD.

又VOA=OD,NDA0=NADO,NC0D=NCOB.

CO二DO

在△COD和△COB中,ZCOD=ZCOB,

OD=OB

.".△COD^ACOB(SAS),

.,.ZCD0=ZCB0=90°.

又?.?點(diǎn)D在。。上，

，CD是。。的切線；故①正確，

VACOD^ACOB,ACD=CB,

VOD=OB,.x。垂直平分DB,

即COLDB,故②正確；

???AB為。。的直徑，DC為。。的切線，.?.NED0=/ADB=90°,

NEDA+NADO=NBD(KNAD0=90°,NADE=NBDO,

OD=OB,NODB=NOBD,:.NEDA=NDBE,

VZE=ZE,/.AEDA^AEBD,故③正確；

NEDO=NEBC=90°,NE=NE,

ZkEODsAECB,

,EDOP

??一，

BEBC

VOD=OB,

.\ED-BC=BO-BE,故④正確.

5.（2019?山東省德州市）如圖，點(diǎn)。為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A,C,D到點(diǎn)0的距離相等，若/ABC=40°,

則/ADC的度數(shù)是（）

【答案】B.

【解析】根據(jù)題意得到四邊形ABCD共圓，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可求出所求角的度數(shù).由題意得到

OA=OB=OC=OD,作出圓0,如圖所示，

四邊形ABCD為圓0的內(nèi)接四邊形，

ZABC+ZADC=180°,

?：ZABC=40°,AZADC=140°

6.（2019湖南益陽）如圖，PA、PB為圓。的切線，切點(diǎn)分別為A、B,P0交AB于點(diǎn)C,P0的延長線交圓0

于點(diǎn)D,下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.PA=PBB.ZBPD=ZAPDC.AB±PDD.AB平分PD

【答案】D.

【解析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了切線長定理、垂徑定理和等

腰三角形的性質(zhì).

先根據(jù)切線長定理得到PA=PB,ZAPD=ZBPD；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得0P_LAB,根據(jù)菱形的性質(zhì)，只

有當(dāng)AD〃PB,BD〃PA時(shí)，AB平分PD,由此可判斷D不一定成立.

VPA,PB是。。的切線，

.".PA=PB,所以A成立；

ZBPD=ZAPD,所以B成立；

.,.ABXPD,所以C成立；

VPA,PB是。。的切線，

.\AB±PD,且AC=BC,

只有當(dāng)AD〃PB,BD〃PA時(shí)，AB平分PD,所以D不一定成立.

7.（2019?廣東廣州）平面內(nèi)，。。的半徑為1,點(diǎn)P到。的距離為2,過點(diǎn)P可作。。的切線條數(shù)為（）

A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條

【答案】C.

【解析】此題主要考查了對點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，切線的定義，切線就是與圓有且只有1個(gè)公共點(diǎn)的直線，

理解定義是關(guān)鍵.

先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再根據(jù)切線的定義即可直接得出答案.

????0的半徑為1,點(diǎn)P到圓心0的距離為2,

.\d>r,

.?.點(diǎn)P與。。的位置關(guān)系是：P在。。外，

,??過圓外一點(diǎn)可以作圓的2條切線。

8.（2019?山東泰安）如圖，AABC是。。的內(nèi)接三角形，ZA=119°,過點(diǎn)C的圓的切線交B0于點(diǎn)P,則

ZP的度數(shù)為（）

A.32°B.31°C.29°D.61°

【答案】A.

【解析】連接OC、CD,由切線的性質(zhì)得出/0CP=90°,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出N0DC=180。-ZA=

61°,由等腰三角形的性質(zhì)得出/0CD=/0DC=61°,求出/D0C=58°,由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)

果.

如圖所示：連接OC、CD,

；PC是。。的切線，；.PC_LOC,AZ0CP=90°,

VZA=119°,Z0DC=180°-ZA=61°,

V0C=0D,.\Z0CD=Z0DC=61o,

.".ZD0C=180°-2X61°=58°,

：.ZP=90°-ZD0C=32°

9.（2019?湖南益陽）如圖，PA、PB為圓。的切線，切點(diǎn)分別為A、B,P0交AB于點(diǎn)C,P0的延長線交圓0

于點(diǎn)D,下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.PA=PBB.ZBPD=ZAPDC.AB±PDD.AB平分PD

【答案】D

【解析】先根據(jù)切線長定理得到PA=PB,ZAPD=ZBPD；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OP,AB,根據(jù)菱形的

性質(zhì)，只有當(dāng)AD〃PB,BD〃PA時(shí)，AB平分PD,由此可判斷D不一定成立.

VPA,PB是。。的切線，，PA=PB,所以A成立；

/BPD=NAPD,所以B成立；

.\AB±PD,所以C成立；

VPA,PB是。。的切線，.'ABUD,且AC=BC,

只有當(dāng)AD〃PB,BD〃PA時(shí)，AB平分PD,所以D不一定成立.故選D.

10.（2019湖北荊門）如圖，4ABC內(nèi)心為I,連接AI并延長交AABC的外接圓于D,則線段DI與DB的關(guān)系

是（）

A.DI=DBB.DI>DBC.DI<DBD.不確定

【答案】A.

【解析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三

角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.也考查了三角形的外接圓和圓周角定理.

連接BI,如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得/1=/2,Z5=Z6,再根據(jù)圓周角定理得到N3=/l,然后利

用三角形外角性質(zhì)和角度的代換證明/4=/DBI,從而可判斷DI=DB.

連接BI,如圖，

:△ABC內(nèi)心為I,AZ1=Z2,Z5=Z6,

VZ3=ZL.\Z3=Z2,

VZ4=Z2+Z6=Z3+Z5,

即/4=/DBI,.-.DI=DB.

D

二、填空題

11.（2019廣西北部灣）《九章算術(shù)》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾

何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》中記載有一問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小。以

鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：

鋸口深為1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為寸.

【答案】26.

【解析】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，設(shè)。。的半徑為r.在RtZSADO中，AD=5,0D=r-l,0A=r,

則有r2=5z+（r-l）2,解方程即可.

設(shè)。。的半徑為r.

在RtZ\ADO中,AD=5,0D=r-l,0A=r,

則有r2=5a+（r-l）2,

解得廠13,

，。0的直徑為26寸。

12.（2019黑龍江綏化）半徑為5的00是銳角三角形ABC的外接圓,AB=AC,連接OB,0C,延長C0交弦AB于

點(diǎn)D.若aOBD是直角三角形,則弦BC的長為.

【答案】5/或5萬

【解析】:△OBD為直角三角形，，分類討論:如圖，當(dāng)/B0D=90°時(shí)，/B0C=90°,在Rt^BOC中，BO=OC

=5,...BC=5x/I;當(dāng)/0DB=90°時(shí)，：OB=OC,設(shè)N0BC=N0CB=x,/B0D=2x,ZB0C=180°-2x,AZ

ABO=90°-2x,ZABC=ZACB=90°—x,/A=2x,：/B0C=2/A,即180—2x=2X2x,，x=30°,AZ

B0C=120°,：0B=0C=5,；.BC=5".綜上所述,BC的長度為5百或5點(diǎn)

13.（2019山東東營）如圖，AC是。0的弦，AC=5,點(diǎn)B是。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且/ABCM5。，若點(diǎn)M、N

分別是AC、BC的中點(diǎn)，則MN的最大值是.

▼冰田155/2

【答案】—

【解析】；MN是AABC的中位線，...MN=gAB.

當(dāng)AB為。0的直徑時(shí)，AB有最大值，則MN有最大值.

當(dāng)AB為直徑時(shí)，ZACB=90°,

VZABO450,AC=5,:.這=58,

14.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在00中，半徑0A垂直于弦BC,點(diǎn)D在圓上，且/ADC=30°,則/

AOB的度數(shù)為.

【答案】600.

【解析】V0A±BC,：.ABAC,.,.ZA0B=2ZADC,

VZADC=30°,AZA0B=60°.

15.（2019江蘇常州）如圖，AB是。。的直徑，C、D是。。上的兩點(diǎn)，ZA0C=120°,則/CDB=

【答案】30

【解析】VZB0C=180°-ZA0C=180°-120°=60°，

.../CDB=1NBOC=3O°.

2

16.（2019四川省雅安市）如圖，4ABC內(nèi)接于。0,BD是。0的直徑，ZCBD=21°,則ZA的度數(shù)為.

【答案】69°

【解析】?.,BD是。。的直徑，.?./BCD=90°,VZCBD=21°,AZD=69°,ZA=ZD=69°.

17.（2019安徽）如圖，AABC內(nèi)接于。0,ZCAB=30°,ZCBA=45°,CD^AB于點(diǎn)D,若。。的半徑為2,

則CD的長為.

【答案】V2.

【解析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

連接co并延長交。。于E,連接BE,于是得到/E=/A=30°,/EBC=90°,解直角三角形即可得到結(jié)論.

連接C0并延長交。。于E,連接BE,

則/E=/A=30°,ZEBC=90°,

：。0的半徑為2,.-.CE=4,.*.BC=1-CE=2,

VCDXAB,ZCBA-450,.,.CD-除BC=6

18.（2019?江蘇泰州）如圖，。。的半徑為5,點(diǎn)P在。。上，點(diǎn)A在。。內(nèi)，且AP=3,過點(diǎn)A作AP的垂

線交。。于點(diǎn)B.C.設(shè)PB=x,PC=y,則y與x的函數(shù)表達(dá)式為

【答案】y=^x.

【解析】連接PO并延長交。。于D,連接BD,根據(jù)圓周角定理得到/C=/D,ZPBD=90°,求得/PAC=

ZPBD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

連接P。并延長交。。于D,連接BD,

則NC=ND,ZPBD=90°,

VPA±BC,ZPAC=90°,：.ZPAC=ZPBD,

.PBPC

.,.△PACc-APBD,"PA^PD

的半徑為5,AP=3,PB=X,PC=y,

19.（2019?山東省濟(jì)寧市）如圖，0為RtAABC直角邊AC上一點(diǎn)，以0C為半徑的。0與斜邊AB相切于

點(diǎn)D,交0A于點(diǎn)E,已知BC=J&,AC=3.則圖中陰影部分的面積是___________.

B.

【解析】本題考查了切線的性質(zhì)定理、切線長定理以及勾股定理的運(yùn)用，熟記和圓有關(guān)的各種性質(zhì)定理是

解題的關(guān)鍵.

在RtAABC中，VBC=V3,AC=3.

AB=\/AC2+BC2=2^

VBC±OC,ABC是圓的切線，

VOO與斜邊AB相切于點(diǎn)D,.?.BD=BC,

.*.AD=AB-BD=2A/3-V3=V3；

在比△ABC中，'.'sinA=-^-=ZA=30°，

AB3V32

VOO與斜邊AB相切于點(diǎn)D,.\OD±AB,AZA0D=90°-ZA=60°,

?喘—30。‘.嗡=冬

/.0D=1,

2

兀7T

AS陰影=60X1

360T

20.(2019?湖北省鄂州市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C(3,4),以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切.點(diǎn)

A、B在x軸上，且OA=OB.點(diǎn)P為。C上的動(dòng)點(diǎn)，ZAPB=90°,則AB長度的最大值為

y

【答案】16.

【解析】連接0C并延長，交。C上一點(diǎn)P,以。為圓心，以0P為半徑作。0,交x軸于A、B,此時(shí)AB的長

度最大，

*.,C⑶4）,/.0C=^j2,I,2=5,

..?以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切.；.OC的半徑為3,.?.0P=0A=0B=8,

「AB是直徑，.?.NAPB=90°,；.AB長度的最大值為16。

三、解答題

21.（2019?南京）如圖，。。的弦AB.CD的延長線相交于點(diǎn)P,且AB=CD.求證：PA=PC.

【答案】見解析。

【解析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的判定等，熟練掌握性質(zhì)定理是解

題的關(guān)鍵.

連接AC,由圓心角、弧、弦的關(guān)系得出忘=5,進(jìn)而得出俞=聲，根據(jù)等弧所對的圓周角相等得出NC

=/A,根據(jù)等角對等邊證得結(jié)論.

證明：連接AC,

?；AB=CD,AB=CD,

/.^+BD=M+CD,即金="S,

.?.NC=NA,PA=PC.

A

B

22.(2019?湖南株洲)四邊形ABCD是。。的圓內(nèi)接四邊形，線段AB是。。的直徑，連結(jié)AC.BD.點(diǎn)H是線

段BD上的一點(diǎn)，連結(jié)AH、CH,且NACH=/CBD,AD=CH,BA的延長線與CD的延長線相交與點(diǎn)P.

(1)求證：四邊形ADCH是平行四邊形；

(2)若AC=BC,PB=/SPD,AB+CD=2(再+1)

①求證：ADHC為等腰直角三角形；

②求CH的長度.

【答案】見解析。

【解析】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)

等知識(shí)，求CD的長度是本題的關(guān)鍵.

(1)由圓周角的定理可得NDBC=/DAC=/ACH,可證AD〃CH,由一組對邊平行且相等的是四邊形是平行

四邊形可證四邊形ADCH是平行四邊形；

(2)①由平行線的性質(zhì)可證NADH=NCHD=90°,由NCDB=NCAB=45°,可證ADH

為等腰直角三角形；

②通過證明△ADPs^CBP,可得絲晶，可得我"i，通過證明△CHDS/^ACB,可慮■朵T，可

BCPBBCV5ABBCV5

得AB=J兄D,可求CD=2,由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CH的長度.

證明：(1)VZDBC=ZDAC,ZACH=ZCBD

ZDAC=ZACH,AAD//CH,且AD=CH

四邊形ADCH是平行四邊形

(2)①：AB是直徑

.\ZACB=90°=ZADB,且AC=BC

NCAB=NABC=45°，.,?NCDB=NCAB=45°

；AD〃CH

,.ZADH=ZCHD=90O,且/CDB=45°

.\ZCDB=ZDCH=45°,.\CH=DH,且NCHD=90°

.??△DHC為等腰直角三角形；

②???四邊形ABCD是。。的圓內(nèi)接四邊形，

?.ZADP=ZPBC,且/P=NP,AADP^ACBP

.ADPD,且PB=J^PD,

'BC

.AD_1.CH_1

.而市,AD=CH,..而市

/ZCDB=ZCAB=45°,ZCHD=ZACB=90°.,.ACHD^AACB

噌親金，AB=aCD

ADDCV5,

??AB+CD=2(a+1),.?.限D(zhuǎn)+CD=2(m+1)

?.CD=2,且為等腰直角三角形，；.CH=6

23.（2019廣西池河）如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于。0,CF與。。相切于點(diǎn)C,交AB延長線于點(diǎn)F.

(1)若AE=DC,ZE=ZBCD,求證：DE=BC；(2)若0B=2,AB=BD=DA,ZF=45°,求CF的長.

【答案】見解析。

【解析】（1）由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得而二而，由圓周角定理得出/ADE=/DBC,證明△ADE^4

DBC,即可得出結(jié)論；

證明：VAE=DC,Z.AE=DC，.*.ZADE=ZDBC,

"/ADE=/DBC

在4ADE和ADBC中，■ZE=ZBCD,

,AE二DC

.".△ADE^ADBC(AAS),；.DE=BC；

（2）連接CO并延長交AB于G,作OH，AB于H,則/0HG=/0HB=90。,由切線的性質(zhì)得出/FCG=90°,

得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF=CG,OG=&OH,由等邊三角形的性質(zhì)得出N0BH=30°,

由直角三角形的性質(zhì)得出OH=,OB=1,0G=V2,即可得出答案.

連接C0并延長交AB于G,作OHJ_AB于H,如圖所示:

則/0HG=N0HB=90°,

???CF與。。相切于點(diǎn)C,.?.NFCG=90°,

VZF=45°,.?.△CFG、△OGH是等腰直角三角形，；.CF=CG,OG=J^OH,

,?'AB=BD=DA,z^XABD是等邊三角形,ZABD=60°,.,?N0BH=30°,

0H=—OB=1,/.0G=^/~2，/.CF=C