高級中學名校試卷PAGEPAGE12023屆高三下學期開學摸底考試卷（浙江專用）數學第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由，則，即，由，則，即，，故選：A.2．已知，且，其中是虛數單位，則等于（

）A．5 B． C． D．1〖答案〗B〖解析〗由得：，即，解得，從而.故選：B3．設，，則等于（

）A． B．1 C．2 D．3〖答案〗B〖解析〗由，，得，則，則，則，則.故選：B4．甲?乙兩袋中各有大小相同的10個球，甲袋有5個紅球，5個白球；乙袋有7個紅球，3個白球，隨機選擇一袋，然后從中隨機摸出兩個球，表示恰好摸到一個紅球與一個白球的事件的概率，則等于（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設事件為“取到甲袋”，事件為“取到乙袋”，則，，則.故選：C.5．函數在上的圖象大致是（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗，，而，因此函數是偶函數，其圖象關于y軸對稱，選項A，B不滿足；又，，于是得，選項C不滿足，D符合題意.故選：D6．已知雙曲線的右焦點為，關于原點對稱的兩點，分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗令雙曲線右焦點，則其左焦點，連接，如圖，顯然與互相平分于點O，即四邊形為平行四邊形，又，則，因此四邊形為矩形，令，由得，由雙曲線定義知，，在中，，即，解得，在中，，而，于是得，解得，所以雙曲線的離心率.故選：B7．實數分別滿足，則的大小關系為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗由已知得，①設，當時，，所以在上單調遞減，因此，即，所以，又設，，當時，，所以在上單調遞增，因此，所以則，所以；②設，當時，，在上，單調遞減，當時，恒成立；取時，；綜上得故選：C.8．2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數學中也有一朵美麗的雪花一“科赫雪花”．它可以這樣畫，任意畫一個正三角形，并把每一邊三等分：取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線；重復上述兩步，畫出更小的三角形．一直重復，直到無窮，形成雪花曲線，．設雪花曲線的邊長為，邊數為，周長為，面積為，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C．均構成等比數列 D．〖答案〗D〖解析〗據題意知：，∴，A錯誤；，當時，，B錯誤；∴，由也滿足上式，則，所以不構成等比數列，C錯誤；由上，，則，D正確.故選：D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分）9．已知函數的部分圖像如圖所示，將的圖像向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到函數的圖像，則（

）A． B．C．的圖像關于點對稱 D．在上單調遞減〖答案〗AD〖解析〗由圖像可知函數的最大值為2，最小值為，所以，，又，又，所以又，所以，所以，故正確，將的圖像向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度后得，故錯誤．由，所以的圖像關于點對稱，故錯誤．由即，所以選項正確.故選：．10．已知，則（

）A． B．C． D．〖答案〗AC〖解析〗對A，為展開式中最高次項系數，只能由展開式的最高次項相乘，故為，即，故A正確；對B，，故，故B錯誤；對C，令，則，即，令，則，即.故，故C正確；對D，令，則，結合C，，故...①又...②，①+②可得，故，，故，故D錯誤.故選：AC11．如圖，在長方體中，，分別是棱的中點，點在側面內，且，則（

）A．的最小值是B．C．三棱錐的體積是定值D．三棱錐的外接球表面積的取值范圍是〖答案〗BCD〖解析〗如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，設，則，因為，所以，得，所以，則，得，，當時，，則，當時，則，則，綜上，，所以三點共線，即點的軌跡即為線段，對于A，，即的最小值是，故A錯誤；對于B，，則，所以，故B正確；對于C，，則為定值，由點的軌跡即為線段，且，所以，又平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，所以三棱錐的體積是定值，故C正確；對于D，設的中點為，則在中，外接圓的圓心即為點，則三棱錐的外接球的球心在過點且垂直于平面的直線上，設球心為，，則，即，所以，則，因為，所以，即三棱錐的外接球的半徑，所以三棱錐的外接球表面積的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.12．已知函數，的定義域為R，為的導函數，且，，若為偶函數，則下列結論一定正確的是（

）A． B． C． D．〖答案〗ABD〖解析〗因為為偶函數,則，兩邊求導得,所以為奇函數,因為,,所以,故,所以,即的周期且,在，中,令,可得,所以，故A正確；令，可得，而為奇函數，則，所以，則，故B正確;令得,,則,無法求得,同理令得,,因此,相加得,只有在時,有,但不一定為0,因此C錯誤;在中,令得,,在中,令得,,兩式相加得,即，故D正確；故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．寫出一個最小正周期為2的奇函數________．〖答案〗〖解析〗由最小正周期為2，可考慮三角函數中的正弦型函數，，滿足，即是奇函數；根據最小正周期，可得.故函數可以是中任一個，可取.故〖答案〗為：.14．已知，都是正數，則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗因為均為正實數，故設，，則聯立解得，，當且僅當，即，即時取等號，故〖答案〗為：.15．已知直線：與直線關于直線對稱，點在圓：上運動，則動點到直線的距離的最大值為____________.〖答案〗6〖解析〗變形為，令，解得：，故直線恒過定點，關于對稱的點，故直線恒過點，變形為，圓心為，半徑為1，故圓心與的距離為，則動點到直線的距離的最大值為BC的長加上半徑，即.故〖答案〗為：616．設點P在單位圓的內接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．〖答案〗〖解析〗以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示：則,，設,于是，因為，所以，故的取值范圍是.故〖答案〗為：．四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知正項數列的前n項和，滿足，數列的前n項積為．（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前n項和．解：（1）由題意：①，當時，可得，當時，②，由①-②得：，由為正項數列，得是首項為，公比為的等比數列.因此可得（2）由于數列的前項的乘積為，當時，得；當時，得；符合通項，故得.由（1）可知：，，令為的前項和，.18．（12分）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）若，求C；（2）求的取值范圍.解：（1）由，可得，則整理得，解之得或又，則，則，則（2）A，B為的內角，則則由，可得，則均為銳角又，則，則，則則令，則又在單調遞增，，可得，則的取值范圍為，則的取值范圍為19．（12分）近年來，水旱災害是我國出現頻率最高，影響范圍和造成損失較大的自然災害.如何在水旱災害發生的各個階段，利用信息系統在較短時間內盡可能多地獲取相關信息，對防汛抗旱的形勢和問題作出正確的判斷，制訂科學的決策方案是新時期流域水旱災害防御需要面對的新問題.今年入汛以來，某市降雨量比常年偏多兩成以上，且強度大、持續時間長．依據該地A河流7月份的水文觀測點的歷史統計數據所繪制的頻率分布直方圖如圖甲所示；依據當地的地質構造，得到水位與災害等級的頻率分布條形圖如圖乙所示.（1）以此頻率作為概率，試估計A河流在7月份水位的50百分位數及在7月份發生1級災害的概率；（2）A河流域某企業，在7月份，若沒受1、2級災害影響，利潤為600萬元；若受1級災害影響，則虧損200萬元；若受2級災害影響，則虧損1200萬元．現此企業有如下三種應對方案：方案等級費用（單位：萬元）方案一無措施0方案二防控1級災害50方案三防控2級災害200試問，如僅從利潤考慮，該企業應選擇這三種方案中的哪種方案？請說明理由.（1）解：頻率分布直方圖中6個小矩形的面積分別是0.1，0.25，0.3，02，0.1，0.05，設7月份的水位中位數為，則，∴，解得，∴7月份的水位中位數為37.5；設該河流7月份水位小于40米為事件，水位在40米至50米為事件，水位大于50米為事件，在，，，設發生1級災害為事件，由條形圖可知：，，，∴，，，∴；（2）解：由（1）可知7月份該河流不發生災害的概率為，發生1級災害的概率為0.155，發生2級災害的概率為設第種方案的企業利潤為，①若選擇方案一，則的取值可能為600，，，∴，，∴的分布列為：6000.810.1550.035∴（萬元）②若選擇方案二，則的取值可能為550，，且，的分布列為：5500.9650.035∴（萬元）③若選擇方案三，則不會受任何災害影響，該企業7月份的平均利潤為（萬元）∴最大，∴從利潤考慮，該企業應選擇第二種方案.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形且，M為的中點，，．（1）證明：平面；（2）若，與平面所成的角為45°，求二面角的正弦值．（1）證明：因為在和Rt中，，，所以，因為，，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，平面，所以平面．（2）解：因為，所以，因為平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，所以為與平面所成的角，則，所以，由勾股定理知：，可如圖建立空間直角坐標系，所以，，，，所以，，由（1）知，平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則有，即，取，得，所以，設二面角的大小為，則．21．（12分）如圖，橢圓的離心率為，上的點到直線的最短距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過上的動點向橢圓作兩條切線、，交軸于，交軸于，交軸于，交軸于，記的面積為，的面積為，求的最小值.（1）解：由題意知：，所以，即所求橢圓方程為.（2）解：設、的方程分別為、，則，，，，，①聯立，可得，，化簡得，顯然，、是關于的的兩根.故，，則，即代入①式得，令，則，，當且僅當，即時，的最小值為.22．（12分）已知函數，其中．（1）討論函數的單調性；（2）若在上的最大值為0，①求a的取值范圍；②若恒成立，求正整數k的最小值．解：（1），若，則有，單調遞增；若，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減；（2）①由（1）的討論可知，當時，單調遞增，在，，滿足題意；當時，在，，滿足題意；當時，即，在，，令，則，當時，，單調遞增，，即，不滿足題意；綜上，a的取值范圍是；②由題意，，，即，考慮直線的極端情況a=1，則，即，令，，顯然是減函數，

，

，∴存在唯一的使得，當時，，當時，，，，

，即，故k的最小值可能是3或4，驗算，由于，，，，滿足題意；綜上，a的取值范圍是，的最小值是3.2023屆高三下學期開學摸底考試卷（浙江專用）數學第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由，則，即，由，則，即，，故選：A.2．已知，且，其中是虛數單位，則等于（

）A．5 B． C． D．1〖答案〗B〖解析〗由得：，即，解得，從而.故選：B3．設，，則等于（

）A． B．1 C．2 D．3〖答案〗B〖解析〗由，，得，則，則，則，則.故選：B4．甲?乙兩袋中各有大小相同的10個球，甲袋有5個紅球，5個白球；乙袋有7個紅球，3個白球，隨機選擇一袋，然后從中隨機摸出兩個球，表示恰好摸到一個紅球與一個白球的事件的概率，則等于（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設事件為“取到甲袋”，事件為“取到乙袋”，則，，則.故選：C.5．函數在上的圖象大致是（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗，，而，因此函數是偶函數，其圖象關于y軸對稱，選項A，B不滿足；又，，于是得，選項C不滿足，D符合題意.故選：D6．已知雙曲線的右焦點為，關于原點對稱的兩點，分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗令雙曲線右焦點，則其左焦點，連接，如圖，顯然與互相平分于點O，即四邊形為平行四邊形，又，則，因此四邊形為矩形，令，由得，由雙曲線定義知，，在中，，即，解得，在中，，而，于是得，解得，所以雙曲線的離心率.故選：B7．實數分別滿足，則的大小關系為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗由已知得，①設，當時，，所以在上單調遞減，因此，即，所以，又設，，當時，，所以在上單調遞增，因此，所以則，所以；②設，當時，，在上，單調遞減，當時，恒成立；取時，；綜上得故選：C.8．2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數學中也有一朵美麗的雪花一“科赫雪花”．它可以這樣畫，任意畫一個正三角形，并把每一邊三等分：取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線；重復上述兩步，畫出更小的三角形．一直重復，直到無窮，形成雪花曲線，．設雪花曲線的邊長為，邊數為，周長為，面積為，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C．均構成等比數列 D．〖答案〗D〖解析〗據題意知：，∴，A錯誤；，當時，，B錯誤；∴，由也滿足上式，則，所以不構成等比數列，C錯誤；由上，，則，D正確.故選：D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分）9．已知函數的部分圖像如圖所示，將的圖像向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到函數的圖像，則（

）A． B．C．的圖像關于點對稱 D．在上單調遞減〖答案〗AD〖解析〗由圖像可知函數的最大值為2，最小值為，所以，，又，又，所以又，所以，所以，故正確，將的圖像向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度后得，故錯誤．由，所以的圖像關于點對稱，故錯誤．由即，所以選項正確.故選：．10．已知，則（

）A． B．C． D．〖答案〗AC〖解析〗對A，為展開式中最高次項系數，只能由展開式的最高次項相乘，故為，即，故A正確；對B，，故，故B錯誤；對C，令，則，即，令，則，即.故，故C正確；對D，令，則，結合C，，故...①又...②，①+②可得，故，，故，故D錯誤.故選：AC11．如圖，在長方體中，，分別是棱的中點，點在側面內，且，則（

）A．的最小值是B．C．三棱錐的體積是定值D．三棱錐的外接球表面積的取值范圍是〖答案〗BCD〖解析〗如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，設，則，因為，所以，得，所以，則，得，，當時，，則，當時，則，則，綜上，，所以三點共線，即點的軌跡即為線段，對于A，，即的最小值是，故A錯誤；對于B，，則，所以，故B正確；對于C，，則為定值，由點的軌跡即為線段，且，所以，又平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，所以三棱錐的體積是定值，故C正確；對于D，設的中點為，則在中，外接圓的圓心即為點，則三棱錐的外接球的球心在過點且垂直于平面的直線上，設球心為，，則，即，所以，則，因為，所以，即三棱錐的外接球的半徑，所以三棱錐的外接球表面積的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.12．已知函數，的定義域為R，為的導函數，且，，若為偶函數，則下列結論一定正確的是（

）A． B． C． D．〖答案〗ABD〖解析〗因為為偶函數,則，兩邊求導得,所以為奇函數,因為,,所以,故,所以,即的周期且,在，中,令,可得,所以，故A正確；令，可得，而為奇函數，則，所以，則，故B正確;令得,,則,無法求得,同理令得,,因此,相加得,只有在時,有,但不一定為0,因此C錯誤;在中,令得,,在中,令得,,兩式相加得,即，故D正確；故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．寫出一個最小正周期為2的奇函數________．〖答案〗〖解析〗由最小正周期為2，可考慮三角函數中的正弦型函數，，滿足，即是奇函數；根據最小正周期，可得.故函數可以是中任一個，可取.故〖答案〗為：.14．已知，都是正數，則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗因為均為正實數，故設，，則聯立解得，，當且僅當，即，即時取等號，故〖答案〗為：.15．已知直線：與直線關于直線對稱，點在圓：上運動，則動點到直線的距離的最大值為____________.〖答案〗6〖解析〗變形為，令，解得：，故直線恒過定點，關于對稱的點，故直線恒過點，變形為，圓心為，半徑為1，故圓心與的距離為，則動點到直線的距離的最大值為BC的長加上半徑，即.故〖答案〗為：616．設點P在單位圓的內接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．〖答案〗〖解析〗以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示：則,，設,于是，因為，所以，故的取值范圍是.故〖答案〗為：．四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知正項數列的前n項和，滿足，數列的前n項積為．（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前n項和．解：（1）由題意：①，當時，可得，當時，②，由①-②得：，由為正項數列，得是首項為，公比為的等比數列.因此可得（2）由于數列的前項的乘積為，當時，得；當時，得；符合通項，故得.由（1）可知：，，令為的前項和，.18．（12分）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）若，求C；（2）求的取值范圍.解：（1）由，可得，則整理得，解之得或又，則，則，則（2）A，B為的內角，則則由，可得，則均為銳角又，則，則，則則令，則又在單調遞增，，可得，則的取值范圍為，則的取值范圍為19．（12分）近年來，水旱災害是我國出現頻率最高，影響范圍和造成損失較大的自然災害.如何在水旱災害發生的各個階段，利用信息系統在較短時間內盡可能多地獲取相關信息，對防汛抗旱的形勢和問題作出正確的判斷，制訂科學的決策方案是新時期流域水旱災害防御需要面對的新問題.今年入汛以來，某市降雨量比常年偏多兩成以上，且強度大、持續時間長．依據該地A河流7月份的水文觀測點的歷史統計數據所繪制的頻率分布直方圖如圖甲所示；依據當地的地質構造，得到水位與災害等級的頻率分布條形圖如圖乙所示.（1）以此頻率作為概率，試估計A河流在7月份水位的50百分位數及在7月份發生1級災害的概率；（2）A河流域某企業，在7月份，若沒受1、2級災害影響，利潤為600萬元；若受1級災害影響，則虧損200萬元；若受2級災害影響，則虧損1200萬元．現此企業有如下三種應對方案：方案等級費用（單位：萬元）方案一無措施0方案二防控1級災害50方案三防控2級災害200試問，如僅從利潤考慮，該企業應選擇這三種方案中的哪種方案？請說明理由.（1）解：頻率分布直方圖中6個小矩形的面積分別是0.1，0.25，0.3，02，0.1，0.05，設7月份的水位中位數為，則，∴，解得，∴7月份的水位中位數為37.5；設該河流7月份水位小于40米為事件，水位在40米至50米為事件，水位大于50米為事件，在，，，設發生1級災害為事件，由條形圖可知：，，，∴，，，∴；（2）解：由（1）可知7月份該河流不發生災害的概率為，發生1級災害的概率為0.155，發生2級災害的概率為設第種方案的企業利潤為，①若選擇方案一，則的取值可能為600，，，∴，，∴的