2/38專題三角形的性質與判定目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構考點一三角形的基礎題型01三角形的三邊關系題型02與三角形有關線段的綜合問題題型03三角形內角和定理與外角和定理綜合問題題型04三角形內角和與外角和定理的實際應用【核心提煉·查漏補缺】【好題必刷·強化落實】考點二特殊三角形的性質與判定題型01線段垂直平分線的性質與判定題型02角平分線的性質與判定題型03等腰三角形的性質與判定題型04等邊三角形的性質與判定題型05直角三角形的性質與判定題型06勾股定理、勾股定理逆定理與網格問題題型07與三角形有關的折疊問題題型08趙爽弦圖題型09利用勾股定理解決實際問題【核心提煉·查漏補缺】【好題必刷·強化落實】2/109

考點要求命題預測三角形的基礎三角形的基礎知識是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎，所以在中考中考察的幾率比較大.在考察題型上，三角形基礎知識部分多以選擇或者填空題形式，考察其三邊關系、內角和/外角和定理、“三線”基本性質等.特殊三角形的性質與判定也是考查重點，年年都會考查，最為經典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結的，且等腰三角形單獨出題的可能性還是比較大.直角三角形的出題類型可以是選擇填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進行拓展延伸.特殊三角形的性質與判定考點一三角形的基礎題型01三角形的三邊關系三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．【解題技巧】1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形．1．（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）2,5,m是某三角形三邊的長，則(m?3)2+(m?7)A．2m?10 B．10?2m C．10 D．42．（2020·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2?8x+12=0的根，則該三角形的周長為3．（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）平面內，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．84．（2023·河北·中考真題）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當△ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5題型02與三角形有關線段的綜合問題三角形有關的線段的性質：高（AD）中線（AD）角平分線（AD）中位線（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CDS△ABD=S△ADCC∠BAD=∠DAC=12AD=DBAE=ECDE=121.三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關系，由三角形的角平分線可得角之間的關系．2.常見三角形的高：3.當已知三角形兩邊的中點時，可考慮運用三角形中位線定理，得到相應線段的數量關系與位置關系.1．（2023·安徽·中考真題）清初數學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設計直角三角形，得出了一個結論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD=12BC+AB2?AC

2．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF=3FE，則BDDC=3．（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知，如圖1，若AD是△ABC中∠BAC的內角平分線，通過證明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分線，通過探究也有類似的性質．請你根據上述信息，求解如下問題：如圖2，在△ABC中，BD=2,CD=3,AD是△ABC的內角平分線，則△ABC的BC4．（2022·上海·中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點，E在線段AC上，ADAB=DEBC5．（2022·吉林·中考真題）下面是王倩同學的作業(yè)及自主探究筆記，請認真閱讀并補充完整．【作業(yè)】如圖①，直線l1∥l2，解：相等．理由如下：設l1與l2之間的距離為?，則S△ABC∴S△ABC【探究】(1)如圖②，當點D在l1，l2之間時，設點A，D到直線l2的距離分別為?，?證明：∵S△ABC(2)如圖③，當點D在l1，l2之間時，連接AD并延長交l2于點M證明：過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥∴△AEM∽．∴AEDF由【探究】（1）可知S△ABCS∴S△ABC(3)如圖④，當點D在l2下方時，連接AD交l2于點E．若點A，E，D所對應的刻度值分別為5，1.5，0，S△ABC題型03三角形內角和定理與外角和定理綜合問題三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內角和定理的應用：1)在三角形中,已知兩個內角的度數,可以求出第三個內角的度數；2)在三角形中,已知三個內角的比例關系,可以求出三個內角的度數；3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數,可以求出另一個銳角的度數.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性質：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．三角形中角度計算的6種常考模型：A字模型8字模型飛鏢模型老鷹抓小雞模型（一）∠1+∠2=∠A+180°∠A+∠B=∠C+∠D∠C=∠A+∠B+∠D∠A+∠O=∠1+∠2老鷹抓小雞模型（二）雙角平分線模型（一）雙角平分線模型（二）雙角平分線模型（三）∠A+∠O=∠2-∠1∠D=90°+12∠D=90°-12∠E=12∠三角形折疊模型（一）三角形折疊模型（二）三角形折疊模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠21．（2019·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF，AD∥CE，連接BC，CD，則∠A的度數是（）A．45° B．50° C．55° D．80°2．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，△ABC中，∠BAC=55°，將△ABC逆時針旋轉α(0°<α<55°),得到△ADE，DE交AC于F．當α=40°時，點D恰好落在BC上，此時∠AFE等于（

）

A．80° B．85° C．90° D．95°3．（2022·內蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△EDC，使點B的對應點D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點F．若∠BCD=α，則∠EFC的度數是（用含α的代數式表示）（

）A．90°+12α B．90°?12α4．（2023·四川達州·中考真題）如圖，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2=35°,∠D=60°則∠B=（

）

A．52° B．50° C．45° D．25°5．（2021·遼寧本溪·中考真題）一副三角板如圖所示擺放，若∠1=80°，則∠2的度數是（）A．80° B．95° C．100° D．110°6．（2020·浙江紹興·中考真題）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，將BC繞點B順時針旋轉θ（0°＜θ＜90°），得到BP，連結CP，過點A作AH⊥CP交CP的延長線于點H，連結AP，則∠PAH的度數（）A．隨著θ的增大而增大B．隨著θ的增大而減小C．不變D．隨著θ的增大，先增大后減小7．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射線CP從射線CA開始繞點C逆時針旋轉α角0°<α<75°，與射線AB相交于點D，將△ACD沿射線CP翻折至△A'CD處，射線CA'與射線AB相交于點E．若△

8．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于點E．P是邊BC上的動點（不與B，C重合），連結AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結DC，記∠BCD=α．(1)如圖，當P與E重合時，求α的度數．(2)當P與E不重合時，記∠BAD=β，探究α與β的數量關系．題型04三角形內角和與外角和定理的實際應用1．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，沿AB方向架橋修路，為加快施工進度，在直線AB上湖的另一邊的D處同時施工．取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，則C，D兩點的距離是m2．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束光沿CD方向，先后經過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，則∠AEF=．3．（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調躺椅示意圖（數據如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D應（填“增加”或“減少”）度．4．（2023·四川自貢·中考真題）第29屆自貢國際恐龍燈會“輝煌新時代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對角線的夾角∠ACB=15°，算出這個正多邊形的邊數是（

）

A．9 B．10 C．11 D．125．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖為商場某品牌椅子的側面圖，∠DEF=120°，DE與地面平行，∠ABD=50°，則∠ACB=（

）

A．70° B．65° C．60° D．50°三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所構成的圖形叫做三角形.三角形的表示：用符號“Δ”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”.三角形的分類：1）三角形按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形2）三角形按角分類：三角形直角三角形三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊的長度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.1.三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后邊的字母為三角形的三個頂點,字母的順序可以自由安排.即?ABC,?ACB等均為同一個三角形.2.等腰三角形中至少有兩邊相等,而等邊三角形中三邊都相等,所以等邊三角形是特殊的等腰三角形.3.四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.一、單選題1．（2022·河北保定·?？家荒＃┠苡萌切蔚姆€(wěn)定性解釋的生活現(xiàn)象是（

）A．B．C．D．2．（2023·河北滄州·校考模擬預測）在△ABC中，AC=7，BC=4，M是AB上的一點，若△ACM的周長比△BCM的周長大3，根據下列尺規(guī)作圖痕跡可以得到符合條件的CM的是（

）A．B．C．D．3．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖，已知△ABC中，根據尺規(guī)作圖痕跡及圖上數據，則線段BC的長可能為（

）

A．1 B．2 C．7 D．104．（2021·山西呂梁·統(tǒng)考二模）在探究證明“三角形的內角和是180°”時，綜合實踐小組的同學作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形內角和是180°”的是（

）A．B．C．D．5．（2022·河北邢臺·統(tǒng)考二模）老師布置的作業(yè)中有這么一道題：如圖，在△ABC中，D為BC的中點，若AC=3，AD=4．則AB的長不可能是（

）A．5

B．7

C．8

D．9甲同學認為AB，AC，AD這條三邊不在同一個三角形中，無法解答，老師給的題目有錯誤．乙同學認為可以從中點D出發(fā)，構造輔助線，利用全等的知識解決．丙同學認為沒必要借助全等三角形的知識，只需構造一個特殊四邊形，就可以解決關于三位同學的思考過程，你認為正確的是…（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙6．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，∠BAC=60°，∠ABE=26°，則∠DAC的大小是（）A．20° B．22° C．24° D．26°7．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）已知a，b，c是三角形的三條邊，則c?a?b+c+b?a的化簡結果為（A．0 B．2a+2b C．2b D．2a+2b?2c8．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考二模）百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．關于凹四邊形ABCD（如圖），以下結論：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②若AB=AD,BC=CD，則AC⊥BD；③若∠BCD=2∠A，則BC=CD；④存在凹四邊形ABCD，有AB=CD,AD=BC．其中所有正確結論的序號是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④二、填空題9．（2023·河北衡水·二模）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，沿AD將△ABC折疊，使點C與BC邊上的點C'重合，展開后得到折痕a

（1）折痕a是△ABC的；（填“角平分線”“中線”或“高”）（2）若∠BAC'=15°，則∠C比∠B的度數大10．（2022·河北邢臺·?？既＃┤鐖D，AB，BC，CD是某正多邊形相鄰的三條邊，延長AB，DC交于點P，∠P=120°．

（1）∠PBC的度數為；（2）該多邊形為正邊形．三、解答題11．（2023·廣東東莞·東莞市東莞中學初中部?？既＃┮阎切蔚膬蛇呴L分別是1、2，第三邊為整數且為不等式組2x?112．（2022·陜西渭南·統(tǒng)考三模）如圖，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，請用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點D，使得∠ABD＝25°．（保留作圖痕跡，不寫作法）13．（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=2α，BD平分∠ABC交AC于點E，點F是ED上一點且∠EAF=α．(1)求∠AFB的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?2)連接FC，用等式表示線段FC與FA的數量關系，并證明．14．（2023·江西上饒·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在下列10×10的正方形網格中，△ABC的頂點A，B，C均在格點上，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，在AB邊上找一點P，連接PC，使S△APC(2)在圖2中，在邊AB上找一點Q，連接QC，使S△AQC考點二特殊三角形的性質與判定題型01線段垂直平分線的性質與判定垂直平分線的概念：經過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）.性質：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.對于含有垂直平分線的題目，首先考慮將垂直平分線上的點與線段兩端點連接起來．1．（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于12BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，則△ABD的周長為（A．25 B．22 C．19 D．182．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，根據尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（

）A．AF=BF B．AE=C．∠DBF+∠DFB=90° D．∠BAF=∠EBC3．（2020·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延長線交BC于點E，若∠EAC=49°，則∠BAE的度數為4．（2020·湖南·中考真題）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當D，B，F(xiàn)共線時，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當D，B，F(xiàn)不共線時，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．題型02角平分線的性質與判定角平分線的性質定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．角平分線的判定定理：角的內部，與角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上．性質中的“距離”是指“點到角兩邊所在直線的距離”,因此在應用時必須含有“垂直”這個條件,否則不能得到線段相等.1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，∠A=90°,AB=8,AC=15，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA、BC于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點E，作射線BE交AC于點D，則線段AD的長為

2．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D，DE//AB，交AC于點E，DF⊥AB于點F，DE=5,DF=3，則下列結論錯誤的是（

A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=93（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，∠EAD＝25°，則下列結論錯誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°4．（2021·廣東深圳·中考真題）如圖，已知∠BAC=60°，AD是角平分線且AD=10，作AD的垂直平分線交AC于點F，作DE⊥AC，則△DEF周長為．5．（2023·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實踐問題探究：（1）如圖1是古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角．”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點C和D，使得OC=OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．

請寫出OE平分∠AOB的依據：____________；類比遷移：（2）小明根據以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=DE即可．他查閱資料：我國古代已經用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A，現(xiàn)在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

題型03等腰三角形的性質與判定等腰三角形性質：1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡稱“三線合一”）.等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.1.等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.2.頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個底角都為45°.3.等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸．4.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．5.等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則b26.等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=1807.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形．（即頂角36°，底角72°）.8.等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據，是把三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據．1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于12FG的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于12BD的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結論：①∠AED=∠ABC；②BC=AE；③ED=1

A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）已知點A在反比例函數y=12x(x>0)的圖象上，點B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長為5，則AB3．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°，AM⊥BC于點M，D是線段MC上的動點（不與點M，C重合），將線段DM繞點D順時針旋轉2α得到線段DE

(1)如圖1，當點E在線段AC上時，求證：D是MC的中點；(2)如圖2，若在線段BM上存在點F（不與點B，M重合）滿足DF=DC，連接AE，EF，直接寫出∠AEF的大小，并證明．4．（2022·新疆·中考真題）如圖，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，點O為BC的中點，點D是線段OC上的動點（點D不與點O，C重合），將△ACD沿AD折疊得到Δ

(1)當AE⊥BC時，∠AEB=___________°；(2)探究∠AEB與∠CAD之間的數量關系，并給出證明；(3)設AC=4，△ACD的面積為x，以AD為邊長的正方形的面積為y，求y關于x的函數解析式．5．（2022·安徽·中考真題）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點C作BD的垂線交AB于點E，連接DE．(1)如圖1，若DE∥BC，求證：四邊形(2)如圖2，連接AC，設BD，AC相交于點F，DE垂直平分線段AC．（?。┣蟆螩ED的大小；（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．題型04等邊三角形的性質與判定等邊三角形的性質：1）等邊三角形的三條邊相等.2）三個內角都相等，并且每個內角都是60°.等邊三角形的判定：1）三邊相等或三個內角都相等的三角形是等邊三角形.2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.1.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質.2.等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸．3．等邊三角形的內心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一個角是60°，無論這個角是頂角還是底角，這個三角形就是等邊三角形．5.等腰(等邊)三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．6.等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=31．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知∠ABC=60°，點D為BA邊上一點，BD=10，點O為線段BD的中點，以點O為圓心，線段OB長為半徑作弧，交BC于點E，連接DE，則BE的長是（

）A．5 B．52 C．53 2．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB=27厘米，則這個正六邊形的周長為厘米．3．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）△ABC和△ADE都是等邊三角形．(1)將△ADE繞點A旋轉到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點P（點P與點A重合），有PA+PB=PC（或PA+PC=PB）成立；請證明．(2)將△ADE繞點A旋轉到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數量關系？并加以證明；(3)將△ADE繞點A旋轉到圖③的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數量關系？直接寫出結論，不需要證明．4．（2020·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．【問題解決】（1）如圖1，若點D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；【類比探究】（2）如圖2，若點D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數量關系？并說明理由．5．（2022·湖北武漢·中考真題）問題提出：如圖（1），△ABC中，AB=AC，D是AC的中點，延長BC至點E，使DE=DB，延長ED交AB于點F，探究AFAB(1)先將問題特殊化．如圖（2），當∠BAC=60°時，直接寫出AFAB(2)再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結論仍然成立．問題拓展：如圖（3），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中點，G是邊BC上一點，CGBC=1nn<2，延長BC至點E，使DE=DG，延長ED交AB于點F6．（2022·山東臨沂·中考真題）已知△ABC是等邊三角形，點B，D關于直線AC對稱，連接AD，CD．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)在線段AC上任取一點Р（端點除外），連接PD．將線段PD繞點Р逆時針旋轉，使點D落在BA延長線上的點Q處．請?zhí)骄浚寒旤cР在線段AC上的位置發(fā)生變化時，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由．(3)在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數量關系，并加以證明．題型05直角三角形的性質與判定直角三角形的性質：1）直角三角形兩個銳角互余.2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.3）在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.直角三角形的判定：1）兩個內角互余的三角形是直角三角形.2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．3）有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.面積公式：S=12ab=121．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'2．（2023·山東·中考真題）△ABC的三邊長a，b，c滿足(a?b)2+2a?b?3+|c?32A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形3．（2023·河北·中考真題）在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠BA．30° B．n° C．n°或180°?n° D．30°或150°4．（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為AD的中點，連接OE，∠ABC=60°，BD=43，則OE=（

A．4 B．23 C．2 D．5．（2020·廣東·中考真題）已知關于x，y的方程組ax+23y=?103（1）求a，b的值；（2）若一個三角形的一條邊的長為26，另外兩條邊的長是關于x的方程x題型06勾股定理、勾股定理逆定理與網格問題1）因為正方形網格中的每一個角都是直角，所以在正方形網格中的計算都可以歸結為求任意兩個格點之間的長度問題，一般情況下都是設每一個小正方形的邊長為1,然后應用勾股定理來進行計算.2）網格中，求頂點在格點上的四邊形或五邊形等幾何圖形的面積，可利用外部補法，轉化成用長方形(或正方形)的面積減去直角三角形面積.1．（2022·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，A，B，C，D四個點均在格點上，AC與BD相交于點E，連接AB,CD，則△ABE與△CDE的周長比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：12．（2022·四川廣元·中考真題）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cos∠APC的值為（）A．35 B．255 C．23．（2022·天津·中考真題）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，圓上的點A，B，C及∠DPF的一邊上的點E，F(xiàn)均在格點上．（Ⅰ）線段EF的長等于；（Ⅱ）若點M，N分別在射線PD,PF上，滿足∠MBN=90°且BM=BN．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出點M，N，并簡要說明點M，N的位置是如何找到的（不要求證明）．4．（2023·廣東·中考真題）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結論．5．（2023·吉林·中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上．在圖①、圖②、圖③中以AB為邊各畫一個等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點均在格點上．

題型07與三角形有關的折疊問題利用勾股定理解答折疊問題的一般步驟：1）運用折疊圖形的性質找出相等的線段或角；2）在圖形中找到一個直角三角形（選不以折痕為邊的直角三角形），然后設圖形中某一線段的長為x，將此直角三角形的三邊長用數或含有x的代數式表示出來；3）利用勾股定理列方程求出x；4）進行相關計算解決問題.1．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D，E分別在AB，BC上，將△BDE沿直線DE翻折，點B的對應點B'恰好落在AB上，連接CB'，若CB'3．（2021·四川涼山·中考真題）如圖，△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則CE的長為（

）A．198 B．2 C．254 3．（2021·河南·中考真題）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1．第一步，在AB邊上找一點D，將紙片沿CD折疊，點A落在A'處，如圖2，第二步，將紙片沿CA'折疊，點D落在D'處，如圖3．當點D4．（2021·江蘇無錫·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=6，點E在線段AC上，且AE=1，D是線段BC上的一點，連接DE，將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當點G恰好落在線段AC上時，AF=題型08趙爽弦圖趙爽弦圖的幾何意義：1）證明勾股定理：c2=a2+b22)IJ=b-a3）S正方形EFGH=c2=a2+b2,S正方形IJKL=(b-a)24）S陰影=S正方形EFGH-S正方形IJKL=2ab1．（2022·四川宜賓·中考真題）我國古代數學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為．2．（2023·湖北黃岡·中考真題）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設圖中AF=a，DF=b，連接AE,BE，若△ADE與△BEH的面積相等，則b2a

3．（2023·湖北鄂州·中考真題）2002年的國際數學家大會在中國北京舉行，這是21世紀全世界數學家的第一次大聚會．這次大會的會徽選定了我國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH，連接AC和EG，AC與DF、EG、BH分別相交于點P、O、Q，若BE:EQ=3:2，則OPOE的值是

4．（2021·貴州貴陽·中考真題）（1）閱讀理解：我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數學著作《周髀算經》中．漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．根據“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程；（2）問題解決：勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，將它分成4份．所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形．若AC=12,BC=5，求EF的值；（3）拓展探究：如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形．設大正方形N的邊長為定值n，小正方形A,B,C,D的邊長分別為a,b,c,d．已知∠1=∠2=∠3=α，當角α(0°<α<90°)變化時，探究b與c的關系式，并寫出該關系式及解答過程（b與c的關系式用含n的式子表示）．5．（2020·湖北孝感·中考真題）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若S1=S6．（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將2a?3ab?4+6b因式分解．【觀察】經過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式=解法二：原式=【感悟】對項數較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數式的化簡、求值及方程、函數等學習中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】(1)請用分組分解法將x2【挑戰(zhàn)】(2)請用分組分解法將ax+a【應用】(3)“趙爽弦圖”是我國古代數學的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和ba>b，斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據以上信息，先將a題型09利用勾股定理解決實際問題利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：1)將實際問題轉化為數學問題；2)明確已知條件及結論；3)利用勾股定理解答，并確定實際問題的答案.1．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）某班學生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為20πcm，母線AB長為30cm，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（

v

A．30cm B．303cm C．60cm D．20π2．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長為16cm，在杯內壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到內壁A

3．（2023·山東東營·中考真題）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為km．4．（2023·四川德陽·中考真題）如圖，在底面為正三角形的直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=23,AA1=2，點M

5．（2021·廣西玉林·中考真題）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后兩船分別位于點A，B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，則乙船沿方向航行．6（2021·江蘇鹽城·中考真題）如圖，點A是數軸上表示實數a的點．（1）用直尺和圓規(guī)在數軸上作出表示實數的2的點P；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）利用數軸比較2和a的大小，并說明理由．勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2變式：a2=c2?b2，b勾股定理的證明方法（常見）：方法一（圖一）：4SΔ+方法二（圖二）：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4×大正方形面積為S=(a+b)2=方法三（圖三）：S梯形=12圖一圖二圖三勾股數概念：能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即a2+b2=c2中，a，b，c為正整數時，稱常見的勾股數：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.判斷勾股數的方法：1）確定是三個正整數a，b，c；2）確定最大的數c；3）計算較小的兩個數的平方a2+b1.勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系，它只適用于直角三角形，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形.2.如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時必須進行分類討論，以免漏解．3.應用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關系式是b2+c2=a2．4.每組勾股數的相同整數倍也是勾股數.勾股定理的逆定理內容：如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b21.勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2+b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若a2+b2<c2，時，以a，2.定理中a，b，c及a2+b一、單選題1．（2024·陜西西安·一模）如圖，在3×3的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，AD為△ABC的高，則AD的長為（

）A．141020 B．141010 C．2．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖，將兩個相同的含30°角的直角三角形擺放在一起，借助這個圖形，探究Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB嘉嘉：解：∵兩個含30°角的直角三角尺相同，∴AB=AD，BC=CD，∴△ABD是等腰三角形，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB，∵BC=12琪琪：解：∵通過測量可得BC=4cm，∴BCAB∴BC=1下列說法正確的是（

）

A．嘉嘉的解法對，琪琪的解法不對 B．嘉嘉的解法不對，琪琪的解法對 C．嘉嘉、琪琪的解法都對 D．嘉嘉、琪琪的解法都不對3．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖，將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕l與BC交于點P，且點P到AB的距離為3cm，點Q為AC上任意一點，則PQ的最小值為（

A．2cm B．2.5cm C．3cm4．（2022·湖北荊州·三模）如圖，在?ABCD中，AD=4，BD=8．分別以點A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點E和點F；作直線EF，交BD于點G，連接GA．若GA與AD恰好垂直，則GA的長為（A．3 B．4 C．5 D．65．（2023·福建泉州·模擬預測）如圖，BC⊥AB,BC=12AB,試求AP

A．0.118 B．5?0.5 C．1.5?0.556．（2023·湖南株洲·三模）如圖，一幅三角板的直角頂點A重合，等腰三角板的腰AD⊥BC于D，則∠α=（）

A．40° B．45° C．60° D．75°二、填空題7．（2023·吉林松原·三模）如圖，點P為直線l外一點，點A在直線l上，連接PA，以點P為圓心，PA=bcm長為半徑畫弧，交直線l于點B．已知線段AB=2cm，上述作法中PA滿足的條件為b1．（填“>”“<”或“

8．（2022·廣東湛江·三模）如圖，OA⊥OB，C，D分別是射線OA，OB上的動點，CD的長始終為8，點E為CD的中點，則點E的運動路徑長為

9．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖，點O為△ABC的外心，過點O分別作AB、AC的垂線l1、l2，交BC于D、

（1）若∠DAE=50o，則∠BAC的度數為（2）過點O作OF⊥BC于點F，BF=5cm，則△ADE的周長為10．（2023·福建泉州·模擬預測）如圖1，第24屆國際數學家大會會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎進行設計的．現(xiàn)假設可在如圖2的弦圖區(qū)域內隨機取點，若正方形ABCD中，AF=4,BF=3，則這個點落在陰影部分的概率為．11．（2023·河南駐馬店·三模）如圖，在等邊三角形ABC中，AC=4，E為AB的中點，在CB延長線上截取BD=BE，將△DEB沿BC向右平移，點B的對應點為G，當平移后的△DEG和△ABC重疊部分的面積是△DEG面積的14時，△DEB平移的距離為

三、解答題12．（2022·廈門市·二模）回顧：用數學的思維思考(1)如圖1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．②點D，E分別是邊AC，AB的中點，連接BD，CE．求證：BD＝CE．（從①②兩題中選擇一題加以證明）(2)猜想：用數學的眼光觀察經過做題反思，小明同學認為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動點（不與點A，C重合）．對于點D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個與其對應的點E，使得BD＝CE．進而提出問題：若點D，E分別運動到邊AC，AB的延長線上，BD與CE還相等嗎？請解決下面的問題：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別在邊AC，AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并證明．(3)探究：用數學的語言表達如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點（不與點A，B重合），F(xiàn)為邊AC延長線上一點．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由．13．（2022·遼寧本溪市·二模）綜合與實踐問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉過程中，當點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉過程中，當∠B=∠MDB時，求線段CN的長；（3）如圖③，在三角板旋轉過程中，當AM=AN時，直接寫出線段AN的長．專題三角形的性質與判定解析目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構考點一三角形的基礎題型01三角形的三邊關系題型02與三角形有關線段的綜合問題題型03三角形內角和定理與外角和定理綜合問題題型04三角形內角和與外角和定理的實際應用【好題必刷·強化落實】考點二特殊三角形的性質與判定題型01線段垂直平分線的性質與判定題型02角平分線的性質與判定題型03等腰三角形的性質與判定題型04等邊三角形的性質與判定題型05直角三角形的性質與判定題型06勾股定理、勾股定理逆定理與網格問題題型07與三角形有關的折疊問題題型08趙爽弦圖題型09利用勾股定理解決實際問題【好題必刷·強化落實】

考點要求命題預測三角形的基礎三角形的基礎知識是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎，所以在中考中考察的幾率比較大.在考察題型上，三角形基礎知識部分多以選擇或者填空題形式，考察其三邊關系、內角和/外角和定理、“三線”基本性質等.特殊三角形的性質與判定也是考查重點，年年都會考查，最為經典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結的，且等腰三角形單獨出題的可能性還是比較大.直角三角形的出題類型可以是選擇填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進行拓展延伸.特殊三角形的性質與判定考點一三角形的基礎題型01三角形的三邊關系三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．【解題技巧】1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形．1．（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）2,5,m是某三角形三邊的長，則(m?3)2+(m?7)A．2m?10 B．10?2m C．10 D．4【答案】D【分析】先根據三角形三邊的關系求出m的取值范圍，再把二次根式進行化解，得出結論．【詳解】解：∵2,5,m是三角形的三邊，∴5?2<m<5+2，解得：3<m<7，∴(m?3)故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的性質及化簡，解題的關鍵是：先根據題意求出m的范圍，再對二次根式化簡．2．（2020·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2?8x+12=0的根，則該三角形的周長為【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根據三角形的三邊關系得出第三邊的長，則該三角形的周長可求．【詳解】解：∵x2-8x+12=0，∴x?2x?6∴x1=2，x2=6，∵三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2-8x+12=0的根，當x=2時，2+2＜5，不符合題意，∴三角形的第三邊長是6，∴該三角形的周長為：2+5+6=13．故答案為：13．【點睛】本題考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三邊關系，熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．3．（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）平面內，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【答案】C【分析】如圖（見解析），設這個凸五邊形為ABCDE，連接AC,CE，并設AC=a,CE=b，先在△ABC和△CDE中，根據三角形的三邊關系定理可得4<a<6，0<b<2，從而可得4<a+b<8，2<a?b<6，再在△ACE中，根據三角形的三邊關系定理可得a?b<d<a+b，從而可得2<d<8，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，設這個凸五邊形為ABCDE，連接AC,CE，并設AC=a,CE=b，在△ABC中，5?1<a<1+5，即4<a<6，在△CDE中，1?1<b<1+1，即0<b<2，所以4<a+b<8，2<a?b<6，在△ACE中，a?b<d<a+b，所以2<d<8，觀察四個選項可知，只有選項C符合，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系定理，通過作輔助線，構造三個三角形是解題關鍵．4．（2023·河北·中考真題）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當△ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用三角形三邊關系求得0<AC<4，再利用等腰三角形的定義即可求解．【詳解】解：在△ACD中，AD=CD=2，∴2?2<AC<2+2，即0<AC<4，當AC=BC=4時，△ABC為等腰三角形，但不合題意，舍去；若AC=AB=3時，△ABC為等腰三角形，故選：B．【點睛】本題考查了三角形三邊關系以及等腰三角形的定義，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．題型02與三角形有關線段的綜合問題三角形有關的線段的性質：高（AD）中線（AD）角平分線（AD）中位線（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CDS△ABD=S△ADCC∠BAD=∠DAC=12AD=DBAE=ECDE=121.三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關系，由三角形的角平分線可得角之間的關系．2.常見三角形的高：3.當已知三角形兩邊的中點時，可考慮運用三角形中位線定理，得到相應線段的數量關系與位置關系.1．（2023·安徽·中考真題）清初數學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設計直角三角形，得出了一個結論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD=12BC+AB2?AC

【答案】1【分析】根據公式求得BD，根據CD=BC?BD，即可求解．【詳解】解：∵AB=7,BC=6，AC=5，∴BD=12∴CD=BC?BD=6?5=1,故答案為：1．【點睛】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關鍵．2．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF=3FE，則BDDC=【答案】3【分析】連接ED，由BE是△ABC的中線，得到S△ABE=S△BCE，S△AED=S△EDC，由BF=3FE，得到【詳解】解：連接ED∵BE是△ABC的中線，∴S△ABE∵BF=3FE∴設S△AEF∴∴∴∵∴x+y=4x?4y∴x=∵△ABD與△ADC是等高三角形，∴S故答案為：32【點睛】本題考查三角形的中線、三角形的面積等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．3．（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知，如圖1，若AD是△ABC中∠BAC的內角平分線，通過證明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分線，通過探究也有類似的性質．請你根據上述信息，求解如下問題：如圖2，在△ABC中，BD=2,CD=3,AD是△ABC的內角平分線，則△ABC的BC【答案】1【分析】根據題意得到ABAC=23，設AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三邊關系可求出k的范圍，反向延長中線AE至F，使得【詳解】如圖，反向延長中線AE至F，使得AE=EF，連接CF，∵BD=2,CD=3,AD是△ABC的內角平分線，∴可設AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，∵∴△ABE?△FCE∴AB=CF由三角形三邊關系可知，AC?CF<AF<AC+CF∴k<AF<5k∴∴1故答案為：12【點睛】本題考查角平分線的性質、中線的性質、全等三角形的判定與性質、三角形三邊關系等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．4．（2022·上海·中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點，E在線段AC上，ADAB=DEBC【答案】12或【分析】由題意可求出DE=12BC，取AC中點E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，滿足DE1=12BC，進而可求此時AE1AC=12，然后在AC上取一點E2，使得DE1＝DE2，則D【詳解】解：∵D為AB中點，∴ADAB=DE取AC中點E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，此時DE1∥BC，DE∴AE在AC上取一點E2，使得DE1＝DE2，則DE∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠C=60°，BC＝12∵DE1∥BC，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等邊三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝12∴E1E2＝14∵AE∴AE2=綜上，AEAC的值為：12或故答案為：12或1【點睛】本題考查了三角形中位線的性質，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質以及含30°角的直角三角形的性質等，根據DE=15．（2022·吉林·中考真題）下面是王倩同學的作業(yè)及自主探究筆記，請認真閱讀并補充完整．【作業(yè)】如圖①，直線l1∥l2，解：相等．理由如下：設l1與l2之間的距離為?，則S△ABC∴S△ABC【探究】(1)如圖②，當點D在l1，l2之間時，設點A，D到直線l2的距離分別為?，?證明：∵S△ABC(2)如圖③，當點D在l1，l2之間時，連接AD并延長交l2于點M證明：過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥∴△AEM∽．∴AEDF由【探究】（1）可知S△ABCS∴S△ABC(3)如圖④，當點D在l2下方時，連接AD交l2于點E．若點A，E，D所對應的刻度值分別為5，1.5，0，S△ABC【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)7【分析】（1）根據三角形的面積公式可得S△ABC（2）過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，先根據平行線的判定可得AE∥DF，再根據相似三角形的判定可證△AEM～△DFM，根據相似三角形的性質可得AEDF（3）過點A作AM⊥BC于點M，過點D作DN⊥BC于點N，先根據相似三角形的判定證出△AME～△DNE，再根據相似三角形的性質可得AMDN=AEDE=【詳解】（1）證明：∵S△ABC=∴S（2）證明：過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥DF．∴△AEM～△DFM．∴AE由【探究】（1）可知S△ABC∴S（3）解：過點A作AM⊥BC于點M，過點D作DN⊥BC于點N，則∠AME=∠DNE=90°，∴AM∥DN，∴△AME～△DNE，∴AM∵點A,E,D所對應的刻度值分別為5，1.5，0，∴AE=5?1.5=3.5，DE=1.5，∴AM又∵S△ABC=∴S故答案為：73【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、平行線的判定、三角形的面積等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．題型03三角形內角和定理與外角和定理綜合問題三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內角和定理的應用：1)在三角形中,已知兩個內角的度數,可以求出第三個內角的度數；2)在三角形中,已知三個內角的比例關系,可以求出三個內角的度數；3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數,可以求出另一個銳角的度數.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性質：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．三角形中角度計算的6種常考模型：A字模型8字模型飛鏢模型老鷹抓小雞模型（一）∠1+∠2=∠A+180°∠A+∠B=∠C+∠D∠C=∠A+∠B+∠D∠A+∠O=∠1+∠2老鷹抓小雞模型（二）雙角平分線模型（一）雙角平分線模型（二）雙角平分線模型（三）∠A+∠O=∠2-∠1∠D=90°+12∠D=90°-12∠E=12∠三角形折疊模型（一）三角形折疊模型（二）三角形折疊模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠21．（2019·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF，AD∥CE，連接BC，CD，則∠A的度數是（）A．45° B．50° C．55° D．80°【答案】B【分析】連接AC并延長交EF于點M．由平行線的性質得∠3=∠1，∠2=∠4，再由等量代換得∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，先求出∠FCE即可求出∠A．【詳解】解：連接AC并延長交EF于點M．∵AB∥CF，∴∠3=∠1，∵AD∥CE，∴∠2=∠4，∴∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，∵∠FCE=180°?∠E?∠F=180°?80°?50°=50°，∴∠BAD=∠FCE=50°，故選B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及三角形的內角和定理，屬于基礎題型．2．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，△ABC中，∠BAC=55°，將△ABC逆時針旋轉α(0°<α<55°),得到△ADE，DE交AC于F．當α=40°時，點D恰好落在BC上，此時∠AFE等于（

）

A．80° B．85° C．90° D．95°【答案】B【分析】根據旋轉可得∠B=∠ADB=∠ADE，再結合旋轉角α=40°即可求解．【詳解】解：由旋轉性質可得：∠BAC=∠DAE=55°，AB=AD，∵α=40°，∴∠DAF=15°，∠B=∠ADB=∠ADE=70°，∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=85°，故選：B．【點睛】本題考查了幾何—旋轉問題，掌握旋轉的性質是關鍵．3．（2022·內蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△EDC，使點B的對應點D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點F．若∠BCD=α，則∠EFC的度數是（用含α的代數式表示）（

）A．90°+12α B．90°?12α【答案】C【分析】根據旋轉的性質可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，則∠B=∠BDC，利用三角形內角和可求得∠B，進而可求得∠E，則可求得答案．【詳解】解：∵將△ABC繞點C順時針旋轉得到△EDC，且∠BCD=α∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，∴∠B=∠BDC，∴∠B=∠BDC=180°?α∴∠A=∠E=90°?∠B=90°?90°+α∴∠A=∠E=α∴∠EFC=180°?∠ACE?∠E=180°?α?α故選：C．【點睛】本題考查了旋轉變換、三角形內角和、等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握旋轉的性質．4．（2023·四川達州·中考真題）如圖，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2=35°,∠D=60°則∠B=（

）

A．52° B．50° C．45° D．25°【答案】B【分析】根據平行線的性質得出∠1=∠2=35°，再由角平分線確定∠BCD=70°，利用三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：∵AE∥∴∠1=∠2=35°，∵AC平分∠BCD，∴∠BCD=2∠1=70°，∵∠D=60°，∴∠B=180°?∠BCD?∠D=50°，故選：B．【點睛】題目主要考查平行線的性質及角平分線的計算，三角形內角和定理，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．55．（2021·遼寧本溪·中考真題）一副三角板如圖所示擺放，若∠1=80°，則∠2的度數是（）A．80° B．95° C．100° D．110°【答案】B【分析】由三角形的外角性質得到∠3=∠4=35°，再根據三角形的外角性質求解即可．【詳解】解：如圖，∠A=90°-30°=60°，∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，∴∠3=∠4=35°，∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的外角性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．6．（2020·浙江紹興·中考真題）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，將BC繞點B順時針旋轉θ（0°＜θ＜90°），得到BP，連結CP，過點A作AH⊥CP交CP的延長線于點H，連結AP，則∠PAH的度數（）A．隨著θ的增大而增大B．隨著θ的增大而減小C．不變D．隨著θ的增大，先增大后減小【答案】C【分析】由旋轉的性質可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性質可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．【詳解】解：∵將BC繞點B順時針旋轉θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度數是定值，故選：C．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形的外角性質，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．7．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射線CP從射線CA開始繞點C逆時針旋轉α角0°<α<75°，與射線AB相交于點D，將△ACD沿射線CP翻折至△A'CD處，射線CA'與射線AB相交于點E．若△

【答案】22.5°或45°或67.5°【分析】分情況討論，利用折疊的性質知∠A=∠A'=30°【詳解】解：由折疊的性質知∠A=∠A'=30°當A'D=DE時，

由三角形的外角性質得∠DEA'=∠A+∠ACD+∠此情況不存在；當A'

∠A'=30°由三角形的外角性質得75°=30°+2α，解得α=22.5°；當EA'=DE

∴∠DEA由三角形的外角性質得120°=30°+2α，解得α=45°；當A'D=A

∴∠ADC=∠A∴α=∠ACD=180°?30°?82.5°=67.5°；綜上，∠α的度數為22.5°或45°或67.5°．故答案為：22.5°或45°或67.5°．【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形的外角性質，等腰三角形的性質，畫出圖形，數形結合是解題的關鍵．8．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于點E．P是邊BC上的動點（不與B，C重合），連結AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結DC，記∠BCD=α．(1)如圖，當P與E重合時，求α的度數．(2)當P與E不重合時，記∠BAD=β，探究α與β的數量關系．【答案】(1)25°(2)①當點P在線段BE上時，2α－β＝50°；②當點P在線段CE上時，2α＋β＝50°【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根據AE平分∠BAC，P與E重合，可得∠ACD，從而α＝∠ACB?∠ACD；（2）分兩種情況：①當點P在線段BE上時，可得∠ADC＝∠ACD＝90°?α，根據∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，即可得2α?β＝50°；②當點P在線段CE上時，延長AD交BC于點F，由∠ADC＝∠ACD＝90°?α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α可得90°?α＝40°＋α＋β，即2α＋β＝50°．【詳解】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵P與E重合，AE平分∠BAC，∴D在AB邊上，AE⊥CD，∴∠ACD＝65°，∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°；（2）①如圖1，當點P在線段BE上時，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°；②如圖2，當點P在線段CE上時，延長AD交BC于點F，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°．【點睛】本題考查三角形綜合應用，涉及軸對稱變換，三角形外角等于不相鄰的兩個內角的和的應用，解題的關鍵是掌握軸對稱的性質，能熟練運用三角形外角的性質．題型04三角形內角和與外角和定理的實際應用1．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，沿AB方向架橋修路，為加快施工進度，在直線AB上湖的另一邊的D處同時施工．取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，則C，D兩點的距離是m【答案】800【分析】如圖所示：過點C作CE⊥BD于點E，先求出CE=800m，再根據勾股定理即可求出CD【詳解】如圖所示：過點C作CE⊥BD于點E，則∠BEC=∠DEC=90°，∵∠ABC=150°，∴∠CBD=30°，∴∠BCE=90°-30°=60°，又∵∠BCD=105°，∴∠CDB=45°，∴∠ECD=45°=∠D，∴CE=DE，∵BC=1600m∴CE=1∴CD2=C故答案為：8002【點睛】本題考查三角形內角和定理、等腰三角形的判定與性質、直角三角形的性質及勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握相關內容并能靈活運用．2．（2022·湖