2024年新結(jié)構(gòu)模擬適應(yīng)性特訓(xùn)卷（二）

高三數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸",-5）,且tan。*,則x的值是（）

A.-13B.-12C.12D.13

2.“二十四節(jié)氣”是中國(guó)古代勞動(dòng)人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示.小明打算在網(wǎng)上搜集一些與

二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩(shī).他準(zhǔn)備在春季的6個(gè)節(jié)氣與夏季的6個(gè)節(jié)氣中共選出3個(gè)節(jié)氣，則小明選取節(jié)氣

的不同情況的種數(shù)是（）

小滿立夏谷雨田口

芒^中/TT~77青明

夏專彳/下）卡分

小次季X京蟄

大暑/L夏季△雨水

立秋廠皮卜口立春

處暑1秋vzy季|大寒

白泰"季丁冬寒

寒蠢雪

霜降立冬小雪

A.90B.180C:220D.360

3.已矢口數(shù)歹！的前”項(xiàng)和S“=/+〃，貝0〃2023+。2024的值是（）

A.8094B.8095（8096D.8097

4.已知直線履->+2=。和以M（3,-2）,N（2,5）為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（）

A.I

43±4u；

c.D.-co,

372332

5.已知函數(shù)/(x)=〃.e，+Zz?+%—2,若廣⑴=1,則/(—1)=()

A.-1B.0C.1D.2

6.中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng).如圖甲所示的五脊殿是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂

的結(jié)構(gòu)示意圖如圖乙所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形ABCD為矩形，EF//AB,AB=2EF=4,AADE

△BC尸都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若點(diǎn)A,BC,D,E,尸都在球。的球面上，則球。的表面積為（）

7.已知隨機(jī)事件A,B滿足P（A）=1,P（A|B）=|,P（B\A\=^~,則尸（B）=（）

34'，16

22

8.如圖，已知雙曲線C:J-1=l（“>0.b>0）的一條弦AB所在直線的傾斜角為75°,點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)。的

ao

對(duì)稱點(diǎn)為耳，若/3A與=30°,雙曲線。的離心率為%則/=（）

A.3B.2+V3C.3+V3D.4

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)ZI,z2滿足3Z]+z2=-1-2i,zx+3Z2=5+2i,則()

A.=-l-iB.z2=2+i

4_-3-i

C.—z2=-3+2iD.

z25

10.在DABC中，a=243,c=2>/LC=45。，則A可能為()

A.30°B.150°C.120°D.60°

11.已知橢圓C亍+9=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,P是C上一點(diǎn)，則()

A.歸周+|產(chǎn)用-寓閭=4-百B.|P4||%|的最大值為8

仁|麗+玩|的取值范圍是[2,4]D.西?兩的取值范圍是[-2,1]

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合A=｛也，＜l｝,B=｛x|xNa｝,若則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

13.如圖，在三棱錐4-ABC中，的，平面A4G，NABG=90。，4耳=2AA=2B1C=2,p為線

段44的中點(diǎn)，",N分別為線段4G和線段耳G上任意一點(diǎn)，則石尸M+MN的最小值為.

14.已知/(x)=_rlnx,g(x)=x-e”,若存在尤1e(0,+8),尤2eR,使得/'(尤J=g(尤2)＞。成立，則二■的最大

x\

值為.

四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分.解答應(yīng)

寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(滿分13分)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.，%=3,Ss=35.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛鬲|｝的前幾項(xiàng)和為北，求7；。.

16.(滿分15分)某運(yùn)動(dòng)隊(duì)為評(píng)估短跑運(yùn)動(dòng)員在接力賽中的作用，對(duì)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.運(yùn)動(dòng)員甲

在接力賽中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四個(gè)位置，統(tǒng)計(jì)以往多場(chǎng)比賽，其出場(chǎng)率與出場(chǎng)時(shí)比賽獲

勝率如下表所示.

比賽位置第一棒第二棒第三棒第四棒

出場(chǎng)率0.30.20.20.3

比賽勝率0.60.80.70.7

⑴當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，求該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的概率.

(2)當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，在該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的條件下，求甲跑第一棒的概率.

(3)如果你是教練員，將如何安排運(yùn)動(dòng)員甲比賽時(shí)的位置？并說(shuō)明理由.

17.(滿分15分)如圖，在三棱柱ABC-4與G中，口ABC是正三角形，四邊形ABC。是菱形，AC與

(1)若點(diǎn)E為例中點(diǎn)，求異面直線8E與。。所成角的余弦值;

(2)求平面4G。與平面BCC4的夾角的余弦值.

18.(滿分17分)已知橢圓C：E+《=l(a>6>0)的離心率為"，點(diǎn)尸(。,2)在橢圓C上，過(guò)點(diǎn)P的

ab3

兩條直線PA,PB分別與橢圓C交于另一點(diǎn)A,B,且直線PA,PB,AB的斜率滿足kPA+kPB=4kAB(%N0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)證明直線AB過(guò)定點(diǎn)；

(3)橢圓C的焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)］,求凸四邊形耳AgS面積的取值范圍.

19.(滿分17分)若函數(shù)在［?；厣嫌卸x，且對(duì)于任意不同的為,々?。，可，都有

|/(占)-/伍)|<小1-引，則稱“X)為［他國(guó)上的“人類函數(shù)”.

⑴若〃X)=J+x,判斷“X)是否為［1,2］上的“3類函數(shù)”；

(2)若〃"=4(%-恥'-彳7111彳為［國(guó)上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)若〃x)為［1,2］上的“2類函數(shù)”，且〃1)=〃2),證明：%,x2e［l,2］,

2024年高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)模擬適應(yīng)性特訓(xùn)卷（一）

答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

序號(hào)12345678

答案BCACCAAC

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

序號(hào)91011

答案ABDCDCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12（-℃,0）

13^/5

14一3

e

四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分.解答應(yīng)

寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（滿分13分）

【答案】⑴4=13-2〃

（2）52

【分析】（1）設(shè)出｛%｝的公差為d,利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前一項(xiàng)和公式求解即可；

（2）由（1）判斷出｛%｝前六項(xiàng)為正，后四項(xiàng)為負(fù)，進(jìn)而利用前"項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

%=%+4d=3

*.*a=3,S=35,5x4,

55耳—H----u—35

、2

解得%=11,d=—2,

故=q+（〃-l）d=13-2〃.

(2)由(1)知a“=-2”+13,d=—2,

31+13一2〃)=⑵-七

=1，%=一］，S=

n2

Tjg=|(2||+卜?|+,,,+1%。|=%+a,+,■,+a6一(%+4+%+a1。)

16.（滿分15分）

【答案】⑴0.69

嗯

（3）應(yīng)多安排甲跑第四棒，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)全概率公式即得出答案.

（2）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解.

（3）分別求出四個(gè)位置上的獲勝概率，即可做出判斷.

【詳解】（1）記“甲跑第一棒”為事件A，“甲跑第二棒”為事件4,“甲跑第三棒”為事件43,“甲跑第

四棒”為事件為，“運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝”為事件8,

則尸(B)=p(A)尸(B|4)+P(4)尸(B|4)+尸(4)尸(BIA)+P(A4)尸(切4)

=0.3x0.6+0.2x0.8+0.2x0.7+0.3x0,7=0.69,

所以當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的概率為0.69.

⑵p(410一筆)尸⑷尸(例A)0.3x0.6_6

尸⑻0.69~23'

所以當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，在該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的條件下，甲跑第一棒的概率為5.

n/一P(48)0.2X0.816

⑶尸(&⑻=----------

0.6969

尸_0.2x0.7_14

尸（412）=P(B)-0.6969，

P(A4B)03X0.721

產(chǎn)(410=

P(B)0.6969

所以尸（4]B）＞尸（AIB）＞p（4IB）＞p（4iB）.

所以應(yīng)多安排甲跑第四棒，以增加運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的概率.

17.（滿分15分）

【答案】⑴亞

35

亞

19

【分析】（1）根據(jù)題設(shè)易于建系，分別求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到西，麗的坐標(biāo)，利用空間向量的

夾角公式計(jì)算即得；

（2）同上建系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，分別求得兩個(gè)平面的法向量坐標(biāo)，最后利用空間向量的夾角公式計(jì)

算即得.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC/8D,

因?yàn)槠矫鍭BC。，所以。3,OA,兩兩垂直，AB=OBt=4

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，OB,OA,OB1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則4（0,2,。）,B僅君,0,0）,C（0,-2,0）,￡>（-2>/3,0,0）,耳（0,0,4）.

BA=（-2V3,2,0）,麗=卜2君,0,4）,在三棱柱ABC-4與6中，因//BC//AD,4G=BC=AD,

易得口ADC^，故西=甌=（0,-2,4）,

因?yàn)辄c(diǎn)E為A4,中點(diǎn)，所以通=；贏，所以屜=應(yīng)+荏=麗+；麗=麗+3函=卜3。,2,2）,

I__、___uBE-DC4_277

因cosBE,DC\X

11明。G735x27535

所以異面直線BE與DC.所成角的余弦值為空.

35

(2)DQ=(O,-2,4),q^=G4=(0,4,0),BC=(-273,-2,0),=(-273,0,4),

—z、n.-C,A=4y,=0

設(shè)是平面AG。的一個(gè)法向量，則一1,

“2%+4Z]=0

取光I=1,得々=(1,0,0),

一/、1%?BC=-2A/3X?-2%=0

設(shè)%=(%,%/2)是平面8CG四的一個(gè)法向量，則———廠，

n2-BB[=-2y13X2+4z2=0

取%2=2,得第=(2,-26,6),

設(shè)平面AC.D與平面BCQB］的夾角為。,

2

貝Ucos6=kos〃i，〃22M

19

故平面ACQ與平面BCQA的夾角的余弦值為誣.

19

18.（滿分17分）

2

【答案】⑴土f+匕v=1

124

（2）證明見(jiàn)解析

手,8夜

⑶

【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組，解出即可;

（2）設(shè)直線=+皿加/2）,聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用L+%=4%&B片0），建

立方程，解出后驗(yàn)證即可;

（3）設(shè)直線公：＞=履-1，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用韋達(dá)定理得到條件，利用

Sp&B=g寓KIE進(jìn)行計(jì)算，換元法求值域即可.

b=2

【詳解】（1）由題設(shè)得￡，解得"=12,

a3

a2=b2+c2

22

所以C的方程為工+匕=1；

124

（2）由題意可設(shè)幾：丁=履+皿m。2）,設(shè)A（X，M）,8（冗2,%），

y=kx+m

由<爐J,整理得（1+3%2）12+6碗抖3病-12=0,

----1-----=1

1124

2222

A=36k之m-4（l+3）t）（3m-12）=12（12V-m+4）>0.

3m2-12-6mk

由韋達(dá)定理得玉々=k'i=時(shí)

y.一2必一2r

由kPA+kPB=4kAe得；+=4k,

fcv,+m-2kx+m-2-

即i+02=4k,

整理得2mk（m—2）=2（4—加之）上,

因?yàn)樽蟆?,Wm2-m-2=0,解得機(jī)=2或根=一1,

機(jī)=2時(shí)，直線AB過(guò)定點(diǎn)尸(0,2),不合題意，舍去;

加=一1時(shí)，滿足△=36(422+1)>o,

所以直線A5過(guò)定點(diǎn)(0,-1).

（3））由（2）得直線/.：y=履-1,所以x=7（y+l）,

k

1.八

x=（y+1）

“22，

2.=1

整理得(；+3

由題意得4班8=；片鳥(niǎo)X-%=28回一%|=12四”一，

2-—+3

k2

因?yàn)樾呐c所以公>；,所以0<g<8,

令t=J]+4,(2,273),

所以=12>/2—=1272—；在^(2,2亞上單調(diào)遞減,

I---

【答案】⑴〃x)=]+尤是[1,2]上的“3類函數(shù)”，理由見(jiàn)詳解.

(3)證明過(guò)程見(jiàn)詳解.

【分析】(1)由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明|/&)-/(無(wú)2)|<3卜-%|即可;

(2)由已知條件轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意xe[l,e],都有-2<「(x)<2,〃x)=axe'-x-lnx-1,只需

"XT"且八出『，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可.

(3)分值-多|<g和;W|x「對(duì)<1兩種情況進(jìn)行證明，/(1)=/(2),用放縮法

|〃西)一〃尤2)|=|〃尤J-"1)+”2)-〃尤2)|V|/(再)一/⑴1+1〃2)-"％)|進(jìn)行證明即可.

【詳解】(1)對(duì)于任意不同的占,%式1,2],

^l<xt<x2<2,2<xt+x2<4,所以2<%+；2+2<3,

|/(^)-/(%2)|=++j=(占一")1%+；2+2］<3卜一引,

丫2

所以“X)=5+X是[1,2]上的“3類函數(shù)”.

(2)因?yàn)?'(x)=axe"-x-lnx-1,

由題意知，對(duì)于任意不同的占，尤2e[Le],都有|〃西)-/(々)|<2卜-々],

不妨設(shè)玉<馬，則一2(無(wú)2一0)<〃菁)-"%2)<2(尤2-占)，

故〃占)+2占<〃々)+2%且>/(X2)-2X2,

故〃x)+2x為[l,e]上的增函數(shù)，〃x)-2x為[l,e]上的減函數(shù),

故任意xe[l,e],者B有-2(r(x)W2,

由尸(x)42可轉(zhuǎn)化為a?x+m：+3,令g(尤)=x+ln：+3,只需。<且(司

xexe

g'(x)=(+無(wú))(2、Inxx),令必(尤)=_27nx-X,4x)在［l,e］單調(diào)遞減,

所以"(x)M“⑴=-3<0,g［x)<0,故g(x)在［l,e］單調(diào)遞減,

g(x)min=g(e)=皆，

由廣(尤)。一2可轉(zhuǎn)化為-1,令〃(x)=x+：l,只需。2%(同皿

/(x)=0+司(2,Inxx),令相(x)=2-inx-x,m(x)在［l,e］單調(diào)遞減，

Xex

且加⑴=1>0,m(e)=l-e<0,所以Hx。使m伉)=0,gp2-lnx0-x0=0,

即In/=2—4,/=e2-Ab,

當(dāng))蟲(chóng)為)時(shí),m(x)>0,/z'(x)〉0,故力(x)在［1,%)單調(diào)遞增，

當(dāng)工￡(%,e］時(shí),m(x)<0,/(力<0,故力(力在優(yōu)同單調(diào)遞減,

〃(—°)=

故

(3)因?yàn)椤ㄓ?為[1,2]上的“2類函數(shù)”，所以|〃尤|)一〃々)|<2|占一口，

不妨設(shè)<%42,

當(dāng)士-尤2<時(shí)，|〃占)一〃々)|<2%一當(dāng)|<1；

當(dāng)"尤1-々<1時(shí)，因?yàn)椤?)=〃2),-l<x,-x2<-^

<2(%_1)+2(2_%)=2(%_%+1)42(_；+"=1,

綜上所述，VX],x2G[1,2],|/(x1)-/(x2)|<l.

【點(diǎn)睛】不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)aN/(x)恒成立(a>/(x)1mx)或aV/(x)恒成立

(aV/(x)1nJ；②數(shù)形結(jié)合(y=〃x)的圖象在y=g(x)上方即可)；③討論最值111ax40或/(》"/。

恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.

2024年新結(jié)構(gòu)模擬適應(yīng)性特訓(xùn)卷（二）

高三數(shù)學(xué)

+耆誅皎閨X150寸I］鑰誅酬效劑X150劑-

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知角6的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（％-5）,且tan"：則x的值是（）

A.-13B.-12C.12D.13

【答案】B

【分析】根據(jù)任意角正切函數(shù)定義計(jì)算.

【詳解】根據(jù)任意角三角函數(shù)定義，

-55一

tan0==,所以x=-12.

x12

故選：B.

2.“二十四節(jié)氣”是中國(guó)古代勞動(dòng)人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示.小明打算在網(wǎng)上搜集一些與

二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩(shī).他準(zhǔn)備在春季的6個(gè)節(jié)氣與夏季的6個(gè)節(jié)氣中共選出3個(gè)節(jié)氣，則小明選取節(jié)氣

的不同情況的種數(shù)是（）

小滿立夏谷雨田n

芒種清明

夏號(hào)C/K分

小次季」^

蟄

大暑（夏季A雨水

立秋/端斗

—j立春

室,大寒

處暑1秋J-

。卜寒

白季冬

秋姿」大￥至

'霜降立冬小雪

A.90B.180C.220D.360

【答案】c

【分析】根據(jù)組合知識(shí)進(jìn)行求解.

【詳解】小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)為C；?=220.

故選：C

3.已知數(shù)列｛6,｝的前〃項(xiàng)和$“=/+〃，則%023+。2024的值是（）

A.8094B.8095C.8096D.8097

【答案】A

【分析】利用前〃項(xiàng)和和通項(xiàng)公式的關(guān)系求出通項(xiàng)公式，再求值即可.

【詳解】易知4=百=1+1=2,S,T=（〃-1）2+W-1,

故4=s“-S,T="+"-（0-1）2+w-l）=2",當(dāng)”=1時(shí)符合題意，故。"=2〃成立，

顯然?2023+?2024=4046+4048=8094.

故選：A

4.已知直線依-y+2=。和以M（3,-2）,N（2,5）為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（）

（41「3、

A.I-?：>，--B.-,+℃I

「「43]（4]J3）

[32」I3」[2J

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知直線履->+2=。恒過(guò)定點(diǎn)A（0,2）,根據(jù)斜率公式結(jié)合圖象分析求解.

【詳解】因?yàn)橹本€近-y+2=o恒過(guò)定點(diǎn)A（0,2）,如圖.

4343

又因?yàn)樾摹?-§，所以直線的斜率上的范圍為一1萬(wàn).

故選：C.

5.已知函數(shù)/（x）=a.1+"2+下一2,若廣⑴=1,則/（-1）=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】求出廣（X）,計(jì)算出尸（無(wú)）+尸（T）,結(jié)合已知條件即可得解.

【詳解】因?yàn)?（x）=+人尤2+x-2,貝!]（尤）=+2bx+l,

貝?。輋'(-x)=-2a尤e(f)-2bx+1=-2axev-2bx+1,

所以，尸(犬)+/(-%)=僅辦6'~+26x+l)+卜2axe-2bx+1)=2,

所以，/，(l)+/，(-l)=l+/，(-l)=2,故;(_1)=L

故選：C.

6.中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng).如圖甲所示的五脊殿是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂

的結(jié)構(gòu)示意圖如圖乙所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形ABCD為矩形，EF//AB,AB=2EF=4,LADE

△BCE都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若點(diǎn)A,BC,D,E,尸都在球。的球面上，則球。的表面積為()

【答案】A

【分析】如圖，根據(jù)球的性質(zhì)可得平面ABC。，根據(jù)中位線的性質(zhì)和勾股定理可得且

M0、=也,分類討論當(dāng)。在線段上和。在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，由球的性質(zhì)可得球半徑的平方為

改號(hào),再用球的表面積公式計(jì)算即可.

【詳解】如圖，連接AC,BD,

E_MF

0口.:切

緇卷_

----------------------T

設(shè)ACcBD=a，因?yàn)樗倪呅蜛BC。為矩形，所以。為矩形ABCD外接圓的圓心.

連接。則平面ABC。，

分別取所，AD,BC的中點(diǎn)M,P,Q,

根據(jù)幾何體ABCDEF的對(duì)稱性可知,直線交所于點(diǎn)M.

連接PQ，則PQ〃A3,且。1為P2的中點(diǎn)，

因?yàn)樗ˋB,所以「?！‥F,連接EP,FQ,

在4ADE與ABCF,易知EP=FQ=j2。-f=折,所以梯形所QP為等腰梯形，

所以MQLP。，且

設(shè)。。1=加，球。的半徑為R,連接OE,0A,

當(dāng)。在線段。1加上時(shí)，由球的性質(zhì)可知R?=?！?01,易得OJA=67F=6,

則（&_加產(chǎn)+Z=百,+小，此時(shí)無(wú)解.

當(dāng)。在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，由球的性質(zhì)可知，V52+m2=（V2+m）2+l2,

解得m=交，所以尺2=在2=1，

22

所以球。的表面積S=4TIR2=22兀.

故選：A.

7.已知隨機(jī)事件A,B滿足尸（A）=g,P（A|B）=|,尸伍|A）=A，則P（B）=（）

A.1B.AC.2D.里

4161648

【答案】A

【分析】根據(jù)已知結(jié)合條件概率公式，即可得出P（A同=:，進(jìn)而推得尸（AB）=[.即可根據(jù)條件概

率公式，得出答案.

【詳解】由已知可得，尸B|A=—W=，.

''P（A）16

因?yàn)槭ˋ）=g，

所以，尸（A研=4.

\'48

又P(A)=P(AB)+P(A5)=；,

3

所以,P(AB=—.

16

又P例6=喘3

4

所以，尸⑻=%

故選：A.

8.如圖，已知雙曲線C:4-二=l（a>0⑦>0）的一條弦AB所在直線的傾斜角為75。，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)。的

ab

對(duì)稱點(diǎn)為耳，若NBA耳=30。，雙曲線C的離心率為e,則/=)

C.3+6D.4

【答案】C

【分析】由題意結(jié)合兩角和的正切公式求出心烏，KB，設(shè)利用點(diǎn)差法可推出

A2*

心屋"4=與，再根據(jù)《2=1+1,即可求得答案.

aa

【詳解】由題可知，弦AB所在直線的傾斜角為75。，/54q=30。,

則直線ABX的傾斜角為45。,

k.K=tan45°=1,依H=tan75°=tan（45°+30°）=1一曲+tan30=?+6

叫AB卜/l-tan450tan300

設(shè)4（%，%），8（%2，%），則用（f，-%），

則毛一耳=1,4-4=b兩式相減可得丘/+七五=0，

a2b2a2b2a2b2

即'”

xx-x2x1+x2a

即,4明='，則'=2+6，

2*

故e?=r=—7+1=3+-\/3,

aa

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)4，Z2滿足34+Z2=T—2i,4+3z2=5+2i,貝lj（）

A.Zy=-1—iB.22=2+i

.z,—3—i

C.zl-z2=13+2iD.="

z25

【答案】ABD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.

【詳解】丁3Z]+z2=-1—2i,zx+3Z2=5+2i,

/.Z]——1—i,Z1=2+i,

Z]—1—i-(l+i)(2-i)—3—i

所以Z]_z?=_3_2i

二2+i-55

故選:ABD

10.在EIABC中，”=26，c=2V2，C=45。，則A可能為（)

A.30°B.150°C.120°D.60°

【答案】CD

【分析】由正弦定理可得答案.

ac

【詳解】由正弦定理

sinAsinC

26W百

得..asinC

smA=-----

2722

又因?yàn)閍>c,所以A>C,

因?yàn)?°<A<180°,所以A=60°或A=12O°.

故選：CD.

11.已知橢圓c：1+y2=l的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,P是C上一點(diǎn)，貝I」（）

A.|P\+|P詞-閨囿=4-右B.|尸引尸閶的最大值為8

C.|麗+A可的取值范圍是[2,4]D.西?A瓦的取值范圍是12,1]

【答案】CD

【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合基本不等式判斷AB；設(shè)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合橢

圓的范圍計(jì)算判斷CD.

【詳解】由橢圓定義得|尸司+|尸囚=4,[4月=26,|尸制+|尸周一|耳閶=4一26,A錯(cuò)誤;

|尸聞|尸用《伊浦；忸閭]=4,當(dāng)|P周=|P閶時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤；

耳（-6,0）,8（6,。），設(shè)尸（x,y）,貝『2WxW2,/=l-y>可=卜6—工一力，屜=（若一x,-y）,

222

\^Fl+PF\\=2yJx+y=2J-X+1,由一2WxW2,得2W附+%44,C正確；

_____,33

PF.-PR=x2-3+y2=-X2-2,-2<-X2-2<1,D正確.

44

故選：CD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合人={也，<1},3={尤|無(wú)Na},^3xeA,xeB,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是,

【答案】（-8,0）

【分析】由命題的真假得出A,從而易得其范圍.

【詳解】A=[x]2x<1}={X\X<0},B^{x\x>a],

因?yàn)樗詀eA,所以。的范圍是（一甩0）,

故答案為：（-8,0）.

13.如圖，在三棱錐A-a與G中，AA_L平面A4G，ZA^IG=90°,4月=244=246=2,p為線

段A瓦的中點(diǎn)，M,N分別為線段AG和線段耳￡上任意一點(diǎn)，則君PM+MN的最小值為.

【答案】V5

【分析】根據(jù)題意，證得用G，平面4為明得到與，根據(jù)SAB,M+S口烏”G=S口叫c,,得到

石「舔皿/朋?4+^^質(zhì)11/削￡=石，進(jìn)而得到囪4逐9+威，進(jìn)而得到“為4。1的中點(diǎn)，且N為百￡

的中點(diǎn)，即可求解.

【詳解】因?yàn)楹矫鍭4G，A4,片Gu面AAC，所以44,_L4G，A4IJ.A耳，

又因?yàn)橐亦?=90°,B,C,,

因?yàn)?41nA四=A，44,，4月匚平面4耳4，所以用￡，平面AgA，

又因?yàn)锳B|U平面所以

在RtDA^片中，可得陰=《AA：+/B：=石,

在RtAABjC]中，SQABIM+S口烏MQ=S（3Asici，

故gX石XPMsinZMPBI+：x1xMNsinZMNQ=；x1x石，

則V5PMsinZMPBt+MNsinZMNQ=石，

又因?yàn)閥/5PMsmZMPB,<4^PM,MNsinZMNQ<MN,

所以道PMsin/MPB]+MNsinZMNQ<非PM+MN,

即加"PM+MN,當(dāng)且僅當(dāng)/MP片=90。,/腦\6=90。時(shí)，等號(hào)成立，

當(dāng)/MP4=90。時(shí)，”為AG的中點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)/施\6=90。時(shí)，N為gG的中點(diǎn)，

綜上所述，括PM+MN的最小值是遍.

故答案為：V5

14.已知/(%)=冗ln%,g(%)=x?eX,若存在%若0,+8),%2￡R,使得/(占)=g(%2)>。成立,則生■的最大

x\

值為.

【答案】~lex

e

【分析】根據(jù)兩函數(shù)的同構(gòu)特征，不難發(fā)現(xiàn)了(xj=g(ln%),考查利用函數(shù)g(x)=x?e'的單調(diào)性推得

皿無(wú)產(chǎn)聲，從而將強(qiáng)轉(zhuǎn)化為奧土，最后通過(guò)以彳)=叱,(工>1)的最大值求得三的最大值.

一M玉X再

【詳解】因/(x)=xlnx,g(x)=xC,則/(不)=再111%=1口項(xiàng)?”=g(ln%i),

由g(x)=知x>0時(shí)，g'(x)=(x+l)ex>0,即函數(shù)g(x)=在(0,+°o)上單調(diào)遞增.

由/(Xi)=g(%2)>。可得：再>1,%2>。且g(ln%i)=g(%2),故得：In]=尤2,

則迤=生土，不妨設(shè)人(%)=叱,。>1),貝必'(刈=上坐,。>1),

再再XX

故當(dāng)l<x<e時(shí)，hf(x)>0,%(%)遞增，當(dāng)—>e時(shí),hXx)<0,以冗)遞減,

即。(x)max="(e)=’，故'"的最大值為L(zhǎng)

e項(xiàng)e

故答案為：—.

e

四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分.解答應(yīng)

寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，%=3,演=35.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列步“|｝的前幾項(xiàng)和為北，求。.

【答案】⑴氏=13-2”

(2)52

【分析】(1)設(shè)出｛%｝的公差為d,利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式求解即可；

(2)由(1)判斷出｛4｝前六項(xiàng)為正，后四項(xiàng)為負(fù)，進(jìn)而利用前〃項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

%="1+4d=3

?/a5=3,S5=35,<5x4

怎=H-------d=35

、2

解得4=11,d=—2,

故=%+(〃-l)d=13-2n.

(2)由(1)知〃〃=—2n+13,d=—2,

Mo—1|+------|"10|="1+/--------F—(〃7+/+“9+〃10)

=’6-(I-Sf)=2s6-%=52.

16.某運(yùn)動(dòng)隊(duì)為評(píng)估短跑運(yùn)動(dòng)員在接力賽中的作用，對(duì)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.運(yùn)動(dòng)員甲在接力賽中跑

第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四個(gè)位置，統(tǒng)計(jì)以往多場(chǎng)比賽，其出場(chǎng)率與出場(chǎng)時(shí)比賽獲勝率如下表所

小.

比賽位置第一棒第二棒第三棒第四棒

出場(chǎng)率0.30.20.20.3

比賽勝率0.60.80.70.7

(1)當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，求該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的概率.

(2)當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，在該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的條件下，求甲跑第一棒的概率.

(3)如果你是教練員，將如何安排運(yùn)動(dòng)員甲比賽時(shí)的位置？并說(shuō)明理由.

【答案】⑴0.69

(2)色

23

(3)應(yīng)多安排甲跑第四棒，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)全概率公式即得出答案.

(2)根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解.

(3)分別求出四個(gè)位置上的獲勝概率，即可做出判斷.

【詳解】(1)記“甲跑第一棒”為事件A，“甲跑第二棒”為事件4,“甲跑第三棒”為事件4,“甲跑第四

棒”為事件4，“運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝”為事件B,

則尸(8)=尸(4)尸(BIA)+P(4)尸(引4)+尸(4)尸(切4)+尸(4)尸(切4)

=0.3x0.6+0.2x0.8+0.2x0.7+0.3x0.7=0.69,

所以當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的概率為0.69.

(2)mi^)=^I=p(A)p(BIA)-g^6

P⑻0.6923

所以當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，在該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的條件下，甲跑第一棒的概率為二.

O.2xO.816

⑶產(chǎn)也⑹

0.69~69

P(&8)0.2x0,7_14

尸(418)=

P⑻0.69~69

P(A4B)0.3X0,721

P⑻一0.69-而

所以尸（4|8）＞尸（A|B）＞尸（4|B）＞尸（AIB）.

所以應(yīng)多安排甲跑第四棒，以增加運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的概率.

17.如圖，在