2024屆湖北省省實驗學校、武漢一中等六校高三第二次聯考數學試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知平面向量滿足|a|=|b|,且（、歷a-6）J_6,則a,6所夾的銳角為（）

7171

A.B.—D.0

64

2.設一個正三棱柱ABC-每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某頂點出發，每次只沿著棱爬行并爬

到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為幾，則片。

為()

1

A.B.

314

D-rQ}4

3.以下兩個圖表是2019年初的4個月我國四大城市的居民消費價格指數（上一年同月=100）變化圖表，則以下說

圖表圖表

（注：圖表一每個城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個月份的條形圖從左到右四個城市依次是

北京、天津、上海、重慶）

A.3月份四個城市之間的居民消費價格指數與其它月份相比增長幅度較為平均

B.4月份僅有三個城市居民消費價格指數超過102

C.四個月的數據顯示北京市的居民消費價格指數增長幅度波動較小

D.僅有天津市從年初開始居民消費價格指數的增長呈上升趨勢

4.如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，E為中點，產為CD的三等分點（靠近。）若A/=xAC+yOE,則y一x

的值為（）

4EB

121

A.——B.——C.——D.-1

233

5.第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運會會旗中五環所占面積與

單獨五個環面積之和的比值P,某學生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機模擬在長為10,寬為6的長方形奧運會旗

內隨機取N個點，經統計落入五環內部及其邊界上的點數為“個，已知圓環半徑為1,則比值P的近似值為（）

6.已知在AA5C中，角A氏C的對邊分別為"c,若函數/（x）=一呢卜存在極值，則

角B的取值范圍是（）

2%+l,x<0__

7.已知函數/■（%）=｝[11乂x〉0，則方程/"（]）]=3的實數根的個數是（）

A.6B.3C.4D.5

8.已知函數〃x）=-+3x+3,g（x）=-x+m+2,若對任意玉總存在無2c[1,3],使得/（不）=g5）

X+1

成立，則實數冽的取值范圍為（）

-171（171

A.—,9B.卜5U[9,+oo）

「1791（171「9）

[42jI4」[2J

9.已知等差數列｛a“｝的公差不為零，且一，一，一構成新的等差數列，為｛4｝的前“項和，若存在“使得"=0,

^3^^4

則”=()

A.10B.11C.12D.13

10.如圖，在直角梯形A5CD中,45〃。。,4。，。。,4。=。。=245,￡為4。的中點，若CA=+￡H),

則幺+"的值為()

8

C.2D.

3

11.若%+q（2%—1）+〃2（2%一1）2+%（24一1）3+。4（2%一1）4+%（2%一1）5=,則〃2的值為（）

2555

A.B.D.

481632

12.如圖所示，正方體ABCD-Ai&Gd的棱長為1,線段明功上有兩個動點E、F且EF=41,則下列結論中錯誤

2

的是()

A.AC±BEB.EF〃平面A3CZ>

C.三棱錐A-5E尸的體積為定值D.異面直線AE1尸所成的角為定值

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數〃x)=Acos2(ox+9)+l(A>0,o〉0,0<o<f的最大值為3,“力的圖象與y軸的交點坐標為

(0,2),其相鄰兩條對稱軸間的距離為2,則/(1)+/⑵+…+”2015)=

14.若四棱錐尸-ABCD的側面PAB內有一動點Q,已知Q到底面A5C。的距離與Q到點P的距離之比為正常數k,

且動點。的軌跡是拋物線，則當二面角P-AB-。平面角的大小為30。時，左的值為.

15.已知同=忖=2,(a+2bj(a—人)=一2,則a與人的夾角為.

16.函數/'(x)=^匚的極大值為.

X

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設函數/(%)=5—卜+。|—卜―2|.

(1)當。=1時，求不等式/'(x)?0的解集；

(2)若/(x)<l恒成立，求。的取值范圍.

18.(12分)如圖，在四棱錐尸—A5CD中，底面ABC。為菱形，底面ABC。，ABAD=60)AB=4.

P

(1)求證：班)，平面PAC；

(2)若直線PC與平面ABC。所成的角為30°，求平面R43與平面PC。所成銳二面角的余弦值.

19.(12分)某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試，每位同學彼此獨立的從A5C。,后五所高校中

任選2所.

(1)求甲、乙、丙三名同學都選。高校的概率；

(2)若已知甲同學特別喜歡4高校，他必選A校，另在四校中再隨機選1所；而同學乙和丙對五所高校沒

有偏愛，因此他們每人在五所高校中隨機選2所.

(0求甲同學選。高校且乙、丙都未選D高校的概率；

。力記X為甲、乙、丙三名同學中選。高校的人數，求隨機變量X的分布列及數學期望.

20.(12分)已知數列｛4｝,其前〃項和為S〃，若對于任意加，“eN*,且"件〃，都有+%+%]“".

m+nm-n

(1)求證：數列｛4｝是等差數列

⑵若數列｛%｝滿足c,=a,+i/+2—d("eN*),且等差數列｛為｝的公差為g,存在正整數P，q,使得4+%,求

同的最小值.

21.(12分)傳染病的流行必須具備的三個基本環節是：傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個環節必須同時存在，方

能構成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，人們

出行都應該佩戴口罩.某地區已經出現了新冠狀病毒的感染病人，為了掌握該地區居民的防控意識和防控情況，用分層

抽樣的方法從全體居民中抽出一個容量為100的樣本，統計樣本中每個人出行是否會佩戴口罩的情況，得到下面列聯

表：

戴口罩不戴口罩

青年人5010

中老年人2020

（1）能否有99.9%的把握認為是否會佩戴口罩出行的行為與年齡有關？

（2）用樣本估計總體，若從該地區出行不戴口罩的居民中隨機抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.

n{ad-bc)

(〃+/?)(c+d)(a+c)(/?+d)

2

P[K>k]0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

22.（10分）已知數列｛%｝的前〃項和為S“，2s“+a“=l（〃wN*）.

（1）求數列｛4｝的通項公式；

11f.1

（2）若9,=^——+---------，（為數列｛c“｝的前”項和.求證：Tn>2n—.

1+4-an+l3

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1,B

【解析】

根據題意可得（缶-為小=0,利用向量的數量積即可求解夾角.

【詳解】

因為（缶―方），6n（缶—6）1=0

即42a-b=\b^

,/.\a-ba-bv2

而cos(〃,0)=----------=——-=——

''\a\-\b\lb，2

1T

所以。力夾角為一

4

故選：B

【點睛】

本題考查了向量數量積求夾角，需掌握向量數量積的定義求法，屬于基礎題.

2、D

【解析】

由題意，設第〃次爬行后仍然在上底面的概率為？.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率

91

為］②若上一步在下面，則第〃-1步不在上面的概率是1-5十如果爬上來，其概率是弓（1-匕_1），兩種事件

21

又是互斥的，可得P?=~^+-（1-P『i）,根據求數列的通項知識可得選項.

【詳解】

由題意，設第〃次爬行后仍然在上底面的概率為月.

2

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為§匕_1（〃之2）；

②若上一步在下面，則第〃-1步不在上面的概率是1—用1,22）.如果爬上來，其概率是g（1-a-）,522）,

兩種事件又是互斥的,...匕=：匕T+；（1-匕_J,即與=；%+；，J

數列［匕-g1是以;為公比的等比數列，而《="|1

所以H——,

2

1<1V01

當”10時，+5,

故選：D.

【點睛】

本題考查幾何體中的概率問題，關鍵在于運用遞推的知識，得出相鄰的項的關系，這是常用的方法，屬于難度題.

3、D

【解析】

采用逐一驗證法，根據圖表，可得結果.

【詳解】

A正確，從圖表二可知，

3月份四個城市的居民消費價格指數相差不大

B正確，從圖表二可知，

4月份只有北京市居民消費價格指數低于102

C正確，從圖表一中可知，

只有北京市4個月的居民消費價格指數相差不大

D錯誤，從圖表一可知

上海市也是從年初開始居民消費價格指數的增長呈上升趨勢

故選：D

【點睛】

本題考查圖表的認識，審清題意，細心觀察，屬基礎題.

4、D

【解析】

使用不同方法用表示出AF，結合平面向量的基本定理列出方程解出.

【詳解】

解：AF=AD+DF=-AB+AD,

3

--11

又Ab=xAC+yDE=x(AB+A。)+y(]AB—AD)=(x+ay)AB+(x—y)AD

.f5

fy1x=—

23解得“，所以y—x=—l

,4

x-y=\y=——

1I9

故選：D

【點睛】

本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎題.

5、B

【解析】

根據比例關系求得會旗中五環所占面積，再計算比值P.

【詳解】

設會旗中五環所占面積為S,

由于2n衣|、1060〃

—?所以S=-^

60NN

八SI2n

故可得尸二丁=--

5〃7rN

故選：B.

【點睛】

本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎題.

6、C

【解析】

求出導函數/(%),由/'(%)=。有不等的兩實根，即/>0可得不等關系，然后由余弦定理可及余弦函數性質可得結

論.

【詳解】

f(%)——+—bx^+](a?+0?—ctc^x9..+bx++c?—CIC

若,⑴存在極值，則"4《("+人涮>。，%+/一日斯

又COS3="+C2-”,，853<4.又

lac23

故選：C.

【點睛】

本題考查導數與極值，考查余弦定理.掌握極值存在的條件是解題關鍵.

7、D

【解析】

2x+l,x<0

畫出函數1(%)=?|lnx|x〉0，將方程/[/(切=3看作f=/(x)"(f)=3交點個數，運用圖象判斷根的個數.

【詳解】

2x+1,x<0

畫出函數/(X)=<

|lnx|,x>0

令仁/(。；.〃。=3有兩解%?0,1)/2?1,+8)，則彳=/(%)"(%)=/2分別有3個，2個解，故方程

/[/(x)]=3的實數根的個數是3+2=5個

故選:D

y

i1

3■

【點睛】

本題綜合考查了函數的圖象的運用，分類思想的運用，數學結合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題.

8、C

【解析】

將函數/(九)解析式化簡，并求得了'(無)，根據當司e［1,3］時/(％)〉0可得/(石)的值域；由函數g(%)=r+加+2

在馬￡［L3］上單調遞減可得g(%)的值域，結合存在性成立問題滿足的集合關系，即可求得加的取值范圍.

【詳解】

x2+3x+3x?+犬+2(%+1)+1

依題意/(%)=

X+1X+1

1c

=x-\-------F2,

X+1

1_

貝U'(x)=1-(

X+l)2'

當xe［l,3］時,(尤)>0,故函數/(%)在［1,3］上單調遞增,

7-

21一

當國e[l,3]時，/(%[)€2-4

_

而函數g(x)=-x+m+2在［1,3］上單調遞減,

721

則只需25T

故乙，解得

「2142

777+1>—

[4

「1791

故實數機的取值范圍為—.

L42J

故選：C.

【點睛】

本題考查了導數在判斷函數單調性中的應用，恒成立與存在性成立問題的綜合應用，屬于中檔題.

9、D

【解析】

利用等差數列的通項公式可得％=-6d,再利用等差數列的前“項和公式即可求解.

【詳解】

111

由一，一，一構成等差數列可得

d/3^^4

___L

^^4^^3

a—aa—a—2d_—d

即--x----3----3----4n-----——=>/―

又g=q+3d=>a1=2(。]+3d)

解得：q=-6d

77%H

又S〃=Q[2%+{n-V)d]=-(-12d+(n-l)J)=-J(n-13)

所以S“=0時，n=13.

故選：D

【點睛】

本題考查了等差數列的通項公式、等差數列的前幾項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.

10、B

【解析】

建立平面直角坐標系，用坐標表示C4,CE,D3,利用C4=XCE+〃D5(%〃eR),列出方程組求解即可.

【詳解】

建立如圖所示的平面直角坐標系，則0(0,0).

不妨設43=1,則。=4。=2,所以C(2,0),4(0,2),B(l,2),E(0,1),

:.CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2)

CA=ACE+piDB

/.(-2,2)=，-2,1)+〃(L2),

o6

A=—

—24+〃=—2CQ

產解得;則”=j.

4+2〃=2

故選：B

【點睛】

本題主要考查了由平面向量線性運算的結果求參數，屬于中檔題.

11、C

【解析】

根據“5=([(2x—D+1F，再根據二項式的通項公式進行求解即可.

【詳解】

因為V=\[(2x-1)+1『，所以二項式[(2x-1)+1F的展開式的通項公式為：

5rr5r

Tr+1=C；-(2x-l)--l=C；-(2x-l)-,令r=3,所以7；=C1(2x—1)2,因此有

-32532532216

故選:C

【點睛】

本題考查了二項式定理的應用，考查了二項式展開式通項公式的應用，考查了數學運算能力

12、D

【解析】

A.通過線面的垂直關系可證真假；B.根據線面平行可證真假；C.根據三棱錐的體積計算的公式可證真假；D.根

據列舉特殊情況可證真假.

【詳解】

A.因為AC，3D,AC，。。1,BD=D,所以AC,平面，

又因為3Eu平面8。2與，所以AC，BE,故正確；

B.因為R4//DB,所以EF//DB,且跖仁平面ABC。，D5u平面ABC。，

所以EE//平面ABCD,故正確；

C.因為5小尸=；'石尸*8與=￥為定值，A到平面瓦的距離為/z=gAC=q,

所以匕一防-二:小^^/二^為定值，故正確;

312

D.當ACBR=E,ACoBD=G,取尸為耳，如下圖所示:

因為BF//EG,所以異面直線AE,5尸所成角為/AEG,

A/2

2_3，

且/A廠廠AG

tanNAEG--

GE

當AG「g2=F,AC^BD^G,取E為2,如下圖所示:

因為D[F//GB,D[F=GB,所以四邊形是平行四邊形，所以BF//D。,

..AG

所以異面直線AE,5尸所成角為/AEG,且tan/A2G=詬

由此可知：異面直線AE,§尸所成角不是定值，故錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查立體幾何中的綜合應用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度

較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4030

A+l=3

AAAA

2

【解析】/(x)=Acos(^+^)+1=—cos(2dm:+2^?)+—+1,由題意，得</(0)=-cos2^+-+l=0,

T兀、

、22。

A=2

解得夕=生TT，則/(乃=叱(|%+9+2=2—5嗚.工的周期為4,且/(0)=2"⑴=1"⑵=2,/(3)=3,所

4

4

&>=——

、乃

以/(1)+/(2)+/⑶+…+/(2015)=503x8+/(1)+/(2)+/(3)=4030.

考點：三角函數的圖像與性質.

1

14、-

2

【解析】

二面角AB-C平面角為。，點。到底面ABC。的距離為點。到定直線AB得距離為d,則4=幽.

sin。

再由點0到底面ABC。的距離與到點P的距離之比為正常數左，可得上。|=幽，由此可得sin6=左，則由

k

cos。=cos30°=可求k值.

2

【詳解】

解：如圖,

設二面角。-AB-C平面角為。，點。到底面ABC。的距離為|Q8|,

點。到定直線A3的距離為d,貝!!|QM=dsin，，即汗=幽.

sin。

丁點。到底面A5C。的距離與到點P的距離之比為正常數k9

?喘=3叫4粵

?.?動點。的軌跡是拋物線，

：.\PQ\=d,即幽=幽則5由夕=左.

ksin。

...二面角尸-AB-C的平面角的余弦值為cos。=J1一sin?夕=一k?-cos30°=

故答案為：工.

2

【點睛】

本題考查了四棱錐的結構特征，由四棱錐的側面與底面的夾角求參數值，屬于中檔題.

15、60°

【解析】

根據已知條件3+2/?）?（〃一/?）=一2,去括號得：同2+〃.。一2仰=4+2x2xcos0—2x4=-2,

=>cos。=工,。=60°

2

【解析】

先求函的定義域，再對函數進行求導，再解不等式得單調區間，進而求得極值點，即可求出函數/(X)的極大值.

【詳解】

lv]X—1

函數/(%)=------，%￡(。,+8),

X

“、1-(Inx-1)2-live

=----------—=——，

XX

令/。)=0得，X=e2,

二當xe(0,e2)時，f'(x)>Q,函數/(》)單調遞增；當xe(e2,+oo)時，f'(x)<0,函數/'(x)單調遞減，

,當x=e2時，函數/(x)取到極大值，極大值為/(e2)=絲匚=3.

ee

故答案為：—.

e

【點睛】

本題考查利用導數研究函數的極值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意定義域

優先法則的應用.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)[-2,3]；(2)(-co,—6]D[2,+OO).

【解析】

分析：(1)先根據絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，(2)先化簡不等式為

|x+?|+|x-2|>4,再根據絕對值三角不等式得Ix+aI+1x-21最小值，最后解不等式|a+24得a的取值范圍.

詳解：(1)當4=1時，

2x+4,x<-1,

/(%)=2,-1<x<2,

-2x+6,x>2.

可得的解集為{x|-2Kx<3}.

(2)等價于|x+a|+|x—2|N4.

而|x+a|+k—2以a+2|,且當x=2時等號成立.故/(x)Wl等價于|a+2,4.

由|a+2|24可得aW—6或aN2,所以。的取值范圍是(TO,-6]U[2,+OO).

點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是

運用分類討論思想，法二是運用數形結合思想，將絕對值不等式與函數以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函

數、數形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向.

18、(1)證明見解析(2)馬自

7

【解析】

(1)由底面ABC。為菱形，得BDLAC,再由底面ABC。，可得應)，結合線面垂直的判定可得應)，

平面P4C；

(2)以點A為坐標原點，以所在直線及過點A且垂直于平面R4D的直線分別為羽z,y軸建立空間直角坐標

系A-孫z,分別求出平面R43與平面PCD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面R43與平面PCD所

成銳二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：底面ABC。為菱形，.AC,

%，底面ABC。，班)匚平面48。。，..八4,5￡>

又ACcPA=A,AC,PAu平面PAC,

..班)，平面PAC；

(2)解：AB=AD,NBA。=60°，.?“即為等邊三角形，

AC=AD-sin60°-2=4x—x2=45/3.

2

R4，底面ABCD,:.ZPCA是直線PC與平面ABC。所成的角為30°，

PAPAC

在Rt^PAC中，由tanNPCA:——=1^=匚，解得B4=4.

AC4A/33

如圖，以點4為坐標原點，以所在直線及過點A且垂直于平面B4D的直線分別為x,z,y軸

建立空間直角坐標系A-孫z.

則尸(0,0,4),A(0,0,0),3(2,2百,0),。(4,0,0),C(6,273,0).

.-.PA=(0,0,-4),PB=(2,273,-4),PD=(4,0,-4),PC=(6,2百4).

設平面PAB與平面PCD的一個法向量分別為m=(x,y,z),〃=(內,乂,4).

m-PA=-4z=0「

由,r，取y=-i,得根=；

mPB-2x+2V3y-4z=0

n?PC=6%,+26y[-4Z]=0._rr

由,A'n，取M=-l,得，Z=（G,—1,石）.

n?PD-4王一44=0

m-n277

/.cos<m,n>------------------二——

\m\-\n\7

平面八旬與平面PC。所成銳二面角的余弦值為名夕.

7

【點睛】

本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用空間向量求解空間角，屬于中檔題.

QQQI

19、(1)——(2)(0—(?)分布列見解析，E(X)=—

12510020

【解析】

(1)先計算甲、乙、丙同學分別選擇D高校的概率，利用事件的獨立性即得解；

(2)(i)分別計算每個事件的概率，再利用事件的獨立性即得解；

(ii)X=0,l,2,3,利用事件的獨立性，分別計算對應的概率，列出分布列，計算數學期望即得解.

【詳解】

(1)甲從五所高校中任選2所，共有45,47,4￡),隹,8。,8￡),

BE,CD,CE,DE共10種情況，

甲、乙、丙同學都選。高校，共有A。，BD,CD,四種情況,

42

甲同學選D高校的概率為—

2

因此乙、丙兩同學選。高校的概率為二，

因為每位同學彼此獨立,

2

所以甲、乙、丙三名同學都選。高校的概率為I=白

1Ao

(2)(/)甲同學必選A校且選。高校的概率為乙未選°高校的概率為證=?

丙未選。高校的概率為'=|,因為每位同學彼此獨立,

1339

所以甲同學選。高校且乙、丙都未選。高校的概率為一x—義一=——

455100

5)X=0,1,2,3,

?…小33327…，、133323c9

因m此P(X=0)=—x—x—=---,P(X—1)=-x—x—I—x—x—x2——,

45510045545520

P(X=2)」X2X3+\，2+，2」=9

45545545525

…c、1221

P(X=3)=—x—x—=—

45525

即X的分布列為

X0123

27961

P

100202525

因此數學期望為

…、c27,9c6cl21

E(X)=0x---F1x---F2x---F3x—=—.

10020252520

【點睛】

本題考查了事件獨立性的應用和隨機變量的分布列和期望，考查了學生綜合分析，概念理解，實際應用，數學運算的

能力，屬于中檔題.

20、(1)證明見解析；(2)—.

18

【解析】

(1)用數學歸納法證明即可；

(2)根據條件可得g==q,+32然后將4+品用4,P,q表示出來，根據18al=3(3加一。—4+1)+1是一個整數,

可得結果.

【詳解】

解：(1)令相=2,n—\,則—-=2a1,

3

即卬+%+〃3=〃2,

3

，q+%=2a2，.?.%,%，%成等差數列，

下面用數學歸納法證明數列｛。“｝是等差數列，

假設心,出，，如成等差數列，其中％23,公差為d,

25

令m=k,n—