全國百校聯盟2024屆高一數學第二學期期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知變量，滿足約束條件則取最大值為（）A． B． C．1 D．22．若各項為正數的等差數列的前n項和為，且，則（）A．9 B．14 C．7 D．183．如圖，在中，，用向量，表示，正確的是A． B．C． D．4．若雙曲線的漸近線與直線所圍成的三角形面積為2，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．已知函數，若對于恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．6．設函數，若函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．7．下列正確的是()A．若a，b∈R，則B．若x<0，則x＋≥－2＝－4C．若ab≠0，則D．若x<0，則2x＋2－x>28．已知實心鐵球的半徑為，將鐵球熔成一個底面半徑為、高為的圓柱，則()A． B． C． D．9．若點在點的北偏東70°，點在點的南偏東30°，且，則點在點的（）方向上.A．北偏東20° B．北偏東30° C．北偏西30° D．北偏西15°10．已知，那么（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列是等差數列，若，，則公差________.12．已知向量，滿足，與的夾角為，則在上的投影是；13．某球的體積與表面積的數值相等，則球的半徑是14．已知兩點A（2，1）、B（1，1+）滿足＝（sinα，cosβ），α，β∈（﹣，），則α+β＝_______________15．若直線上存在點可作圓的兩條切線，切點為，且，則實數的取值范圍為．16．如圖所示為函數的部分圖像，其中、分別是函數圖像的最高點和最低點，且，那么________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設污水凈化管道（三條邊，是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點，分別落在線段上，已知米，米，記.(1)試將污水凈化管道的總長度（即的周長）表示為的函數，并求出定義域；(2)問取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的總長度.18．設全集是實數集，集合，．（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，求．19．在等差數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.20．已知向量，滿足：，，．（Ⅰ）求與的夾角；（Ⅱ）求．21．如圖，墻上有一壁畫，最高點離地面4米，最低點離地面2米，觀察者從距離墻米，離地面高米的處觀賞該壁畫，設觀賞視角（1）若問：觀察者離墻多遠時，視角最大？（2）若當變化時，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數得答案．【詳解】由約束條件作出可行域如圖，當，即點，化目標函數為，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，有最大值為．故選：C．【點睛】本題考查簡單的線性規劃，考查數形結合的解題思想方法，屬于中檔題．2、B【解析】

根據等差中項定義及條件式,先求得.再由等差數列的求和公式,即可求得的值.【詳解】數列為各項是正數的等差數列則由等差中項可知所以原式可化為,所以由等差數列求和公式可得故選:B【點睛】本題考查了等差中項的性質,等差數列前n項和的性質及應用,屬于基礎題.3、C【解析】

由得，再由向量的加法得，最后把代入，求得答案.【詳解】因為，故選C.【點睛】本題考查向量的加法和數乘運算的幾何意義，考查平面向量基本定理在圖形中的應用.4、A【解析】漸近線為，時，，所以，即，，，故選A．5、A【解析】

首先設，將題意轉化為，即可，再分類討論求出，解不等式組即可.【詳解】，恒成立，等價于，恒成立.令，對稱軸為.即等價于，即可.當時，得到，解得：.當時，得到，解得：.當時，得到，解得：.綜上所述：.故選：A【點睛】本題主要考查二次不等式的恒成立問題，同時考查了二次函數的最值問題，分類討論是解題的關鍵，屬于中檔題.6、A【解析】

首先注意到，是函數的一個零點.當時，將分離常數得到，構造函數，畫出的圖像，根據“函數與函數有一個交點”結合圖像，求得的取值范圍.【詳解】解：由恰有兩個零點，而當時，，即是函數的一個零點，故當時，必有一個零點，即函數與函數必有一個交點，利用單調性，作出函數圖像如下所示，由圖可知，要使函數與函數有一個交點，只需即可.故實數的取值范圍是.故選：A.【點睛】本小題主要考查已知函數零點個數，求參數的取值范圍，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.7、D【解析】對于A，當ab<0時不成立；對于B，若x<0，則x＋＝－≤－2＝－4，當且僅當x＝－2時，等號成立，因此B選項不成立；對于C，取a＝－1，b＝－2，＋＝－<a＋b＝－3，所以C選項不成立；對于D，若x<0，則2x＋2－x>2成立．故選D.8、B【解析】

根據變化前后體積相同計算得到答案.【詳解】故答案選B【點睛】本題考查了球體積，圓柱體積，抓住變化前后體積不變是解題的關鍵.9、A【解析】

作出方位角，根據等腰三角形的性質可得．【詳解】如圖，，，則，∵，∴，而，∴∴點在點的北偏東20°方向上．故選：A.【點睛】本題考查方位角概念，掌握方位角的定義是解題基礎．方位角是以南北向為基礎，北偏東，北偏西，南偏東，南偏西等等．10、A【解析】依題意有，故二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

利用等差數列的通項公式即可得出．【詳解】設等差數列公差為，∵，，∴，解得＝1．故答案為：1．【點睛】本題考查了等差數列的通項公式，考查了計算能力，屬于基礎題．12、1【解析】考查向量的投影定義，在上的投影等于的模乘以兩向量夾角的余弦值13、3【解析】試題分析：，解得.考點：球的體積和表面積14、或0【解析】

運用向量的加減運算和特殊角的三角函數值，可得所求和．【詳解】兩點A（2，1）、B（1，1）滿足（sinα，cosβ），可得（﹣1，）＝（，）＝（sinα，cosβ），即為sinα，cosβ，α，β∈（），可得α，β＝±，則α+β＝0或．故答案為0或．【點睛】本題考查向量的加減運算和三角方程的解法，考查運能力，屬于基礎題．15、【解析】試題分析：若，則，直線上存在點可作和的兩條切線等價于直線與圓有公共點，由圓心到直線的距離公式可得,解之可得.考點：點到直線的距離公式及直線與圓的位置關系的運用.【方法點晴】本題主要考查了點到直線的距離公式及直線與圓的位置關系的運用，涉及到圓心到直線的距離公式和不等式的求解，屬于中檔試題，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及學生的推理與運算能力，本題的解答中直線上存在點可作和的兩條切線等價于直線與圓有公共點是解答的關鍵．16、【解析】

由圖可知：，因為，由周期公式得到，結合以及誘導公式即可求解.【詳解】由圖可知：，因為所以，即由題意可知：，即故答案為：【點睛】本題主要考查了正弦型函數的圖像的性質以及求值，關鍵是從圖像得出周期，最值等，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）或時，L取得最大值為米．.【解析】

（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長度L的函數解析式，并注明θ的范圍．（2）設sinθ+cosθ=t，根據函數L=在[，]上是單調減函數，可求得L的最大值．所以當時，即

或

時，L取得最大值為米．【詳解】由題意可得，，，由于

，，所以，，，即，設，則，由于，由于在上是單調減函數，當時，即或時，L取得最大值為米．【點睛】三角函數值域得不同求法：1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函數式變換成的形式求值域3.通過換元，轉化成其他類型函數求值域18、（1）或（2）當時，；當時，【解析】

（1）若，則或，解得實數的取值范圍；（2）若則，結合交集定義，分類討論可得.【詳解】解：（1）若，則或，即或.所以的取值范圍為或.（2）∵，則且，∴.當時，;當時，.【點睛】本題考查集合的交集運算，元素與元素的關系，分類討論思想，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）利用等差數列的性質可求出，進而可求出的通項公式；（2），由裂項相消求和法可求出.【詳解】解：（1）設等差數列的公差為，則.因為所以，解得，，所以數列的通項公式為.（2）由題意知，所以.【點睛】本題考查了等差數列的通項公式的求法，考查了利用裂項相消求數列的前項和，屬于基礎題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（I）利用向量數量積的運算，化簡，得到，由此求得的大小.（II）先利用向量的數量積運算，求得的值，由此求得的值.【詳解】解：（Ⅰ）因為，所以．所以．因為，所以．（Ⅱ）因為，由已知，，所以．所以．【點睛】本小題主要考查向量數量積運算，考查向量夾角的計算，考查向量模的求法，屬于基礎題.21、（1）（2）3≤x≤1．【解析】試題分析：（1）利用兩角差的正切公式建立函數關系式，