在許多數學問題中都會研究“不變量”,那么我們研究的線性變換是否也有“不變量”?導入新課4.1變換的不變量——矩陣的特征向量教學目標知識與技能理解矩陣的特征值與特征向量的概念;培養矩陣的特征值與特征向量簡單應用能力.過程與方法情感態度與價值觀通過學生自我探究,從線性變換和幾何直觀兩個角度來研究矩陣的不變量—特征向量.培養學生探究能力,知識的類比能力.重點矩陣的特征值與特征向量的概念;矩陣的特征值與特征向量的計算.教學重難點矩陣的特征值與特征向量的概念矩陣的特征值與特征向量的計算難點知識結構線性變換二階矩陣變換的不變量、矩陣的特征向量特征值與特征向量的計算特征向量的應用探究11.對于線性變換,是否存在平面內的直線，使得該直線在這個線性變換的作用下保持不變?2.是否存在向量,使得該向量在這個線性變換的作用下有某種“不變性”?4.1.1特征值與特征向量例對于伸縮變換ρ：研究其“不變量”從幾何直觀上

只有x軸和平行于y軸的直線在ρ的作用下保持不變.伸縮變換只把形如，的向量變為與自身共線的向量，

在一個線性變換的作用下，確實有一些向量具有“不變性”——變成了與自身共線的向量,即變為原來向量的某個倍數.

定義

設矩陣,若存在數以及非零向量

,使得,則稱是矩陣的一個特征值,是矩陣的屬于特征值的一個特征向量.從線性變換上記矩陣A的線性變換為σ：=A從幾何直觀上

是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量,即：

等式表示線性變換σ把特征向量變為共線的向量Ⅰ.當時,向量與特征向量同向;Ⅱ.當時,向量與特征向量反向;Ⅲ.當時,所得向量為零向量.思考

矩陣A的屬于特征值λ的特征向量有幾個呢?考察例題以λ=1為例∵是矩陣A的屬于特征值λ=1的特征向量∴∵(其中k1∈R,但k1≠0)∴形如的向量都是矩陣的特征向量.即：矩陣A=的屬于特征值λ=1的特征向量有無窮多個.總結1

設是矩陣A的屬于特征值λ的一個特征向量,則對任意的非零常數k,k

也是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量.證明：若k≠0,則∵∴是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量.從幾何直觀上

若是矩陣A的屬于特征值λ的一個特征向量,則與共線的所有非零向量都是A的屬于特征值λ的特征向量.總結2

屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線.探究2是否每個二階矩陣都有特征向量?反例矩陣A=沒有特征值,沒有特征向量.請同學們從幾何直觀的角度進行分析!4.1.2特征值與特征向量的計算探究3

對于一個二階矩陣,能否不通過幾何直觀而直接求出它的特征值和特征向量?例設A=,求A的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量.解：設數和非零向量滿足①③∴②若是矩陣A的特征向量,則是齊次線性方程組③的一個非零解;若是齊次線性方程組③的非零解，則滿足①式,所以是矩陣A的一個特征向量.∴齊次線性方程組③有非零解的充分必要條件為它的系數矩陣的行列式等于0.即：Ⅰ.把代入方程組③,得：令y=－1,則x=2.∴方程有非零解x=2,y=－1.∴是矩陣A=的一個特征值,是矩陣A=的屬于的一個特征向量.且滿足記Ⅱ.把代入方程組③,得：令x=1,則y=1.∴方程有非零解x=1,y=1.且滿足記∴是矩陣A=的一個特征值,是矩陣A=的屬于的一個特征向量.一般情況設A=,求A的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量.請同學們先自己驗證！解：設數和非零向量滿足①得齊次線性方程組：②若是齊次線性方程組②的非零解,則滿足①式,所以是矩陣A的一個特征向量.若是矩陣A的特征向量,則是齊次線性方程組②的一個非零解;∴齊次線性方程組②有非零解的充分必要條件為它的系數矩陣的行列式等于0.即：（其中稱為矩陣A的特征多項式,

稱為矩陣A的特征方程）記：③解得：將代入方程組②,必有相應的非零解,分別為和,記：,.由上面過程知：是矩陣A=的特征值,,是矩陣A的分別屬于的一個特征向量.課堂小結1.設矩陣,若存在數以及非零向量

,使得,則稱是矩陣的一個特征值,是矩陣的屬于特征值的一個特征向量.2.求二階矩陣的特征值與特征向量的步驟:

（1）寫出特征多項式;

（2）令解得特征值;

（3）分別求出一個屬于各個特征值的特征向量.課堂練習1.矩陣M=的特征值為2.設二階矩陣A由兩個不同的特征值是分別屬于特征值的任意特征向量,

證明：向量不共線.解：是矩陣A的分別屬于不同特征值的假設向量共線,因為∴存在非零實數,使得∴特征向量,得：即：∴再見8、被烏云遮蓋后的太陽，依然可以發光發亮。被石頭絆倒后的你，依然可以起身微笑!11、要冒一險!整個生命就是一場冒險，走得最遠的人常是愿意去做愿意去冒險的人。5、為了不讓生活留下遺憾和后悔，我們應該盡可能抓住一切改變生活的機會。17、夢想不拋棄苦心追求的人，只要不停止追求，你們會沐浴在夢想的光輝之中。9、思路決定出路，氣度決定高度，細節決定成敗，性格決定命運。6、當所有人都低調的時候，你可以高調，但不能跑調。9、知識是無限的，要把有限的時間投入到無限的學習中去。2、人生像一塊礦石，它在你手里暗淡無光，你只有從一定的角度才能看見它那深沉美麗的光芒。2、時間是不可占有的公共財產，隨著時間的推移，真理愈益顯露。13、當一個人先從自己的內心開始奮斗，他就是個有價值的人。4、在世界的歷史中，每一偉大而