2018屆高三數學考前熱身卷數學試題注意事項注意事項考生在答題前認真閱讀本注意事項及各題答題要求1.本試卷共4頁，包含填空題(第1題～第14題)、解答題(第15題～第20題)兩部分．本試卷滿分160分，考試時間為120分鐘．考試結束后，請將本試卷和答題紙一并交回．2.答題前，請您務必將自己的姓名、考試證號用書寫黑色字跡的0．5毫米簽字筆填寫在試卷及答題紙上．3.作答時必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題紙上的指定位置，在其它位置作答；一律無效．4.如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚.一、填空題：本大題共14題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題紙相應位置上．1．已知集合，，若，則實數a的值為▲．2．已知復數z＝EQ\F(2,1－i)－i3，其中i虛數單位，則z的模為▲．3.根據如圖所示的偽代碼，可知輸出的結果為▲．4.一組數據的平均值是，則此組數據的標準差是▲．5.有一個質地均勻的正四面體木塊4個面分別標有數字1,2,3,4.將此木塊在水平桌面上拋兩次，則兩次看不到的數字都大于2的概率為▲．6．若拋物線的焦點到雙曲線C：的漸近線距離等于，則雙曲線C的離心率為▲．7.若實數滿足，則的最大值為▲．8．在三棱錐中，，分別為，的中點，記三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，則▲．9．設等差數列的公差為（），其前n項和為．若，，則的值為▲．10．已知，，則的值為▲．11.如圖：梯形中，，，，若，則=▲．12.如圖所示，橢圓E的中心在坐標原點O，頂點分別是A1，A2，B1，B2，焦點分別是F1，F2，延長B2F2交A2B1于點P，若∠B2PA2是鈍角，則橢圓E離心率e的取值范圍是▲．13．已知實數，滿足，則的最大值是▲．14．設函數（）．若存在，使，則的取值范圍是▲．二、解答題：本大題共6小題，共計90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱中，已知，，分別為的中點．(1)求證：直線∥平面；(2)求證：．16．(本小題滿分14分)在中，內角、、的對邊分別為、、，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的周長的取值范圍.17.(本小題滿分14分)如圖，某商業中心O有通往正東方向和北偏東30°方向的兩條街道．某公園P位于商業中心北偏東角（，），且與商業中心O的距離為公里處．現要經過公園P修一條直路分別與兩條街道交匯于A、B兩處．⑴當AB沿正北方向時，試求商業中心到A、B兩處的距離和；⑵若要使商業中心O到A、B兩處的距離和最短，請確定A、B的最佳位置．18．(本小題滿分16分）已知圓O：x2+y2=4.(1)求過點圓O的切線方程.(2)已知兩個定點A(a，2)，B(m，1)，其中a∈R，m>0.P為圓O上任意一點，且eq\f(PA,PB)=k(k為常數)=1\*GB3①求常數k的值；=2\*GB3②過點E(a，t)作直線l與圓C：x2+y2=m交于M、N兩點，若M點恰好是線段NE的中點，求實數t的取值范圍．19．(本小題滿分16分）已經函數的定義域為，設（1）試確定的取值范圍，使得函數在上為單調函數；（2）求證；（3）若不等式（為正整數）對任意正實數恒成立，求的最大值.（解答過程可參考使用以下數據）.20.(本小題滿分16分）

設數列的通項公式為，數列定義如下：對于正整數，是使得不等式成立的所有中的最小值.（1）若，求;（2）若，求數列的前項和公式;（3）是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范圍？如果不存在，請說明理由.2018屆高三數學考前熱身卷數學試題（附加）21．A．如圖，AB為圓O的切線，A為切點，C為線段AB的中點，過C作圓O的割線CED（E在C，D之間），求證：∠CBE=∠BDE．B．[選修42：矩陣與變換]（本小題滿分10分）已知，向量是二階矩陣的屬性特征值3的一個特征向量，求直線在矩陣對應的變換作用下得到的直線的方程．C．在極坐標系中，曲線C的極坐標方程為，以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線的參數方程為(為參數)，求直線被曲線所截得的弦長．D．求函數的最大值．22．在一次電視節目的搶答中，題型為判斷題，只有“對”和“錯”兩種結果，其中某明星判斷正確的概率為，判斷錯誤的概率為，若判斷正確則加1分，判斷錯誤則減1分，現記“該明星答完題后總得分為”．（1）當時，記，求的分布列及數學期望；（2）當時，求的概率．23.如圖，已知拋物線，點，，拋物線上的點．過點作直線的垂線，垂足為．（1）求直線斜率的取值范圍；（2）求|的最大值．2018屆高三數學考前熱身卷數學試題答案注意事項注意事項考生在答題前認真閱讀本注意事項及各題答題要求1.本試卷共4頁，包含填空題(第1題～第14題)、解答題(第15題～第20題)兩部分．本試卷滿分160分，考試時間為120分鐘．考試結束后，請將本試卷和答題紙一并交回．2.答題前，請您務必將自己的姓名、考試證號用書寫黑色字跡的0．5毫米簽字筆填寫在試卷及答題紙上．3.作答時必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題紙上的指定位置，在其它位置作答；一律無效．4.如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚.一、填空題：本大題共14題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題紙相應位置上．1．已知集合，，若，則實數a的值為▲．1.【答案】82．已知復數z＝EQ\F(2,1－i)－i3，其中i虛數單位，則z的模為▲．2．【答案】EQ\r(,5)3.根據如圖所示的偽代碼，可知輸出的結果為▲．【答案】424.一組數據的平均值是，則此組數據的標準差是▲．4.【答案】5.有一個質地均勻的正四面體木塊4個面分別標有數字1,2,3,4.將此木塊在水平桌面上拋兩次，則兩次看不到的數字都大于2的概率為▲．5.【答案】6．若拋物線的焦點到雙曲線C：的漸近線距離等于，則雙曲線C的離心率為▲．6．【答案】37.若實數滿足，則的最大值為▲．7.【答案】8．在三棱錐中，，分別為，的中點，記三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，則▲．8．【答案】9．設等差數列的公差為（），其前n項和為．若，，則的值為▲．9．【答案】10．已知，，則的值為▲．10.【答案】【解析】．11.如圖：梯形中，，，，若，則=▲．11.【答案】12.如圖所示，橢圓E的中心在坐標原點O，頂點分別是A1，A2，B1，B2，焦點分別是F1，F2，延長B2F2交A2B1于點P，若∠B2PA2是鈍角，則橢圓E離心率e的取值范圍是▲．12.【答案】方法一：直線A2B1：，直線B2F2：，聯立可得，，，，因為∠B2PA2是鈍角，所以，，即，又，所以，．方法二：因為∠B2PA2是鈍角，所以，，，，又，所以，橢圓E的離心率e的取值范圍是．13．已知實數，滿足，則的最大值是▲．13.【答案】4.14．設函數（）．若存在，使，則的取值范圍是▲．14．【答案】【解析】①若，當時，為遞增函數，且，當時，的對稱軸為，若存在，使得，則或，即或，解得．②若，當時，為遞增函數，且，當時，為遞減函數，且，當時，的對稱軸為，若存在，使得，則，即，解得，又，所以．綜上可得，，即的取值范圍為．二、解答題：本大題共6小題，共計90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱中，已知，，分別為的中點．(1)求證：直線∥平面；(2)求證：．15.證明(1)由題知，EF是△AA1B的中位線，所以EF∥A1B……………2分由于EF?平面BC1A1，A1B?平面BC1A1，所以EF∥平面BC1A1.……………6分(2)由題知，四邊形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1.……8又∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，所以A1C1⊥C1B1.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面A1C1B1，A1C1?平面A1C1B1，從而A1C1⊥CC1，又CC1∩C1B1＝C1，CC1，C1B1?平面BCC1B1，所以A1C1⊥平面BCC1B1又B1C?平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C..……………10分因為A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1?平面BC1A1，所以B1C⊥平面BC1A1.……………12分又A1B?平面BC1A1，所以B1C⊥A1B.又由于EF∥A1B，所以EF⊥B1C.……………14分16．(本小題滿分14分)在中，內角、、的對邊分別為、、，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的周長的取值范圍.16．（Ⅱ）在中有正弦定理得，又，所以，，故，因為，故，所以，，故得周長的取值范圍是.17.(本小題滿分14分)如圖，某商業中心O有通往正東方向和北偏東30°方向的兩條街道．某公園P位于商業中心北偏東角（，），且與商業中心O的距離為公里處．現要經過公園P修一條直路分別與兩條街道交匯于A、B兩處．⑴當AB沿正北方向時，試求商業中心到A、B兩處的距離和；⑵若要使商業中心O到A、B兩處的距離和最短，請確定A、B的最佳位置．17⑴以O為原點，OA所在直線為軸建立坐標系．設，∵，∴，，則，，……4分依題意，AB⊥OA，則OA=，OB=2OA=9，商業中心到A、B兩處的距離和為13.5km．⑵方法1：當AB與軸不垂直時，設AB：，①令，得；由題意，直線OB的方程為，②解①②聯立的方程組，得，∴，∴，由，，得，或．，令，得，當時，，是減函數；當時，，是增函數，∴當時，有極小值為9km；當時，，是減函數，結合⑴知km．綜上所述，商業中心到A、B兩處的距離和最短為9km，此時OA=6km，OB=3km，方法2：如圖，過P作PM//OA交OB于M，PN//OB交OA于N，設∠BAO=，△OPN中，得PN=1，ON=4=PM，△PNA中∠NPA=120°∴得同理在△PMB中，，得，，當且僅當即即時取等號．方法3：若設點，則AB：，得，∴，當且僅當即時取等號．方法4：設，AB：，得，，當且僅當即時取等號．答：A選地址離商業中心6km，B離商業中心3km為最佳位置．18．(本小題滿分16分）已知圓O：x2+y2=4.(1)求過點圓O的切線方程.(2)已知兩個定點A(a，2)，B(m，1)，其中a∈R，m>0.P為圓O上任意一點，且eq\f(PA,PB)=k(k為常數)=1\*GB3①求常數k的值；=2\*GB3②過點E(a，t)作直線l與圓C：x2+y2=m交于M、N兩點，若M點恰好是線段NE的中點，求實數t的取值范圍．18．(1)和（2）=1\*GB3①設點P(x，y)，x2+y2=4，PA=eq\r((xa)2+(y2)2)，PB=eq\r((xm)2+(y1)2)，因為eq \f(PA,PB)=k，所以(x–a)2+(y–2)2=k2[(x–m)2+(y–1)2]，又x2+y2=4，化簡得2ax+4y–a2–8=k2(2mx+2y–m2–5)，因為P為圓O上任意一點，所以eq\b\lc\{(\a(2a=2mk2,4=2k2,a2+8=k2(m2+5)))，又m>0，k>0，解得eq\b\lc\{(\a(k=\r(2),a=2,m=1))，所以常數k=eq\r(2)．=2\*GB3②法一：設M(x0，y0)，M是線段NE的中點，N(2x0–2，2y0–t)，又MN在圓C上，即關于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a(x02+y02=1,(2x02)2+(2y0t)2=1))有解，化簡得eq\b\lc\{(\a(x02+y02=1,8x0+4ty0t27=0))有解，即直線n：8x+4ty–t2–7=0與圓C：x2+y2=1有交點，則don=eq\f(|t2+7|,\r(64+16t2))錯誤！未定義書簽。≤1，化簡得：t4–2t2–15≤0，解得t∈[eq\r(5)，eq\r(5)]．法二：設過E的切線與圓C交于切點F，EF2=EM·EN，又M是線段NE的中點，所以EN=2MN，EM=MN，所以EF2=2MN2，又EF2=EO2–OF2=22+t2–1=t2+3，所以MN≤2，t2+3≤8，所以t∈[eq\r(5)，eq\r(5)]．19．(本小題滿分16分）已經函數的定義域為，設（1）試確定的取值范圍，使得函數在上為單調函數；（2）求證；（3）若不等式（為正整數）對任意正實數恒成立，求的最大值.（解答過程可參考使用以下數據）.19.（1）（2）證：因為在上遞增，在上遞減，所以在處取得權小值又，所以在的最小值為從而當時，，即（3）等價于即記，則等價于，即記，則所以在上單調遞減，又所以的最大值為620.(本小題滿分16分）

設數列的通項公式為，數列定義如下：對于正整數，是使得不等式成立的所有中的最小值.（1）若，求;（2）若，求數列的前項和公式;（3）是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范圍？如果不存在，請說明理由.20.（1）由題意，得，解，則，所以成立的所有中的最小整數為7，即.（2）由題意，得，對于正整數由，得,根據的定義可知，當時，當時，∴=（3）假設存在和滿足條件，由不等式及得∵，根據的定義可知，對于任意正整數的都有即對任意的正整數都成立.當（或）時，得這與上述結論矛盾.當即時，，∴∴所以存在和，使得滿足條件的，，且，的取值范圍分別是：.2018屆高三數學考前熱身卷數學試題（附加）21．A．如圖，AB為圓O的切線，A為切點，C為線段AB的中點，過C作圓O的割線CED（E在C，D之間），求證：∠CBE=∠BDE．B．[選修42：矩陣與變換]（本小題滿分10分）已知，向量是二階矩陣的屬性特征值3的一個特征向量，求直線在矩陣對應的變換作用下得到的直線的方程．B．[選修4—2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）解：由題意，，即，所以解得，所以．設上一點在的作用下得到直線上一點，則，即所以代入直線，得，即直線的方程為.C．在極坐標系中，曲線C的極坐標方程為，以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線的參數方程為(為參數)，求直線被曲線所截得的弦長．21C解：曲線C的直角坐標方程為，圓心為，半徑為，…………3分直線的直角坐標方程為，………5分所以圓心到直線的距離為，………………8分所以弦長．………10分D．求函數的最大值．22．在一次電視節目的搶答中，題型為判斷題，只有“對”和“錯”兩種結果，其中某明星判斷正確的概率為，判斷錯誤的概率為，若判斷正確則加1分，判斷錯誤則減1