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19五月20241第七節(jié)無窮小的比較

第一章為什么要研究“無窮小的比較”？本節(jié)內(nèi)容提要：一、無窮小的比較的定義二、無窮小的比較的性質(zhì)及應(yīng)用三、本節(jié)小結(jié)及思考練習(xí)19五月20242若則稱

是比

高階的無窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱

是比

低階的無窮小;則稱

是

的同階無窮小;則稱

是關(guān)于

的k階無窮小;則稱

是

的等價無窮小,記作定義一、無窮小的比較19五月20243～時～～又如，故時是關(guān)于x的二階無窮小,～且例如,

當19五月20244時,～證:～例1證明:當19五月20245二、等價無窮小的性質(zhì)及應(yīng)用～定理1～證:即即例如,～～故19五月20246且存在,則證:定理2（等價無窮小替換定理）設(shè)應(yīng)用舉例：習(xí)題1－73（1）定理319五月20247～～常用等價無窮小:～～～～～～～例2求解:19五月20248例3

求解:原式

等價無窮小代換只適用于因式乘積的整體代換，而對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.特別注意：19五月20249例4求解當時，，，所以19五月202410解:例5求當時，所以，事實上，我們有以下補充規(guī)則（書上沒有的）：設(shè)對同一變化過程,

,

為無窮小,由等價無窮小的性質(zhì),可得簡化某些極限運算的下述規(guī)則.（1）和差取大規(guī)則:若

=o(

),例如,19五月202411例如,（2）和差代替規(guī)則:（3）因式代替規(guī)則:界,則例如,

19五月202412內(nèi)容小結(jié)1.無窮小的比較設(shè)

,

對同一自變量的變化過程為無窮小,且

是

的高階無窮小

是

的低階無窮小

是

的同階無窮小

是

的等價無窮小

是

的k階無窮小19五月202413～～～～～常用等價無窮小:Th22.等價無窮小替換定理19五月202414課前預(yù)習(xí)1、函數(shù)在某點連續(xù)要滿足哪些條件？2、間斷點有哪些類型？19五月202415思考與練習(xí)解:不能．例當時,都是無窮小量.但不存在且不為無窮大.1、任何兩個無窮小都可以比較嗎？故當時,19五月202416解2、課本習(xí)題1－73（7）和差取大規(guī)則19五月2024173、當時,若與是等價無窮小，解依題意有，因為，，試求故則課本習(xí)題1－74

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