2024年春季學期第一次教學監測【九年級數學】一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1.下列無理數中，大小在0和1之間的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查無理數、估算無理數的大小，利用放縮法估算的大小，可判斷A，C，根據可判斷B，根據是分數可判斷D．【詳解】解：∵，∴，∴，∴A符合題意；∵，∴，∴B不符合題意；∵，∴C不符合題意；∵是分數，不是無理數，∴D不符合題意；故選A．2.下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查中心對稱圖形與軸對稱圖形的定義，中心對稱圖形定義：把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；軸對稱圖形定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，根據定義逐項判定即可得出結論．熟練掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的定義是解決問題的關鍵．【詳解】解：A、該圖是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故符合題意；B、該圖既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故不符合題意；C、該圖既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故不符合題意；D、該圖不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故不符合題意；故選：A．3.下列運算中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了冪的運算、合并同類項、乘法公式，根據運算法則和乘法公式計算即可得到得到答案．【詳解】解：A．，故選項錯誤，不符合題意；B．，故選項正確，符合題意；C．與不是同類項，不能合并，故選項錯誤，不符合題意；D．，故選項錯誤，不符合題意．故選：B．4.已知關于x的不等式組的解集中有且僅有3個整數，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據一元一次不等式組解出x的取值，再根據不等式組只有3個整數解，求出實數a的取值范圍．【詳解】解：解不等式得，，解不等式得，，∵不等式組有且只有3個整數解，∴，故選：C．【點睛】此題考查的是由一元一次不等式組解集的情況求參數，解題關鍵是熟練掌握一元一次不等式的解法．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．5.新高考“”選科模式是指除語文、數學、外語門科目以外，學生應在歷史和物理門首選科目中選擇科，在思想政治、地理、化學、生物學門再選科目中選擇科．某同學從門再選科目中隨機選擇科，恰好選擇化學和生物的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．表可得出所有等可能的結果數以及恰好選擇化學和生物的結果數，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：列表如下：思想政治地理化學生物思想政治（思想政治，地理）（思想政治，化學）（思想政治，生物）地理（地理，思想政治）（地理，化學）（地理，生物）化學（化學，思想政治）（化學，地理）（化學，生物）生物（生物，思想政治）（生物，地理）（生物，化學）共有12種等可能的結果，其中恰好選擇化學和生物的結果有2種，恰好選擇化學和生物的概率為．故選：B．6.如圖，和直尺兩邊，且，把三角尺的直角頂點放在上．若，則的度數是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線的性質，角的和差．由平行線的性質可得，，由角的和差可求得，即可解答．【詳解】解：如圖，∵，，∴，，∵，∴，∴．故選：B7.已知，，則在如圖所示的平面直角坐標系中，小手蓋住的點的坐標可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意可得，，觀察圖形可得小手蓋住的點的坐標在第二象限，再逐項判斷即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴A、點在第三象限內，因為小手蓋住的點的坐標在第二象限，故本選項不符合題意；B、點在第二象限內，小手蓋住的點的坐標在第二象限，故本選項符合題意；C．點在第四象限內，因為小手蓋住的點的坐標在第二象限，故本選項不符合題意；D、點在第一象限內，因為小手蓋住的點的坐標在第二象限，故本選項不符合題意；故選：B【點睛】本題考查了點所在象限的判斷，求出a，b的正負是解題的關鍵．8.如圖，在中，，點F是斜邊的中點，以為邊作正方形若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據正方形的面積可得，從而利用直角三角形，斜邊上的中線性質可得，然后在中，利用勾股定理求出的長，最后利用銳角三角函數的定義進行計算，即可解答．詳解】解：∵∴，在中，點F是斜邊的中點，∴∵∴∴故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，正方形的性質，熟練掌握勾股定理，以及銳角三角函數的定義是解題的關鍵．9.如圖，在中，以邊為直徑作交于點D，過點D作的切線交于點E．若D為的中點，，則的長為（）A.5 B.8 C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質、切線的性質定理，圓周角定理等知識，證明是解題的關鍵，證明，得到，由勾股定理即可得到，即可得到答案．【詳解】解：連接，∵以邊為直徑作交于點，∴∵為的中點，為的中點，∴，∴∵，∴，∴，∵過點作的切線交于點，∴∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴（負值舍去），故選：C10.如圖所示是拋物線的部分圖象，其頂點坐標為，拋物線與x軸的一個交點在和之間，則下列結論：①；②；③；④一元二次方程沒有實數根．其中正確的結論個數是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】根據圖象開口向下，對稱軸為直線可得拋物線與x軸另一交點坐標在之間，從而判斷①；由對稱軸為直線可得b與a的關系，將代入函數解析式根據圖象可判斷②；由有兩個相等實數根可得，從而判斷③．由函數最大值為可判斷④．【詳解】解：∵拋物線頂點坐標為，∴拋物線對稱軸為直線，∵圖象與x軸的一個交點在和之間，∴圖象與x軸另一交點在之間，∴時，，即，故①正確，符合題意．∵拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴時，，故②正確，符合題意．∵拋物線頂點坐標為，∴有兩個相等實數根，∴，∴，故③正確，符合題意．∵的最大函數值為，∴沒有實數根，故④正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數與方程及不等式的關系．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11.請計算的結果為______．【答案】##【解析】【分析】根據分式的減法法則進行計算．【詳解】，故答案為：．【點睛】本題考查了分式的減法，正確的計算是解題的關鍵．12.如圖，在菱形中，于點，，，則的值是_____．【答案】2【解析】【分析】本題考查菱形的性質、勾股定理、銳角三角函數定義等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題．由銳角三角函數定義得，設，則，推出，，然后由銳角三角函數定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形菱形，∴，∵，∴，∵，∴可設，則，∴，，又∵，即，∴，∴，∴．故答案為：2．13.如圖，反比例函數的圖象經過等腰直角三角形的一個頂點，，，軸，則________．【答案】2【解析】【分析】作于，如圖，先利用等腰直角三角形的性質得到，，再利用軸得到，，然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征計算的值．【詳解】解：作于，如圖，為等腰直角三角形，，，軸，∴C點坐標為：，，把，代入得．故答案為：2．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數為常數，的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標的積是定值，即．也考查了等腰直角三角形的性質．14.在如圖所示的三階幻方中，填寫了一些數、式子和漢字（其中每個式子或漢字都表示一個數），若每一橫行，每一豎列，以及每條對角線上的3個數之和都相等，則“誠實守信”這四個字表示的數之和______．【答案】21【解析】【分析】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是能夠從幻方中發現一個可以求出x的等量關系．觀察幻方，可由第1列、第2行列方程求出x，由第3行、第3列可用x的代數式表示出“實”，由此可求出各代數式的值，并根據由下向上對角線上三個數的和求出所以幻方中的數，進而使問題得到解決．【詳解】解：由第1列、第2行，得：，解得，由第3行、第3列，得實，∴實，當時，，，，∴每一橫行，每一豎列，以及每條對角線上的3個數之和，∴誠，實，守，信，“誠實守信”這四個字表示的數之和．故答案為：21．15.如圖，數軸上的點為原點，點表示的數為，動點從點出發，按以下規律跳動：第1次從點跳動到的中點處，第2次從點跳動到的中點處，第3次從點跳動到的中點處，…，第次從點跳動到的中點處，按照這樣的規律繼續跳動到點，，，…，處，那么點所表示的數為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了線段中點的定義，兩點間的距離，探究圖形的規律，找到圖形變化中線段的變化規律是解題的關鍵根據題意，得第一次跳動到的中點處，即在離點的長度為，第二次從點跳動到處，即在離點的長度為，則跳動n次后，即跳到了離點的長度為，再根據線段的和差關系可得線段的長度，最后確定點的表示的數即可．【詳解】解：由題可知：，此第一次跳動到的中點處時，，同理，第二次從點跳動到處，，同理，第三次從點跳動到處，同理，跳動次后，，故線段的長度為：，當時，，∵點在負半軸，∴點表示的數是，故答案為：．三．解答題（共9小題，滿分75分）16.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查二次根式的混合運算、負整數指數冪、特殊角的三角函數值．先根據二次根式的混合運算、負整數指數冪化簡，代入特殊角的三角函數值，然后計算加減法即可．【詳解】解：．17.如圖，已知，是反比例函數圖象上的兩點，軸于點，交于點，若的面積是的面積的2倍，求的面積．【答案】2.5【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數的系數k的幾何意義、相似三角形的判定與性質等知識點．過點作軸于，根據反比例函數的幾何意義可得，根據的面積是的面積的2倍，可得，進而可得，然后證明，根據相似三角形面積比等于相似比的平方即可得出的面積，進而可得答案．【詳解】解：如圖，過點作軸于，已知，是反比例函數圖象上的兩點，，的面積是的面積的2倍，，，軸，軸，，又，，，．18.某樓舉辦了青年大學習知識競賽（百分制），并分別在七、八年級中各隨機抽取20名學生的成績進行統計、整理與分析，繪制成如圖所示的兩幅統計圖．成績用x分表示，并且分為A，B，C，D，E五個等級（A：；B：；C：；D：；E：）七、八年級競賽成績數據的平均數、中位數、眾數如下表：平均數中位數眾數七年級76m75八年級777678其中，七年級成績在C等級的數據為77，75，75，78，79，75，73，75；八年級成績在E等級的有3名學生．根據以上信息，解答下列問題：（1）扇形統計圖中B等級所在扇形對應的圓心角的度數是__________，表中m的值為__________．（2）通過以上數據分析，你認為哪個年級對青年大學習知識掌握得更好？請說明理由．（3）請對該校學生對青年大學習知識的掌握情況作出合理的評價．【答案】（1），（2）八年級學生的成績較好，理由見解析（3）青年學生對深入學習青年大學習知識掌握情況一般，還需要進一步加強學習和宣傳（答案不唯一，合理即可）【解析】【分析】本題考查條形統計圖、扇形統計圖，平均數、中位數、眾數，理解兩個統計圖中數量之間的關系以及中位數、眾數、平均數的意義是正確解答的前提．（1）求出調查人數以及B等級的學生人數所占的百分比即可求出相應的圓心角度數，根據中位數的定義求出中位數即可得出m的值；（2）通過平均數、中位數、眾數的大小比較得出答案；（3）根據平均數、中位數、眾數綜合進行判斷即可．【小問1詳解】解：由條形統計圖可得，調查人數為(人)，扇形統計圖中B等級所占圓心角的度數是：，將七年級這20名學生的成績從小到大排列，處在中間位置的兩個數的平均數為，因此中位數是75分，即，故答案：，；【小問2詳解】八年級學生的成績較好，理由：由表可知八年級學生成績的平均數、中位數、眾數均比七年級學生的平均數、中位數、眾數大，所以八年級學生成績較好；【小問3詳解】青年學生對深入學習青年大學習知識掌握情況一般，還需要進一步加強學習和宣傳．19.在菱形中，對角線相交于點為的中點，連接并延長到點，使，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）12【解析】【分析】本題考查了矩形的判定和性質，菱形的性質，解直角三角形，（1）首先證明四邊形是平行四邊形，再由菱形的性質得即可推出四邊形是矩形；（2）首先根據矩形對角線相等和菱形的四邊相等可以求得，然后在直角三角形中，解直角三角形可以求出的長，從而得到的長；靈活運用上述性質解決問題是本題的關鍵．【小問1詳解】證明：為的中點，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，平行四邊形是矩形；【小問2詳解】解：四邊形是菱形，，四邊形是矩形，，設，，，根據勾股定理可得，即，解得，，．20.已知二次函數圖象經過，、三點．（1）求該二次函數解析式；（2）將該二次函數圖象平移使其經過點，且對稱軸為直線，求平移后的二次函數的解析式．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本題考查了待定系數法求解析式，拋物線的性質，熟知待定系數法和平移的規律是解題的關鍵．（1）運用待定系數法即可求得拋物線解析式；（2）利用平移規律求得平移后的二次函數的解析式．【小問1詳解】解：把，、代入，得：，解得：，∴該二次函數的解析式為；【小問2詳解】解：若將該二次函數圖象平移后經過點，且對稱軸為直線，設平移后的二次函數的解析式為，將點代入，得，解得，．∴將二次函數的圖象平移后的二次函數的解析式為．21.高鐵給我們的出行帶來了極大的方便．如圖，高鐵列車座椅后面的小桌板收起時，小桌板的支架的底端N與桌面頂端的距離，且可以看作與地面垂直．展開小桌板時桌面保持水平，即，且支架長與桌面寬的長度之和等于的長度．若，，求展開小桌板時點到的距離（結果精確到，參考數據：，，，，）．【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用，延長交于點，構造和，設，則，利用直角三角形的邊角間關系分別用含的代數式表示出，根據線段的和差關系得到關于的方程，求解后代入計算即可得到點到的距離，作出輔助線，構造出直角三角形是解題的關鍵．【詳解】解：延長交于點，∵，∴，∴，設，則，在中，∵，∴，，∴，∴，在中，∵，∴，∵，∴，解得，∴，答：點到的距離約為．22.如圖，平分，點A在射線上，以點A為圓心，半徑為1的與相切于點B，連接并延長交于點D，交于點E．（1）求證：是的切線；（2）若，求圖中陰影部分的面積．（結果保留）【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了切線的性質與判定，角平分線的性質，求不規則圖形面積，解直角三角形等等：（1）首先過點A作于點F，易證得，即可得是的切線；（2）由，可求得的長，又由，即可求得答案．【小問1詳解】證明：過點A作于點F，如圖，∵與相切于點B，∴，∵平分，是半徑，∴，∴是的切線；【小問2詳解】解：∵，∴，∵，∴，在中，∴．23.如圖，和是兩個全等的等腰直角三角形，，點E為線段上一點，將繞點E旋轉時，線段與交于點P，線段與直線交于點Q．（1）如圖①，點Q在線段上且時，求證：；（2）如圖②，點Q在線段的延長線上時，求證：；（3）如圖③，點Q在線段的延長線上，若，，，求P，Q兩點間的距離．（用含a的代數式表示）【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據和是兩個全等的等腰直角三角形，得到，結合三角形內外角關系可得，即可得到證明；（2）根據，即可得，結合即可得到證明；（3）根據，得到，結合得