第1章矩陣1、設，求解：；；。2、設矩陣滿足，其中，，求解：設，那么，。利用矩陣相等的定義可得：。3、某石油公司所屬的三個煉油廠在1997年和1998年生產的4種油品的產量如下表〔單位：萬噸〕產油量品煉油廠1997年1998年582715472301856525143632513590302078028185〔1〕作矩陣和分別表示三個煉油廠1997年和1998年各種油品的產量；〔2〕計算與，并說明其經濟意義；〔3〕計算，并說明其經濟意義。解：〔1〕，；〔2〕，其經濟意義表示三個煉油廠1997年和1998年兩年各種油品產量的和。，其經濟意義表示三個煉油廠在1997年和1998年兩年之間各種油品產量的變化量。〔3〕，其經濟意義表示三個煉油廠在1997年和1998年兩年各種油品的平均產量。4、計算以下矩陣的乘積〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕。解：〔1〕。〔2〕。〔3〕。〔4〕。〔5〕。〔6〕。〔7〕。V41V71yV315、如圖，考慮邊長為2的正方形：設其頂點和各邊中點的坐標分別為V41V71yV31V61V81用矩陣分別左乘給定的V61V81V51xV21V1V51xV21V11O試作出由這些點構成的平面圖形；〔2〕考慮矩陣分別在當和時，用左乘原正方形各頂點和各邊中點的坐標，假設設所得到的點的坐標和分別作出由這兩組點構成的平面圖形。解：(1)以的坐標為列構造28矩陣V，令那么矩陣W的每一列依次為的坐標。如下圖。yW2OyW2OW5W5W6WW3WW1OxOxW8W8W7WW4(2)令那么矩陣U的每一列依次為的坐標，如以下圖所示。U3yU3yUU6U7U7U2U4U4U5UU8U1xU1xO令y那么矩陣的每一列依次為點的坐標。如下圖。yU4U4U8U1xOxOU7UU7U5U6U3U6U3U26、設某港口在某月份出口到3個地區的兩種貨物的數量以及它們一單位的價格、重量和體積如下表：出地口區量貨物北美歐洲非洲單位價格〔萬元〕單位重量單位體積2000100080012001300500試利用矩陣乘法計算：經該港口出口到3個地區的貨物價值、重量、體積分別各為多少？經該港口出口的貨物總價值、總重量、總體積為多少？解：〔1〕=其中第一、二、三列分別表示北美、歐洲、非洲；第一、二、三行分別表示價值、重量、體積。〔2〕=其中第一、二、三行分別表示總價值、總重量、總體積。7、設A,B均為階對稱矩陣，試判定以下結論是否正確，并說明理由。〔1〕為對稱矩陣；〔2〕為對稱矩陣〔為任意常數〕；〔3〕為對稱矩陣。證明：令n階對稱矩陣A=，其中，i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;n階對稱矩陣A=，其中，i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;正確。顯然A+B=，又，，其中i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;所以=，即A+B為對稱矩陣。〔2〕正確。顯然kA=，又，其中i=1,2,…,n,j=1,2,…,n;所以=，即kA為對稱矩陣。〔3〕錯誤。設對稱矩陣A和B分別為：，； 所以，顯然AB不為對稱矩陣。8、求所有與可交換的矩陣〔1〕；(2)。解：〔1〕顯然與A可交換的矩陣必為二階方陣，設為X，并令，又，，由可交換條件AX=XA，可得b=0,〔其中為任意常數〕，即。〔2〕顯然與A可交換的矩陣必為三階方陣，設為X，并令，又，，由可交換條件XA=AX，可得d=0,g=0,h=0,c=0,a=e=i,b=f,〔其中a,e,i,b,f均為任意常數〕，即。9、設矩陣與矩陣均可交換，求證：與也可交換，且。證明：因為矩陣A與矩陣可交換，即，，所以=+=+=，即矩陣與可交換。又，即矩陣與也可交換。所以由有：=－=。10、計算〔其中n為正整數〕〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；解：〔1〕=。〔2〕=。下面用數學歸納法證明。當n=1時，當然成立。假定n=k時成立，即。再證n=k+1時也成立。。〔3〕=，可用數學歸納法證明之。〔4〕當n=1時，值為原矩陣；當n=2時，；當n=3時，；當時，。〔5〕=；〔6〕，由直接計算可知A2=4E。由此進一步得知：11、設為階矩陣。試分別求,與的第行第列。解：的第行第列為，的第行第列為，的第行第列為。12、設，對于階矩陣，定義其中為階單位矩陣。〔1〕如果，，求；解：依定義得：。〔2〕如果，，求.解：依定義得：=－+=。13、寫出以下圖的鄰接矩陣，并分別計算各鄰接矩陣的平方。解：〔1〕設鄰接矩陣為A，那么A=，A2=。〔2〕設鄰接矩陣為A，那么A=，A2=。14、設為同階矩陣，且滿足。求證：的充分必要條件是.證明：先證明必要性：由于，故…………〔1〕如果A2=A，即由此得B2=E再證充分性：假設B2=E，那么由〔1〕式可知，。所以，的充分必要條件是。15、設為階矩陣，稱的主對角線上所有元的和為的跡，記作，即。求證：當均為階矩陣時，有〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕。證明：〔1〕因為A，B為階矩陣，所以A+B也為n階矩陣，并設A+B=根據矩陣加法的定義，可知：,所以因此，=+，即。〔2〕因為A為階矩陣，所以kA也為n階矩陣，并設kA=。根據矩陣加法的定義，可知：,所以。因此，==，即。〔3〕令AT=根據矩陣轉置的定義可知，，又，所以=，即：。〔4〕令AB=C=，AB=D=，其中，。顯然，當時，，于是，即。16、計算以下行列式〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕；〔8〕。解：〔1〕==1。〔2〕===12。〔3〕第一列乘-1加到第二列，并從第二列提取1000，得===6123000。〔4〕從第二行提取2之后，跟第一行互換，得===8。〔5〕把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取8，得====512。〔6〕把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取10，得====160。〔7〕這是一個第二行元素為1、2、3、4的范得蒙行列式，因此==12。〔8〕最后一列乘以-1后，加到第一列，并按最后一行展開，得====－192。17、解方程〔1〕；〔2〕。解：〔1〕===1。即解方程，因此x=3或-1。〔2〕=〔x+2〕〔x-1〕=0。所以方程的解為：x=1或－2。18、設3階行列式，計算以下行列式：〔1〕；〔2〕。解：〔1〕=+=+=－8+0=－8。〔2〕=+==－0==8。19、計算以下行列式〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕。解：〔1〕====。〔2〕將第二、三、四列展開得：原式===+=0。〔3〕=+=。〔4〕按第一列展開=+=。〔5〕按最后一列展開=+=。20、證明：〔1〕；〔2〕。證明：〔1〕=+=-=+=2。〔2〕=+=－=。21、計算以下n階行列式：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕。解：〔1〕各列都加到第一列后，再從第一列中提取；然后，第一行乘以-1后加到其余各行，得=〔〕=〔〕=。〔2〕=·，顯然，當n=1時，原行列式的值為。當n=2時，==。當時，將第2行到第n行的元素減去第一行相應的元素，得到=。然后，將各行的公因子提出得==0〔因為有兩行的元素是相等的〕。所以，綜合有：當n=1時，原式=，當n=2時，原式=，當n3時，原式=0。〔3〕設所給的行列式為D，從最后一列依次往前一列加，得D==。〔4〕設所給的行列式為D，把各行都加到第一行，并在第一行中提取n－1，得D===。〔5〕設所給的行列式為D，把第一列加到第二列，依次把第j-1列加到到第j列〔j=1,2，…，n〕，得D==。22、解方程〔1〕；〔2〕。解：〔1〕將所給的行列式的第一行乘以－1，加到其他行，得===0。所以x=1，2，…，n-1。〔2〕將所給的行列式的最后一列分別乘以加到第n，n-1，…，1列，得===0。所以。23、證明〔1〕〔其中〕；〔2〕〔其中〕；〔3〕〔〕。證明：〔1〕將行列式的第一行的-1倍分別加到其余各行，然后提出各列的公因子，再把各列加到第一列，得原式==，再將第2列到第n列的各元素依次加到第1列上去即得原式=。〔2〕用乘第i列〔〕分別加到第一列，得原式＝=。〔3〕從第n行起，各行的x倍依次加到上面一行，所得到的行列式再按第一行展開得D===。24、利用分塊矩陣的乘法，計算AB〔1〕，其中；〔2〕，其中，。解：〔1〕AB==其中E2B11=B11，E2B12=B12，A22E2=A22，A21B11==，A21B12==，A22B22==，所以AB=。〔2〕AB==，其中A1B1==9，A2B2==9，A3B3==9。所以AB=。25、設A是3階矩陣，且detA=-2，假設將A按列分塊，其中為A的第j列，〔j=1，2，3〕，求以下行列式：〔1〕；〔2〕。解：〔1〕因為==。所以==4。〔2〕因為=－=。所以==6。26、設A是矩陣，將其按行分為m塊，其中為A的第i行〔〕，對于m階單位矩陣E，也將其按行分為m塊，其中為E的第i行〔〕，試由EA=A證明：〔〕。證明：EA===A=所以=，即〔〕。27、判斷以下矩陣是否可逆，假設可逆，利用伴隨矩陣求其逆矩陣.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。解：〔1〕令所給的矩陣為A，因為detA=-2,不為零，所以此矩陣可逆。其伴隨矩陣為A*=，所以其逆矩陣為=。〔2〕令所給的矩陣為A，因為detA=0,所以此矩陣不可逆。〔3〕令所給的矩陣為A，因為detA=0,所以此矩陣不可逆。〔4〕令所給的矩陣為A，因為detA=6,不為零，所以此矩陣可逆。其伴隨矩陣為A*=，所以其逆矩陣為=。28、利用行初等變換法求以下矩陣的逆矩陣.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕。解：〔1〕。所以，此矩陣的逆矩陣為。〔2〕，所以，其逆矩陣為。〔3〕，所以，其逆矩陣為。〔4〕，所以，其逆矩陣為。〔5〕所以，其逆矩陣為。29、求解以下矩陣方程〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕AX+B=X，其中。解：〔1〕因為，所以，X===。〔2〕因為，所以X===。〔3〕因為，所以X==。〔4〕因為AX+B=X，所以X=(E-A)-1B，又E－A=，因此，X==。30、設A為n階矩陣，且存在正整數，使。求證：E-A可逆，且.證明：作以下乘法===從而E－A為可逆矩陣，而且。31、n階矩陣A，滿足，求證：A可逆，并求.證明：因為，即，所以，，從而，A為可逆矩陣，而且。32、如果矩陣A可逆。〔1〕求證：也可逆，并求。〔2〕設，求.〔1〕證明：因為矩陣A可逆，所以，即從