第08講不等式的基本性質與解法（7大考點）考點考點考向一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關系的式子也是不等式．要點：(1)不等號“＜”或“＞”表示不等關系，它們具有方向性，不等號的開口所對的數較大．(2)五種不等號的讀法及其意義：符號讀法意義“≠”讀作“不等于”它說明兩個量之間的關系是不相等的，但不能確定哪個大，哪個小“＜”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“＞”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大“≤”讀作“小于或等于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“≥”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3)有些不等式中不含未知數，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知數，如2x＞5中，x表示未知數，對于含有未知數的不等式，當未知數取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立．二、不等式的基本性質不等式的基本性質1：不等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性質2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．要點：對不等式的基本性質的理解應注意以下幾點：(1)不等式的基本性質是對不等式變形的重要依據，是學習不等式的基礎，它與等式的兩條性質既有聯系，又有區別，注意總結、比較、體會．(2)運用不等式的性質對不等式進行變形時，要特別注意性質2和性質3的區別，在乘(或除以)同一個數時，必須先弄清這個數是正數還是負數，如果是負數，不等號的方向要改變三、一元一次不等式的概念只含有一個未知數，未知數的次數是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一個一元一次不等式．要點：(1)一元一次不等式滿足的條件：①左右兩邊都是整式(單項式或多項式)；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數為1.(2)一元一次不等式與一元一次方程既有區別又有聯系：相同點：二者都是只含有一個未知數，未知數的次數都是1，“左邊”和“右邊”都是整式．不同點：一元一次不等式表示不等關系，由不等號“＜”、“≤”、“≥”或“＞”連接，不等號有方向；一元一次方程表示相等關系，由等號“＝”連接，等號沒有方向．四、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的過程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：與一元一次方程的解法類似，其根據是不等式的基本性質，將不等式逐步化為：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)化為（或）的形式（其中）；(5)兩邊同除以未知數的系數，得到不等式的解集.要點：（1）在解一元一次不等式時，每個步驟并不一定都要用到，可根據具體問題靈活運用．（2）解不等式應注意：①去分母時，每一項都要乘同一個數，尤其不要漏乘常數項；②移項時不要忘記變號；③去括號時，若括號前面是負號，括號里的每一項都要變號；④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數時，不等號的方向要改變．五、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：對于一個含有未知數的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．要點：不等式的解是具體的未知數的值，不是一個范圍不等式的解集是一個集合，是一個范圍．其含義：①解集中的每一個數值都能使不等式成立；②能夠使不等式成立的所有數值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最簡的不等式表示:一般地，一個含有未知數的不等式有無數個解，其解集是一個范圍，這個范圍可用最簡單的不等式來表示．如：不等式x-2≤6的解集為x≤8．(2)用數軸表示:不等式的解集可以在數軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式的無限個解．如圖所示：要點：借助數軸可以將不等式的解集直觀地表示出來，在應用數軸表示不等式的解集時，要注意兩個“確定”：一是確定“邊界點”，二是確定方向．(1)確定“邊界點”：若邊界點是不等式的解，則用實心圓點，若邊界點不是不等式的解，則用空心圓圈；(2)確定“方向”：對邊界點a而言，x＞a或x≥a向右畫；對邊界點a而言，x＜a或x≤a向左畫．注意：在表示a的點上畫空心圓圈，表示不包括這一點．考點考點精講考點一：不等式的有關定義一、單選題1．（2021·浙江·八年級期末）定義：對于任意數，符號表示不大于的最大整數，例如：，，．若，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】符號表示不大于的最大整數，即為小于等于a的最大整數.【詳解】因為為小于等于a的最大整數，所以，若＝－6，則的取值范圍是，故選B.【點睛】本題考查了對不等關系的理解，解題的關鍵是理解符號的本質是小于或等于a的最大整數.2．（2021·浙江·八年級期中）老師在黑板上寫了下列式子：①x－1≥1；②－2＜0；③x≠3；④x＋2；⑤x－y＝0；⑥x＋2y≤0，其中不等式有(

)A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【詳解】因為用不等號連接的式子叫做不等式，其中常用不等號有：>，<，≥，≤，≠，所以屬于不等式的是：①②③⑥．故選C．【點睛】本題考查不等式的定義,解決本題的關鍵是要熟練掌握不等式的定義進行判定．考點二：不等式的解集一、單選題1．（2020·浙江嘉興·八年級期中）下列各數中，是不等式x＞1的解的是（

）A．﹣2 B．0 C．1 D．3【答案】D【分析】根據不等式的解，可得答案．【詳解】解：∵3>1，

∴3是不等式x>1的解，

故選D．【點睛】本題考查了不等式的解集，利用不等式的解集是解題關鍵．2．（2020·浙江紹興·模擬預測）關于的不等式的解集如圖所示，則a的值為A．1 B． C．-1 D．【答案】D【分析】首先用a表示出不等式的解集，然后解出a．【詳解】解：根據圖示知，原不等式的解集是：x≤-1；又∵3x-2a≤-2，∴x≤，∴=-1，解得，a=-；故選D．【點睛】本題考查了在數軸上表示不等式的解集．不等式的解集在數軸上表示出來的方法：“＞”空心圓點向右畫折線，“≥”實心圓點向右畫折線，“＜”空心圓點向左畫折線，“≤”實心圓點向左畫折線．考點三：不等式的基本性質一、單選題1．（2020·浙江省義烏市廿三里初級中學八年級階段練習）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（

）A．m＋2＞n＋2 B．2m＞2n C．0.5m＞0.5n D．【答案】D【分析】根據不等式的性質1，可判斷A；根據不等式的性質2，可判斷B、C；根據不等式的性質3，可判斷D．【詳解】解：A、不等式的兩邊都加2，不等號的方向不變，故選項A正確，不符合題意；B、不等式的兩邊都乘以2，不等號的方向不變，故選項B正確不符合題意；C、不等式的兩條邊都乘以0.5，不等號的方向不變，故選項C正確不符合題意；D、當0＞m＞n時，不等式的兩邊都乘以負數，不等號的方向改變，故選項D錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了不等式的性質．不等式的基本性質：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．2．（2022·浙江麗水·八年級期末）若x＜y，則下列結論成立的是（

）A．x+2＞y+2 B．-2x＜-2y C．3x＞3y D．1-x＞1-y【答案】D【分析】根據不等式的性質求解即可．【詳解】解：A、由x＜y，可得x+2＜y+2，原結論不成立，不符合題意；B、由x＜y，可得-2x＞-2y，原結論不成立，不符合題意；C、由x＜y，可得3x＜3y，原結論不成立，不符合題意；D、由x＜y，可得-x＞-y，則1-x＞1-y，原結論成立，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了不等式的性質，熟知不等式兩邊同時加上或減去一個整式，不等式方向不改變，不等式兩邊同時乘以或除以一個正數，不等式不改變方向，不等式兩邊同時乘以或除以一個負數，不等式改變方向是解題的關鍵．3．（2022·浙江麗水·八年級期末）若，兩邊都除以-2，得（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】當不等式左右兩邊同時除以或乘以負數時,需改變不等式符號．【詳解】∵當不等式左右兩邊同時除以或乘以負數時,需改變不等式符號∴∴故選：B．【點睛】本題考查不等式的性質，解題的關鍵是熟練掌握不等式的相關知識．4．（2022·浙江麗水·八年級期中）實數a，b，c在數軸上對應的點如圖所示，則下列式子中正確的是（）A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D．【答案】B【分析】先由數軸觀察a、b、c的正負和大小關系，然后根據不等式的基本性質對各項作出正確判斷.【詳解】由數軸可以看出a＜b＜0＜c，因此，A、∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故選項錯誤；B、∵a＜b，∴a+c＜b+c，故選項正確；C、∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，故選項錯誤；D、∵a＜c，b＜0，∴，故選項錯誤.故選B.【點睛】此題主要考查了不等式的基本性質及實數和數軸的基本知識，比較簡單．5．（2020·浙江·樂清市知臨寄宿學校八年級期中）設“”、“

”、“”表示三種不同的物體．現用天平稱兩次，情況如圖所示，那么、、這三種物體質量從大到小的順序排列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設、、的質量為a、b、c,根據圖形，可列出不等式和等式，由此可將質量從大到小排列．【詳解】解：設、、的質量為a、b、c,由圖形可得：，由①得：c＞a,由②得：a＝2b,故可得c＞a＞b.所以這三種物體按質量從大到小的排列順序為．故選：B．【點睛】本題考查了不等式的性質及等式的性質，解答本題關鍵是根據圖形列出不等式和等式．6．（2023·浙江·八年級專題練習）小英、小亮、小明和小華四名同學參加了“學用杯”競賽選拔賽，小亮和小華兩個同學的得分和等于小明和小英的得分和；小英與小亮的得分和大于小明和小華的得分和，小華的得分超過小明與小亮的得分和．則這四位同學的得分由大到小的順序是（

）A．小明，小亮，小華，小英 B．小華，小明，小亮，小英C．小英，小華，小亮，小明 D．小亮，小英，小華，小明【答案】C【分析】由題干中前兩個條件可得小英的得分大于小華的，小亮的大于小明的，再結合第三個條件，進而可出結論．【詳解】解：設小英的得分為a，小亮的得分為b，小明的得分為c，小華的得分為d，∵小亮和小華兩個同學的得分和等于小明和小英的得分和，∴b＋d＝a＋c，∴b＝a＋c﹣d①∵小英與小亮的得分和大于小明和小華的得分和，∴a＋b＞c＋d②，把①代入②，可得：a＋a＋c﹣d＞c＋d，∴a＞d，又∵b＋d＝a＋c，∴b＞c，∵小華的得分超過小明與小亮的得分和，∴d＞b＋c，即d＞b，∴a＞d＞b＞c，即四位同學的得分由大到小的順序是小英、小華、小亮、小明．故選：C．【點睛】本題主要考查了推理與論證的問題，能夠通過已知條件找出突破口，從而通過推理得出結論．二、填空題7．（2022·浙江紹興·八年級期末）根據不等式的基本性質，由，兩邊同乘－1，得______【答案】【分析】根據不等式的基本性質求解即可．【詳解】解：∵，∴，即．故答案為：．【點睛】本題考查了不等式的基本性質，正確掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．8．（2021·浙江溫州·八年級期中）若則2－3x______2－3y（填“>”或“<”或“＝”）．【答案】>【分析】根據不等式的性質，進行計算判斷即可．【詳解】解：∵x<y,∴兩邊同乘以-3得：-3x>-3y,∴兩邊同時加上2得：2-3x>2-3y,故答案為：>．【點睛】本題考查了不等式的性質，掌握①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；②不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變是解題的關鍵．9．（2020·浙江·金華市南苑中學八年級期中）若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，請寫出一個符合題意的a的值___．【答案】2（a＜3即可）【分析】根據不等式的性質3，不等式兩邊同乘或除以一個負數，不等號的方向改變，即可作答．【詳解】∵x＞y，（a﹣3）x＜（a﹣3）y，∴a-3<0，∴a<3，∴a可以取2，故答案為：2（a＜3即可）．【點睛】本題考查不等式的性質，熟練掌握不等式的性質是解題的關鍵．三、解答題10．（2022·浙江杭州·八年級期末）已知．(1)比較與的大小，并說明理由．(2)若，求a的取值范圍．【答案】(1)3?x＜3?y(2)a＞0【分析】（1）根據不等式的基本性質解答即可；（2）根據不等式的基本性質解答即可．(1)解：∵x＞y，∴?x＜?y，∴3?x＜3?y；(2)∵x＞y，3＋ax＞3＋ay，∴a＞0．【點睛】本題考查的是不等式的基本性質．（1）不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，解題關鍵是掌握不等式的基本性質．考點四：一元一次不等式概念一、單選題1．（2020·浙江·寧波咸祥中學八年級開學考試）下列各式中，是一元一次不等式的是(

)A．5＋4＞8 B．2x－1C．2x≤5 D．－3x≥0【答案】C【詳解】A.∵5+4＞8不含未知數,故不是一元一次不等式;

B.∵2x-1不含不等號,故不是一元一次不等式;

C.2x≤5是一元一次不等式;

D.∵-3x≥0的分母中含未知數,,故不是一元一次不等式;

故選C.【點睛】本題考查一元一次不等式的識別,注意理解一元一次不等式的三個特點:①不等式的兩邊都是整式;②只含1個未知數;③未知數的最高次數為1次.2．（2020·浙江寧波·八年級期中）在數學表達式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】一元一次不等式的定義：含有一個未知數，且未知數的次數是1，未知數的系數不為0，左右兩邊為整式的不等式；根據一元一次不等式的定義，對各個表達式逐一分析，即可得出答案．【詳解】-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；4x+3y＞0是二元一次不等式，不是一元一次不等式；x=3是方程，不是一元一次不等式；x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式；x≠5是一元一次不等式；x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；∴是一元一次不等式的有1個故選：A．【點睛】本題考查了一元一次不等式的知識；解題的關鍵是熟練掌握一元一次不等式的定義，從而完成求解．二、填空題3．（2021·浙江·杭州春蕾中學八年級期中）若m與3的和是正數，則可列出不等式：___．【答案】【分析】根據題意列出不等式即可【詳解】若m與3的和是正數，則可列出不等式故答案為：【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用，理解題意是解題的關鍵．考點五：列一元一次不等式一、單選題1．（2020·浙江省義烏市廿三里初級中學八年級階段練習）某商品每件為a元，買50件這樣的商品的總費用不高于342元，則可得關于a的不等式為（

）A．50a≤342 B．50a＜342 C．50a＞342 D．50a≥342【答案】A【分析】設商品的單價為a元，根據買50件這樣的商品的總費用不高于342元，可列出不等式．【詳解】解：設商品的單價為a元，依題意得，50a≤342．故選A．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式，關鍵是根據不等關系列不等式．2．（2022·浙江金華·八年級期末）研究表明，運動時將心率p（次）控制在最佳燃脂心率范圍內，能起到燃燒脂肪并且保護心臟功能的作用．最佳燃脂心率最高值不應該超過（220-年齡）×0.8，最低值不低于（220-年齡）×0.6．以30歲為例計算，，，1，所以30歲的年齡最佳燃脂心率的范圍用不等式可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題干中信息可得“不超過”即“≤”，“不低于”即“≥”，于是30歲的年齡最佳燃脂心率范圍用不等式表示為114≤p≤152．【詳解】最佳燃脂心率最高值不應該超過（220-年齡）×0.8，，p≤152最佳燃脂心率最低值不低于（220-年齡）×0.6，，114≤p在四個選項中只有A選項正確.故選:A．【點睛】本題主要考查不等式的簡單應用，能將體現不等關系的文字語言轉化為數學語言是解決題目的關鍵．體現不等關系的文字語言有“大于”、“小于”、“不高于”、“不低于”等．二、解答題3．（2021·浙江溫州·八年級期中）一座小水電站的水庫水位在12米到20米（包括12米，不包括20米），發電機能正常工作．設水庫水位為x米．(1)用不等式表示發電機正常工作的水位范圍，并把它表示在數軸上；(2)當水位在下列位置時，發電機能正常工作的有______．①x＝10；②x＝12；③x＝15；④x＝20．【答案】(1)，數軸見解析(2)②③【分析】（1）根據水庫水位在12米到20米（包括12米，不包括20米），發電機能正常工作可得，再將它在數軸上表示出來即可；（2）找出滿足的即可．（1）解：由題意得：，把它表示在數軸上如下：（2）解：因為當時，發電機能正常工作，所以發電機能正常工作的有②③，故答案為：②③．【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用，正確列出不等式是解題關鍵．考點六：一元一次不等式的解集一、單選題1．（2020·浙江溫州·八年級階段練習）小馬虎同學做一道“解一元一次不等式”的作業，解答過程如下圖，在①、②、③、④四個步驟中，小馬虎同學一共做錯了（

）步．解：，①②③，④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】解一元一次不等式的一般步驟是：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數化為1；⑥其中當系數是負數時，不等號的方向要改變．具體步驟：（1）去分母：根據不等式的性質2和3，把不等式的兩邊同時乘以各分母的最小公倍數，得到整數系數的不等式．（2）去括號：根據去括號的法則，特別要注意括號外面是負號時，去掉括號和負號，括號里面的各項要改變符號．（3）移項：根據不等式基本性質1，一般把含有未知數的項移到不等式的左邊，常數項移到不等式的右邊；（4）合并同類項；（5）將未知數的系數化為1：根據不等式基本性質2或3，特別要注意系數化為1時，系數是負數，不等號要改變方向．（6）有些時候需要在數軸上表示不等式的解集．【詳解】解：小馬虎的解答錯誤在：第①步去分母時不等式右邊的1沒有乘以分母最小公倍數；第②步去括號時，括號內各項沒有沒有變號；第③步移項時沒有變號；第④步系數化為1時，不等式兩邊同乘以同一個負數，不等號的方向沒有變化．正確過程如下：解：3x+4x>9+2+67x>17x>．故選：D．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式的能力，解題的關鍵是熟悉解不等式的5個步驟和不等式的基本性質．不等式的基本性質1、不等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c；不等式的基本性質2、不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；不等式的基本性質3、不等式兩邊乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．2．（2022·浙江寧波·八年級期末）設a，b是任意兩個實數，用max｛a，b｝表示a，b兩數中的較大者，例如max｛4，3｝=4，則max｛，，｝的最小值等于（

）A．-2 B．1 C．7 D．3【答案】D【分析】可先假定的值分別為、、三種情況，求出這三種情況下的x的最小值，再進行比較即可．【詳解】①設，則需同時滿足，，分別化簡，解得：，則當時，為最小值3．②設，則需同時滿足，，分別化簡，解得：，則當時，為最小值7．③設，則需同時滿足，，分別化簡，解得：，則當時，為最小值3．因為，所以的最小值為3．故選：D．【點睛】本題考查了一元一次不等式，根據題意列出一元一次不等式方程是解題關鍵．二、填空題3．（2022·浙江杭州·八年級期中）已知實數，，滿足，且，則的最大值為______．【答案】【分析】根據已知條件中、、的關系式，用含、的代數式把含的式子表示出來，然后利用含、式子的特點得出關于的不等式，解不等式求出即可．【詳解】解：，，，，，，，，，，，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，不等式求解，解題的關鍵是掌握逆用完全平方公式的能力．三、解答題4．（2020·浙江寧波·八年級期中）解不等式，并把它的解集表示在數軸上：(1)5x＋15<－2x-13(2)【答案】(1)x<-4，數軸見解析(2)x，數軸見解析【分析】（1）按移項，合并同類項，系數化為1和步驟求解，再把解集表示在數軸上即可；（2）按去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1和步驟求解，再把解集表示在數軸上即可．（1）解：移項，得5x+2x<-13-15，合并同類項，得7x<-28，系數化為1，得x<-4；解集表示在數軸上為：（2）解：去分母，得2(2x-1)-3(5x+1)≤6，去括號，得4x-2-15x-3≤6，移項、合并同類項，得-11x≤11，系數化為1，得x≥-1．解集表示在數軸上為：【點睛】本題考查解不等式，用數軸表示不等式解集，熟練掌握解產等式一般步驟是解題的關鍵．5．（2022·浙江金華·八年級期末）以下是小欣同學解不等式的解答過程：解：去分母，得．

…………①去括號，得．

…………②移項，得．

…………③合并同類項，得．

…………④兩邊除以－4，得．

…………⑤小欣同學的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．【答案】小欣同學的解答過程有錯誤，解答見解析【分析】按照去分母，去括號，移項，合并同類項，化系數為1的步驟解一元一次不等式即可求解．【詳解】解：小欣同學的解答過程第①步和第⑤步都出現了錯誤，正確的解答過程如下，解：去分母，得．

去括號，得．

移項，得．

合并同類項，得．

兩邊除以－4，得．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，正確的計算是解題的關鍵．考點七：一元一次不等式的整數解一、單選題1．（2021·浙江溫州·八年級期中）已知x＝2不是關于x的不等式2x﹣m＞4的整數解，x＝3是關于x的不等式2x﹣m＞4的一個整數解，則m的取值范圍為（）A．0＜m＜2 B．0≤m＜2 C．0＜m≤2 D．0≤m≤2【答案】B【分析】由2x-m＞4得x＞，根據x=2不是不等式2x-m＞4的整數解且x=3是關于x的不等式2x-m＞4的一個整數解得出≥2、＜3，解之即可得出答案．【詳解】解：由2x-m＞4得x＞，∵x=2不是不等式2x-m＞4的整數解，∴≥2，解得m≥0；∵x=3是關于x的不等式2x-m＞4的一個整數解，∴＜3，解得m＜2，∴m的取值范圍為0≤m＜2，故選：B．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的整數解，解題的關鍵是根據不等式整數解的情況得出關于m的不等式．二、填空題2．（2022··八年級期末）不等式的非負整數解為______．【答案】0，1【分析】求出一元一次不等式的解集，根據要求寫出符合要求的數即可．【詳解】解：，，故小于等于1.5的非負整數為：1，0，故答案為：1，0．【點睛】本題考查解一元一次不等式組，能夠熟練地求出一元一次不等式組的解集，并根據要求寫出符合要求的解即可．3．（2021·浙江溫州·八年級期中）不等式2x－3≤x的解集是________，最大正整數解是________．【答案】

x≤3

3【分析】根據移項，合并同類項，化系數為1的步驟解一元一次不等式，進而求得最大正整數解．【詳解】解：2x－3≤x，，解得，最大正整數解為3．故答案為：，3．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，求不等式的整數解，正確的計算是解題的關鍵．4．（2022·浙江杭州·八年級期末）不等式的最小負整數解______．【答案】-3【分析】移項，合并同類項，系數化成1，再求出不等式的最小負整數解即可．【詳解】解：，移項，得，合并同類項，得3x＞-11，系數化成1，得x＞，所以不等式的最小負整數解是-3，故答案為：-3．【點睛】本題考查了解一元一次不等式和不等式的整數解，能根據不等式的性質求出不等式的解集是解此題的關鍵．5．（2022·浙江寧波·八年級期末）不等式2x﹣1≤6的非負整數解有_____個．【答案】0，1，2，3．【分析】首先利用不等式的基本性質解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件的非負整數即可．【詳解】解：2x﹣1≤6，2x≤7，x≤3.5所以不等式的非負整數解是0，1，2，3．故答案為：0，1，2，3．【點睛】本題考查一元一次不等式的整數解，正確解出不等式的解集是解題的關鍵．解不等式要用到不等式的性質：（1）不等式的兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．三、解答題6．（2020·浙江·八年級期末）（1）解不等式．并寫出適合不等式的最大整數解；（2）某單位要制作一批宣傳材料，甲公司提出，每份材料收費25元，另收2000元設計費；乙公司提出，每份材料收費35元，不收設計費．請問該單位選擇哪家公司制作這批宣傳材料更合算？【答案】（1）x＜，-2；（2）當0＜x＜200時，選擇乙公司；當x=200時，選擇兩家一樣；當x＜200時，選擇甲公司【分析】（1）先求出不等式的解集，在取值范圍內可以找到最大整數解．（2）根據甲、乙兩個公司的收費方法分別列式；求出兩個公司收費相同時的材料份數，然后分情況討論即可．【詳解】解：（1）x-8＞3x-5，∴x-3x＞-5+8，∴-2x＞3，∴x＜，則不等式的最大整數解是-2；（2）由題意得，甲公司的收費費用：25x+2000，乙公司的收費費用：35x；令25x+2000＞35x，解得x＜200，則①當0＜x＜200時，選擇乙公司；②當x=200時，選擇兩家一樣；③當x＞200時，選擇甲公司．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整數解，一元一次不等式的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，依題意列出不等式進行求解，注意要分類討論．7．（2020·浙江紹興·八年級期中）解不等式，并求出它的非負整數解．【答案】解集為，非負整數解有：0、1、2．【分析】依次去分母、移項、合并同類項、系數化為1即可得出不等式的解集，再根據解集確定非負整數解．【詳解】解：去分母得：，移項得：，合并同類項得：，系數化為1得：．非負整數解有：0、1、2．【點睛】本題考查解一元一次不等式．熟練掌握解一元一次不等式的基本步驟是解題關鍵．8．（2019·浙江杭州·八年級期末）解不等式，將解表示在數軸上，并求出不等式的正整數解．【答案】；數軸見詳解；不等式的正整數解為1．【分析】先去括號，再移項合并同類項，然后系數化為1得到的取值范圍，最后畫出數軸標出解并寫出范圍內的正整數解即可．【詳解】解：∴解集在數軸上表示如下：∴的正整數解為：1．【點睛】本題考查解不等式、數軸表示解集和求不等式整數解，正確求解不等式是解題關鍵．9．（2020·浙江杭州·八年級期末）若不等式的最小整數解為方程的解，求a的值．【答案】3.5【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后確定解集中的最小整數值，代入方程求得a的值即可．【詳解】解不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）+6，去括號，得：3x﹣6+5＜4x﹣4+6，移項，得3x﹣4x＜﹣4+6+6﹣5，合并同類項，得﹣x＜3，系數化成1得：x＞﹣3．則最小的整數解是﹣2．把x=﹣2代入2x﹣ax=3得：﹣4+2a=3，解得：a=3.5．【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法以及方程的解的定義，正確解不等式求得x的值是關鍵．10．（2019·浙江·八年級期中）已知關于x、y的二元一次方程組的解滿足.（1）求a的取值范圍；（2）在（1）的條件下，若不等式的解為.則整數a的值是多少？【答案】（1）a>-；（2）-1【分析】（1）先把①和②相加，整理后根據列出關于a的不等式求解即可；（2）先用含a的代數式表示出不等式的解集，根據列出關于a的不等式求解，結合（1）中求出的取值范圍求解即可.【詳解】解：（1），①+②得3x+3y=3a+1，∴x+y=a+,∵,∴a+>-1,∴a>-；（2）∵，∴，∵,∴2a+1<0，∴a<-,∵a>-,∴-<a<-,∴整數a的值是-1.【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，一元一次不等式的解法，熟練掌握二元一次不等式組的解法是解（1）的關鍵，熟練掌握一元一次不等式的解法是解（2）的關鍵.鞏固鞏固提升一．選擇題（共8小題）1．（2021秋?鹿城區校級期中）不等式x≤1的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】將已知解集表示在數軸上即可．【解答】解：不等式x≤1的解集在數軸上表示正確的是：故選：B．【點評】此題考查了在數軸上表示不等式的解集．解題的關鍵是明確在數軸上表示不等式的解集的方法，把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．2．（2021春?東城區校級期末）下面給出了6個式子：①3＞0；②4+3y＞0；③x＝3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】依據不等式的定義來判斷即可，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號表示不相等關系的式子是不等式．【解答】解：由題可得：①3＞0；②4+3y＞0；⑤x+2≤3；⑥2x≠0是不等式，故不等式有4個．故選：C．【點評】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式．解答此類題關鍵是會識別常見的不等號：“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”．3．（2009秋?西湖區校級期中）不等式2﹣m＜（x﹣m）的解集為x＞2，則m的值為（）A．4 B．2 C． D．【分析】先根據不等式的基本性質把不等式去分母、去括號、再移項、合并同類項求出x的取值范圍，再與已知解集相比較即可求出x的取值范圍．【解答】解：去分母得，3（2﹣m）＜x﹣m，去括號得，6﹣3m＜x﹣m，移項，合并同類項得，x＞6﹣2m，∵此不等式的解集為x＞2，∴6﹣2m＝2，解得，m＝2．故選：B．【點評】本題較簡單，解答此題的關鍵是掌握不等式的性質，（1）不等式兩邊同加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊同乘（或同除以）同一個正數，不等號的方向不變；（2）不等式兩邊同乘（或同除以）同一個負數，不等號的方向改變．4．（2021秋?湖州期末）已知﹣2x＞4，則下列不等式一定成立的是（）A．x＜﹣2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＞2【分析】利用“在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，一定要改變不等號的方向”判斷即可．【解答】解：﹣2x＞4，x＜﹣2，故選：A．【點評】此題考查了不等式的性質，熟練掌握不等式的基本性質是解本題的關鍵．5．（2017秋?秀洲區期中）已知a、b為常數，若ax+b＞0的解集是，則bx﹣a＜0的解集是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜3【分析】根據ax+b＞0的解集是，可以解得ab的值，再代入bx﹣a＜0中求其解集即可．【解答】解：∵ax+b＞0的解集是，由于不等號的方向發生了變化，∴a＜0，又﹣＝，即a＝﹣3b，∴b＞0，不等式bx﹣a＜0即bx+3b＜0，解得x＜﹣3．故選：B．【點評】本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學生在解題時要注意移項要改變符號這一點．此題解不等式主要依據不等式的基本性質：不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數不等號的方向改變．正確判斷出ab的取值范圍及關系是解答此題的關鍵．6．（2021秋?義烏市期末）x＝1是不等式x﹣b＜0的一個解，則b的值不可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】解不等式x﹣b＜0可得x＜b，再根據x＝1是不等式x﹣b＜0的一個解即可．【解答】解：解不等式x﹣b＜0，得x＜b，因為x＝1是不等式x﹣b＜0的一個解，所以b的值不可能是1．故選：A．【點評】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關鍵是根據不等式的解的概念得出關于m的不等式并熟練掌握解一元一次不等式的能力．7．（2021秋?溫州期中）已知x＝2不是關于x的不等式2x﹣m＞4的整數解，x＝3是關于x的不等式2x﹣m＞4的一個整數解，則m的取值范圍為（）A．0＜m＜2 B．0≤m＜2 C．0＜m≤2 D．0≤m≤2【分析】由2x﹣m＞4得x＞，根據x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整數解且x＝3是關于x的不等式2x﹣m＞4的一個整數解得出≥2、＜3，解之即可得出答案．【解答】解：由2x﹣m＞4得x＞，∵x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整數解，∴≥2，解得m≥0；∵x＝3是關于x的不等式2x﹣m＞4的一個整數解，∴＜3，解得m＜2，∴m的取值范圍為0≤m＜2，故選：B．【點評】本題主要考查一元一次不等式的整數解，解題的關鍵是根據不等式整數解的情況得出關于m的不等式．8．（2020秋?西湖區校級期中）小麗和小華先后進入電梯，當小華進入電梯時，電梯因超重而警示音響起，且這個過程中沒有其他人進出，已知當電梯乘載的重量超過300公斤時警示音響起，且小麗、小華的體重分別為40公斤，50公斤，若小麗進入電梯前，電梯內已乘載的重量為x公斤，則所有滿足題意的x可用下列不等式表示的是（）A．210＜x≤260 B．210＜x≤300 C．210＜x≤250 D．250＜x≤260【分析】由題意可得，小麗的重量為40公斤，且進入電梯后，警示音沒有響起，小華的重量為50公斤．且進入電梯后，警示音響起，分別列出不等式即可求解．【解答】解：由題意可知：當電梯乘載的重量超過300公斤時警示音響起，小麗進入電梯前，電梯內已乘載的重量為x公斤，由圖可知：小麗的重量為40公斤，且進入電梯后，警示音沒有響起，所以此時電梯乘載的重量x+40≤300，解得x≤260，因為小華的重量為50公斤．且進入電梯后，警示音響起，所以此時電梯乘載的重量x+40+50＞300，解得x＞210，因此210＜x≤260．故選：A．【點評】本題考查了一元一次不等式組的應用，解決本題的關鍵是根據題意找到不等關系．二．填空題（共9小題）9．（2020秋?衢州期中）“x與y的2倍的和是正數”用不等式可表示為x+2y＞0．【分析】根據“x與y的2倍的和是正數”，即可得出關于x，y的不等式，此題得解．【解答】解：依題意得：x+2y＞0．故答案為：x+2y＞0．【點評】本題考查了不等式的定義，根據各數量之間的關系，正確列出不等式是解題的關鍵．10．（2021秋?江干區校級期中）用不等式表示“5a與6b的差是非正數”5a﹣6b≤0．【分析】由5a與6b的差是非正數，可得出關于a，b的一元一次不等式，此題得解．【解答】解：依題意，得：5a﹣6b≤0．故答案為：5a﹣6b≤0．【點評】本題考查了不等式的定義，根據各數量之間的關系，正確列出二元一次不等式是解題的關鍵．11．（2021秋?衢江區期末）寫出一個不等式，使它的解為x＞﹣1，則這個不等式可以是3x+3＞0．【分析】根據要求構造不等式即可．【解答】解：∵3x+3＞0的解集為：x＞﹣1，∴符合條件的一個不等式為：3x+3＞0．故答案為：3x+3＞0．（答案不唯一）．【點評】本題考查不等式的解集，理解不等式解集的含義是求解本題的關鍵．12．（2020秋?婺城區校級期末）某種藥品的說明書上貼有如圖所示的標簽，一次服用藥品的劑量設為x，則x的取值范圍是7.5≤x≤40．【分析】若每天服用3次，則所需劑量為10﹣40mg之間，若每天服用4次，則所需劑量為7.5﹣30mg之間，所以，一次服用這種藥的劑量為7.5﹣40mg之間．【解答】解：若每天服用3次，則所需劑量為10﹣40mg之間，若每天服用4次，則所需劑量為7.5﹣30mg之間，所以，一次服用這種藥的劑量為7.5﹣40mg之間，所以7.5≤x≤40．故答案為：7.5≤x≤40．【點評】本題考查了不等式的意義、有理數的除法運算．解題的關鍵是理解題意的能力，首先明白每天要服用的藥量，然后根據分幾次服用，可求出最小藥量和最大藥量．13．（2021秋?樂清市校級月考）若不等式（m﹣3）x＞m﹣3，兩邊同除以（m﹣3），得x＞1，則m的取值范圍為m＞3．【分析】根據已知得出m﹣3＞0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵（m﹣3）x＞m﹣3的解集為x＞1，∴m﹣3＞0，解得：m＞3，故答案為：m＞3．【點評】本題考查了解一元一次不等式，能根據已知得出關于m的不等式是解此題的關鍵．14．（2021秋?青田縣期末）已知關于x的不等式2x+a≤1只有3個正整數解，則a的取值范圍為﹣7＜a≤﹣5．【分析】解不等式得出x≤，根據不等式只有3個正整數解得出3≤＜4，解之即可．【解答】解：由2x+a≤1，得：x≤，因為不等式只有3個正整數解，所以不等式的正整數解為1、2、3，∴3≤＜4，解得﹣7＜a≤﹣5，故答案為：﹣7＜a≤﹣5．【點評】本題主要考查一元一次不等式的整數解，解題的關鍵是根據不等式正整數解的情況得出關于a的不等式組．15．（2020秋?東陽市期末）有一種感冒止咳藥品的說明書上寫著：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用這種藥品的劑量為amg，則a的取值的范圍為30≤a≤60．【分析】一次服用劑量a＝，故可求出服用劑量的最大值和最小值，而一次服用的劑量應介于兩者之間，依題意列出不等式即可．【解答】解：由題意，當每日用量90mg，分3次服用時，一次服用的劑量最小為＝30mg；當每日用量120mg，分2次服用時，一次服用的劑量最大為＝60mg；故一次服用這種藥品的劑量范圍是30mg～60mg．故答案為：30≤a≤60．【點評】本題考查了有理數的除法．由實際問題中的不等關系列出不等式，通過解不等式可以得到實際問題的答案．16．（2021春?冠縣期末）若（m+1）x|m|+2＞0是關于x的一元一次不等式，則m＝1．【分析】根據一元一次不等式的定義可知m+1≠0，|m|＝1，從而可求得m的值．【解答】解：∵（m+1）x|m|+2＞0是關于x的一元一次不等式，∴m+1≠0，|m|＝1．解得：m＝1．故答案為：1．【點評】本題主要考查的是一元一次不等式的定義，掌握一元一次不等式的特點是解題的關鍵．17．（2021秋?杭州期末）不等式x﹣3＞﹣14﹣x的最小負整數解﹣3．【分析】移項，合并同類項，系數化成1，再求出不等式的最小負整數解即可．【解答】解：x﹣3＞﹣14﹣x，移項，得x+x＞﹣14+3，合并同類項，得3x＞﹣11，系數化成1，得x＞﹣，所以不等式的最小負整數解是﹣3，故答案為：﹣3．【點評】本題考查了解一元一次不等式和不等式的整數解，能根據不等式的性質求出不等式的解集是解此題的關鍵．三．解答題（共9小題）18．（2016秋?蕭山區期中）解不等式，并把它的解集在數軸上表示出來．【分析】根據一元一次不等式的解法，去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1即可得解．【解答】解：去分母得，8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），去括號得，8﹣7x+1＞6x﹣4，移項得，﹣7x﹣6x＞﹣4﹣8﹣1，合并同類項得，﹣13x＞﹣13，系數化為1得，x＜1．在數軸上表示如下：【點評】本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學生往往在解題時不注意移項要改變符號這一點而出錯，去分母時沒有分母的項也要乘以分母的最小公倍數．19．（2021秋?濱江區校級期中）已知：x，y滿足3x﹣4y＝5．（1）用含x的代數式表示y，結果為y＝；（2）若y滿足y≤x，求x的取值范圍；（3）若x，y滿足x+2y＝a，且x＞2y，求a的取值范圍．【分析】（1）由已知可得y＝；（2）由已知可得≤x，即可求x的取值范圍；（3）由已知可得x﹣＝a，再由x＞，可求x＜5，即可求a的取值范圍．【解答】解：（1）3x﹣4y＝5，∴﹣4y＝5﹣3x，∴y＝，故答案為：；（2）∵y＝，y≤x，∴≤x，∴3x﹣5≤4x，∴3x﹣4x≤5，∴﹣x≤5，∴x≥﹣5，即x的取值范圍是x≥﹣5；（3）∵3x﹣4y＝5，∴y＝，∵x+2y＝a，∴x+＝a，解得x﹣＝a①，∵x＞2y，∴x＞，解得x＜5②，由①和②可得x﹣＜10，∴a＜10．【點評】本題考查二元一次方程和不等式的性質，熟練掌握二元一次方程的解法和不等式的基本性質是解題的關鍵．20．（2019秋?黃巖區期末）在一個含有兩個字母的代數式中，如果任意交換這兩個字母的位置，代數式的值不變，則稱這個代數式為二元對稱式，例如：x+y，xy，，都是二元對稱式，其中x+y，xy叫做二元基本對稱式．請根據以上材料解決下列問題：（1）下列各代數式中，屬于二元對稱式的是②④（填序號）；①；②（a﹣b）2；③；④．（2）若x+y＝m，xy＝n2，將用含m，n的代數式表示，并判斷所得的代數式是否為二元對稱式；（3）先閱讀下面問題1的解決方法，再自行解決問題2：問題1：已知x+y﹣4＝0，求x2+y2的最小值．分析：因為條件中左邊的式子x+y﹣4和求解中的式子x2+y2都可以看成以x，y為元的對稱式，即交換這兩個元的位置，兩個式子的值不變，也即這兩個元在這兩個式子中具有等價地位，所以當這兩個元相等時，x2+y2可取得最小值．問題2，①已知x2+y2＝4，則x+y的最大值是2；②已知x+2y﹣2＝0，則2x+4y的最小值是4．【分析】（1）由定義進行判斷即可；（2）化簡為，再將已知代入即可求解；（3）①x＝y＝時，x+y最大值為2；②x＝2y＝1時，2x+22y的最小值4．【解答】解：（1）①≠，故不是二元對稱式；②（a﹣b）2＝（b﹣a）2，故是二元對稱式；③+≠+，故不是二元對稱式；④＝，故是二元對稱式；故答案為：②④；（2）＝+2＝+2＝，∵x+y＝m，xy＝n2，∴＝，∵≠，∴不是二元對稱式；（3）①x2+y2可以看成以x，y為元的對稱式，x+y可以看成以x，y為元的對稱式，∴當這兩個元相等時，x+y可取得最大值，∵x2+y2＝4，∴x＝y＝，∴x+y最大值為2，故答案為：2；②x+2y可以看成以x，2y為元的對稱式，∵2x+4y＝2x+22y可以看成以x，2y為元的對稱式，∴當這兩個元相等時，2x+22y可取得最小值，∵x+2y﹣2＝0，∴x＝2y＝1，∴2x+22y的最小值4，故答案為：4．【點評】本題考查新定義，理解定義，根據題意會用二元對稱式求代數式的最值是解題的關鍵．21．（2020秋?拱墅區期中）設a和b是兩個非負實數，已知a+2b＝3．（1）求a的取值范圍；（2）設c＝3a+2b，請用含a的代數式表示c，并求出c的取值范圍．【分析】（1）根據a+2b＝3，可得2b＝3﹣a，再根據2b≥0，求出a的取值范圍即可．（2）根據a+2b＝3，c＝3a+2b，用含a的代數式表示c