費(fèi)米分布函數(shù)

費(fèi)米分布函數(shù)一、導(dǎo)出費(fèi)米分布函數(shù)的條件（適用性）⑴把半導(dǎo)體中的電子看作是近獨(dú)立體系,即認(rèn)為電子之間的相互作用很微弱.⑵電子的運(yùn)動是服從量子力學(xué)規(guī)律的,用量子態(tài)描述它們的運(yùn)動狀態(tài).電子的能量是量子化的,即其中一個量子態(tài)被電子占據(jù),不影響其他的量子態(tài)被電子占據(jù).并且每一能級可以認(rèn)為是雙重簡并的,這對應(yīng)于自旋的兩個容許值.⑶在量子力學(xué)中,認(rèn)為同一體系中的電子是全同的,不可分辨的。任意兩個電子的交換，不引起新的微觀狀態(tài)。⑷電子在狀態(tài)中的分布,要受到泡利不相容原理的限制.

適合上述條件的量子統(tǒng)計,稱為費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計.

能帶中的電子在能級上的分布，服從費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計規(guī)律。二、費(fèi)米分布函數(shù)和費(fèi)米能級⒈費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計分布：熱平衡時,能量為E的單電子態(tài)被電子占據(jù)的幾率為其中,F(E)被稱為費(fèi)米分布函數(shù),它描述每個量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率隨E的變化.K是波爾茲曼常數(shù),T是絕對溫度,EF是一個待定參數(shù),具有能量的量綱,稱為費(fèi)米能級.(4.10)⒉EF的確定⑴.在整個能量范圍內(nèi)狀態(tài)被占據(jù)的數(shù)目等于實(shí)際存在的電子總數(shù)N。設(shè)能級能量為E的量子態(tài)有G(E)個,則有或EF是反映電子在各個能級中分布情況的參數(shù).與EF相關(guān)的因素:

①與表示量子態(tài)分布的函數(shù)G(E)有關(guān); (內(nèi)因)②與電子總數(shù)N有關(guān)，（如摻雜）③與溫度T有關(guān);(外因)對于具體的電子體系,在一定溫度下,只要EF確定了,電子在能級中的分布情況就完全確定了.(2)由熱力學(xué)統(tǒng)計理論費(fèi)米能級EF是半導(dǎo)體中大量電子構(gòu)成的熱力學(xué)系統(tǒng)的化學(xué)勢.代表系統(tǒng)的化學(xué)勢,F是系統(tǒng)的自由能.意義:熱平衡時,系統(tǒng)每增加一個電子,引起的系統(tǒng)自由能的變化,等于系統(tǒng)的化學(xué)勢,即系統(tǒng)的費(fèi)米能級.

處于熱平衡狀態(tài)的系統(tǒng)有統(tǒng)一的化學(xué)勢，所以處于熱平衡狀態(tài)的電子系統(tǒng),有統(tǒng)一的費(fèi)米能級.注:化學(xué)勢當(dāng)溫度T，壓力p和所有其他組分ni

都保持不變的情況下，增加1摩爾i物質(zhì)時體系Gibbs自由能的增加量，就稱為i物質(zhì)的化學(xué)勢。三、費(fèi)米分布函數(shù)性質(zhì)⒈量子態(tài)：空著的，或被電子占據(jù)的。

能量為E的量子態(tài)未被電子占據(jù)(空著)的幾率是：費(fèi)米分布函數(shù)的性質(zhì):⑴隨著能量E的增加,每個量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率逐漸減小,而空著的幾率則逐漸增大.即電子優(yōu)當(dāng)E等于EF時,有先占據(jù)能量較低的能級.被電子占據(jù)的幾率與空著的幾率相等.

EF實(shí)際上是一個參考能級,低于EF的能級被電子占據(jù)的幾率大于空著的幾率;能量高于EF的量子態(tài),被電子占據(jù)的幾率則小于空著的幾率.1.0()Ef-10.50圖4.2分布函數(shù)隨的變化從圖4.2可以看出,函數(shù)和相對于費(fèi)米能級EF是對稱的.⑵.E-EF>>kT時,

此時分布函數(shù)的形式同經(jīng)典的波爾茲曼分布是一致的.對于能級比EF高很多的量子態(tài),被電子占據(jù)的幾率非常小,因此泡利不相容原理的限制顯得就不重要了.⑶.EF-E>>kT時,

上式給出的是能級比EF低很多的量子態(tài),被空穴占據(jù)的幾率.因子

中無負(fù)號是因為上式中的E表示電子的能級.

在電子能級圖中,電子從低能級跳到高能級,相當(dāng)于空穴從高能級跳到低能級,所以在越高的電子能級上空穴的能量越低.

空穴占據(jù)能量高的電子能級（也就是空穴能量低的能級）的幾率大，因而，和Boltzman分布完全一致。⑷當(dāng)T=0K時,

當(dāng)T>0K時,例:EF標(biāo)志電子填充能級的水平擴(kuò)充：引入無量綱的變數(shù)和簡約費(fèi)米