重慶江津幾江中學2021年高一數學理月考試題含解析

一、選擇題：本大題共1（）小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.已知角。的終邊上有一點P（-4,3）,則cos。的值是（）

4_43_3

A.5B.5C.5D.§

參考答案：

C

略

2.（5分）若向半徑為1的圓內隨機撒一粒米，則它落到此圓的內接正方形的概率是（.）

12V21

A.兀B.兀C.而D.2冗

參考答案：

考點：幾何概型.

專題：計算題；概率與統計.

分析：首先確定正方形的面積在整個圓中占的比例，根據這個比例即可求出豆子落到圓內

接正方形（陰影部分）區域的概率.

解答：由題意，圓的面積為口，由勾股定理得圓內接正方形的邊長血，其面積為2,故

2

豆子落到圓內接正方形（陰影部分）區域的概率是五.

故選:B.

點評：此題主要考查了幾何概率、圓的面積求法以及正方形的特殊性質，求出兩圖形的面

積是解決問題的關鍵.

371

3.過點A（2,b）和點8（3,-2）的直線的傾斜角為4,則6的值是（）

A.-lB.lC.-5D.5

參考答案：

A

略

石A一3所

qsina——,CS

4.已知銳角戊、戶滿足5°10,則尸等于（，）

--2k7r+-,keZ

A.4B.4C.4或4D.4

參考答案：

A

5.設。＞1＞》＞一1,則下列不等式中恒成立的是（）

一1<—11—>1一

A.abB.a3C.a>

6D.a>2b

參考答案：

C

6.已知等差數列｛斯｝的公差d＞0,則下列四個命題:

①數列｛的｝是遞增數列；

②數列是遞增數列；

③數列｛2是遞增數歹U；

④數列｛,+3聞是遞增數列;

其中正確命題的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

參考答案:

B

【分析】

對于各個選項中的數列，計算第”+1項與第〃項的差，看此差的符號，再根據遞增數列的

定義得出結論.

【詳解】設等差數列,二4+^-1）”,d>0

?.?對于①，4+1-"n=d>0,二數列｛4｝是遞增數列成立，是真命題.

對于②，數列｛叫3,得

所以4不一定是正實數，即數列｛叫）不一定是遞增數列，是假命題.

~%yitd壯一、

對于③，數列得”+1??+1?域"D,

d—a^

域“+D不一定是正實數，故是假命題.

對于④，數列?+35+1）4-（/+3回=~-/+冥=蟲>0故數列｛%+3回是

遞增數列成立，是真命題.

故選：B.

7.若不等式3x-log,xVO對任意京）恒成立，則實數a的取值范圍為（）

A號，1）B（表’1）C（°，*）D⑹專］

參考答案:

A

【考點】函數恒成立問題.

1

【分析】構造函數f(x)=3xz,g(x)=-log?x.h(x)=f(x)+g(x)(0<x<3),

Yf(Q—工—

根據不等式3x2-log?x<0對任意'3'恒成立，可得f(3)Wg(3),從而可得

1

0<a<l且a2藥，即可求出實數a的取值范圍.

1

2

【解答】解：構造函數f(x)=3x,g(x)=-logaxf(0<x<3)

?.?不等式3(-logax<0對任意KE石)恒成立，

：.f(3)Wg(后)

二3?6-log,5W0.

1

，0<2<1且心27,

1

???實數a的取值范圍為［藥，1).

故選:A.

l+2cos2a_

8.已知則sin2a()

A.2B.-2C.3D.-3

參考答案：

A

【分析】

根據同角三角函數的關系，先化為正弦余弦，再轉化為正切，代入求值即可.

1+2COS3<Z_3cos3a4-an2a_3+tan3a_4_

［詳解】因為an2a2smacosa2tana2,

故選A.

【點睛】本題主要考查了同角三角函數之間的關系，屬于中檔題.

9.點(2。，0一1)在圓x，/一2y—4=0的內部，則a的取值范圍是()

A.B..0<?<lC.-

J1

1<?<5D.-5<a<1

參考答案：

D

10.在△4SC中，若sin4sinB:sinC=3:2:4,則cosC的值為()

2_21_

A.4B.3c.W

2

D.3

參考答案：

A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.(4分)若f(x)=2sin3x(0<?<1)在區間互1上的最大值是血,貝U

參考答案：

3

4

考點：三角函數的最值.

專題：計算題；轉化思想.

分析：根據已知區間，確定3X的范圍，求出它的最大值，結合0<3<1,求出3的

值.

解答：xso,爭，y,o<3x4等<5,

fGH爸*si號當等與嗚

3

故答案為：4

點評：本題是基礎題，考查三角函數的最值的應用，考查計算能力，轉化思想的應用.

12.下列函數：y=lg"；丁=2；y=x2;y=|x|-1；其中有2個零點的函數的序號是

參考答案：

略

13.cos(27°+x)cos(x-18°)+sin(27°+x)sin(x-18°)=.

參考答案：

在

2

cos(x+27°)cos(x-18°)+sin(x+27°)sin(x-18°)

=cos(x+27°-x+18°)

=cos45°

故答案為2.

x+l,x>0

<2,x=0

14.已知f(x)=1°?x<°,則f{f[f(-1)]}=

參考答案:

3

【考點】函數的值.

【專題】計算題；函數思想：函數的性質及應用.

【分析】直接利用分段函數由里及外逐步求解即可.

'x+1,x>0

<2,x=0

【解答】解：f(x)=[0>x<0,貝I]f{f[f(-1)]}=f{f[o]}=f{2}=2+l=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查分段函數的應用，函數值的求法，是基礎題.

15.設/")是定義在R上的奇函數，且當工之0時，/(x)=〃.若對任意的

xe[以,4+2],不等式/@+a)之2/(x)恒成立，則實數a的取值范圍是_.

參考答案：

【點,例)

略

16.已知數列{斯}的前〃項和為Sn，對任意〃WN*都有Sn="n3,

若1<S&<9(AGN"),則％的值為.

參考答案：

4

略

17.已知函數f(x)=x2+ax,若f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等，則a的取

值范圍是—.

參考答案：

{a!a22或aWO}

【考點】函數的最值及其幾何意義；函數解析式的求解及常用方法；二次函數的性質.

【分析】首先這個函數f(x)的圖象是一個開口向上的拋物線，也就是說它的值域就是大

于等于它的最小值.y=f(f(x))它的圖象只能是函數f(x)上的一段，而要這兩個函

數的值域相同，則函數y必須要能夠取到最小值，這樣問題就簡單了，就只需要f

a

(x)的最小值小于-2.

2

aa

2

【解答】解：由于f(x)=x+ax,xGR.則當x=-2時，f(x).in=-4,

又函數y=f(f(x))的最小值與函數y=f(x)的最小值相等，

2

aa

則函數y必須要能夠取到最小值，即-丁W-2,

得到aWO或a?2,

故答案為：{a|a22或aWO}.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

府=但)怎力=鵬1"

18.已知函數12J,函數2

(1)若g(mx2+2x+m)的定義域為R,求實數m的取值范圍；

(2)當1］時，求函數y=［f(x)Y-2af(x)+3的最小值h(a)；

J=k?giAx)

(3)是否存在非負實數m、n,使得函數2的定義域為［m,n］,值域為［2m,

2nL若存在，求出m、n的值；若不存在，則說明理由.

參考答案：

g(x)=logjX

解：⑴???2,

產gx2+2x+in)=log?(mx^+2x+m)

y=logp

令u=mx2+2x+m,則2,

y=lo2x

當m=0時，u=2x,2的定義域為(0,+8),不滿足題意；

y=log]U

當m￥0時，若2的定義域為R,

'm>0

則[△=4-4in2<0,

解得m>l,

綜上所述，m>1

(2)

2X

y=[f(x)]-2af(x)+3=*)2x-2a(|)+3J.產2a(1)^+3

4乙一乙Z

xG[-1,1],

令,砂x,則轉序2]-at+3,任助力

?.?函數y=--2at+3的圖象是開口朝上，且以t=a為對稱軸的拋物線,

故當&<如，嗔時，hJXyms，/

2

當齊&42時，t=a時,h(a)=ymin=3-a.

當a>2時,t=2時，h(a)=yrnin=7-4a.

f13/1

T-a-a<2

h(a)=3T，卜<2

綜上所述，[7-4a,a>2...

y=log[f(x2)=log[x2=x2

(3)22,

fo

m-2m

假設存在，由題意，知[n2=2n

[in=O

解得in=2,

y=log[f(x2)

???存在m=0,n=2,使得函數2的定義域為[0,2],值域為[0,4]...

考點：對數函數的圖像與性質.

專題：分類討論；轉化思想；分類法；函數的性質及應用.

尸g(mx2+Zx+m)=logj(inx^+2x+m)

分析：(1)若2的定義域為R,則真數大于0恒

成立，結合二次函數的圖象和性質，分類討論滿足條件的實數m的取值范圍，綜合討論結

果，可得答案；

t=(―)x

(2)令2，則函數y=[f(x)]J2af(x)+3可化為：y=t-2at+3,

[2121,結合二次函數的圖象和性質，分類討論各種情況下h(a)的表達式，綜合

討論結果，可得答案；

(0

m=2m

(3)假設存在，由題意，知ln"=2n解得答案.

g(x)=log]X

解答：解：(1)2,

產gx2+2x+m)=logj(mx^+2x+m)

/.2,

y=logju

令u=mx2+2x+m,則2,

y=log]2x

當m=0時，u=2x,2的定義域為(0,+8),不滿足題意；

y=logp

當mWO時，若2的定義域為R,

'm>0

則[△=4-4m2<0,

解得m>l,

綜上所述，m>l…

(2)

y=[f(x)]2-2af(x)+3=(-^)2x-2a(幻、+3[3)學一左(￡)*+3

ZZ二NZ,

XG[-1,1],

x

t=(-^)t€[4>2]2t€[4>2]

令幺，貝U,y=t-2at+3,，

?.?函數y=t2-2at+3的圖象是開口朝上，且以t=a為對稱軸的拋物線,

&<工h(a)=y.-a

故當2時，i2時，—in4.

2

當齊a<2時,t=a時，h⑺=y>in=3-a.

當a>2時，t=2時，h(a)=yrain=7-4a.

綜上所述，[7-4a,a>2...

2xZ2

y=log1f(x)=logt(-1)=x

(3)22,

’0

m=2m

9

假設存在，由題意，知ln"=2n

(itFO

解得in=2,

y=logjf(x2)

，存在m=0,n=2,使得函數2的定義域為[0,2],值域為[0,4]…

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，熟練掌握對數函數的圖象和性質，是

解答的關鍵

19.(本小題12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，CD〃AB,AD±AB,BC±PC,

AD=DC=-AB

2

(1)求證：PA±BC

(2)試在線段PB上找一點M,使CM〃平面PAD,并說明理由.

]

參考答案：

1.連接AC,過C作CELAB,垂足為E,

AD=DC,所以四邊形ADCE是正方形。

所以NACD=NACE=45°因為AE=CD=2AB,所以BE=AE=CE

所以ZBCE==45°所以ZACB=ZACE+ZBCE=90°

所以ACLBC,................................................3分

UU又因為BC_LPC,ACDPC=C,AC平面PAC,PC平面PAC

所以BC_L平面PAC,而R4U平面PAC,所以PA_LBC...............6分

2.當M為PB中點時,CM〃平面PAD,...........................8分

證明：取AP中點為F,連接CM,FM,DF.

JJ

則FM//AB,FM=2AB,因為CD〃AB,CD=2AB,所以FM//CD,FM=CD.......9分

所以四邊形CDFM為平行四邊形,所以CM〃DF,..................10分

因為DFU平面PAD,CM@平面PAD,所以,CM〃平面PAD.............12分

20已知全集口=3三4，集合4=口|-2<工<等5={x|-3<x<3}求：

Ar\B；G(dcB)；(qd)cA.

參考答案：

C^={x|3<x<45gX<-2}.^n5={x|-2<x<3}_q(dcA)={x|3WxV4成

五4一21；(qd)cA=3一3<工4一2或”=3}

【分析】

根據全集"與集合z和3,先求出“1、dDB.再結合集合的交集與補集的定義即可求

解.

【詳解】(1)；全集"=任1*<4上集合4=任|一2〈工〈等

-3=任|34工44或工？2)；

(2)；集合4={工|-2。<等3=任|-3<—3}

:.Ar\B={x|-2<x<3}.

(3)?:全集。=3Ar,S={x|-2<JC<3)

一G(dcB)={R3M無W4或工？騫

(4);%=任|3《工44或工？215={x|-3<x<3}

={x|-3<x<-2^x=3}

【點睛】本題考查交并補集的混合運算，通過已知的集合的全集，按照補集的運算法則分別

求解,屬于基礎題.

21已知方=(-L3)松=風電,歷=。磯萬〃記

(1)求實數〃的值；

(2)若公_1■而，求實數機的值.

參考答案：

(1)"=一3；(2)m=+l.

試題分析：(1)利用向量7萬〃記，建立關于”的方程，即可求解”的值；(2)寫出

向量幺C,皿的坐標，利用/訪得出關于e的方程，即可求解實數府的值.

試題解析：⑴-"=(-mC=(Xw?),CD=Qii),

j.AD+BC+CD

"ADUBC

.■,30+m+ji)-3m=O

/_JI=-3

(2)由(1)得

CD=a-3),AC=JB+BC=(2,3+m)jBD=RC^CD=(4,E-3)

AC±BD所以8+。+??X3f)=0...m=±l

考點：向量的坐標運算.

22.有n個首項都是1的等差數列，設第m個數列的第k項為amk(m,k=l,2,3,…，

n,n>3)，公差為dm,并且ain,a2n,a3n，…，ann成等差數列.

(I)證明dm=pidi+p2d2(3<m<n,pi,p2是m的多項式)，并求pi+p2的值;

(II)當di=l,d2=3時,將數列dm分組如下：(di),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,

d8,d9),…(每組數的個數構成等差數列).設前m組中所有數之和為(Cm)4(Cm>

0),求數列12"dm)的前n項和Sn.

(Ill)設N是不超過20的正整數，當n>N時，對于(II)中的Sn,求使得不等式

1(q_6)〉d

50?nn成立的所有N的值.

參考答案:

考等差數列的性質；數列與不等式的綜合.

點:

專綜合題；壓軸題.

題：

分(I)先根據首項和公差寫出數列的通項公式，利用通項公式表示出數列a“

析：a2n,a3n,...?ann中的第項減第2項，第3項減第4項，…，第n項減第n-1項，

山此數列也為等差數列，得到表示出的差都相等，進而得到dn是首項dl,公差為d2

-di的等差數列，根據等差數列的通項公式表示出dm的通項，令pi=2-m,P2=m

-1,得證，求出PI+P2即可；

(II)由5=1,d2=3,代入dm中，確定出dm的通項，根據題意的分組規律，得到

第m組中有2m-1個奇數，所以得到第1組到第m組共有從1加到2m-1個奇

數，利用等差數列的前n項和公式表示出之和，從而表示出前n?個奇數的和，又前

C

m組中所有數之和為(Cm)4(Cm>0),即可得至ljcm=m,代入？"4中確定出數列

12"dJ的通項公式，根據通項公式列舉出數列12"{J的前門項和Sn,記作

①，兩邊乘以2得到另一個關系式，記作②，②-①即可得到前n項和Sn的通項公

式；

(III)由(1【)得到dn和Sn的通項公式代入已知的不等式中，右邊的式子移項到

左邊，合并化簡后左邊設成一個函數f(n),然后分別把n=l,2,3,4,5代入發

現其值小于0,當n次時，其值大于0即原不等式成立，又N不超過20,所以得到

滿足題意的所有正整數N從5開始到20的連續的正整數.

解解：(I)由題意知amn=l+(n-1)dm.

答：則a2n-ain=[l+(n-1)d2]-[1+(n-1)di]=(n-1)(d2-di),

同理，H3n-a2n=(n-1)(ds-d2)，a4n-a3n=(n-1)(d4-d3),ann-a(n-

1)n=(n-1)(dll-dn-l).

又因為ain,a2n,a3n,ann成等差數列,所以a2n-ain=a3n-a2n-..=ann-a(n-1)n.

故d2-dl=d3-d2=...=dn-dn-1,即dn是公差為d2-di的等差數列.

所以，dm=di+(m-1)(d2-di)=(2-m)di+(m-1)d2.

令pi=2-m,p2=m-1,則dm=pidi+p2d2,此時pi+p2=l.(4分)

(II)當di=l,d2=3時，dm=2m-1(mGN*).

數列dm分組如下：(di),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,ds,d9),.

按分組規律，第m組中有2m-1個奇數，

所以第1組到第m組共有1+3+5+...+(2m-1)=n?個奇數.

注意到前k