2023-2024學年四川省涼山州高二下學期期中聯考數學模擬試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．考試時間共120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號．3．答非選擇題時，必須使用0．5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結束后，只將答題卡交回．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知首項為1的數列中，則（

）A． B． C． D．22．已知等差數列中，，公差，如果，，成等比數列，那么等于（

）A．2或 B． C．2 D．33．已知，若，則等于（

）A．0 B．1 C．e D．2e4．函數的單調遞減區間是（

）A． B． C． D．5．若數列滿足，則數列的通項公式為（

）A． B．C． D．6．已知函數，若數列滿足，且是遞增數列，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知函數，，若，且關于x不等式在上恒成立，其中e是自然對數的底數，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．數列滿足，則等于（

）A．2565 B．2575 C．2585 D．2595二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知數列是等比數列，則下列結論中正確的是（）A．數列是等比數列B．若，，則C．若，則數列是遞增數列D．若數列的前和，則10．已知在處取得極大值1，則下列結論正確的是（

）A． B．對稱中心為C． D．11．下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共77分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在等差數列中，，則.13．已知函數在上存在遞減區間，則實數a的取值范圍為．14．已知，關于x的方程有三個不同實數根，則m的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知是數列的前n項和，是以1為首項1為公差的等差數列．(1)求的表達式和數列的通項公式；(2)證明：16．設數列滿足：，，且，對成立.(1)證明：是等比數列；(2)求和的通項公式.17．已知函數，(1)討論的單調性；(2)若函數在閉區間上的最大值為，求a的范圍．18．雪花是一種美麗的結晶體，放大任意一片雪花的局部，會發現雪花的局部和整體的形狀竟是相似的，如圖是瑞典科學家科赫在1904年構造的能夠描述雪花形狀的圖案，其作法如下：將圖①中正三角形的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為一邊向形外作正三角形，再去掉底邊，得到圖②；將圖②的每條邊三等分，重復上述的作圖方法，得到圖③；……按上述方法，所得到的曲線稱為科赫雪花曲線（Kochsnowflake）．現將圖①、圖②、圖③、…中的圖形依次記為、、…、、…．小明為了研究圖形的面積，把圖形的面積記為，假設a1＝1，并作了如下探究：P1P2P3P4…Pn邊數31248192…從P2起，每一個比前一個圖形多出的三角形的個數31248…從P2起，每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積…根據小明的假設與思路，解答下列問題．(1)填寫表格最后一列，并寫出與的關系式；(2)根據（1）得到的遞推公式，求的通項公式；(3)從第幾個圖形開始，雪花曲線所圍成的面積大于．參考數據19．已知函數(1)當時，求在處的切線方程．(2)設分別為的極大值點和極小值點，記，；①證明：直線與曲線交于另一個點C；②在①的條件下，判斷是否存在常數，使得，若存在，求n；若不存在，說明理由．附：，1．B【分析】根據遞推關系逐項求解即可.【詳解】∵，，，，.故選:B.2．C【分析】利用等差數列的通項公式，進行基本量代換，求出公差d即可.【詳解】因為，，成等比數列，所以，即，因為，所以，解得：d=2（d=0舍去）.故選：C3．B【分析】根據導函數的單調性，結合，即可求解.【詳解】因為，由于時，均為單調遞增函數，且函數值均為正，故在上單調遞增，又，而當時，，故，則，故選：B4．A【分析】根據函數解析求出定義域，求導，求解單調性.【詳解】由的定義域為，，令，解得,當,則，所以的單調遞減區間為，故選：A5．D【分析】由，分兩步，當求出，當時得到，兩式作差即可求出數列的通項公式；【詳解】解：因為①，當時，，當時②，①②得，所以，當時也成立，所以；故選：D6．C【分析】依題意函數在各段單調遞增且需滿足，即可得到不等式組，求出參數的取值范圍.【詳解】因為函數，，且是遞增數列，則，解得．故選：C7．D【分析】由題意可知在上恒成立，利用導數分別求出，即，解不等式即可.【詳解】由，得，令，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，故；由，得，令，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，故.因為在上恒成立，所以在上恒成立，即，解得，即實數m的取值范圍為.故選：D8．D【分析】當時，,當時，,兩式相加可得，根據等差數列的求和公式即可求解.【詳解】當時，①；當時，②，①+②，可得.所以，，…，所以.故選:D.9．AC利用等比數列的定義可判斷A選項的正誤；利用等比中項的性質可判斷B選項的正誤；分和兩種情況討論，求得對應的的取值范圍，結合數列單調性的定義可判斷C選項的正誤；求得、、，由求得的值，可判斷D選項的正誤.【詳解】設等比數列的公比為，則，且.對于A選項，，所以，數列是等比數列，A選項正確；對于B選項，由等比中項的性質可得，又因為，則與同為正數，則，B選項錯誤；對于C選項，若，由可得，可得，解得，則，，則，此時，數列為遞增數列；若，由可得，可得，解得，則，，則，此時，數列為遞增數列.綜上所述，C選項正確；對于D選項，，，，由于數列是等比數列，則，即，解得，D選項錯誤.故選：AC.本題考查等比數列的定義、等比中項的性質以及等比求和相關命題正誤的判斷，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.10．ABD【分析】根據以及，結合極值點的定義可得時，，即可求解ACD,根據圖象關于原點對稱，即可求解D.【詳解】由題意可得，且是函數的極大值點，即，可得，又極大值為1，所以，解得或；當時，，此時，時，，時，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增；此時函數在處取得極小值，與題意不符，即舍去，故C錯誤；當時，，此時，時，，時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減；此時函數在處取得極大值，符合題意，所以，，即，所以A正確，此時，由于函數為奇函數，圖象關于原點對稱，所以關于對稱，故對稱中心為，B正確，即D正確．故選：ABD11．ABD【分析】通過證明，即可判斷A，設，利用導數說明函數的單調性，即可判斷B，令，利用導數說明函數的單調性，即可判斷D，令，利用導數說明函數的單調性，即可判斷D.【詳解】對于A，設，，則，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即恒成立，則恒成立，當且僅當時取等號，又，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以恒成立，即恒成立，當且僅當時取等號，綜上可得當且僅當時取等號，所以，故A正確；對于B，設，則，當時，即單調遞增，當時，即單調遞減，所以，即，故，故B正確；對于C，令，則，所以在上單調遞增，則，即任意，，又，所以，故C錯誤；對于D，令，則，又，，所以，則在上單調遞增，所以，即在上恒成立，所以，故D正確.故選：ABD關鍵點點睛：本題解答的關鍵是構造相應的函數，利用導數說明函數的單調性，結合函數的單調性比較函數值的大小.12．20【分析】根據等差數列的性質和指數運算和對數運算法則計算出答案.【詳解】在等差數列中，，所以，所以.故2013．【分析】求導得，由題意可得在區間上能成立，根據二次函數的單調性即可求解.【詳解】由題意得的定義域為，所以，因為函數在區間上存在遞減區間，即在區間上能成立.設，，開口向上，對稱軸為，所以當時，單調遞增，所以，所以，則，即實數a的取值范圍為.故答案為:.14．【分析】利用導數研究函數的單調性與最值，作出函數的圖象，令，則所求等價于有兩個不同實根，則.當時，不滿足，舍去．則或，根據二次方程根的分布即可求解.【詳解】，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；故當時函數有最小值．當時，，且時，；當時，，且時，.作出函數的圖象如圖所示：

令，則所求等價于有兩個不同實根，則.不妨設，當時，不滿足，舍去．則或．當時，可得,與矛盾，故舍去；當，設，因為，所以,即，所以.故答案為:.15．(1)，(2)證明見解析【分析】（1）求出給定的等差數列通項公式，再利用前項和求通項的方法求解作答即可；（2）利用（1）的結論，結合裂項相消法即可得解.【詳解】（1）因為是以1為首項1為公差的等差數列,所以，即，當時，，即，經檢驗，當時，滿足上式，所以的通項公式是.（2）由（1）知：,所以，即.16．(1)證明見解析(2)，【分析】（1）變換得到，計算，得到證明；（2）確定，變換得到，解得答案.【詳解】（1）移項得到，，相加得，所以，因為，所以是首項為5，公比為的等比數列；（2），，所以對成立，解得，對成立，故和.17．(1)答案見解析；(2)【分析】（1）求出函數的導數，再分類討論求出的單調區間即可.（2）利用（1）的結論，分類討論求出最大值，結合已知列出不等式求解即得.【詳解】（1）函數的定義域為R，求導得，①當時，，在上單調遞增；②當時，由得或，由得，則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；③當時，由得或，由得，則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減，（2）由（1）知，①當時，在上單調遞增，此時在上的最大值為；②當時，在單調遞增，在上單調遞減，在單調遞增，在上的最大值只有可能是或，由在上的最大值為，得，則，③當時，在單調遞增，在上單調遞減，在單調遞增，在上的最大值可能是或，由在上的最大值為，得，則，綜上，a的范圍.18．(1)填表見解析；(2)(3)第7個【分析】（1）根據題中數據的規律及等比數列的通項公式填寫表格最后一列，進而得出與的關系式；（2）利用累加法求解；（3）由題意，利用指數函數的性質及對數的運算性質求解．【詳解】（1）圖形、、…、、…的邊數是以3為首項，4為公比的等比數列，則圖形的邊數為；從P2起，每一個比前一個圖形多出的三角形的個數是以3為首項，4為公比的等比數列，則比前一個圖形多出的三角形的個數為；從P2起，每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積是以為首項，為公比的等比數列，則比前一個圖形多出的每一個三角形的面積是．P1P2P3P4…Pn邊數31248192…從P2起，每一個比前一個圖形多出的三角形的個數31248…從P2起，每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積…所以，即．（2）當時，，又因為，符合上式，所以．（3）由，得，則，所以，故，由，，故，又因為，所以，所以從第7個圖形開始雪花曲線所圍成的面積大于．19．(1)(2)①證明見解析，②存在，【分析】（1）當，求解在的切線方程；（2）①求出直線的方程，然后與聯立得，構造函數，再利用導數求解有個零點即可求解；②中由①可得，假設存在，則，從而可求得，再構造函數，再利用導數求出的零點，從而可求解.【詳解】（1）當時，，故，所以當時，，所以在處的切線方程是，即（2）因為，則，令得或，當與時，；當時，；所以在，單調遞增，在單調遞減．所以是的極大值，是