第頁中考數學專題復習《圓綜合之特殊角的運用》測試卷(附帶有答案)學校:___________班級:___________姓名:___________考號:___________特殊角：30°，45°，60°1．如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，CE平分∠ACB交AB于點D，交⊙O于點E，以AD，DE為鄰邊作?ADEF．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若BC=2，∠BAC=30°，求線段CE的長．2．如圖，半徑為2的⊙O內接△ABC，∠B=60°，∠C=45°．（1）求△ABC的面積；（2）D是BC的中點，過點B作BE⊥AD于點E，過點D作DF⊥BC于點F，連接EF，求EF的長．3．如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連結OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連結CF.（1）當∠AOB=30°時，求弧AB的長度；（2）當DE=8時，求線段EF的長；（3）在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.4．如圖，四邊形ABCD中，連接AC，AC=AD，以AC為直徑的⊙O過點B，交CD于點E，過點E作EF⊥AD于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若∠BAC=∠DAC=30°，BC=2，求BCE的長．（結果保留π）5．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BM是邊AC的中線，將△ABC繞點B順時針旋轉90°得到△DBE，⊙O是△DBE的外接圓，點P是DE的中點，連接PB交DE于點H.（1）求證：BM是⊙O的切線；（2）若AB=1，∠BAC=60°，求PH?PB的值.6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB上的一點，以BD為直徑的半圓與交BC于點F，且AC切⊙O于點E.（1）求證：DE=（2）若∠A=30°，AB=6，求CF的長.7．如圖，Rt△ABC中，在斜邊AB上選一點O為圓心畫圓，此圓恰好經過點A，且與直角邊BC相切于點D，連接AD、DE．（1）求證：△EAD∽△DAC；（2）若∠CAD=30°，BE=2，求陰影部分圖形的周長．8．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙0交BC于點D，過點D作⊙0的切線交AB于點E.（1）求證：DE⊥AB.（2）若DE=3，∠C=30°，求陰影部分面積.9．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．（1）求證：直線DF是⊙O的切線；（2）求證：CD（3）若⊙O的半徑為8，∠CDF=22.5°，求扇形OBD（陰影部分）的周長（結果保留10．如圖，已知銳角△ABC內接于⊙O，OD⊥BC于點D，連結AO.（1）若∠BAC=60°.①求證：OD=1②當OA=1時，求△ABC面積的最大值；（2）點E在線段OA上，OE=OD，連接DE，設∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m、n是正數），若∠ABC<∠ACB，求證：m?n+2=0參考答案1．【答案】（1）證明：連接OE，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠AOE=∠BOE=90°．∴OE⊥AB．∵四邊形ADEF為平行四邊形，∴AB∥EF．∴OE⊥EF，∵OE為⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：過點B作BH⊥CE，垂足為點H，連接BE，∵∠BCH=45°，∴∠CBH=45°，在Rt△BHC中，BH=CH=BC·sin45°=1，在Rt△BEH中，∠BEC=∠BAC=30°，∴HE=BH∴CE=CH+HE=1+3．2．【答案】（1）解：如圖中，連接OA、OB、OC，作AM⊥BC于M．∵∠AOB=2∠ACB=90°，∴AB=2∵AM⊥BC，∠ABM=60°，∴BM=12AB=1∵AM⊥BC，∠ACM=45°，∴CM=AM=3，AC=∴△ABC的面積=1（2）解：如圖2中，延長BE交AC于K，連接BD，EF，OF．∵D是BC的中點，DF⊥BC于點F，∴O、F、D共線，BF=FC，∵∠BED=∠BFD=90°，∴B、E、F、D四點共圓，∴∠EFB=∠BDE=∠ACB=45°，∴EF∥AC，∵BF=FC，∴BE=EK，∴EF=1∵D是BC的中點，∠AEB=∠AEK=90°，∴∠BAE=∠KAE，∴∠ABE=∠AKE，∴AK=AB=2，∴KC=AC?AK=6∴EF=63．【答案】（1）解：連接BC，∵A（10，0），∴OA＝10，CA＝5，∵∠AOB＝30°，∴∠ACB＝2∠AOB＝60°，∴弧AB的長＝60×π×5（2）解：①若D在第一象限，連接OD，∵OA是⊙C直徑，∴∠OBA＝90°，又∵AB＝BD，∴OB是AD的垂直平分線，∴OD＝OA＝10，在Rt△ODE中，OE＝O∴AE＝AO?OE＝10?6＝4，由∠AOB＝∠ADE＝90°?∠OAB，∠OEF＝∠DEA，得△OEF∽△DEA，∴AE即48∴EF＝3；②若D在第二象限，連接OD，∵OA是⊙C直徑，∴∠OBA＝90°，又∵AB＝BD，∴OB是AD的垂直平分線，∴OD＝OA＝10，在Rt△ODE中，OE＝O∴AE＝AO＋OE＝10＋6＝16，由∠AOB＝∠ADE＝90°?∠OAB，∠OEF＝∠DEA，得△OEF∽△DEA，∴AE即168∴EF＝12；∴EF＝3或12；（3）解：存在，理由如下，

設OE＝x①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF＝∠BOA或∠ECF＝∠OAB，當∠ECF＝∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC中點，即OE＝5∴E當∠ECF＝∠OAB時，有CE＝5?x∴CF∥AB，有CF＝1∵△ECF∽△EAD，∴CEAE＝CFAD∴E②當交點E在點C的右側時，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF＝∠BAO，連接BE，∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，∴BE＝AB＝BD，∴∠BEA＝∠BAO，∴∠BEA＝∠ECF，∴CF∥BE，∴CF∵∠ECF＝∠BAO，∠FEC＝∠DEA＝90°，∴△CEF∽△AED，∴CFAD＝∴OC2OE＝CEAE∴E③當交點E在點O的左側時，∵∠BOA＝∠EOF＞∠ECF.∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF＝∠BAO連接BE，得BE＝∴∠ECF＝∠BEA，∴CF∥BE，∴CF又∵∠ECF＝∠BAO，∠FEC＝∠DEA＝90°，∴△CEF∽△AED，∴CEAE＝∴OC∴5解得x1∵點E在x軸負半軸上，∴E綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，此時點E坐標為：E14．【答案】（1）證明：如圖所示，連接OE，∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC=90°，∵AC=AD，∴∠CAE=∠DAE，又∵AO=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OEA=∠DAE，∴OE∥AD，又∵EF⊥AD∴OE⊥EF；∴EF是⊙O的切線；（2）解：∵∠BAC=∠DAC=30°，BC=2，∠CAE=1∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=45°，AC=2BC=4，∴OC=2，連接OB，則∠BOE=45°，∴BCE=5．【答案】（1）證明：如圖，連接OB，∵△ABC繞點B順時針旋轉90°得到△DBE，∴△DBE≌△ABC，又∵∠ABC=90°，∴∠DBE=90°，∵⊙O是△DBE的外接圓，∴DE是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑且是DE邊的中線，∵BM是AC邊的中線，∴BM繞點B順時針旋轉90°得到OB，∴∠OBM=90°，即BM⊥OB，∴BM是⊙O的相線.（2）解：如圖，連接PD，∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=1，∴AC=2，∵△DBE≌△ABC，∴∠DBE=∠ABC=90°，DE=AC=2，∵點P是DE的中點，∴∠PBD=∠PBE=45°，PD=PE，又DE是⊙O的直徑，∠DPE=90°，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD∴PD∵∠PEH=∠PBD=∠PBE=45°，∠EPH=∠BPE，∴△PEH∽△PBE，∴PHPE∴PH?PB=PE6．【答案】（1）證明：連接OE、OF，∵AC切⊙O于點E，∴OE⊥AC，即∠OEA=90°，∵∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠EOA=∠CBA，∠EOF=∠OFB，∵OB=OF，∴∠OFB=∠CBA，∴∠EOD=∠EOF，∴DE=（2）解：連接DE，∵∠A=30°，AB=6，∴∠OBF=∠EOD=60°，∵OE=OD=OF=OB，∴△DOE、△BOF都為等邊三角形，∠EDO=60°，∴∠DEA=30°，∴AD=DE=DO=OB=BF=2，∵∠A=30°，∠ACB=90°，AB=6，∴BC=1∴CF=BC?BF=1.7．【答案】（1）證明：連接OD，由題意可知，∠ACD=90°，AE為直徑，∴∠ADE=90°，則∠ADE=∠ACD=90°，∵BC與⊙O相切于點D，∴OD⊥BC，則∠ODB=90°，∴OD∥AC，∴∠CAD=∠ADO，又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠CAD=∠DAO，∴△EAD∽△DAC；（2）解：∵∠CAD=30°，由（1）可知，∠CAD=∠DAO，∴∠CAD=∠DAO=30°，則∠CAB=60°，∠B=30°，∠DOE=60°，∴△DOE為等邊三角形，則∠ODE=60°，OD=DE=OE又∵∠ODB=90°，∴∠BDE=30°，∴DE=BE=2，∴OD=DE=OE=2，則BD=23DE=∴陰影部分圖形的周長為：DE+BE+BD=8．【答案】（1）證明：連接OD，AD，

∵AC為直徑，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D為BC的中點，∴DO為中位線，∴DO//AB，∵過點D作⊙0的切線交AB于點E，∴OD⊥DE，∴DE⊥AB.（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠B=∠C=30°，

∴∠BAC=120°，

∵DE⊥AB，

∴∠BED=90°，

∴CD=BD=DEsinB=3sin30°=312=23，

∴DE=3，

BE=DEtan∠B=3tan30°=333=3，

AD=BDtan∠B=23×tan30°=23×33=2，

∴9．【答案】（1）證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥AC，∴直線DF是⊙O的切線；（2）證明：連接AD，如圖：∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵DF⊥AC，∴∠DAC=90°?∠ADF=∠FDC，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△DFC，∴CDCF=（3）解：∵DF⊥AC，∴∠C=∠B=67.∴∠BAC=45°，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD=67.∴∠BOD=45°，∵⊙O的半徑為8，∴l∴扇形OBD（陰影部分）的周長為2π+8+8=2π+16．10．【答案】（1）解：①證明：連接OB，OC，

∵弧BC=弧BC，OD⊥BC

∴∠ODB=90°，∠BOD=12∠BOC=∠BAC=60°，BC=2BD，

∴∠OBD=90°-60°=30°，

∴OD=12OB=12OA；

②∵BC為定值，

∴△ABC的面積最大，就是BC邊上的