核反應堆物理分析課后習題參考答案[1]

核反應堆物理分析答案

第一章1T.某壓水堆采用U02作燃料，其富集度為2.43%(質(zhì)量)，密度為

10000kg/m3,試計算：當中子能量為0.0253eV時，U02的宏觀吸收截面和宏觀裂變截面。

解:由18頁表1-3查得，0.0253eV時:

a(U5)680.9b,f(U5)583.5b,a(U8)2.7b由289頁附錄3查得，0.0253eV時：

a(O)0.00027b

以c5表示富集鈾內(nèi)U-235與U的核子數(shù)之比，表示富集度，則有：

235c5

235c5238(1c5)

c5(10.9874(11))10.0246

M(UO2)235c5238(1c5)162269.9

N(UO2)1000(UO2)NAM(UO2)2.231028(m3)

所以，N(U5)c5N(UO2)5.491026

N(U8)(1c5)N(U02)2.1810

N(O)2N(UO2)4.46102828(m)(m)33(m)3

a(U02)N(U5)a(U5)N(U8)a(U8)N(O)a(O)

0.0549680.92.182.74.460.0002743.2f(U02)N(U5)f(U5)0.054

9583.532.0(m)l(m)1

1-2.某反應堆堆芯由U-235,H20和Al組成，各元素所占體積比分別為0.002,0.6和

0.398,計算堆芯的總吸收截面(E=0.0253eV)?

解：由18頁表1-3查得，0.0253eV時：a(U5)680.9b

11由289頁附錄3查得，0.0253eV時：

a(Al)1.5m,a(H2O)2.2m,M(U)238.03,

(U)19.05lOkg/m33

可得天然U核子數(shù)密度N(U)1000(U)NA/M(U)4.821028(m)

(m)13則純U-235的宏觀吸收截面：

a(U5)N(U5)a(U5)4.82680.93279.2

總的宏觀吸收截面：a0.002a(U5)0.6a(H20)0.398a(Al)8.41-61(m)

PVV3.210

117

11P3.2101121053.2101.2510ml721T2題

每秒鐘發(fā)出的熱量：EPT100010

0.3263.12510J9

每秒鐘裂變的U235：N3.12510103.1251099.76561019(個)

運行?年的裂變的U235：N'NT9.765610193652436003.07971027(個)

消耗的u235質(zhì)量：m(1)N'

NAA(10.18)3.0797106.02210

923272351.422810g1422.8kg6

需消耗的煤：mE'

Q110365243600

0.322.91073.3983lOKg3.398310噸96

ITO.為使鈾的n=1.7,試求鈾中U-235富集度應為多少(E=0.0253eV)。

解：由18頁表1-3查得，0.0253eV時：

a(U5)680.9b,f(U5)583.5b,a(U8)2.7b

,v(U5)2.416v(U5)f

av(U5)N(U5)f(U5)N(U5)a(U5)N(U8)a(U8)由定義易得：

N(U8)N(U5)v(U5)f(U5)(a(U5))a(U8)

N(05)2.416583.5(680.9)54.9N(U5)2.71.7為使鈾的n=1.7,N(U8)

235N(U5)富集度235N(U5)238N(U8)100%235

23523854.91.77%

.一核電站以富集度20%的U-235為燃料，熱功率900MW,年負荷因子(實際年發(fā)電量/額

定年發(fā)電量)為0.85,U-235的俘獲一裂變比取0.169,試計算其一年消耗的核燃料質(zhì)量。

解：該電站一年釋放出的總能量=900100.85360060243652.412510J

2.412510

61619616對應總的裂變反應數(shù)=200101.610

f7.541026因為對核燃料而言：t

26核燃料總的核反應次數(shù)=7.5410

8.8110

6.021026(10.169)8.811026消耗的U-235質(zhì)量=235

100023344(kg)

消耗的核燃料質(zhì)量=344/20%1720(kg)第二章

.某裂變堆，快中子增殖因數(shù)1.05,逃脫共振俘獲概率0.9,慢化不泄漏概率0.952,擴

散不泄漏概率0.94,有效裂變中子數(shù)L335,熱中子利用系數(shù)0.882,試計算其有效增殖

因數(shù)和無限介質(zhì)增殖因數(shù)。

解：無限介質(zhì)增殖因數(shù)：kpf1.1127不泄漏概率：

sd0.9520.940.89488有效增殖因數(shù)：keffk0.9957

2-1.II和0在1000eV到leV能量范圍內(nèi)的散射截面近似為常數(shù),分別為20b和38b,計

算1120的m以及在H20中中子從lOOOeV慢化到leV所需的平均碰撞次數(shù)。

解：不難得出，H20的散射截面與平均對數(shù)能降應有下述關(guān)系：

。H20-；H20=2。出；H+。080

即：

(2oH+。0)-€H20=2oH-H+。0&0&H20=(2。H-&H+。。&0)/(2oH+

o0)

查附錄3,可知平均對數(shù)能降：€H=l.000,€0=0.120,代入計算得：

&H20=(2X20X1.000+38X0.120)/(2X20+38)=0.571

可得平均碰撞次數(shù):

Nc=ln(E2/El)/&H20=ln(1000/l)/0.571=12.09.12.1

2-6.在討論中子熱化時，認為熱中子源項Q(E)是從某給定分界能Ec以上能區(qū)的中子，

經(jīng)過彈性散射慢化而來的。設(shè)慢化能譜服從①(E)=e/E分布，試求在氫介質(zhì)內(nèi)每秒每單

位體積內(nèi)由Ec以上能區(qū)，(1)散射到能量E(E<Ec)的單位能量間隔內(nèi)之中子數(shù)Q(E)；

(2)散射到能量區(qū)間AEg=EgT-Eg內(nèi)的中子數(shù)Qg。解：(1)由題意可知：

Q(E)

Ec

s(E')(E')f(E'E)dE'

對于氫介質(zhì)而言，一次碰撞就足以使中子越過中能區(qū)，可以認為宏觀截面為常數(shù):

Q(E)

EcE/a

s(E')f(E'E)dE'

dE'(1)E'

1

在質(zhì)心系下，利用各向同性散射函數(shù)：f(E'E)dE'。已知(E')

E'

,有：

Q(E)

EcE/a

s

dE'

E'(1)E'

s

EcE/a

dE'(1)E'

2

s

(1)Ec

(

IE/

)

(EEc)s(1)EEc

(這里隱含一個前提：E/a>E-)(2)利用上一問的結(jié)論:

EglEg

Q(E)dE

s

E

Eg1

(1)Ec

Eg

s(1)

EglEg

IE

dE

s(1)

(

Eg1Eg

Ec

In

EglEg

)

2-8.計算溫度為535.5K,密度為0.802X103kg/m3的H2O的熱中子平均宏觀吸收截

面。解：已知H20的相關(guān)參數(shù)，M=18.015g/mol,P=0.802X103kg/m3,可得：

N

10NA

M

3

0.802106.02310

18.015

623

2.6810

28

m

-3

已知玻爾茲曼常數(shù)k=1.38X10-23J-K-1,則：

kTM=1.38X10-23X535.5=739.0(J)=0.4619(eV)

查附錄3,得熱中子對應能量下，。@=0.664b,&=0.948,。s=103b,oa二

0.664b,由“1/v”律

加.0253/仃“

a(kTM)a0.4914(b)由56頁(2-81)式，中子溫度:

TnTM[10.462Aa(kTM)s]535.5[10.46218N0.4914N1031577.8

(K)

(b)所以：aNa2.680.41081.123(m-1)

三章

3.1有兩束方向相反的平行熱中子束射到235U薄片上，設(shè)其上某點自左面入射的中子

束強度為1012cm-2-s-lo自右

12-2-1面入射的中子束強度2X10cm?s,計算：

(1)該點的中子通量密度；

(2)該點的中子流密度；

(3)設(shè)￡a=19.2X10m,求該點的吸收率。

解：(1)由定義可知：II3X1012(cm-2-s-l)

12-2-1(2)若以向右為正方向：JII-1X10(cm?s)2-1

可見其方向垂直于薄片表面向左。

(3)Raa19.2?3X1012=5.76X1013(cm-3?s-1)

3.2設(shè)在x處中子密度的分布函數(shù)是

nx/aEn(x,E,)Oee(1cos)2

其中：入，。為常數(shù)，U是與X軸的夾角。求：

(1)中子總密度n(x)；

(2)與能量相關(guān)的中子通量密度6(x,E)；

(3)中子流密度J(x,E)。

解：由于此處中子密度只與與x軸的夾角有關(guān)，不妨視N為極角，定義在Y-Z平

面的投影上與Z軸的夾角4)為方向角，則有：

(1)根據(jù)定義：

n(x)

OdE2

0n0420ex/eaE(1cos)deaEOdE

x/deaEn02

Oex/(1cos)sindnOeOdE(1cos)sind

可見，上式可積的前提應保證a<0,則有:

n(x)nOe

nOex/(eaEa)0(sind0Ocossind)x/acos

00)2n0eax/(2)令mn

為中子質(zhì)量，則Emnv2/2v(E)

(x,E)n(x,E)v(E)4x/aEn(x,E,)d2n0ee（等價性證

明：如果不作坐標變換，則依據(jù)投影關(guān)系可得：

cossincos

則涉及角通量的、關(guān)于空間角的積分：

4(1cos)d

2

020d(1sincos)sind02dsind0Ocosd

sind02

2(cos)(sin020sind)40402

對比：

4(1cos)d

2

02Od(1cos)sind020dsind0dsmcos

d0

2(cos0)(sincosd)4040

可知兩種方法的等價性。）

(3)根據(jù)定義式:

也心，

J(x,E)(x,E,)d44n(x,E,)v(E)d

dcos(1cos)sind02

x/20nOeeaEcossind0Ocossind)2

利用不定積分：cosxsinxdxncosnlx

n1

3,則：

尼/叫?

f/4ititIf

2%ee72E1明

C(其中n為正整數(shù))J(x,E)nOex/eaEcos3)

03

3.7設(shè)一立方體反應堆，邊長。=9m?中子通量密度分布為

xyzl3x,y,z3lOcos()cos()cos()aaa(cm2s)1

已知D=0.84X10-2m,L=0.175m,試求:

(1)J(r)表達式；

(2)從兩端及側(cè)面每秒泄漏的中子數(shù)；

(3)每秒被吸收的中子數(shù)(設(shè)外推距離很小可略去)。

13-2解：有必要將坐標原點取在立方體的幾何中心，以保證中子通量始終為正。為簡化

表達式起見，不妨設(shè)60=3X10cm

?S-lo

(1)利用Fick'sLaw：

J(r)J(x,y,z)Dgrad(x,y,z)D(ijk)

xyz

xyzyxz

71/2兀X,兀V2兀42/TV27tX2九工7；

一/sin'(——)cos(——)cos^(——)+sin(——)cos*(——)cos"(——)+sirT(一

aaaaaaaa

zxy

D0[sin()cos()cos()isin()cos()cos()jsin()cos()cos()k]

aaaaaaaaaa

J(r)J(r)D0

計算上端面的泄漏率：

2)先za/2

J(r)kdSD0

S(za/2)a

a/2a/2

dx)]

a/2a/2a/2

sin(

2

)cos(a

x

a

)cos(

y

a

)dy

D0

a

a[

sin(

x

a

a/2

)]

a/2

[

a

sin(

a

4D0

a/2

同理可得，六個面上總的泄漏率為：L=64D0

a

3.14

16-1

其中，兩端面的泄漏率為L/3=5.8X10(s)；側(cè)面的泄漏率為L-L/3=1.2X1017

(s-1)

240.8410

2

310

13

10

4

9

1.7X10(s)

17-1

(如果有同學把問題理解成‘六個面'上總的泄漏，也不算錯)

22(3)由1D/a可得aD/L

由于外推距離可忽略，只考慮堆體積內(nèi)的吸收反應率：

a/2a/2a/2DxyzD2a3

RdVdVdxdycos()cos()cos()dz()0022VaVaa/2a/2a/2L

aaaL0.84

1017

3102

0.175

2

2

138

1020(s-1))1.24X

3.14

3.8圓柱體裸堆內(nèi)中子通量密度分布為

(r,z)10cos(

12

z

H

)J0(

2.405rR

)(cm

2

s)

1

其中，H,R為反應堆的高度和半徑(假定外推距離可略去不計)。試求：(1)徑向

和軸向的平均中子通量密度與最大中子通量密度之比；(2)每秒從堆側(cè)表面和兩個端

面泄漏的中子數(shù)；

(3)設(shè)H=7m,R=3m,反應堆功率為10MW,。f,5=410b,求反應堆內(nèi)235U

的裝載量。解：有必要將坐標原點取在圓柱體的幾何中心，以保證中子通量始終為正。

為簡化表達式起見，不妨設(shè)*0=1012cm-2”T。且借用上一題的D值。(1)先考慮

軸向：z

H/2H/2

dz/

H/2H/2

dzH

H/2H/2

Ocos(

H/2

z

II

)J0(2

2.405rRR

)dr/H

0

H

J0(

2.405rR

)[

sin(

z

H

)]

H/2

0J0(

2.405r

)

且

II

Osin(

z

H

)JO(

2.405rR)

)在整個堆內(nèi)只在z=O時為0,故有:

z,max(r,0)OJO⑵405rR

z/z,max

2

0J0(

2.405rR

RO

)/OJO(

2.405rR

)

2

徑向：r

RO

dr/dr

R

Ocos(

z

H

)J0(

2.405rR

)dr/R

且

r

Ocos(

z

H

OJO

2.405rR

)

2.405R

Ocos(

z

H

)J1(

2.405rR

)在整個堆內(nèi)只在廠0時為0,故有:

r,max(0,z)Ocos(

z

II

R

)2.405rR

)dr/ROcos(

r/r,maxOcos(

z

H

)J0(

z

H

)

RO

JO(

2.405rR

)dr/R

已知

2.405

J0(x)dx1.47,所以：

1.47R2.405

/R0.611

r/r,max

(2)先計算上端面的泄漏率:

LzH/2J(r)ezdS

S(zH/2)

20

S(zH/2)

Dgrad(r,z)ezdS

2OR

Dd

RO

z[

rdr

zH/2

Dd

RO

H

sin(

2

z

H

)rJ0(

2.405rR

)dr

zH/2

D02

H

R2.405

rjl(

2.405rR

2

)]

2D0R2.405H

JI⑵405)

易知，兩端面總泄漏率為2側(cè)面泄漏率：

L

2D0R2.405H

10(s)JK2.405)2.93X

14-1

rR

S(rR)

J(r)erdSd

H/2H/2

S(rR)

Dgrad(r,z)erdS

D

20

r

Rdz

rR

JI,且已知JI⑵405)=0.5191,可得:利用Bessel函數(shù)微分關(guān)系式:

JOJO(2.405r/R)

r

2.405R

Jl(

2.405rR

)

所以：L

D02

2.405R

RJ1(2.405)[

Hsin(

z

II

H/2

rR

)]

H/2

6

22.405HD0

19

JI(2.405)4.68X10(s)

11

14-1

(3)已知每次裂變釋能Ef200MeV200101.610

PEffdVEfN5

V

V

f,5

3.210(J)

dV

所以：N5其中：

P

Ef

V

f,5dV

dV

VH/2H/2dz

H2Od0cos(0RzHR)JO(2.405rR)rdr20[sin(z

IIII/2)dr])]

H/2[rJ0(02.405rR

利用Bessel函數(shù)的積分關(guān)系式：xnjn1(x)dxxnjn,可得

rJ0(2.405rR)drR

2.405rJI(2.405rR)

已知：JI(0)=0,JI(2.405)=0.5191,所以：

dV20

V2I1R2.405RJ1(2.405)42.4050HRJ1(2.405)=5.44X1017(m?s-l)2

所以：

N5PEff,5dV

V10/(3.2X10X410X10X5.44X10)=1.40X10(m)6-11-281724-3

所需235U裝載量：

m5103N5VM5/NA10X1.40X10X3.14X3X7X235/(6.02X10)=108(kg)-

324223

3.9試計算E=0.025eV時的鍍和石墨的擴散系數(shù)。

解：查附錄3可得，對于E=0.025eV的中子：

Be

C

對于Be：Ds/m-18.653.851

3s(l0)0.0416(m)100.92590.9444tr3s3(l0)

3同理可得，對于C：D=0.0917(m)3-12試計算T=535K,P=802kg/m時水

的熱中子擴散系數(shù)和擴散長度。

解：查79頁表3-2可得，294K時：D0.0016m,由定義可知：

D(T)

D(293K)tr(T)/3

tr(293K)/31/s(T)1/s(293K)N(293K)s(293K)N(T)s(T)(293K)(T)

所以：

D(293K)D(293K)/0.00195(m)

(另一種方法：如果近似認為水的微觀散射截面在熱能區(qū)為常數(shù)，且不受溫度影響，查

附表3可得：s1031028m,2100.676,

3a0.6641028m2在T=535K,P=802kg/m時，水的分子數(shù)密度：

N10NA

M310X802X6.02X10/18=2.68X10(m)32328-3

所以：sNs276(m-l)Dtr

3s

3(10)13s(l0)1/(3X2.68X103X0.676)=0.00179(m)

這一結(jié)果只能作為近似值)

中子溫度利用56頁(2-81)式計算：

TnTM[10.462Aa(kTM)s]TM[10.462Aa(kTM)]s

21其中，介質(zhì)吸收截面在中子能量等于kTM=7.28X10J=0.0461eV

再利用“1再”律:

>/0.0253/0.0461

a(kTM)a(0.0253eV0.4920(b)

Tn=535X(1+0.46X36X0.4920/103)=577(K)

(若認為其值與在0.0253eV時的值相差不大，直接用0.0253eV熱中子數(shù)據(jù)計算：

Tn=535X(1+0.46X36X0.664/103)=592(K)

這是一種近似結(jié)果)

(另一種方法：查79頁表3-2,利用293K時的平均宏觀吸收截面與平均散射截面：

a(293K)1.97(m-l)

s(293K)13D(293K)(10)1/(3X0.0016X0.676)=308(m-1)

進而可得到Tn=592K)

利用57頁(2-88)式

a/0.0253)293

1.128V592

a-10.414X10-28(m2)aNa1.11(m)

s

s(293K)NsN(293K)s(293K)NN(293K)(293K)

ss(293K)(293K)

3(293K)D(293K)(10)802/(3X1000X0.0016X0.676)=247(m-1

3x1.1lx247x0.676

)L0.0424(m)

(此題如果利用79頁(3-77)式來計算：

由于水是“1/v”介質(zhì)，非1/v修正因子為1：

LL22

代入中子溫度可得:

^L；V592/293

『592/293

0.02850.0340(m)

這是錯誤的！因為(3-74)式是在(3-76)式基礎(chǔ)上導出的，而(3-76)式是柵格的計

算公式，其前提是核子數(shù)密度不隨溫度變化)3.13如圖3-15所示，在無限介質(zhì)內(nèi)有兩個

源強為Ss-1的點源，試求P1和P2點的中子通量密度和中子流密度。解：按圖示定義

平面坐標。

0

假設(shè)該介質(zhì)無吸收、無散射，則在P2點，來自左右兩個點源的中子束流強度均為1+=

I-=S/4na2,可知：(P2)1(P2)I(P2)S/2a

J(P2)I(P2)I(P2)02X

在Pl

點，來自左右兩個點源的中子束流強度均為S/4)2,且其水平方向的投影分量恰好大

小相等、方向相反，可得：

(Pl)I(P1)I(P1)

6

S/4a

J(P1)I(Pl)I(Pl)28a2

其方向沿丫軸正向。

若考慮介質(zhì)對中子的吸收及散射，設(shè)總反應截面為3則上述結(jié)果變?yōu)椋?/p>

(P2)Se

J(P1)ta/2ata22J(P2)0)

s

(Pita/4a28a

(注意：如果有同學用解擴散方程的方法，在有限遠處的通量密度同時與x、y、z有

關(guān)。)

3-16設(shè)有一強度為I(m?s)的平行中子束入射到厚度為a的無限平板層上。試求：

(1)中子不遭受碰撞而穿過平板的概率；

(2)平板內(nèi)中子通量密度的分布；

(3)中子最終擴散穿過平板的概率。

解：(1)I(a)/IOexp(ta)

(2)此情況相當于一側(cè)有強度為I的源，建立以該側(cè)所在橫坐標為x原點的?維坐標

系，則擴散方程為：d(x)

dx22-2-l(x)L20,x0

邊界條件：i.limj(x)Ix0

方程普遍解為：(x)Aex/LCex/L由邊界條件i可得:

limj(x)lim(D

x0

x0

ddx

)lim{D[A

x0

IL

e

x/L

C

IL

e

x/L

]}

DL

(AC)I

A

ILD

C

由邊界條件ii可得:limj(a)

xa

x

(a)4

16tr

2a/L

d(x)dx

xa

Ae

a/L

Ce4

a/L

Ae

a/L

Ce

a/L

6Ltr

0

A

23Ltr23Ltr

Ce

L2DL2D

Ce

2a/L

所以:L2DL2D

Ce

2a/L

ILD

CC

IL1

D2DL2a/L

e1

2DL

2DLIL

D2DL2a/L

e1

2DL

e

2a/L

A

ILD

(1

1

2DL2DL

2a/L

)1

2DL

(x)

ILD

(

1x/Lx/Lee)

2DL2a/L2DL2a/L

ele1

2DL2DL

(ax)/L

(ax)/L

e

2a/L

IL(L2D)e(2DL)e

[a/La/L

D(L2D)e(2DL)e

]

(也可使用雙曲函數(shù)形式：

方程普遍解為：(x)Acosh(x/L)Csinh(x/L)由邊界條件i可得:

limj(x)lim(D

x0

x0

ddx

)lim{D[

x0

AL

sinh(

xL

)

CL

cosh(

xL

)]}

DL

CI

C

ILD

由邊界條件ii可得:

x

J(a)

(a)

4

16traaL

d(x)dx

xa

Acosh(

a)/4

a)Csinh(4ILD

a

a)Asinh(

a

6LtraaL))

)Ccosh(

)0

a

cosh(

AC

cosh(

)/6Ltrsinh()/4sinh(

aL

2Dcosh(Lcosh(

aL

)Lsinh(

)/6Ltr

)2Dsinh(所以：

)xx(x)[()cosh()sinh()]aaDLLLcosh()2Dsinh()LL

可以證明這兩種解的形式是等價的)IL2Dcosh(a)Lsinh(a

(3)此間相當于求x=a處單位面積的泄漏率與源強之比：

J

xxa

I

J(a)J(a)Ia/LxJ(a)IDd(x)Ia/L(L2D)Lxaldx(L2D)ea/

La/L(L2D)e(L2D)14D(L2D)e(L2D)e

(或用雙曲函數(shù)形式：

Jxxa

I2D

Lcosh(a/L)2Dsinh(a/L))

3T7設(shè)有如圖3T6所示的單位平板狀“燃料柵元”，燃料厚度為2a,柵元厚度為

2b,假定熱中子在慢化劑內(nèi)以均勻分布源(源強為S)出現(xiàn)。在柵元邊界上的中子流為零

(即假定柵元之間沒有中子的凈轉(zhuǎn)移)。試求：

(1)屏蔽因子Q,其定義為燃料表面上的中子通量密度與燃料內(nèi)平均中子通量密度之

比；

(2)中子被燃料吸收的份額。

解：(1)以柵元兒何中線對應的橫坐標點為原點，建立一維橫坐標系。在這樣對稱的

幾何條件下，對于所要解決的問題，我們只需對x>0的區(qū)域進行討論。燃料內(nèi)的單能

中子擴散方程：d(x)

dx22(x)L20,0xa

邊界條件：i.limj(x)0ii.lim(x)SxOxa

通解形式為：(x)Acosh(x/L)Csinh(x/L)

利用Fick'sLaw：J(x)D

A

Ld(x)dxD[ALsinh(xL)CLcosh(xL)]代入邊界條件i：D[sinh(x

L)C

Lcosh(x

D]

x0DCL0C0

aaaS代入邊界條件ii：AcoshOCsinhOAcoshOSALLLcosh(a/L)

所以FFdVdVaOdxadxlS

Facosh(a/L)aOcosh(xL)dxISLsinh(a/L)acosh(a/L)SLatanh(aL)

OScosh(a/L)aacosh(a/L)coth()SLLLFtanh(a/L)a

(2)把該問題理解為“燃料內(nèi)中子吸收率/燃料和慢化劑內(nèi)總的中子吸收率”，設(shè)燃

料和慢化劑的宏觀吸收截面分Q(a)別為a和a,則有：FM

F

Fa

F

dV

Fa

aO

Fa

aO

adx

F

dV

M

dV

Ma

dx

ba

Ma

aaF

aF(ba)S

Fa

Ma

F

aLtanh(a/L)Ltanh(a/L)(ba)

Fa

Ma

F

回顧擴散

dx

FF

長度的定義，可知：L2D/aaLD/L,所以上式化為:

aLtanh(a/L)Ltanh(a/L)

F

a

Ma

F

(ba)

Dtanh(a/L)

Dtanh(a/L)L(ba)

Ma

(這里是將慢化劑中的通量視為處處相同，大小為S,其在b處的流密度自然為0,但

在a處情況特殊：如果認為其流密度也為0,就會導致沒有向燃料內(nèi)的凈流動、進而燃料

內(nèi)通量為。這一結(jié)論！所以對于這一極度簡化的模型，應理解其求解的目的，不要嚴格追

究每個細節(jié)。)

3-21解：(1)建立以無限介質(zhì)內(nèi)任一點為原點的球坐標系(對此問題表達式較簡

單)，建立擴散方程：

DaS

2

即：

2

aD

SD

邊界條件：i.0,ii.J(r)0,0r設(shè)存在連續(xù)函數(shù)(r)滿足:

22,Sia

2DDL

(1)

(2)

2

可見，函數(shù)(r)滿足方程由條件i可知：C=0,

1L

2

，其通解形式：(r)A

exp(r/L)

r

C

exp(r/L)

r

由方程(2)可得：(r)(r)S/aAexp(r/L)/rS/a再由條件ii可知:

A=0,所以：S/a

(實際上，可直接由物理模型的特點看出通量處處相等這一結(jié)論，進而其梯度為0)

(2)此時須以吸收片中線上任一點為原點建立一維直角坐標系，先考慮正半軸，建立

擴散方程：

DaS

2

即：

2

aD

SD

,x>0

iii.limj(x)0

x

邊界條件：i.0II,

ii.limj(x)at(0)/2,

x0

對于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度內(nèi)通量的畸變。

參考上一問中間過程，可得通解形式：(x)Aexp(Cexp(x/L)S/a

J(x)D

ddx

ADLe

x/L

CDL

e

x/L

由條件ii可得：

limj(x)

x0

ADL

CDL

a

t2

(AC

Sa

)CAa

tL2D

(AC

Sa

)

由條件iii可得：C=0所以：AatL2D(AS

a)A(S2D

tLa1)a

(x)

(S2D

tLa1)aex/LSaSa[lteax/Lt(2D/L)a]

對于整個坐標軸，只須將式中坐標加上絕對值號，證畢。

3-22

解：以源平面任一點為原點建立一維直角坐標系，建立擴散方程：l(x)

2(x)221L2l(x),2(x),x01L2x0

邊界條件：i.lim1(x)lim2(x);xOxOii.

lim[J(x)|x0J(x)|x0]S;0

iii.1(a)0;iv.2(b)0;通解形式：1Alsinh(x/L)Clcosh(x/L),

2A2sinh(x/L)C2cosh(x/L)由條件i：ClC2

由條件ii：

dllim(Dx0(1)dxDd2

dx)limD

Lx0[Alcosh(

SL

DxL)Clsinh(xL)A2cosh(xL)C2sinh(xLSSL

DA2AlAlA2(2)

由條件iii、iv：

Alsinh(a/L)Clcosh(a/L)0Clcosh(a/L)Alsinh(a/L)(3)

(4)A2sinh(b/L)C2cosh(b/L)0C2cosh(b/L)A2sinh(b/L)

聯(lián)系(1)可得：AlA2tanh(b/L)/tanh(a/L)

結(jié)合(2)可得：

A2SLDA2tanh(b/L)tanh(a/L)A2SL/D1tanh(b/L)/tanh(a/L)

AlSL/D1tanh(a/L)/tanh(b/L)

ClC2Altanh(a/L)SLtanh(a/L)tanh(b/L)/Dtanh(a/L)tanh(b/L)所以：

SLtanh(b/L)sinh(x/L)tanh(a/L)tanh(b/L)cosh(x/L)

],x0D[tanh(b/L)tanh(a/L)

(x)

SL[tanh(a/L)sinh(x/L)tanh(a/L)tanh(b/L)cosh(x/L)],x0tanh(b/L)tanh(

a/L)D

3-23

證明：以平板中線上任一點為原點建立一維直角坐標系，先考慮正半軸，建立擴散方

程：

DaS

2

即：2

aD

SD

,x>0

iii.(ad)0

邊界條件：i.0|,ii.limj(x)0,

x0

參考21題，可得通解形式：(x)Asinh(x/L)Ccosh(x/L)S/a

J(x)D

ddx

ADLcosh(

xL)

CDLsinh(

xL)

由條件ii可得：

limj(x)

x0

ADL

0A0

adLxL

)

Sa

Sa

0c

s

acosh(

[1

cosh(x/L)cosh(

adL

)]

adL

)

再由條件iii可得：(ad)Ccosh(

所以：(x)

S

acosh(

adL

)

cosh()

Sa

由于反曲余弦為偶函數(shù)，該解的形式對于整個坐標軸都是適用的。證畢。

3-24設(shè)半徑為R的均勻球體內(nèi)，每秒每單位體積均勻產(chǎn)生S個中子，試求球體內(nèi)的中

子通量密度分布。解：以球心為原點建立球坐標系，建立擴散方程：

DaS

2

即:

2

aD

SD

iii.Iim4rj(r)0

r0

2

邊界條件：i.0,

exp(r/L)

r

2

ii..(Rd)0,

exp(r/L)

r

rL

通解：(r)AC

Sa

rL

由條件iii:lim4rj(r)lim4D[A(

r0

r0

l)e

r/L

C(l)e

r/L

]0AC

再由條件ii：(Rd)

A

a[exp(ARd

exp(

RdL

)

CRd

exp(R

RdL

)

Sa

0

(Rd)SRdL

)exp(

RdL

)]

所以：(r)

(Rd)S[exp(r/L)exp(r/L)]1a[exp(

RdL

)exp(

RdL

)]

r

Sa

Sa

[1

(Rd)cosh(r/L)rcosh(

RdL

)

]

(此時，limj(r)0)r0

第四章

4-1試求邊長為a,b,c(包括外推距離)的長方體裸堆的幾何曲率和中子通量密度分

布。設(shè)有一邊長a=b=c=0.5m,c=0.6m(包括外推距離)的長方體裸堆，L=0.0434m,

T=6cm2o(1)求達到臨界時所必須的k8；(2)如果功率為5000kW,2f=4.01nr

1,求中子通量密度分布。

解：長方體的幾何中心為原點建立坐標系，則單群穩(wěn)態(tài)擴散方程為：D(x

22

y

2

2

z

2

2

)aka0

邊界條件：(a/2,y,z)(x,b/2,z)(x,y,c/2)0

(以下解題過程中不再強調(diào)外推距離，可以認為所有外邊界尺寸已包含了外推距離)

因為三個方向的通量變化是相互獨立的，利用分離變量法：(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)

XX

2

將方程化為：

YY

2

ZZ

2

2

k1L

2

設(shè)：

XX

2

B,

2x

YY

2

B,

2y

ZZ

Bz

2

先考慮x方向，利用通解：X(x)AcosBxxCsinBxx代入邊界條件：Acos(Bx

a2

)0Bnx

na

,n1,3,5,...Blx

a

同理可得：(x,y,z)Ocos(

a

x)cos(

a

y)cos(

a

z)

其中60是待定常數(shù)。

2222

其幾何曲率：Bg()()()106.4(m-2)

a

b

c

(1)應用修正單群理論，臨界條件變?yōu)椋浩渲校篗

2

k1M

2

Bg

2

L0.00248(m)

22

k1.264

(2)只須求出通量表達式中的常系數(shù)4)0

a

PEf

V

fdVEff0

2a2

cos(

a

b

x)dx

2b2

cos(

b

c

y)dy

2c2

cos(

c

z)dzEffOabc(

2

)

3

0

p(/2)

3

Effabc

1.007X1018(m-2?s-l)

4-2設(shè)一重水-鈾反應堆堆芯的k8=i.28,L2=l.8X10-2m2,T=1.20X10-2m2。試按

單群理論，修正單群理論的臨界方程分別求出該芯部材料曲率和達到臨界時總的中子不泄

漏概率。解：對于單群理論：Bm在臨界條件下：

11BgL

2

2

2

kIL

2

15.56(m-2)

11BmL

2

2

0.7813（或用1/k）

對于單群修正理論：M

Bm

2

2

2

L0.03(m)

2

kIM

2

9.33(m)

-2

在臨界條件下：

11BgM

2

2

11BmM

2

2

0.68\0.7813?

(注意：這時仍能用1/k,實際上在維持臨界的前提條件下修正理論不會對不泄

漏概率產(chǎn)生影響，但此時的幾何曲率、幾何尺寸已發(fā)生了變化，不再是之前的系統(tǒng)了)

4-4解：N5

10005NA

M5

N5NCN5

28

-3

10005NAN5

M5

NC

二4.79X1024(m-3),

NCN5

NCN5

10(m)4.79X

堆總吸收截面：aN5(f)NCa=0.344(m-1)

5

5

C

總裂變截面：fN5fNCL

2

5

C

f

N5f=0.280(m)

5-1

Da

D

N5()NC

5

5f

Ca

=2.61X10-2(m2)

k

vfa

vN5

5

5

5

f

C

N5(f)NCa

2m

=1.97

則材料曲率：B

2

kIL

2

2

vN5

5f

N5(f)NCa

D

55C

二37.3(m-2)

在臨界條件下：Bg(

Bm

2

R

考慮到外推距離：d

2tr3

2D=0.018(m)

(如有同學用d=o.7104tr也是正確的，但表達式相對復雜)再考慮到堆的平均密

度：

5N5CNC

N5NC

NM1000NA

5512NC/235N5

1NC/N5

=957(kg/m3)

(或者由N

1000NA

M

3

)實際的臨界質(zhì)量：

4(Rd)512NC/235N54

531NC/N532D]=156(kg)

34-5

證明：以球心為坐標原點建立球坐標系，單群穩(wěn)態(tài)擴散方程:

22

2rr

2

B

邊界條件：i.limj0；

rRI

ii.（R2）0；

（如果不認為R2包括了外推距離的話，所得結(jié)果將與題意相悖）球域內(nèi)方程通解:

（r）A由條件i可得：

limjD|rRIAB

cosBRl

RI

A

sinBRl

R

21

cosBrr

C

sinBrr

rRI

CB

sinBRl

RI

C

cosBRl

R

21

0

CA

BRlcosBRlsinBRIBRIsinBRIcosBRl

A

tanBRlBRlBRltanBRl1

由條件ii可得：

(R2)A

sinBR2

R2

C

cosBR2

R2

0CAtanBR2

由此可見,tanBR2

235

tanBRlBRlBRltanBRl1

3

,證畢

3

238

4-7一由純U金屬(P=18.7X10kg/m)組成的球形快中子堆，其周圍包以無限厚的純

試用單群理論計算其臨界質(zhì)量，單群常數(shù)如下：

235

U(P=19.0X10kg/m),

33

U：of=1.5b,oa=l.78b,Str=35.4m-1,v=2.51；238U：of=0,oa=0.18b,

2tr=35.4m-lo

解：以球心為坐標原點建立球坐標系，對于U-235和U-238分別列單群穩(wěn)態(tài)擴散方程，

設(shè)其分界面在半徑為R處：U-235：5

1L

2

8

2

k1L5

2

5

方程1

U-238：8

2

8

方程2

8r

rR

邊界條件：i.lim5

r0

ii.5(R)8(R)

iii.D5

5r

rR

D8

iv.lim80

r

令B

2

k1L5

2

(在此臨界條件下，既等于材料曲率，也等于幾何曲率)，球域內(nèi)方程1通解:

sinBrr

5(r)A5

cosBrr

C5

sinBrr

由條件i可知A5=0,所以：5(r)C球域內(nèi)方程2通解：8(r)A8

exp(r/L8)

r

exp(r/L8)

C8

由條件iv可知C8=0,所以：8(r)A

exp(r/L8)r

由條件ii可得：C由條件iii可得：

sinBRR

A

exp(R/L8)

R

CA

exp(R/L8)sinBR

D5C(B

cosBRR

sinBRR

2

)D8A(

1L8R

1R

)exp(2

RL8

)C

D8D5

(A

RL8

l)exp(

RL8

)

sinBRBRcosBR

所以(由題目一知參

數(shù)：tr,5tr,8D5

RL8

RL8

13tr,5

13tr,8

D8)

(A

l)exp()

D8D5

sinBRBRcosBR

RL8

A

exp(R/L8)sinBR

sinBRBRcosBR(

RL8

DsinBR

即：BRcosBRsinBR

cosBR

1BL8

sinBRR

arccot(1/BL8)

B

代入數(shù)據(jù)：

N5

105NA

M5

3

4.79X10(m)

-28-3

N8

108NA

M8

3

4.81X10(m)

-28-3

k

vf,5a,5

V

f,5

a,5

2.115L5

2

13a,5

1.31X10-3(m2

R

arccot(1/BL8)

B

/2arctan(1/BL8)

B43

0.06474(m)m5V55R

3

21.3(kg)

4-8

證明：(1)如圖4-8所示的柱坐標系下，單群穩(wěn)態(tài)擴散方程可寫為(臨界條件下，幾

何曲率與材料曲率相等)：r

22

1rr

1r

2

2

2

z

2

2

Bg,(0rRO,

2

,H/2zH/2)

邊界條件(不考慮外推距離)：i.|rRr00ii.

|0|0iii.|zH/2|zH/20

(注意，這里不能用線性微分方程解的存在唯一性定理：

i如果ai(t)(xO

(0)

1,2,n,f都)t是區(qū)間［ab上的連續(xù)函數(shù)，則對于任-t0(a,b)