勾股定理（基礎）

【鞏固練習】

一.選擇題

1.（2016?荊門）如圖,Z\ABC中，AB=AC,AD是NBAC的平分線.已知AB=5,AD=3,則BC的

長為（）

A.5B.6C.8D.10

2.若直角三角形的三邊長分別為2,4,X,則x的值可能有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.小明想知道學校旗桿的高度，他發現旗桿上的繩子垂到地面還多1米,當他把繩子的下

端拉開5米后，發現下端剛好接觸地面，則旗桿的高是（）

A.12米B.10米C.8米D.6米

4.Rt^ABC中，斜邊BC=2,則AB?+AC?+的值為（）

A.8B.4C.6D.無法計算

5.如圖，^ABC中，AB=AC=10,BD是AC邊上的高線，DC=2,則BD等于（）

6.（2015?深圳模擬）如圖，在aABC中，AB=AC=5,P是BC邊上除B、C點外的任意一點,

則代數式AP、PB?PC等于（）

A.25B.15C.20D.30

填空題

7.（2016?黔東南州一模）在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CDJLAB于

D,CD=.

8.如圖，有一塊長方形花圃，有少數人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內走出了一條“路”,

他們僅僅少走了米路，卻踩傷了花草.

9.如圖是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據圖中的尺寸（單位：mm）,計算兩

圓孔中心A和B的距離為mm.

10.如圖，有兩棵樹，一棵高8m,另一棵高2加，兩樹相距8”，一只小鳥從一棵樹的樹

梢飛到另一棵樹的樹梢，至少要飛m.

11.如圖，直線/經過正方形ABCD的頂點B,點A、C到直線/的距離分別是6、8,則正方

形的邊長是.

12.（2015?延慶縣一模）學習勾股定理相關內容后，張老師請同學們交流這樣的一個問題:

“已知直角三角形的兩條邊長分別為3,4,請你求出第三邊."張華同學通過計算得到

第三邊是5,你認為張華的答案是否正確：,你的理由

是.

三.解答題

13.如圖四邊形ABCD的周長為42,AB=AD=12,NA=60°,ND=150°,求BC的長.

14.已知在三角形ABC中，ZC=90",AD平分NBAC交BC于D,CD=3,BD=5,求AC的

長.

15.(2015春?濱州月考)如圖所示的一塊地,AD=9m,CD=12m,ZADC=90°,AB=39m,

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】C；

【解析】勾股定理.

2.【答案】B；

【解析】x可能是直角邊，也可能是斜邊.

3.【答案】A；

【解析】設旗桿的高度為x米，則(X+1)2=/+52,解得x=12米.

4.【答案】A；

(解析］AB2+AC2+BC2=28c2=8.

5.【答案】B；

【解析】AD=8,BD2=AB2-AD2=102-82=36,/.BD=6.

6.【答案】A.

【解析】解：過點A作AD1BC于D,

VAB=AC=5,ZADP=ZADB=90°,

；.BD=CD,根據勾股定理得：PA=PD2+AD2,AD2+BD2=AB2,

.*.AP2+PB?PC=AP2+(BD+PD)(CD-PD)=AP2+(BD+PD)(BD-PD)=AP2+BD2-PD=AP2-

PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25.

故選A.

二.填空題

12

7.【答案】—；

8.【答案】2；

【解析】走捷徑是5米，少走了7—5=2米.

9.【答案】150；

【解析】VAC=150-60=90mm,BC=180-60-120mm,AB2=AC2+BC2=22500,所以

AB=150mm.

10.【答案】10；

【解析】；82+(8-2『=100,.?.飛行距離為10m.

11.【答案】10；

【解析】可證兩個三角形全等，???62+82=1()2,.?.正方形邊長為10.

12.【答案】不正確；若4為直角邊，第三邊為5；若4為斜邊，第三邊為我.

【解析】解：張華的答案不正確，

理由為：若4為直角邊，第三邊為杼工05；

若4為斜邊，第三邊為_3上近.

三.解答題

13?【解析】

解：連接BD,因為AB=AD=12,ZA=60°

所以AABD是等邊三角形，

又因為ND=150°,

所以ABCD是直角三角形，

于是BC+CD=42-12-12=18,

設BC=x,從而CD=18—x,

利用勾股定理列方程得(18-%)2+12?=/,

解得x=13,即BC的長為13.

14.【解析】

解：過D點作DEJ_AB于E,

：AD平分/BAC,ZC=90°,

，DE=CD=3,

易證4ACDgZXAED,

，AE=AC,

RtADBE中，：BD=5,DE=3,ABE=4

在Rt22iACB中，ZC=90°

設AE=AC=x,則AB=4+x

,:AB"=AC2+BC2

：.(4+x)2=JT2+82

解得x=6,；.AC=6.

解：解：連結AC,

AR

由勾股定理可知

AC=VCD2+AD2=V122+92=1:5,

又；AC2+BC2=152+362=392=AB2

??.△ABC是直角三角形，

D=-1X15x36--x12x9=216(m)

故這塊地的面積=$△ABC-SAAC

22

即這塊地的面積是216平方米.

勾股定理（基礎）

責編：杜少波

【學習目標】

1.掌握勾股定理的內容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗數形結合的思想；

2.能夠運用勾股定理求解三角形中相關的邊長（只限于常用的數）；

3.通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題.

【要點梳理】

【高清課堂勾股定理知識要點】

要點一、勾股定理

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別

為a,b.斜邊長為c,那么。2+匕2=。2.

要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.

（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長

可以建立方程求解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的

目的.

（3）理解勾股定理的一些變式：

cr=c2-b2,b2=c2-a2,c2=(a+bf-2ab.

要點二、勾股定理的證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖⑴中=(a+b?+4x—a6>所以

2

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖（2）中SE.d&E=c'=（6?a）'+4x」心,所以二2=42+6

2

方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

(3)

Swa=空竽3=2弓必+#,所以r+從=」

要點三、勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關系的證明問題；

3.與勾股定理有關的面積計算；

4.勾股定理在實際生活中的應用.

【典型例題】

類型一、勾股定理的直接應用

C1、在aABC中，ZC=90°,NA、NB、NC的對邊分別為a、b、c.

(1)若。=5,b=12,求c；

(2)若c=26,b=24,求。.

【思路點撥】利用勾股定理片+從=02來求未知邊長.

【答案與解析】

解：(1)因為aABC中，NC=90°,a2+b2^c2,a=5,b=12,

所以c2=〃+〃=52+122=25+144=169.所以c=13.

(2)因為aABC中，ZC=90°,/+/=。2,c=26,b=24,

所以=。2—/=262—242=676—576=100.所以a=10.

【總結升華】已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長，關鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是

斜邊，再決定用勾股原式還是變式.

舉一反三：

【變式】在AABC中，ZC=90°,/A、NB、/C的對邊分別為a、b、c.

(1)已知人=6,c=10,求a；

(2)已知a:c=3:5,b=32,求a、c.

【答案】

解：(1)ZC=90°,b=6,c=10,

/.a2—c2—b~—IO2—62--64.

，a=8.

(2)設a=3A,c=5k,

?：ZC=90°,b-32,

a2+b2=c2.

BP(3Z:)2+322=(5Zr)2.

解得k=8.

a-3k-3x8=24,c=5k-5x8=40.

類型二、與勾股定理有關的證明

▼2、（2015?豐臺區一模）閱讀下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理

的方法.先做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊分別為a,b,斜邊為c,然后按

圖1的方法將它們擺成正方形.

2=x2,

由圖1可以得到（a+b）4-^ab+c

整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2.

所以a2+b2=c2.

如果把圖1中的四個全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請你參照上述證明勾股定理

的方法，完成下面的填空：

由圖2可以得到,

整理，得，

所以.

圖2

圖1

【答案與解析】

證明：S大正方形=。2,S大正方形=4SA+S小正方形=4x_lab+（b-a）2,

2

c2=4xAab+(b-a)2,

2

整理，得

2ab+b2-2ab+a2=c2,

c2=a2+b2.

-22222222

故答案是：4X^ab+(ba)=c;2ab+b-2ab+a=c；a+b=c.

【總結升華】本題考查利用圖形面積的關系證明勾股定理，解題關鍵是利用三角形和正方形

邊長的關系進行組合圖形.

舉一反三：

【變式】如圖，在aABC中，/C=90°,D為BC邊的中點，DEJ_AB于E,則AE2-BE2

等于（）

A.AC2B.BD2C.BC2D.DE2

【答案】連接AD構造直角三角形，得

AEfJS?=ATP-DE2-BD2+DE2=Ab1-BLP=ATP-D<^=AC2,選A.

類型三、與勾股定理有關的線段長

【高清課堂勾股定理例3】

C3、如圖，長方形紙片ABCD中，已知AD=8,折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B

落在點F處，折痕為AE,且EF=3,則AB的長為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D；

【解析】

解：設AB=x,則AF=x,

?/AABE折疊后的圖形為aAFE,

???AABE^AAFE.BE=EF,

EC=BC-BE=8—3=5,

在RtZ\EFC中，

由勾股定理解得FC=4,

在Rt^ABC中,X2+82=（X+4）2,解得X=6.

【總結升華】折疊問題包括“全等形”、“勾股定理”兩大問題，最后通過勾股定理求解.

類型四、與勾股定理有關的面積計算

C4、如圖，直線1上有三個正方形a,b,c,若a,c的面積分別為5和11,則b的面

積為（）

【思路點撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應用，由b是正方形，可求AABC

^△CDE.由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積.

【答案】D

【解析】

解：VZACB+ZECD=90°,ZDEC+ZECD=90°,

.,.ZACB=ZDEC,

在△ABC和4CDE中，

ZABC=ZCDE

■：\ZACB=NDEC

AC=CE

/.△ABC^ACDE

；.BC=DE

；AB2+BC2=AC2

：.AB2+DE2AC2

.?.b的面積為5+11=16,故選D.

【總結升華】此題巧妙的運用了勾股定理解決了面積問題，考查了對勾股定理幾何意義的理

解能力，根據三角形全等找出相等的量是解答此題的關鍵.

舉一反三：

【變式】（2015?東莞模擬）如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已

知SI=4,$2=9,S3=8,S4=10,貝！JS=（）

A.25

【答案】解：如圖，由題意得：

AB2=SI+S2=13,

AC2=S3+S4=18,

BC2=AB2+ACMI,

S=BC2=31,

故選B.

類型五、利用勾股定理解決實際問題

▼5、（2016春?淄博期中）有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把

竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高.

【思路點撥】根據題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和

高構成直角三角形，運用勾股定理可求出門高.

【答案與解析】

解：設門高為X尺，則竹竿長為（x+1）尺，

根據勾股定理可得：

X2+42=（X+1）2,即X2+16=X2+2X+1,

解得：x=7.5,

竹竿高=7.5+1=8.5（尺）

答：門高7.5尺，竹竿高8.5尺.

【總結升華】本題考查勾股定理的運用，正確運用勾股定理，將數學思想運用到實際問題中

是解答本題的關鍵.

舉一反三：

【變式】如圖所示，一旗桿在離地面5加處斷裂，旗桿頂部落在離底部12M處，則旗桿折

斷前有多高？

【答案】

解：因為旗桿是垂直于地面的，所以/C=90°,BC=5/n,AC=12m,

...AB2=BC2+AC2=52+122=169.

AB=13(zn).

,BC+AB=5+13=18(加).

二旗桿折斷前的高度為18加.

勾股定理（提高）

【鞏固練習】

一.選擇題

1.如圖，AABC中，D為AB中點，E在AC上，且BE_LAC.若DE=10,AE=16,則BE的長度

為（）

A.10B.11C.12D.13

2.（2016?漳州）如圖,aABC中，AB=AC=5,BC=8,D是線段BC上的動點（不含端點B、C）.

若線段AD長為正整數，則點D的個數共有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

3.如圖，長方形AOBC中，A0=8,BD=3,若將矩形沿直線AD折疊，則頂點C恰好落在邊0B

上E處，那么圖中陰影部分的面積為（）

4.如圖，已知△ABC中，ZABC=90°,AB=BC,三角形的頂點在相互平行的三條直線人，12,

4上，且4，4之間的距離為2，4，。之間的距離為3，則AC?的值是（）

5.在aABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,則AABC的周長為（）

A.42B.32C.42或32D.37或33

6.（2015?煙臺）如圖，正方形ABCD的邊長為2,其面積標記為Si,以CD為斜邊作等腰

直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S2,…按

照此規律繼續下去，則S20I5的值為（)

c.成

二.填空題

7.若一個直角三角形的兩邊長分別為12和5,則此三角形的第三邊的平方為.

8.將一根長為15cm的很細的木棒置于底面直徑為5cm,高為12cm的圓柱形杯中，木棒露

在杯子外面的部分長度x的范圍是.

9.如圖，在5x5的正方形網格中，以AB為邊畫直角△ABC,使點C在格點上，這樣的點C

10.（2016?黃岡校級自助招生）如圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形

拼成的一個大正方形.如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形較

短的直角邊長為a,較長的直角邊長為b,那么（a+b）2的值是.

11.已知長方形ABCD,AB=3c〃z,AD=4cm,過對角線BD的中點。做BD的垂直平分線EF,

分別交AD、BC于點E、F,則AE的長為.

12.（2015春?召陵區期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,

NB=90。，那么四邊形ABCD的面積是

D

13.(2015?青島模擬)如圖，ZMON=90°,矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM,ON±,

當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中

AB=2,BC=1,求運動過程中，點D到點O的最大距離.

14.現有10個邊長為1的正方形，排列形式如左下圖，請把它們分割后拼接成一個新的正

方形.要求：在左下圖中用實線畫出分割線，并在右下圖的正方形網格圖(圖中每個

小正方形的邊長均為1)中用實線畫出拼接成的新正方形.

15.由于過度采伐森林和破壞植被，我國部分地區頻頻遭受沙塵暴的侵襲.近日，A城氣象

局測得沙塵暴中心在A城的正西方向240km的B處，以每時12km的速度向北偏東60°

方向移動，距沙塵暴中心150km的范圍為受影響區域.

(1)A城是否受到這次沙塵暴的影響？為什么？

(2)若A城受這次沙塵暴影響，那么遭受影響的時間有多長？

北

西；？4東

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】C

【解析】?.?BE_LAC,.?.△AEB是直角三角形，為AB中點,DE=10,/.AB=20,VAE=16,

BE2=AB?-A￡2=I",所以BE=12.

2.【答案】C

【解析】過點A作AE1BC,則由勾股定理得AE=3,點D是線段BC上的動點（不含端點B、

C）.所以3WAD<5,AD=3或4,共有3個符合條件的點.

3.【答案】A

【解析】由題意CD=DE=5,BE—4,設0E=x,AE=AC=x+4,所以8?+x?=（x+4p,

x=6,陰影部分面積為，X6X8+LX4X3=30.

22

4.【答案】A

【解析】如圖，分別作CD，。交4于點E，作AF，4，則可證AAPB絲aBDC,則AF=3

=BD,BF=CD=2+3=5,；.DF=5+3=8=AE,在直角4AEC中，勾股定理得

AC2=82+22=68.

5.【答案】C

【解析】高在AABC內部，第三邊長為14；高在AABC外部，第三邊長為4,故選C.

6.【答案】C

【解析】解：根據題意：第一個正方形的邊長為2；

第二個正方形的邊長為：返X2；

2

第三個正方形的邊長為：（返）2X2-

第n個正方形的邊長是（牛）n-1X2-

所以S2015的值是0）2012,

2

故選C.

二.填空題

7.【答案】169或119；

【解析】沒有指明這兩邊為直角邊，所以要分類討論，12也可能是斜邊.

8.【答案】2cmWxW3cm；

【解析】由題意可知BC=5cm,AC=12cm,AB=13cm.當木棒垂直于底面時露在杯子外面的

部分長度最長為，15-AO15T2=3cm,當木棒與AB重合時露在杯子外面的部分長度最短為

15-AB=15-13=2cm.

B

9.【答案】8；

【解析】如圖所示：有8個點滿足要求.

c3

10.【答案】25；

【解析】根據題意，結合勾股定理a?+b2=13,四個三角形的面積=4X1ab=13-1,

2

2ab=12,聯立解得：(a+b)2=13+12=25.

7

11.【答案】一cm；

8

【解析】連接BE,設AE=X，BE=DE=4—X,則3?+/=(4—％)一2,x=—7.

12.【答案】36.

【解析】解：TNABC=90°,AB=3,BC=4,

AC=VAB2+BC2=V32+42=5;

在AACD中，AC2+CD2=25+144=169=AD2,

△ACD是直角三角形，

S叫邊般ABCD=1AB?BC+>1AC?CD

22

=_1X3X4+AX5X12

22

=36.

故答案是：36.

三.解答題

13.【解析】解：如圖，取AB的中點E,連接OE、DE、OD,

VOD<OE+DE,

...當0、D、E三點共線時，點D到點0的距離最大，

此時,VAB=2,BC=1,

.*.OE=AE=1AB=I,

2

DE=VAD2+AE2=V12+12=^

15?【解析】

解：（1）過點A作ACLBM,垂足為C,

在Rt^ABC中，由題意可知NCBA=30°,

.\AC=-AB=-X240=120,

22

VAC=120<150,

AA城將受這次沙塵暴的影響.

（2）設點E,F是以A為圓心，150km為半徑的圓與MB的交點，連接AE,AF,

由題意得，CE2=AE2-AC2=1502-1202=8100,CE=90

AEF=2CE=2X90=180

1804-12=15（小時）

:.A城受沙塵暴影響的時間為15小時.

北

西RA東

勾股定理（提高）

責編：杜少波

【學習目標】

1.掌握勾股定理的內容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗數形結合的思想；

2.能夠運用勾股定理求解三角形中相關的邊長（只限于常用的數）；

3.通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題.

【要點梳理】

【高清課堂勾股定理知識要點】

要點一、勾股定理

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別

為a,b.斜邊長為c,那么。2+匕2=。2.

要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.

（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長

可以建立方程求解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的

目的.

（3）理解勾股定理的一些變式：

cr=c2-b2,b2=c2-a2,c2=(a+bf-2ab.

要點二、勾股定理的證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖⑴中=(a+b?+4x—a6>所以

2

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖（2）中SE.d&E=c'=（6?a）'+4x」心,所以二2=42+6

2

方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

(3)

=亙弩^=2弓必+#,所以r+從一

要點三、勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關系的證明問題；

3.與勾股定理有關的面積計算；

4.勾股定理在實際生活中的應用.

【典型例題】

類型一、與勾股定理有關的證明

1＞在AABC中，AB=AC,D是BC延長線上的點，求證：AD1-AB2=BDDC

【答案與解析】

證明：作等腰三角形底邊上的高AE

VAB=AC,AE1BC

；.BE=EC,ZAEB=ZAEC=90°

AD2-AB2=(4爐+DE?)-(+BE2)

=AE2+DE2-AE2-BE2

=DE?-BE?

=(DE+BE)(DE—BE)

=BD-CD

【總結升華】解決帶有平方關系的問題，關鍵是找出直角三角形，利用勾股定理進行轉化,

若沒有直角三角形，常常通過作垂線構造直角三角形，再利用勾股定理解題.

類型二、與勾股定理有關的線段長

^^2、如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,D為AC邊上中點，過D點作DE

±DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF長.

【答案與解析】

解：連接BD,

丁等腰直角三角形ABC中，D為AC邊上中點，

ABD1AC（三線合一），BD=CD=AD,NABD=45°,

.,.ZC=45°,

；./ABD=NC,

XVDE±DF,

，ZFDC+ZBDF=ZEDB+ZBDF,

BC

.".ZFDC=ZEDB,

在AEDB與AFDC中，

，ZEBD=ZC

BD=CD，

ZEDB=ZFDC

.,.△EDB^AFDC（ASA）,

，BE=FC=3,

，AB=7,則BC=7,

，BF=4,

在RtAEBF中，

EF2=BE2+BF2=32+42,

.\EF=5.

【總結升華】此題考查的知識點是勾股定理及全等三角形的判定，關鍵是由已知先證三角形

全等，求得BE和BF,再由勾股定理求出EF的長.

舉一反三：

【變式】（2015春?天津校級期中）如圖，NC=30。，PA_LOA于A,PB_LOB于B,PA=2,

PB=11,求OP的長.

【答案】

解：PAJLOA,ZC=30°,

PC=2PA=4,

BC=BP+PC=11+4=15,

VPB±OB,ZC=30",

設OB=x,則OC=2x,

在Rt^BOC中，由勾股定理得：

x2+152=(2x)2,

解得，x=5x/3,

即OB=5G,

p=

O-^Qg+pg2=5/75+121=14-

類型三、與勾股定理有關的面積計算

3、（2015?豐臺區二模）問題背景：___

在△ABC中，AB,BC,AC三邊的長分別為、而，3血，屈,求這個三角形的面積.

小軍同學在解答這道題時，先建立了一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1）,再在網

格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示.這樣不需

要求出△ABC的高，借用網格就能計算出它的面積.

（1）請你直接寫出△ABC的面積；

思維拓展：

【思路點撥】（1）根據圖形得出SAABC=S矩形MONC-SACMA-SAAOB-SABNC,根據面積公

式求出即可；（2）先畫出符合的三角形，再根據圖形和面積公式求出即可.

【答案與解析】

解：（1）△ABC的面積是4.5,理由是：

圖1

SAABC=S矩形MONC-SACMA-SAAOB-SABNC

=4x3-.1x4x1-Ax2xl-.1x3x3

222

=4.5,

故答案為：4.5；

SAMNP=S矩形MOAB-SAMON-SAPAN-SAMBP

=5x3-1x5x1-1x2x4-2x3x1

222

=7,

即△MNP的面積是7.

【總結升華】本題考查了勾股定理和三角形的面積公式的應用，解此題的關鍵是能正確畫出

格點三角形，難度不是很大.

舉一反三：

【變式】如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角

三角形.若正方形A、B、C、D的邊長分別是4、6、3、4,則最大正方形E的面積是（）

類型四、利用勾股定理解決實際問題

Cd、（2016?貴陽模擬）一架梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米,

（1）這個梯子的頂端距地面有多高？

（2）如果梯子的頂端下滑了4米到A，，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？

【思路點撥】（1）利用勾股定理直接得出AB的長即可；（2）利用勾股定理直接得出BC，

的長，進而得出答案.

【答案與解析】

解：（1）由題意得：AC=25米，BC=7米，

22=24

AB=J25-7（米），

答：這個梯子的頂端距地面有24米；

（2）由題意得：BA，=20米，

BC-7252-202=15（米），

則：CC=15-7=8（米），

答：梯子的底端在水平方向滑動了8米.

【總結升華】此題主要考查了勾股定理的應用，熟練利用勾股定理是解題關鍵.

舉一反三：

【變式】如圖①，有一個圓柱，它的高等于12cm,底面半徑等于3cm,在圓柱的底面A

點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點的食物，需要爬行的最短路程是多少？（n

取3）

【答案】

解：如圖②所示，由題意可得：

4r=12,A6=1x2〃x3=9

2

在RtZ\AA'B中，根據勾股定理得：

AB2=AA'2+A'B2=12?+92=225

則AB=15cm.

所以需要爬行的最短路程是15cm.

【鞏固練習】

一.選擇題

1.如圖，一棵大樹被臺風刮斷，若樹在離地面3加處折斷，樹頂端落在離樹底部4加處,

A.5mB.7mC.8/nD.10，"

2.如圖，從臺階的下端點B到上端點A的直線距離為（)

A.15B.16C.17D.18

3.（2016春?棗陽市期末）甲、乙兩艘客輪同時離開港口，航行的速度都是40m/min,甲客

輪用15min到達點A,乙客輪用20min到達點B,若A,B兩點的直線距離為1000m,

甲客輪沿著北偏東30。的方向航行，則乙客輪的航行方向可能是（）

A.北偏西30。B.南偏西30。C.南偏東60。D.南偏西60。

4.如圖所示，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,點E、F是中線AD上的兩點，則圖中

陰影部分的面積是（）.

A

A.6B.12C.24D.30

5.下列三角形中，是直角三角形的是（

A.三角形的三邊滿足關系a+6=cB.三角形的三邊比為1：2：3

C.三角形的一邊等于另一邊的一半D.三角形的三邊為9,40,41

6.某市在舊城改造中，計劃在市內一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環境，已

知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要（）

A.450a元B.225。元

C.150a元D.300a元

7.（2015?江陰市模擬）如圖，RSABC中,NC=90。,AC=12,BC=5.分別以AB、AC、

BC為邊在AB的同側作正方形ABDE、ACFG、BCIH,四塊陰影部分的面積分別為Si、

S2、S3、S4.則S1+S2+S3+S4等于（）

8.已知，如圖長方形ABCD中，AB=3c〃z,AD=9c〃?，將此長方形折疊，使點B與點

D重合，折痕為EF,則AABE的面積為（）

A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.Mem2

二.填空題

11.如圖，B,C是河岸邊兩點，A是對岸岸邊一點，測得NABC=45。，ZACB=45°,BC

=60米，則點A到岸邊BC的距離是米.

A

8

12.在直角三角形中，一條直角邊為11cm,另兩邊是兩個連續自然數，則此直角三角形的

周長為.

13.（2016春?西和縣校級月考）三角形的三邊長為a、b、c,且滿足等式（a+b）2-c2=2ab,

則此三角形是三角形（直角、銳角、鈍角）.

14.如圖，平面上A、B兩點處有甲、乙兩只螞蟻，它們都發現C處有食物，己知點C在

A的東南方向，在B的西南方向.甲、乙兩只螞蟻同時從A、B兩地出發爬向C處，速度

都是30c77?/min.結果甲螞蟻用了2min,乙螞蟻2分40秒到達C處分享食物，兩只螞蟻

原來所處地點相距cm.

15.小明要把一根長為70cm的長的木棒放到一個長、寬、高分別為50cm,40cm,30cm的

木箱中，他能放進去嗎？—（填"能''或"不能”）.

16.如圖，4ABC中，/ACB=90。，AC=BC=1,取斜邊的中點，向斜邊做垂線，畫出一

個新的等腰直角三角形，如此繼續下去，直到所畫直角三角形的斜邊與AABC的BC邊

重疊為止，此時這個三角形的斜邊長為.

三.解答題

17.若直角三角形兩直角邊的比是3：4,斜邊長是20,求此三角形的面積.

18.（2014春?安次區校級月考）甲乙兩船從位于東西走向的海岸線上的港口A同時出發，

甲以每小時30海里的速度向北偏東35。方向航行，乙船以每小時40海里的速度向另一

方向航行，2小時后，甲船到C島，乙船到達B島，B、C兩島相距100海里，判斷乙

船所走方向，說明理由.

19.如圖，AABC中，ZA=90°,AC=20,AB=10,延長AB至ljD,使CD+DB=AC+

AB,求BD的長.

n

20.如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，8'為CD邊上的點，B'C=3.將紙片

沿某條直線折疊，使點B落在點B'處，點A的對應點為A',折痕分別與AD,BC邊交

于點M,N.求BN的長.

3'

B

N

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】C；

2.【答案】C；

【解析】距離為AB?=82+152=289,AB=17

3.【答案】C；

【解析】解：甲的路程：40X15=600m,乙的路程：20X40=800m,

V6002+8002=10002,

甲和乙兩艘輪船的行駛路線呈垂直關系，

???甲客輪沿著北偏東30。，

二乙客輪的航行方向可能是南偏東60。，

故選：C.

4.【答案】A；

【解析】由題意SABEF=SMEF，,S陰影=Saw=]X3x4=6?

5.【答案】D；

6.【答案】C；

【解析】作高，求得高為15m,所以面積為，x20xl5=150機2.

2

7.【答案】A；

【解析】解：過D作BM的垂線交BM于N,

?圖中S2二SRIADOI,SABOC=SAMND,

S2+S4=SRtAABC.

可證明RtAAGE^RtAABC,RsDNB義RsBHD,

S1+S2+S3+S4

=S1+S3+(S2+S4),

=RtAABC的面積+RSABC的面積+RSABC的面積

=RtAABC的面積x3

二12x5;2x3

=90.

故選：A.

【解析】設AE=x,則DE=BE=9—x,在RtAABE中，

AB2+AE2=BE2,9+?=(9-X)2,X=4,S,.=6c病

二.填空題

9.【答案】225；144；40；

【解析】根據勾股定理直接求解即可.

10.【答案】8；

11.【答案】30；

12.【答案】132cm；

【解析】由題意1F+〃2=(〃+I)2,解得〃=&),所以周長為11+60+61=132.

13.【答案】直角;

【解析】解：；(a+b)2-c2=2ab,

a2+2ab+b2-c2=2ab,

a2+b2=c2,

...三角形是直角三角形.

14.【答案】100；

【解析】依題知AC=60cm,BC=80c〃?，；.AB2=602+802=1002,AB=100cm.

15.【答案】能；

【解析】可設放入長方體盒子中的最大長度是xcm,根據題意，得X2=5O2+402+3()2=5OOO,

702=4900,因為4900<5000,所以能放進去.

16.【答案】

8

三.解答題

17?【解析】

解：設此直角三角形兩直角邊分別是3x,4x,由勾股定理得：

(3x)2+(4x)2=2()2

化簡得：f=i6

.,.直角三角形的面積為：—x3xx4x=6x2=96.

2

18.【解析】

解：由題意得：甲2小時的路程=30x2=60海里，乙2小時的路程=40x2=80海里，

???602+802=1002,

ZBAC=90°,

?；C島在A北偏東35。方向，

；.B島在A北偏西55。方向.

乙船所走方向是北偏西55。方向.

解：設BD=x,則CD=30—x.

在RtAACD中，根據勾股定理列出(30-=(X+10)2+20\

解得x=5.

所以BD=5.

20.【解析】

解：點A與點A',點3與點8’分別關于直線用N對稱，

AM=AM,BN=B'N.

設BN=BN=x,則GV=9—x.

正方形43cD,

.IZC=90".

CN2+B'C2=B'N2.

B'C=3,

：.(9-X)2+32=X2.

解得x=5.

BN=5.

《勾股定理》全章復習與鞏固(基礎)

責編：杜少波

【學習目標】

1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內容；

3.能應用勾股定理及逆定理解決有關的實際問題.

【知識網絡】

【要點梳理】

【高清課堂勾股定理全章復習知識要點】

要點一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方.(HP：。2+〃=。2)

2.勾股定理的應用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要

應用是：

(1)已知直角三角形的兩邊，求第三邊；

(2)利用勾股定理可以證明有關線段平方關系的問題；

(3)解決與勾股定理有關的面積計算；

(4)勾股定理在實際生活中的應用.

要點二、勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a、b、c,滿足儲+。2=02,那么這個三角形是直角三角形.

要點詮釋：

應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：

(1)首先確定最大邊，不妨設最大邊長為c；

(2)驗證：與是否具有相等關系：

若+匕2=。2,則AABC是以NC為90。的直角三角形；

若。2+〃＞。2時，AABC是銳角三角形;

若時，AABC是鈍角三角形.

2.勾股數

滿足不定方程f+>2=z2的三個正整數，稱為勾股數（又稱為高數或畢達哥拉斯數）,

顯然，以x、y、z為三邊長的三角形一定是直角三角形.

要點詮釋：

常見的勾股數：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（。、枚c）是勾股數，當t為正整數時，以山、從、a為三角形的三邊長，此三角

形必為直角三角形.

觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數，它們具有以下特征：

1.較小的直角邊為連續奇數；

2.較長的直角邊與對應斜邊相差1.

3.假設三個數分別為a、b、c