必修1數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

集合：

1、集合的定義：一般地，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱集。集合中的每個(gè)對(duì)象叫做

這個(gè)集合中的元素

2、集合元素的特征：①確定性②互異性③無序性

3、集合的分類：①有限集②無限集③空集，記作0

4、集合的表示法：①列舉法②描述法③文氏圖法④特殊集合⑤區(qū)間法

常用數(shù)集及其記法：①自然數(shù)集（或非負(fù)整數(shù)集）記為N正整數(shù)集記為N*或N+

②整數(shù)集記為Z③實(shí)數(shù)集記為R④有理數(shù)集記為。

5、元素與集合的關(guān)系：①屬于關(guān)系，用“e”表示；②不屬于關(guān)系，用“金”表示

6、集合間的關(guān)系：①包含：用“q”表示②真包含：用“金”表示③相等④不相等

7、集合的交、并、補(bǔ)

交集的定義：由所有屬于集合A且屬于集合的元素組成的集合，叫做A與3的交集，記作ACIB,

即AClB={x|xGARjceb}

并集的定義：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，叫做A與B的并集，記作AU8,

即AU6={小eA^xG臺(tái)}

8、全集與補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于集合U

的補(bǔ)集，記作即=且r0A}

9、交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算：

（1）交換律：=A\JB=B\JA

（2）結(jié)合律：（AnB）nc=An（Bnc）（AUB）UC=AU（BUC）

（3）分配律：.An（Buc）=（AnB）u（Anc）AU（Bnc）=（AU8）n（Auc）

（4）0-1律：①A=O）,①A=A,UA=A,UA=U

（5）等幕律：AC\A=AA\JA=A

（6）求補(bǔ)律：AnQA=。AUQA=UW=@Cg=UQ（QA）=A

⑺反演律：Co（AnB）=（CoA）U（G/）Cu（AUB）=（CuA）n（a/）

10、文氏圖的應(yīng)用：交集、并集、補(bǔ)集的文氏圖表示

U

CuA

APBB

AUB

11、重要的等價(jià)關(guān)系：AnB=AoAUB=BoAqB

12、一個(gè)由〃個(gè)元素組成的集合有2"個(gè)不同的子集，其中有2"-1個(gè)非空子集，也有2"-1個(gè)真子集

函數(shù)：

1、映射：設(shè)A、3是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素。，在集合8中

都有唯一的元素b和它對(duì)應(yīng),則這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A、8以及A到B的對(duì)應(yīng)法則/）叫做

從集合A到集合的映射，記作8,其中b叫做a的象，。叫做b的原象

如果在這個(gè)映射下，對(duì)于集合A中的不同元素，在集合中有不同的象，而且B中的每一個(gè)元素

都有原象，那么這個(gè)映射叫做4到B上的一一映射

2、函數(shù)：設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，那么從A到B的映射/:4,8就叫做函數(shù)，記作y=/（x）,其

中xeAyeB,尤叫做自變量，），是x的函數(shù)值.自變量的取值集合A叫做函數(shù)的定義域，函

數(shù)值的集合C叫做函數(shù)的值域，值域C[B,函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則；兩個(gè)函數(shù)相同：

定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同

3、函數(shù)的表示方法：（1）列表法（2）圖象法（3）解析法

4、分段函數(shù):在自變量的不同取值范圍內(nèi)，其解析式不同,分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù),是一個(gè)函數(shù)

5、（1）函數(shù)的定義域的常用求法：

①分式的分母不等于零②偶次方根的被開方數(shù)大于等于零③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零

④指數(shù)函數(shù)和對(duì)■數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1

JT

⑤三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中+,余切函數(shù)丁=＜：01》中，x手k7i（keZ）

⑥如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍

（2）值域的求法：①直接法②分離常數(shù)法③圖象法④換元法⑤判別式法⑥不等式與對(duì)勾函數(shù)

6、求函數(shù)解析式的方法：

①直代②湊配法③換元法④待定系數(shù)法⑤列方程組法⑥特殊值法

1、增減函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)/（x）的定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值七,超

①若當(dāng)X＜々時(shí)，都有/（王）＜/（々），則說/（x）在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)

②若王</當(dāng)時(shí)，都有了(%)>.〃々)，則說/(X)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)

8、(1)單調(diào)性的證明：討論函數(shù)的增減性應(yīng)先確定單調(diào)區(qū)間，用定義證明函數(shù)的增減性，有“一設(shè)，二

差，三判斷”三個(gè)步驟

(2)函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

①若/(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則/(x)+g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為增(減)函數(shù)

②若/(x)為增(減)函數(shù)，則一/(幻為減(增)函數(shù)

③若/(幻與g(x)的單調(diào)性相同，則y=/［g(x)］是增函數(shù)；若/(x)與g(x)的單調(diào)性不同，

則y=〃g(x)］是減函數(shù),即復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是“同增異減”

④奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反

9、(1)奇、偶函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)/(%)

①如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有/(—X)=f(X),那么函數(shù)/(X)就叫做偶函數(shù)

②如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有/(-%)=-/(X),那么函數(shù)/(X)就叫做奇函數(shù)

注意：①函數(shù)為奇偶函數(shù)的前提是定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

②/(-X)=-/(X)BV(-X)=/(X)是定義域上的恒等式

③若奇函數(shù)/")在x=()處有意義，則/(0)=0

④奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形

(2)函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

①如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義，則/(0)=0,如果一個(gè)函數(shù)y=/(x)既是奇函數(shù)又是

偶函數(shù)，則/(x)=0(反之不成立)

②兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)：之積(商)為偶函數(shù)

③一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)

④兩個(gè)函數(shù)y=/(〃)和"=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函

數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)

基本初等函數(shù)

1、(1)一般地，如果x"=a,那么X叫做。的〃次方根。其中〃>l,〃eN+

①負(fù)數(shù)沒有偶次方根②0的任何次方根都是0,記作照=0

③當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，=a,當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，痂=|a|=f32°)

—a(a<0)

④我們規(guī)定：(1)。'"機(jī),〃cN*,m>1)(2)。一"=T〃>°)

(2)對(duì)數(shù)的定義：設(shè)。>0且arl,對(duì)于數(shù)N>0,若能找到實(shí)數(shù)。，使得a"=N,那么數(shù)｝稱為以a為

底的N的對(duì)數(shù),記作力=log,,N,其中。叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)

注：(1)負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)(因?yàn)镹=a'>0)(2)log?l=0,logaa=l(。>0且awl)

(3)將b=tg,,N代回d=N得到一個(gè)常用公式4k%(4)優(yōu)=Nolog“N=x

(3)基函數(shù)的定義：一般地，我們把形如y=x"函數(shù)稱為基函數(shù).其中x是自變量，a是常數(shù)

2、(1)①a'a，=ar+s(a>0,r,seQ)②(優(yōu))'=a"(a>0,r,seQ)

③(ab)'=abr(a>0,b>0,r&Q)

(2)當(dāng)a>0,a/l,M>0,N>0時(shí)：

①log“(MN)=log〃M+k>g“N②log,《］=log.M-log“N?logaM"=nlog?Af

④換底公式：log,*=^^(a>0,awl,c>0,c",/2>0),利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論：

log"

〃1

⑴logb"=—log?&C2)log?b=-----

mlog,,a

3、(1)指數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù))'=優(yōu)(。>0,。#1)叫做指數(shù)函數(shù).函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集/?

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：一般把函數(shù)y=log“Ma>0且awl)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，它的自變量為x,其定義域

是(0,+8),底數(shù)a為常數(shù)

表1指數(shù)函數(shù)y=”>0,awl)對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)y=log”x(a>0,“w1)

定義

X￡RXG(0,+O0)

域

值域ye(0,+oo)ywR

0<4?<171

\0<a<!

'/Z<^I

圖象\.........................................

a>1JH-

-1/3

1-------1-------1--------1—1

過定點(diǎn)(0,1)過定點(diǎn)(1,0)

性質(zhì)

減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)

了￡(一8,0)時(shí)，ye(l,+oo)xw(-oo,0)時(shí)，ye(0,1)X￡(0,l)時(shí)，ye(0,+oo)xe(0,l)時(shí)，ye(-oo,0)

XE(0,+GO)時(shí)，ye(0,1)X￡(0,+O0)時(shí)，y€(1,4-00)x￡(l,+oo)時(shí)，ye(-oo,0)X￡(l,+oo)時(shí)，yc(0,+8)

\l.y-a*1/IJ

/2

JJp=log/

a<ba>b

a<ha>b

表2幕函數(shù)y=

a=—a<00<a<1a>1a=i

q

\(1,1)

p為奇數(shù)■ya.i>//

11奇函數(shù)

q為奇數(shù)1/

H-l)\

,YI

1

/

■

p為奇數(shù)\Q,i)J.

q為偶數(shù)、---

-

A

H,0J、、

p為偶數(shù)X(1.1)

(T1)、偶函數(shù)

-1----1----1--—--:----1-----1-

4為奇數(shù)■?----1----1----(-1,1),'K

第一象限性

減函數(shù)增函數(shù)過定點(diǎn)（0,1）

質(zhì)

零點(diǎn)、二分法：

1、(1)函數(shù)的零點(diǎn)：

①對(duì)于函數(shù)y=/(x),我們把使/(幻=0的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)丁=/(功的零點(diǎn)

方程/(x)=0有實(shí)根o函數(shù))=/(X)的圖象與尤軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)

②如果函數(shù)y=/(x)=O在區(qū)間［。,以上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且/(。)/(。)<0,那

么函數(shù)y=/(x)在區(qū)間卜,同內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,。)，使得f(c)=O,這個(gè)c也就是方程

/(x)=0的根

(2)函數(shù)零點(diǎn)的求法：

①(代數(shù)法)求方程/(x)=0的實(shí)數(shù)根

②(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)

的性質(zhì)找出零點(diǎn)

2、二分法：

定義：對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，

使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

立體幾何初步

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,

由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱A8CDE-AEC力E'或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母,如五棱柱4》

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平

行于底面的截面是與底面全等的多邊形

（2）棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐p—AZ'COZ'

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距

離與高的比的平方

（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)尸-ABC力E

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓②母線與軸平行③軸與底面圓的半徑垂直

④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓②母線交于圓錐的頂點(diǎn)③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形

（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形

（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）：側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度

3、空間幾何體的直觀圖一一斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來的一半

4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和

（2）特殊幾何體表面積公式（C為底面周長(zhǎng)，h為高,〃'為斜高，/為母線）:

S直棱柱側(cè)面積=ch圓柱側(cè)加力S圓錐側(cè)面積二M

S=2S正棱錐側(cè)面積=2，〃'

S正楂臺(tái)側(cè)面積=+。2)〃'

S圓臺(tái)耐積=(r+R)力

S圓柱表=2司〃+/)s圓錐表=次(r+/)S圓臺(tái)表=++〃+R/+R2

(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式:

%=5〃%!柱=5〃=7廠/7/堀=/%

嗎=g(S+卮+S)力%臺(tái)=g(S+炳+S)〃=g萬(產(chǎn)+，犬+R2)〃

5、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

(1)平面

①平面的概念：A、描述性說明B、平面是無限伸展的

②平面的表示：通常用希臘字母二、。、/表示，如平面a(通常寫在一個(gè)銳角內(nèi))；也可以用兩

個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示，如平面BC

③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面a內(nèi)，記作Awa；點(diǎn)A不在平面a內(nèi)，記作Aea

點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線/上，記作：Ae/；點(diǎn)A在直線/外，記作A史/

直線與平面的關(guān)系：直線/在平面a內(nèi)，記作/口。；直線/不在平面a內(nèi)，記作/<za

(2)公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)

(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線)

應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號(hào)語言表示公理1：Ael,Bel,Aea,Bea=>lcia

(3)公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)

(4)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

符號(hào)：平面a和夕相交，交線是a,記作=a符號(hào)語言：PeA8nAB=l,Pwl

公理3的作用：

①它是判定兩個(gè)平面相交的方法

②它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)

③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)

(5)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

(6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交

③異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：直線”、。是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)0,分別引直線

b'Hb,則把直線優(yōu)和//所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和8所成的角。兩條異面直線所

成角的范圍是儉°,900],若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直

說明：(1)判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義②異面直線的判定定理

(2)在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)。是任取的，而和點(diǎn)。的位置無關(guān)

(3)求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在

特殊的位置上

B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

(7)等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)

(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線不在平面內(nèi)[相交----只有一個(gè)公共點(diǎn).

吉立加近而氐右手粕人八丑占(或直線在平面外)怦行一一沒有公共點(diǎn).

直線在平面內(nèi)---有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：aua=Aalla

(9)平面與平面之間的位置關(guān)系：平行一一沒有公共點(diǎn)：allp相交一一有一條公共直線：a^(3=b

6、空間中的平行問題

(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行

線線平行=線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行=線線平行

(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

兩個(gè)平面平行的判定定理

(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行

(線面平行o面面平行)

(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行

(線線平行O面面平行)

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

(1)如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行(面面平行O線面平行)

(2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行(面面平行O線線平行)

7、空間中的垂直問題

(1)線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直

②線面垂直:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個(gè)平面垂直

③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組

成的圖形)是直二面角(平面角是直角)，就說這兩個(gè)平面垂直

(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面

性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行

②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直

性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另

一個(gè)平面

8、空間角問題

(1)直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0"

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)0,分別作與兩條異面直線平行的直線

a',b',形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直

角的角叫做兩條異面直線所成的角

(2)直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0°②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90'

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這

個(gè)平面所成的角

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”

在''作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時(shí)，注意挖

掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：(1)斜線上一點(diǎn)到面的垂線

(2)過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面

角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二

面角的面

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)國(guó)內(nèi)分別作

垂耳于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角

的平面角

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角兩相交平面如果所組成的

二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩

個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射

線得到平面角

垂面法：己知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)

面的交線所成的角為二面角的平面角

直線與方程

1、直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與龍軸平

行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°<a<180)

2、直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率

常用女表示。即4=12!1￡。斜率反映直線與軸的傾斜程度

當(dāng)ae[0°,90°)時(shí)，k>()當(dāng)ae(90°,180=)時(shí)，k<0當(dāng)a=90°時(shí)，上不存在

②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：k=%一?(2與0)

注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)玉=超時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°

⑵々與耳，舄的順序無關(guān)

(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到

3、直線方程

①點(diǎn)斜式：y—必=Z(x-X1)直線斜率k,且過點(diǎn)(再,)[)

注意：當(dāng)直線的斜率為0"時(shí)，k=0,直線的方程是y=y

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示。但因/上每一點(diǎn)的橫

坐標(biāo)都等于不，所以它的方程是x=%

②斜截式：y^kx+b,直線斜率為左，直線在y軸上的截距為。

③兩點(diǎn)式：―—―=―—―（工產(chǎn)工2，必工上）直線兩點(diǎn)（外，/3（工2，%）

一%七一%

④截矩式：-+^=1.其中直線/與x軸交于點(diǎn)（。,0）,與y軸交于點(diǎn)（0,6）,即/與x軸、y軸的截距

ab

分別為a,b

⑤一般式：Ax+By+C=0（A,B不全為0）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：平行于x軸的直線：y=b（b為常數(shù)）；平行

于y軸的直線：x=a（。為常數(shù)）

4、兩直線平行與垂直

當(dāng)/[：y=+,，2：y=42%+82時(shí)，，"〃2O占=/2,4Hb2；，，2=k/2=—1

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否

5、兩條直線的交點(diǎn)：4:Ax+4y+G=0Z2：Ax+B2y+C2=0ffl^

交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組⑸y+G=°的一組解

[A2X+B2y+C2=0

方程組無解o/1〃4方程組有無數(shù)解與，2重合

6、兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)AQ，M）,3（七,丫2）是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，

則|AB|=也2-療+（%-X>

7、點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)尸（X。,%）到直線4:Ax+By+C=0的距離dJ4?+8yo+C|

yJA2+B2

8、兩平行直線距離公式：在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解

圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑

2、圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程（工一。）2+。一乃2=嚴(yán)，圓心（七人），半徑為廣

（2）一般方程+y2+￡>x+￡y+R=（）

當(dāng)。2+爐一4尸>0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為（_2,_馬，半徑為r=1VD2+E2-4F

222

當(dāng)+￡2一4/=。時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)。2+￡2一4E<。時(shí)，方程不表示任何圖形

（3）求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求

出。、b、r；若利用一般方程，需要求出。、E、F,另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦

的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置

3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

(1)設(shè)直線/:Ax+3y+C=0,圓C:(x_a『+(y—Of=汽圓心C(a,。)到/的距離為

;_\Aa+Bb+C\t則有4>r0/與。相離；。=r0/與。相切；d<ro/與C相交

JA，+8?

(2)設(shè)直線/:Ax+By+C=O,圓C:(x—af+(y-切？=戶，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)

一元二次方程之后，令其中的判別式為A,則有AvOo/與C相離

△=0=/與。相切=交

注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式xq+Wo=/去解直線與圓相切的問題，其中(%0，丁。)

表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑

(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：

①圓/+丫2=/,圓上一點(diǎn)為(玉),％),則過此點(diǎn)的切線方程為xx()+y%=/

②圓^一口尸+⑶一匕尸=，，圓上一點(diǎn)為(%,%),則過此點(diǎn)的切線方程為

(x-a)(x()~a)+(y-6)(%-b)=r2

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定

2222

設(shè)圓G:(x-?j)+(y-=/,C2:(x—a2)+(y—b2)=R

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(4)之間的大小比較來確定

當(dāng)d〉R+r時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條

當(dāng)"=/?+「時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條

當(dāng)A—r<d<R+r時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線

當(dāng)d=|R—r|時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線

當(dāng)d<|R--時(shí)，兩圓內(nèi)含

當(dāng)d=0時(shí)，為同心圓

高一數(shù)學(xué)必修3

算法初步

1、秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對(duì)于一個(gè)〃次多項(xiàng)式，只要作〃次乘

法和〃次加法即可。表達(dá)式如下：

anx"+x'l+…+q=((((6rnx+an_1)x+4一？)*+…)龍+4匕+4

2、理解算法的含義：一般而言，對(duì)于一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具有廣泛的

含義

(1)描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語言(本書指?jìng)未a)

(2)算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進(jìn)行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一個(gè)

或多個(gè)。沒有輸出的算法是無意義的

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機(jī)器在一定時(shí)間

內(nèi)可以完成，在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度

(3)算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，關(guān)系運(yùn)算等

②控制結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

3、流程圖：(flowchart):是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡(jiǎn)單的文字說明表示算法及程序結(jié)構(gòu)的一種圖

形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改

注意：(1)畫流程圖的時(shí)候一定要清晰,用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣

(2)拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到判斷框時(shí)

往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這

個(gè)條件是否正確，再考慮是否取等號(hào)的問題，這時(shí)候也就可以有幾種書寫方法了

(3)在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)到結(jié)

束框

4、算法結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)

直到型循環(huán)當(dāng)型循環(huán)

(1)順序結(jié)構(gòu)(sequencestructure)：是一種最簡(jiǎn)單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制轉(zhuǎn)移和重

復(fù)執(zhí)行的操作，一個(gè)順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的

(2)選擇結(jié)構(gòu)(selectionstructure)：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時(shí)主要是注意臨界條

件的確定。它有一個(gè)入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語句，不能同時(shí)執(zhí)行，其中的A,B兩語

句可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時(shí)，執(zhí)行某語句，至于不成立時(shí)，

不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句

(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)(cyclestructure)：它用來解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)操作問題，分直到型(until)和當(dāng)型

兩種結(jié)構(gòu)(見上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(shí)(即不知道循環(huán)次數(shù)時(shí))用

當(dāng)型循環(huán)

5、基本算法語句：本書中指的是偽代碼(pseudocode),且是使用BASIC語言編寫的，是介于自然語言

和機(jī)器語言之間的文字和符號(hào)，是表達(dá)算法的簡(jiǎn)單而實(shí)用的好方法。偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書

寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號(hào)要相對(duì)統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語句中可以用x=y,

也可以用x-y;表示兩變量相乘時(shí)可以用“*"，也可以用“x”

(1)賦值語句(assignmentstatement)：用<—表示，如：x<—y,表示將y的值賦給x,其中尤

是一個(gè)變量，y是一個(gè)與x同類型的變量或者表達(dá)式

一般格式：”變量一表達(dá)式”，有時(shí)在偽代碼的書寫時(shí)也可以用“x=y”，但此時(shí)的

“=”不是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的等號(hào)，而應(yīng)理解為一個(gè)賦值號(hào)

注：1)賦值號(hào)左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式

“=”具有計(jì)算功能。如：3=卬。+6=。，都是錯(cuò)誤的，而。=3*5-1,。=2。+3

都是正確的

2)一個(gè)賦值語句一次只能給一個(gè)變量賦值。如：a=b=c=2,a,0,c=2都是錯(cuò)誤的，而

a=3是正確的

(2)輸入語句(inputstatement):Reada,b表示輸入的數(shù)■—次送給。力

輸出語句(outstatement)：Printx,y表示一次輸出運(yùn)算結(jié)果

注：1)支持多個(gè)輸入和輸出，但是中間要用逗號(hào)隔開！

2)Read語句輸入的只能是變量而不是表達(dá)式

3)Print語句不能起賦值語句，意旨不能在Print語句中用“=”

4)Print語句可以輸出常量和表達(dá)式的值5)有多個(gè)語句在一行書寫時(shí)用“；”隔開

例題：當(dāng)了等于5時(shí)，Print"x=”；x在屏幕上輸出的結(jié)果是x=5

(3)條件語句(conditionalstatement)：

1)行If語句：IfAThenB注：沒有EndIf

2)塊If語句：注：①不要忘記結(jié)束語句EndIf,當(dāng)有If語句嵌套使用時(shí)，有幾個(gè)If,

就必須要有幾個(gè)EndIf②ElseIf是對(duì)上一個(gè)條件的否定，即己經(jīng)不屬于上面的條件，

另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每個(gè)條件的臨界性，即某個(gè)值是屬于上一個(gè)條件里,

還是屬于下一個(gè)條件④為了使得書寫清晰易懂，應(yīng)縮進(jìn)書寫。格式如下：

(4)循環(huán)語句(cyclestatement)：1)當(dāng)事先知道循環(huán)次數(shù)時(shí)用For循環(huán)，即使是N

次也是已知次數(shù)的循環(huán)2)當(dāng)循環(huán)次數(shù)不確定時(shí)用While循環(huán)

3)Do循環(huán)有兩種表達(dá)形式，與循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種循環(huán)相對(duì)應(yīng).

ForIFrom初值to終值Step步長(zhǎng)WhileA

EndForFor循環(huán)EndWhileWhile循環(huán)

DoWhilepDo

Loop當(dāng)型Do循環(huán)LoopUntilp直到型Do循環(huán)

說明：1)循環(huán)是前測(cè)試型的，即滿足什么條件才進(jìn)入循環(huán)，其實(shí)質(zhì)是當(dāng)型循環(huán)，一般在解決

有關(guān)問題時(shí)，可以寫成循環(huán)，較為簡(jiǎn)單，因?yàn)樗臈l件相對(duì)好判斷

2)凡是能用卬位/e循環(huán)書寫的循環(huán)都能用For循環(huán)書寫

3)While循環(huán)和Do循環(huán)可以相互轉(zhuǎn)化

4)Do循環(huán)的兩種形式也可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)條件要相應(yīng)變化

5)注意臨界條件的判定

高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)

‘正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角

2、角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱a為第幾象限角

第一象限角的集合為{。|人360<?<^-360+90,keZ}

第二象限角的集合為{。k-360+90<人360+180,keZ}

第三象限角的集合為{a|h360+180<a<h360+270,&eZ}

第四象限角的集合為{/H360+270<a<k-360+360#ez}

終邊在x軸上的角的集合為{a|a=hl80,keZ}

終邊在y軸上的角的集合為{二卜=h180+90,&eZ}

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為{a卜=人90,^eZ}

3、與角a終邊相同的角的集合為{尸忸=h360+aMwZ}

4、已知a是第幾象限角，確定￡(〃eN*)所在象限的方法：先把各象限均分〃等份，再?gòu)木泡S的正半軸

的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則a原來是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為區(qū)終邊所落在的

n

區(qū)域

5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度

6、半徑為r的圓的圓心角a所對(duì)弧的長(zhǎng)為/,則角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|a|=：

1、弧度制與角度制的換算公式：2%=3601=—1/竺4?57.3

180\7T)

8、若扇形的圓心角為a(。為弧度制J),半徑為r,弧長(zhǎng)為/,周長(zhǎng)為C,面積為S,則

I-r\a\>C-2r+l,S==；1a

9、設(shè)a是一個(gè)任意大小的角，。的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),它與原點(diǎn)的距離是

^r=yjx2+y2>oj,則sina=),cos6z=—tancr=—y(/x^O)\

10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限

正切為正，第四象限余弦為正

IK三角函數(shù)線：sincr=MP,cosa=OM,tana=AT

12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：⑴si/a+cos2a=1卜in2a=l-cos2a,cos2a=l-sin2a)

_xsina(.sina、

z(2)------=tanasma=tanacosa,cosa=-------

cosaItan6z)

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