考研數學一-一元函數積分學(一)(總分37.5,做題時間90分鐘)一、選擇題1.

曲線y=x2與直線y=2x圍成的平面圖形繞Y軸旋轉一周所得旋轉體的體積V等于

A

B

C

D

2.

下列函數不可積的是

(A)f(x)=xa，x∈[0，1]，a＞0．

(B)x∈[0，2]．

(C)x∈[-1，1]．

(D)x∈[0，1]．A

B

C

D

3.

下列結論正確的是

(A)若函數f(x)在[a，b]上可積，則f(x)在[a，b]上必有界；反之，若函數f(x)在[a，b]上有界，則f(x)在[a，b]上必可積．

(B)若函數f(x)在[a，b]上可積，則f(x)在[a，b]內必定有原函數；反之，若函數f(x)在[a，b]內有原函數，則f(x)在[a，b]上必定可積．

(C)若函數f(x)在任何有限區問上可積，則對任一點c，有

(D)若函數f(x)在[a，b]上可積，則必存在ξ∈[a，b]，使得A

B

C

D

4.

設F(x)是函數f(x)=maxx，x2的一個原函數．則

(A)F(x)可能在x=0，x=1兩點處間斷．

(B)F(x)只可能在x=1處間斷．

(C)F(x)的導函數可能在x=1處間斷．

(D)F(x)的導函數處處連續．A

B

C

D

5.

設有一橢圓形的薄板，長半軸為a，短半軸為b，薄板垂直立于液體巾，而其短半軸與液面相齊，液體的比重為γ，則液體對薄板的側壓力為

A

B

C

D

6.

下列反常積分發散的是

A

B

C

D

7.

下列關于反常積分的命題

①設f(x)是(-∞，+∞)上的連續奇函數，則

②設f(x)在(-∞，+∞)上連續，且存在，則必收斂，且

③若都發散，則不能確定是否收斂

④若都發散，則不能確定是否收斂

中是真命題的個數有

(A)1個．

(B)2個．

(C)3個．

(D)4個．A

B

C

D

8.

下列命題正確的是

(A)設f(x)為(-∞，+∞)上的偶函數且在[0，+∞)內可導，則，f(x)在(-∞，+∞)內可導．

(B)設f(x)為(-∞，+∞)上的奇函數且在[0，+∞)內可導，則f(x)在(-∞，+∞)內可導．

(C)設

(D)設x0∈(a，b)，f(x)在[a，b]除x0外連續，x0是f(x)的第一類間斷點，則f(x)在[a，b]上存在原函數．A

B

C

D

9.

設F(x)是函數f(x)在區間I上的原函數，則

(A)F(x)必是初等函數且有界．

(B)F(x)必是初等函數，但未必有界．

(C)F(x)在I上必連續且有界．

(D)F(x)在I上必連續，但未必有界．A

B

C

D

10.

設f(x)在(-∞，+∞)內連續，則下列敘述正確的是

(A)若f(x)為偶函數，則

(B)若f(x)為奇函數，則

(C)若f(x)為非奇非偶函數，則

(D)若f(x)為以T為周期的周期函數，且是奇函數，則是以T為周期的周期隔數．A

B

C

D

11.

設

(A)為反常積分，且發散．

(B)為反常積分，且收斂．

(C)不是反常積分，且其值為10．

(D)不是反常積分，且其值為．A

B

C

D

12.

下列結論不正確的是

(A)若函數f(x)在[a，b]上可積，則定積分表示一個常數值，且該值與區間[a，b]、函數f(x)及積分變量的記號均有關．

(B)若函數f(x)在[a，b]上可積，將[a，b]n等分，在每個小區間△xi上任取一點ξi，則必定存在，且

(C)設有常數I，如果對于任意給定的正數ε，總存在一個正數δ，使得對于區間[a，b]的任何分法，不論ξi在[xi-1，xi]中怎樣選取，只要λ＞δ，總有

(D)若函數f(x)在[a，b]上滿足下列條件之一：(ⅰ)在[a，b]上連續；(ⅱ)在[a，b]上有界，且只有有限個間斷點；(ⅲ)在[a，b]上單調，則f(x)在[a，b]上可積．A

B

C

D

13.

設，則根據定積分的幾何意義可知下列結論正確的是

(A)I是由曲線y=f(x)及直線x=a、x=b與x軸所圍圖形的面積，所以I＞0．

(B)若I=0，則上述圖形面積為零，從而圖形的“高”f(x)=0．

(C)I是曲線y=f(x)及直線x=a、x=b與x軸之間各部分而積的代數和．

(D)I是曲線y=|f(x)|及直線x=a、x=b與x軸所圍圖形的面積．A

B

C

D

14.

設函數f(x)在[a，b]上有界，把[a，b]任意分成n個小區間，ξi為每個小區間[xi-1，xi]上任取的一點，則所表示的和式極限是

A

B

C

D

15.

設f(ex)=x，則函數f(x)在區間[1，2]上的平均值等于

(A)ln2+1．

(B)ln2-1．

(C)2ln2+1．

(D)2ln2-1．A

B

C

D

16.

下列等式或結論正確的是

(A)[∫f(x)dx]'=∫f(x)dx=f(x)．

(B)∫d[∫f(x)dx]=f(x)．

(C)d[∫f(x)dx]=f(x)dx．

(D)若∫f(x)dx]'=[∫g(x)dx]'，則∫f(x)dx=∫g(x)dx.A

B

C

D

17.

下列命題

①若函數F(x)、Φ(x)是同一個函數f(x)在區間I上的兩個原函數，則其差F(x)-Φ(x)等于確定的常數

②設F'(x)、Φ'(x)，f(x)在集合D上有定義，且滿足F'(x)=Φ'(x)=f(x)，則F(x)-Φ(x)≡C

③若取積分常數C=0，則可積函數f(x)的原函數唯一

④若f(x)在區間I上有原函數，則f(x)的任意兩個原函數之和必為2f(x)的原函數

中正確的是

(A)①、②．

(B)②、③．

(C)①、④．

(D)③、④．A

B

C

D

18.

設F(x)是f(x)在(a，b)上的一個原函數，則f(x)+F(x)在(a，b)上

(A)可導．

(B)連續．

(C)存在原函數．

(D)不是分段函數．A

B

C

D

19.

設f(x)及g(x)在[a，b]上連續，則下列命題

①若在[a，b]上，f(x)≥0，則f(x)≠0，

②若在[a，b]上，f(x)≥0，且，則在[a，b]上f(x)=0

③若f(x)在[a，b]的任意子區間[α，β]上有，則f(x)=0()

④若在[a，b]上，f(x)≤g(x)，且，則在[a，b]上f(x)≡g(x)

中正確的是

(A)①、②．

(B)①、②、③．

(C)①、②、④．

(D)①、②、③、④．A

B

C

D

20.

下列各式成立的是

A

B

C

D

21.

下列命題

①設∫f(x)dx=F(x)+C，則對任意函數g(x)，有∫f[g(x)]dx=F[g(x)]+C

②設函數f(x)在某區間上連續、可導，且f'(x)≠0．又f-1(x)是其反函數，且∫f(x)dx=F(x)+C，則

∫f-1(x)dx=xf-1(x)-F[f-1(x)]+C

③設∫f(x)dx=F(x)+C，x∈(-∞，+∞)，常數a≠0，則∫f(ax)dx=F(ax)+C．

④設∫f(x)dx=F(x)+C，x∈(-∞，+∞)，則

中正確的是

(A)①、③．

(B)①、④．

(C)②、③．

(D)②、④．A

B

C

D

22.

設則下列結論

①在[-1，1]上f1(x)存在原函數

②存在定積分

③存在f'2(0)

④在[-1，1]上f2(x)存在原函數

中正確的是

(A)①、②．

(B)③、④．

(C)②、④．

(D)①、③。A

B

C

D

23.

積分上限函數(a≤x≤b)是一種由積分定義的新的函數，它的特征是自變量x為積分上限，F(x)與x的對應法則由定積分給出下列對F(x)的理解不正確的是

(A)若函數f(x)在[a，b]上連續，則F(x)可導，且F'(x)=f(x)．

(B)若函數f(x)存[a，b]上連續，則F(x)就是f(x)在[a，b]上的一個原函數．

(C)若函數f(x)存[a，b]上(有界，且只有有限個第一類間斷點)可積，則F(x)在[a，b]上連續，且可微．

(D)若積分上限是x的可微函數g(x)，則是F(u)與u=g(x)的復合函數，求導時必須使用復合函數求導法則，即

A

B

C

D

24.

下列命題不正確的是

(A)若f(x)在區間(a，b)內的某個原函數是常數，則f(x)在(a，b)內恒為零．

(B)若f(x)的某個原函數為零，則f(x)的所有原函數為常數．

(C)若f(x)在區間(a，b)內不是連續函數，則在這個區間內f(x)必無原函數．

(D)若F(x)是f(x)的任意一個原函數，則F(x)必定為連續函數．A

B

C

D

25.

下列命題不正確的是

(A)初等函數在其定義區間(a，b)內必定存在原函數．

(B)設a＜c＜b，f(x)定義在(a，b)上，若x=c是f(x)的第一類間斷點，則f(x)在(a，b)不存在原函數．

(C)若函數f(x)在區間，上含有第二類間斷點，則該函數在區間，上不存在原函數．

(D)設函數x∈(-∞，+∞)，則函數f(x)在(-∞，+∞)上不存在原函數．A

B

C

D

26.

下列等式或結論正確的是

(A)∫0dx=0．

(B)．

(C)

(D)設等式a+∫f(x)dx=∫f(x)dx成立，則a=0．A

B

C

D

27.

下列計算

(A)0個．

(B)1個．

(C)2個．

(D)3個．A

B

C

D

28.

下列結果正確的是

A

B

C

D

29.

設a＞0，f(x)在[-a，a]上連續，則在[-a，a]上

(A)f(cosx)的全體原函數為奇函數．

(B)x[f(x)-f(-x)]的全體原函數為偶函數．

(C)f(x2)有唯一原函數為奇函數．

(D)x[f(x)-f(-x)]的任一原函數既不是奇函數也不是偶函數．A

B

C

D

30.

設，則F(x)

(A)是零．

(B)是一個正數．

(C)是一個負數．

(D)不是常數．A

B

C

D

31.

下列結果不正確的是

A

B

C

D

二、填空題32.

33.

已知f(x)為非負連續函數，且當x≥0時，則f(x)=______．34.

擺線的一拱(0≤t≤2π)的弧長為______．35.

36.

曲線y=xsinx(0≤x≤π)與x軸所圍成的圖形繞y軸旋轉一周所成旋轉體的體積=______．37.

設F(x)是f(x)的一個原函數，f(x)具有連續導數，且F(0)=0，F(2)=F'(2)=1，則=______．38.

曲線y=ln(1-x2)相應于的一段的弧長為______．39.

40.

41.

已知f(x)的一個