§5.1定積分的概念與性質一、定積分問題舉例二、定積分定義三、定積分的性質1一、定積分問題舉例曲邊梯形設函數y

f(x)在區間[a,

b]上非負、連續.

由直線x

a、x

b、y

0及曲線y

f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形,

其中曲線弧稱為曲邊.

1.曲邊梯形的面積

2觀察與思考

在曲邊梯形內擺滿小的矩形,當小矩形的寬度減少時,小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化?怎樣求曲邊梯形的面積？3求曲邊梯形的面積

(1)分割:

a

x0<

x1<

x2<

<

xn

1<

xn

b,Dxi=xi-xi

1;

小曲邊梯形的面積近似為f(xi)Dxi(xi

1<xi<xi);(2)近似代替:

(4)取極限:

設

max{Dx1,

Dx2,

,

Dxn},曲邊梯形的面積為(3)求和:曲邊梯形的面積近似為;以直代曲42.變速直線運動的路程

已知物體直線運動的速度v

v(t)是時間t的連續函數,且v(t)

0,計算物體在時間段[T1,

T2]內所經過的路程S.(1)分割:

T1

t0<t1<t2<

<tn

1<tn

T2,

Dti

ti

ti

1;(2)近似代替:

物體在時間段[ti

1,

ti]內所經過的路程近似為DSi

v(

i)Dti(

ti

1<

i<ti);物體在時間段[T1,

T2]內所經過的路程近似為(3)求和:

(4)取極限:

記

max{Dt1,

Dt2,

,

Dtn},物體所經過的路程為以不變代變5定積分的定義在小區間[xi

1,

xi]上任取一點xi(i

1,2,

,

n),

作和

max{Dx1,

Dx2,

,Dxn};

記Dxi=xi-xi

1(i

1,2,

,

n),a

x0<x1<x2<

<xn

1<xn

b;在區間[a,

b]內插入分點:設函數f(x)在區間[a,

b]上有界.

如果當

0時,

上述和式的極限存在,

且極限值與區間[a,

b]的分法和xi的取法無關,

則稱此極限為函數f(x)在區間[a,

b]上的定積分,記為即二、定積分定義6定積分各部分的名稱

————積分符號,

f(x)———被積函數,

f(x)dx

——被積表達式,

x————積分變量,

a

————積分下限,

b

————積分上限,

[a,

b]———積分區間，

二、定積分定義———積分和.

定積分的定義7二、定積分定義說明：定積分的值只與被積函數及積分區間有關,而與積分變量的記法無關,即定積分的定義8函數的可積性如果函數f(x)在區間[a,

b]上的定積分存在,

則稱f(x)在區間[a,

b]上可積.

定理1

如果函數f(x)在區間[a,

b]上連續,

則函數f(x)在區間[a,

b]上可積.

定理2

如果函數f(x)在區間[a,

b]上有界,

且只有有限個間斷點,

則函數f(x)在區間[a,

b]上可積.

二、定積分定義定積分的定義9例1

用定積分表示極限解二、定積分定義定積分的定義10注:

設f(x)在[0,1]上連續,則有二、定積分定義定積分的定義11

這是因為曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值定積分的幾何意義

12各部分面積的代數和定積分的幾何意義

曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值13例2解oxy例3

求極限解原式14兩點規定三、定積分的性質15這是因為三、定積分的性質性質116三、定積分的性質性質1性質2性質3注：值得注意的是不論a

b

c的相對位置如何上式總成立

17三、定積分的性質性質1性質2性質3性質418推論1

如果在區間[a

b]上f(x)

g(x)

則這是因為g(x)

f(x)

0

從而所以如果在區間[a

b]上f(x)

0

則性質5

19這是因為

|f(x)|

f(x)

|f(x)|,所以推論1

如果在區間[a

b]上f(x)

g(x)

則如果在區間[a

b]上f(x)

0

則性質5

推論2

20推論1

如果在區間[a

b]上f(x)

g(x)

則如果在區間[a

b]上f(x)

0

則性質5

推論2

性質6

設M及m分別是函數f(x)在區間[a

b]上的最大值及最小值

則21例4

試證:證明

設則在上,有即故即22如果函數f(x)在閉區間[a

b]上連續

則在積分區間[a

b]上至少存在一個點x

使下式成立

這是因為,由性質6性質7(定積分中值定理)

——積分中值公式

由介值定理,至少存在一點x

[a,b],使兩端乘以b

a即得積分中值公式.23注:無論從幾何上,還是從物理上,都容易理解平均值公式求連續變量的平均值要用到.如果函數f(x)在閉區間[a

b]上連續

則在積分區間[a

b]上至少存在一個點x

使下式成立

性質7(定積分中值定理)

——積分中值公