湖南省衡陽市常寧第七中學高三數學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過點且平行于直線的直線方程為（

）A．B．C．D．參考答案：A略2.設全集,集合,,則=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B，所以，選B.3.關于x的方程至少有一個正的實根,則a的取值范圍是（

）A．a≥0

B．－1≤a＜0

C．a≥－1

D．a＞0或－1＜a＜0

參考答案：C略4.

等比數列{an}的首項a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n項之積。則πn(n∈N*)最大的是(

)

(A)π9

(B)π11

(C)π12

(D)π13參考答案：C解：πn=1536n×(－)，故π11<0，π9，π12，π13>0．作商比較：又，=15363′()66－36>1，=1536′()78－66<1．故選C．5.設，若在方向上的投影為2，且在方向上的投影為1，則和的夾角等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.數列{an}滿足a1=1，a2=，并且an（an﹣1+an+1）=2an+1an﹣1（n≥2），則該數列的第2015項為(

) A． B． C． D．參考答案：C考點：數列遞推式．專題：等差數列與等比數列．分析：利用遞推關系式推出{}為等差數列，然后求出結果即可．解答： 解：∵an（an﹣1+an+1）=2an+1an﹣1（n≥2），∴anan﹣1+anan+1=2an+1an﹣1（n≥2），兩邊同除以an﹣1anan+1得：=+，即﹣=﹣，即數列{}為等差數列，∵a1=1，a2=，∴數列{}的公差d=﹣=1，∴=n，∴an=，即a2015=，故選：C．點評：本題考查數列的遞推關系式的應用，判斷數列是等差數列是解題的關鍵，考查計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．7.將連續個正整數填入的方格中，使其每行、每列、每條對角線上的各數834159672之和都相等，這個正方形叫做階幻方數陣，記為階幻方數陣對角線上各數之和，如圖就是一個3階幻方數陣，可知。若將等差數列3，4，5，6，的前16項填入方格中，可得到一個4階幻方數陣，則（

）

A．44

B．42

C．40

D．36參考答案：B8.滿足下列條件的函數中，為偶函數的是（）A．

B．

C.

D．參考答案：D9.直線與曲線在第一象限內圍成的封閉圖形的面積為（A）（B）（C）2（D）4參考答案：D10.已知為等差數列，若，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A因為為等差數列，若，則，選A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓C1：相交于A，B兩點，則線段AB的中垂線方程為

。參考答案：x+y-3=012.（幾何證明選講選做題）如圖2，圓的直徑，直線與圓相切于點，于點D，若，設，則______．

參考答案：

13.在平面直角坐標系中定義點之間的交通距離為.若C(x,y)到點A(1,3)、B(6,9〉的交通距離相等,其中，實數x、y滿足，則所有滿足條件的點C的軌跡的長之和為__________參考答案：14.若，，則與均垂直的單位向量的坐標為__________________．參考答案：或者略15.程序框圖（即算法流程圖）如圖所示，其輸入結果是_______。參考答案：127解析：根據流程圖可得的取值依次為1、3、7、15、31、63……16.過拋物線的焦點的直線交該拋物線與兩點，若,=

.參考答案：略17.已知P是邊長為2的正△ABC邊BC上的動點，則·(＋)的值為

．參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設X為隨機變量，從棱長為a的正方體,的八個頂點中任取四個點，當四點共面時，X=0；當四點不共面時，X的值為四點組成的四面體的體積．(I)求概率P(X=0)；(II)求X的分布列，并求其數學期望E(X)．參考答案：解（1）從正方體的八個頂點中任取四個點,共有種不同取法.其中共面的情況共有12種(6個側面,6個對角面).則P(X=0)=.

（2）任取四個點,當四點不共面時,四面體的體積只有以下兩種情況:①四點在相對面且異面的對角線上,體積為這樣的取法共有2種.②四點中有三個點在一個側面上,另一個點在相對側面上,體積為.這樣的取法共有種X的可能取值是0，，X的分布列為X0

數學期望E(X)=略19.（12分）已知橢圓系方程：(，)，是橢圓的焦點，是橢圓上一點，且.（1）求的方程；（2）P為橢圓上任意一點，過P且與橢圓相切的直線與橢圓交于M，N兩點，點P關于原點的對稱點為Q，求證：的面積為定值，并求出這個定值．

參考答案：（1）橢圓的方程為：：

即：∵．∴，又………2分即：又,∴橢圓的方程為：

………4分（2）解：設，則當直線l斜率存在時，設l為：,則，由聯立得：由得

…………6分到直線的距離

同理，由聯立得：，…………8分

………………10分當直線l斜率不存在時，易知，的面積為定值……………12分

20.已知函數．（Ⅰ）解關于x的不等式；（Ⅱ）若恒成立，求實數m的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（I）討論的范圍，去掉絕對值符號解不等式；（II）根據的單調性求出的最小值，得出關于的不等式，從而求出的范圍．【詳解】解：（I）當時，不等式為：，解得，故．當時，不等式為：，解得，故1＜x＜3，當時，不等式為：，解得，故．綜上，不等式的解集為．（II）由恒成立可得恒成立．又，故在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增，∴的最小值為．∴，解得．即的最值范圍是．【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，函數最值與函數恒成立問題，屬于中檔題．21.（10分）已知函數f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解關于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函數f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象的上方，求m的取值范圍．參考答案：考點： 絕對值不等式的解法；函數恒成立問題．專題： 計算題；壓軸題．分析： （1）不等式轉化為|x﹣2|+|a﹣1＞0，對參數a進行分類討論，分類解不等式；（2）函數f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象的上方，可轉化為不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性質求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范圍．解答： 解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即為|x﹣2|+a﹣1＞0，當a=1時，解集為x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；當a＞1時，解集為全體實數R；當a＜1時，解集為（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象的上方，即為|x﹣2|＞﹣|x+3|+m對任意實數x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）又由不等式的性質，對任意實數x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，故m的取值范圍是（﹣∞，5）．點評： 本題考查絕對值不等式的解法，分類討論的方法，以及不等式的性質，涉及面較廣，知識性較強．22.（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分．如圖，在直三棱柱中，底面△是等腰直角三角形，，為側棱的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的大小（結果用反三角函數值表示）．參考答案：【測量目標】（1）空間想象能力/能正確地分析圖形中的基本元素和相互關系.（2）空間想象能力/能正確地分析圖形中的基本元素和相互關系.【知識內容】（1）圖形與幾何/空間圖形/空間直線與平面的位置關系.（2）圖形與幾何/空間向量及其應用/距離和角.【參考答案】（1）因為底面△是等腰直角三角形，且，所以，，………2分因為平面，所以，

………4分所以，平面．

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