浙江省衢州市龍游縣第一高級中學高一數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設x，y滿足的約束條件是，則z=x+2y的最大值是（）A．2B．4C．6D．8參考答案：C2.直線l過P（1，2），且A（2，3），B（4，﹣5）到l的距離相等，則直線l的方程是（）A．4x+y﹣6=0 B．x+4y﹣6=0C．3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0 D．2x+3y﹣7=0或x+4y﹣6=0參考答案：C【考點】IS：兩點間距離公式的應用；IG：直線的一般式方程．【分析】由條件可知直線平行于直線AB或過線段AB的中點，當直線l∥AB時，利用點斜式求出直線方程；當直線經過線段AB的中點（2，3）時，易得所求的直線方程．【解答】解設所求直線為l，由條件可知直線l平行于直線AB或過線段AB的中點，…（1）AB的斜率為=﹣4，當直線l∥AB時，l的方程是y﹣2=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣6=0．…（2）當直線l經過線段AB的中點（3，﹣1）時，l的斜率為=，l的方程是y﹣2=（x﹣1），即3x+2y﹣7=0．…故所求直線的方程為3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0．…故選C．3.設是兩條直線，是兩個平面，則的一個充分條件是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.兩條相交直線的平行投影是（）A．兩條相交直線 B．一條直線C．一條折線 D．兩條相交直線或一條直線參考答案：D【考點】NE：平行投影．【分析】利用平行投影知識，判斷選項即可．【解答】解：當兩條直線所在平面與投影面垂直時，投影是一條直線，所在平面與投影面不垂直時，是兩條相交直線．故選：D．【點評】本題考查空間平面與平面的位置關系，直線的投影，是基礎題．5.若，且，則的值是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C6.對于函數定義域內的任意且，給出下列結論：①；

②；③；

④，其中正確結論的個數為(

)A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C略7.關于函數，下列命題：①若存在，有時，成立；②在區間上是單調遞增；③函數的圖像關于點成中心對稱圖像；④將函數的圖像向左平移個單位后將與的圖像重合．其中正確的命題序號________．

（注：把你認為正確的序號都填上）參考答案：①③略8.函數f（x）=的零點個數為（

）A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：C9.已知向量滿足，且，則與的夾角為

參考答案：D10.已知函數的圖像關于直線對稱，則實數的值為（

）A.

B. C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設集合A＝{－1,0,3}，B＝{a＋3,2a＋1}，A∩B＝{3}，則實數a的值為________．參考答案：a＝0或112.一箱蘋果，4個4個地數，最后余下1個；5個5個地數，最后余下2個；9個9個地數，最后余下7個,這箱蘋果至少有_____個參考答案：9713.已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程為___________.參考答案：分析：設與直線垂直的直線方程為，根據直線過點，即可求得直線方程.解析：由題意，設與直線垂直的直線方程為，直線過點，直線的方程為：.故答案為：.點睛：1．直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，（1）若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．（2）若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設為Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋m＝0.14.（3分）已知m＞2，則函數f（θ）=sin2θ+mcosθ，θ∈R的最大值g（m）=

．參考答案：m考點： 二次函數在閉區間上的最值；二次函數的性質．專題： 函數的性質及應用．分析： 換元法可得y=﹣t2+mt+1，t∈[﹣1，1]，結合m＞2和函數的單調性可得當t=1時，函數取最大值，代入計算可得．解答： 由三角函數的知識可得f（θ）=sin2θ+mcosθ=﹣cos2θ+mcosθ+1，令cosθ=t，則t∈[﹣1，1]可得函數化為y=﹣t2+mt+1，t∈[﹣1，1]配方可得y=，可知關于t的函數圖象為開口向下，對稱軸為t=的拋物線一段，又m＞2，故，故函數在[﹣1，1]單調遞增，故g（m）=﹣12+m×1+1=m故答案為：m點評： 本題考查二次函數的區間最值，利用三角函數的關系換元是解決問題的關鍵，屬中檔題．15.某班有50名學生報名參加兩項比賽，參加A項的有30人，參加B項的有33人，且A,B都不參加的同學比A,B都參加的同學的三分之一多1人，則只參加A項，沒參加B項的學生有

_____________人。參考答案：916.△ABC是正三角形，AB=2，點G為△ABC的重心，點E滿足，則

．參考答案：以BC為x軸，BC的中垂線為y軸建立坐標系，因為，點G為的重心，點E滿足，所以，，，故答案為.

17.若函數的定義域是，則函數的定義域是____參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.求值：（1）；（2）.參考答案：（1）=

……………5分（2）==

……………10分19.（本小題滿分12分）已知數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an＋2，n∈N*(I)證明數列{an＋2}是等比數列，并求出數列{an}的通項公式；(II)求數列{nan}的前n項和Sn。參考答案：(I)an＝2n+1－2;(II)Sn=（n－1）2n＋2＋4(1)證明：an+1＋2＝an＋4＝2（an＋2），且a1＋2＝4數列{an＋2}是等比數列，公比為2，首項為4，∴an＝2n+1－2.

6分(2)解由(1)知∴Sn＝a1＋2a2＋…＋nan＝（n－1）2n＋2＋4

……12分20.在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，過E點做EF⊥PB交PB于點F．求證：（1）PA∥平面DEB；（2）PB⊥平面DEF．參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）由題意連接AC，AC交BD于O，連接EO，則EO是中位線，證出PA∥EO，由線面平行的判定定理知PA∥平面EDB；（2）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC證出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形證出DE⊥平面PBC，則有DE⊥PB，再由條件證出PB⊥平面EFD．【解答】證明：（1）連接AC，AC交BD于O．連接EO．∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點．∴在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO，∵EO?平面EDB，且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，可得：BC⊥平面PDC．∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD=DC，E是PC的中點，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．21.（14分）如圖，已知圓O：x2+y2=64分別與x軸、y軸的正半軸交于點A、B，直線l：y=kx﹣k+2分別于x軸、y軸的正半軸交于點N、M．（Ⅰ）求證：直線l恒過定點，并求出定點P的坐標；（Ⅱ）求證：直線l與圓O恒有兩個不同的交點；（Ⅲ）求當M、N恒在圓O內部時，試求四邊形ABMN面積S的最大值及此時直線l的方程．參考答案：考點： 直線與圓相交的性質．專題： 綜合題；直線與圓．分析： （Ⅰ）直線l：y=kx﹣k+2，變形為y﹣2=k（x﹣1），利用點斜式，可得直線l恒過定點P（1，2）；（Ⅱ）證明|OP|=＜8，可得P在圓O內，即可證明直線l與圓O恒有兩個不同的交點；（Ⅲ）由M、N恒在圓O內部，可得﹣6＜k＜﹣．SABMN=﹣（2﹣k）（1﹣）=30+（k+），利用﹣6＜k＜﹣2，函數單調遞增，﹣2＜k＜﹣函數單調遞減，即可求四邊形ABMN面積S的最大值及此時直線l的方程．解答： （Ⅰ）證明：直線l：y=kx﹣k+2，變形為y﹣2=k（x﹣1），由題意x=1且y=2，所以直線l恒過定點P（1，2）；（Ⅱ）證明：圓O：x2+y2=64的圓心為（0，0），半徑為8，因為|OP|=＜8，所以P在圓O內，所以直線l與圓O恒有兩個不同的交點；（Ⅲ）由題意，A（8，0），B（0，8），M（0，2﹣k），N（1﹣，0），因為M、N恒在圓O內部，所以﹣6＜k＜﹣．所以SABMN=﹣（2﹣k）（1﹣）=30+（k+），因為﹣6＜k＜﹣2，函數單調遞增，﹣2＜k＜﹣函數單調遞減，所以k=﹣2時，四邊形ABMN面積S的最大值為28，此時直線l的方程為2x+y﹣4=0．點評： 本題考查直線與圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能