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文檔簡介
福建省泉州市泉港第二中學高三數學理上學期摸底試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.i是虛數單位,復數=()A.2﹣iB.2+iC.﹣1﹣2iD.﹣1+2i參考答案:A考點:復數代數形式的乘除運算.專題:計算題.分析:復數的分子、分母同乘分母的共軛復數,復數化簡為a+bi(a,b∈R)的形式,即可.解答:解:復數=故選A點評:本題是基礎題,考查復數代數形式的乘除運算,注意分母實數化,考查計算能力,常考題型.2.已知拋物線y2=2px(p>0)的準線經過點(﹣1,1),則該拋物線焦點坐標為(
)A.(﹣1,0) B.(1,0) C.(0,﹣1) D.(0,1)參考答案:B【考點】拋物線的簡單性質.【專題】計算題;圓錐曲線的定義、性質與方程.【分析】利用拋物線y2=2px(p>0)的準線經過點(﹣1,1),求得=1,即可求出拋物線焦點坐標.解:∵拋物線y2=2px(p>0)的準線經過點(﹣1,1),∴=1,∴該拋物線焦點坐標為(1,0).故選:B.【點評】本題考查拋物線焦點坐標,考查拋物線的性質,比較基礎.3.已知各項均為正數的等比數列{an}中,,則數列的前10項和為A.5
B.6
C.10
D.12
參考答案:C4.在等差數列中,已知,是數列的前項和,則A.
B.
C.
D.參考答案:C5.命題“對,都有”的否定為
參考答案:【知識點】命題的否定A2【答案解析】“存在x∈R,有x2<0”解析:解:∵全稱命題的否定是特稱命題,∴命題“任意x∈R,都有x2≥0”的否定為:“存在x∈R,有x2<0”.故答案為:“存在x∈R,有x2<0”.【思路點撥】根據全稱命題的否定是特稱命題即可得到命題的否定6.設m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,給出下列四個命題:①若m⊥α,n∥α,則m⊥n
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,則m⊥γ③若m∥α,n∥α,則m∥n
④若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β其中正確命題的序號是()A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④參考答案:A【考點】空間中直線與平面之間的位置關系;命題的真假判斷與應用;空間中直線與直線之間的位置關系;平面與平面之間的位置關系.【分析】根據線面平行性質定理,結合線面垂直的定義,可得①是真命題;根據面面平行的性質結合線面垂直的性質,可得②是真命題;在正方體中舉出反例,可得平行于同一個平面的兩條直線不一定平行,垂直于同一個平面和兩個平面也不一定平行,可得③④不正確.由此可得本題的答案.【解答】解:對于①,因為n∥α,所以經過n作平面β,使β∩α=l,可得n∥l,又因為m⊥α,l?α,所以m⊥l,結合n∥l得m⊥n.由此可得①是真命題;對于②,因為α∥β且β∥γ,所以α∥γ,結合m⊥α,可得m⊥γ,故②是真命題;對于③,設直線m、n是位于正方體上底面所在平面內的相交直線,而平面α是正方體下底面所在的平面,則有m∥α且n∥α成立,但不能推出m∥n,故③不正確;對于④,設平面α、β、γ是位于正方體經過同一個頂點的三個面,則有α⊥γ且β⊥γ,但是α⊥β,推不出α∥β,故④不正確.綜上所述,其中正確命題的序號是①和②故選:A7.已知全集,集合,,則為()A.{1,2,4}
B.{2,3,4}
C.{0,2,4}
D.{0,2,3,4}參考答案:C8.復數z滿足,則z=(
)A. B. C. D.參考答案:A由,則,故選A.
9.(08年大連24中)設l,m,n表示三條直線,α,β,γ表示三個平面,給出下列四個命題:
①若l⊥α,m⊥α,則l∥m;
②若mβ,n是l在β內的射影,m⊥l,則m⊥n;
③若mα,m∥n,則n∥α;
④若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β.其中真命題為
(
)
A.①②
B.①②③
C.①②③④
D.③④參考答案:答案:A10.已知,,則(
)A. B. C. D.參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設i是虛數單位,若復數z滿足z(1+i)=1﹣i,則|z|=.參考答案:1【考點】復數求模.【分析】利用復數的運算法則、模的計算公式即可得出.【解答】解:z(1+i)=(1﹣i),∴z(1+i)(1﹣i)=(1﹣i)(1﹣i),∴2z=﹣2i,z=﹣i.則復數z的模|z|=1.故答案為:1.12.在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=,BC=,則△ABC外接圓半徑運用類比方法,若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直且長度分別為a,b,c,則其外接球的半徑R=
.參考答案:13.設變量x,y滿足,則z=2x-y的最大值為_________.參考答案:7略14.設函數,對任意恒成立,則實數m的取值范圍是 參考答案:已知f(x)為增函數且m≠0若m>0,由復合函數的單調性可知f(mx)和mf(x)均為增函數,此時不符合題意。M<0,時有因為在上的最小值為2,所以1+即>1,解得.15.若變量x,y滿足,則z=的取值范圍是.參考答案:[0,1]【考點】簡單線性規劃.【專題】數形結合;轉化法;不等式.【分析】作出不等式組對應的平面區域,利用z的幾何意義結合斜率公式進行求解即可.【解答】解:作出不等式組對應的平面區域如圖:z的幾何意義為區域內的點到點(﹣1,0)的斜率,由圖象知CD的斜率最小為0,AD的斜率最大,由得.即A(0,1),此時z===1,即0≤z≤1,故答案為:[0,1]【點評】本題主要考查線性規劃的應用,利用直線斜率的幾何意義,結合數形結合是解決本題的關鍵.16.若將復數表示為)的形式,則
.參考答案:8略17.已知,則=
。
參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知,,α,β均為銳角.(1)求sin2α的值;(2)求sinβ的值.參考答案:【考點】同角三角函數基本關系的運用;二倍角的正弦.【專題】轉化思想;綜合法;三角函數的求值.【分析】(1)由條件利用同角三角函數的基本關系求得sinα的值,再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值.(2)由條件利用同角三角函數的基本關系求得sin(α+β)的值,再利用兩角和差的正弦公式求得sinβ的值.【解答】解:(1)∵,α為銳角,∴,∴.(2)∵α,β均為銳角,,∴α+β∈(0,π),∴,∴.【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系,二倍角公式,兩角和差的正弦公式的應用,屬于基礎題.19.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊.已知a=2,A=.(Ⅰ)若b=2,求角C的大小;(Ⅱ)若c=2,求邊b的長.參考答案:考點:正弦定理;余弦定理.專題:解三角形.分析:(Ⅰ)根據正弦定理和已知條件求得sinB的值,進而求得B,最后利用三角形內角和求得C.(Ⅱ)用余弦定理列出關于b的表達式,整理求得b.解答: 解:(Ⅰ)由正弦定理=,∴sinB=sinA=×=,∴B=或,∵b<a,∴,∴.(Ⅱ)依題意,,即.∴b2﹣2b﹣8=0,又b>0,∴b=4.點評:本題主要考查了正弦定理和余弦定理的綜合運用.靈活運用正弦和余弦定理解三角形問題.20.設函數f(x)=|x+2|﹣|x﹣1|.(1)求不等式f(x)>1解集;(2)若關于x的不等式f(x)+4≥|1﹣2m|有解,求實數m的取值范圍.參考答案:【考點】絕對值不等式的解法;絕對值三角不等式.【分析】(1)由條件利用絕對值的意義求得不等式f(x)>1解集.(2)根據題意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解,即|x+2|﹣|x﹣1|+4的最大值大于或等于|1﹣m|,再利用絕對值的意義求得|x+2|﹣|x﹣1|+4的最大值,從而求得m的范圍.【解答】解:(1)函數f(x)=|x+2|﹣|x﹣1|表示數軸上的x對應點到﹣2對應點的距離減去它到1對應點的距離,而0對應點到﹣2對應點的距離減去它到1對應點的距離正好等于1,故不等式f(x)>1解集為{x|x>0}.(2)若關于x的不等式f(x)+4≥|1﹣2m|有解,即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解,故|x+2|﹣|x﹣1|+4的最大值大于或等于|1﹣m|.利用絕對值的意義可得|x+2|﹣|x﹣1|+4的最大值為3+4=7,∴|1﹣m|≤7,故﹣7≤m﹣1≤7,求得﹣6≤m≤8,m的范圍為[﹣6,8].21.(2017?河北二模)空氣質量指數(AirQualityIndex,簡稱AQI)是定量描述空氣質量狀況的質量狀況的指數,空氣質量按照AQI大小分為六級,0~50為優;51~100為良101﹣150為輕度污染;151﹣200為中度污染;201~300為重度污染;>300為嚴重污染.一環保人士記錄去年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖.(Ⅰ)利用該樣本估計該地本月空氣質量優良(AQI≤100)的天數;(按這個月總共30天)(Ⅱ)將頻率視為概率,從本月中隨機抽取3天,記空氣質量優良的天數為ξ,求ξ的概率分布列和數學期望.參考答案:【考點】離散型隨機變量的期望與方差;莖葉圖;離散型隨機變量及其分布列.【分析】(1)從莖葉圖中可以發現這樣本中空氣質量優的天數為2,空氣質量良的天數為4,由此能求出該樣本中空氣質量優良的頻率,從而能估計該月空氣質量優良的天數.(2)估計某天空氣質量優良的概率為,ξ的所有可能取值為0,1,2,3,且ξ~B(3,),由此能求出ξ的概率分布列和數學期望.【解答】解:(1)從莖葉圖中可以發現這樣本中空氣質量優的天數為2,空氣質量良的天數為4,∴該樣本中空氣質量優良的頻率為,從而估計該月空氣質量優良的天數為30×=18.(2)由(1)估計某天空氣質量優良的概率為,ξ的所有可能取值為0,1,2,3,且ξ~B(3,),P(ξ=0)=()3=,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)=()3=,∴ξ的分布列為:ξ0123P∴Eξ=3×=1.8.【點評】本題考查莖葉圖的應用,考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意排列組合知識的合理運用.22.本小題滿分14分)
已知函數處取得極值.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若當恒成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)對任意的是否恒成立?如果成立,給出證明,如果不成立,
請說明理由.參考答案:
(Ⅰ)∵f(x)=x3-x2+bx+c,
∴f′(x)=3x2-x+b.
……2分
∵f(x)在x=1處取得極值,
∴f′(1)=3-1+b=0.
∴b=-2.
……3分
經檢驗,符合題意.
……4分
(Ⅱ)f(x)=x3-x2-2x+c.
∵f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
…5分x
1
(1,2)
2f′(x)
+
0
-
0
+f(x)
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