8.5.2直線與平面平行第八章立體幾何初步1、判斷直線與直線平行的方法有哪些？2、直線與平面的位置關系有哪些？直線在平面內直線在平面外直線與平面平行：直線與平面相交：有且只有一個公共點；沒有公共點；：有無數個公共點①內錯角相等/同位角相等/同旁內角互補.②平行四邊形的對邊、梯形的上下底、三角形的中位線、棱柱的側棱平行…③相似線段成比例④平行線的傳遞性一.直線與平面平行的判定定理思考：怎樣判定直線與平面平行呢？探究1：門扇的兩邊是平行的.當門扇繞著一邊轉動時，另一邊與墻面有公共點嗎？此時門扇轉動的一邊與墻面平行嗎？根據定義，判定直線與平面是否平行，只需判定直線與平面有沒有公共點.但是，直線和平面是無限延伸的，如何保證直線與平面沒有公共點呢？無論門扇轉動到什么位置，因為轉動的一邊與固定的一邊總是平行的，所以它與墻面是平行的；1.文字語言：

如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。2.圖形語言：3.符號語言：abα三者缺一不可！直線與平面平行的判定定理判斷下列命題是否正確。（1）（2）×××（3）.Aaab(2)

結論：證明直線與平面平行，三個條件必須具備，才能得到線面平行的結論．αab(3)直線與平面平行的判定定理練習1A.若//平面，則平行于內的任何直線；C.若與平面內的無數條直線平行，則//平面；B.若直線在平面外，則//平面；D.若直線∥b，b?，那么直線就平行于平面內的無數條直線下列說法正確的是(

)D練習2練習3例1求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經過另外兩邊的平面.已知：空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點.求證：EF//平面BCD.BCADEF證明：今后要證明一條直線與一個平面平行，只要在這個平面內找出一條與此直線平行的直線就可以了.(多選)如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線的交點為O，M為PB的中點，則下列說法中正確的是A.OM∥PD

B.OM∥平面PCDC.OM∥平面PDA

D.OM∥平面PBA所以O為BD的中點.在△PBD中，M是PB的中點，所以OM是△PBD的中位線，所以OM∥PD，又PD?平面PCD，且PD?平面PDA，OM?平面PCD，且OM?平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因為M∈PB，所以OM與平面PBA相交.√因為矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，√√練習4

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點，判斷BD1與平面AEC的位置關系，并說明理由.解：BD1//平面AEC.理由如下：連接BD，交AC于點O，連接EO.∵點E是DD1的中點，∴BD1//EO，∴BD1//平面AEC.又BD1

平面AEC，BD1?平面AEC，o練習5∵四邊形ABCD是正方形∴O是DB的中點

例2如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點，M，N分別是AB，PC的中點.求證：MN∥平面PADG證明：

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別是BC，CC1，BB1的中點，求證：EF∥平面AD1G.證明:

連接BC1，在△BCC1中，∵E，F分別為BC，CC1的中點，∴EF∥BC1，又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.練習6

將棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1截去三棱錐D1－ACD后得到如圖所示的幾何體，O為A1C1的中點.求證：OB∥平面ACD1.如圖，取AC的中點M，連接MO，BM，D1M，B1D1.已知O為A1C1的中點，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，O分別為所在平面的中心，則BM=OD1，∴四邊形MBOD1為平行四邊形，∴OB∥MD1.∵MD1?平面ACD1，OB?平面ACD1，∴OB∥平面ACD1.練習7G

★練習：三棱柱ABC-A1B1C1中，M,N分別是BC和A1B1的中點，求證：MN//平面AA1C1C.追問2什么條件下，α內的直線與a平行呢？問題根據前述判定定理，我們已經研究了直線與平面平行的充分條件．下面我們將研究已知直線與平面平行，可以得到什么結論．追問1

若直線a與平面α平行，則a與α內的任意一條直線是什么位置關系？abαabαa與b平行a與b異面二.直線與平面平行的性質定理

假設a與α內的直線b平行，那么由基本事實的推論3,過直線a、b有唯一的平面β.這樣，我們可以把直線b看成是過直線a的平面β與平面α的交線.于是可得如下結論：

過直線a的平面β與平面α相交于b，則a//b.直線和平面平行的性質定理

如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行.符號語言圖形語言簡述為：線面平行→線線平行若直線l不平行于平面α，且l?α，則 A.α內的所有直線與l異面 B.α內不存在與l平行的直線 C.α內存在唯一的直線與l平行 D.α內的直線與l都相交若在平面α內存在與直線l平行的直線，因為l?α，所以l∥α，這與題意矛盾.√練習1.

判斷下列命題是否正確，正確的在括號內畫“√”，錯誤的畫“×”.(1)如果直線a//b，那么a平行于經過b的任何平面.()

(2)如果直線a和平面α滿足a//α，那么a與α內的任何直線平行.()

(3)如果直線a，b和平面α滿足a//α，b//α，那么a//b.()

(4)如果直線a，b和平面α滿足a//b，a//α，b

α，那么b//α.()√×××練習2

如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，過BC的平面與平面PAD交于EF，E在線段PD上且異于P，D兩點，則四邊形EFBC是A.空間四邊形 B.矩形 C.梯形 D.平行四邊形所以BC∥平面PAD.因為BC?平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因為BC＝AD，EF<AD，所以EF<BC，所以四邊形EFBC為梯形.√因為BC∥AD，AD?平面PAD，BC?平面PAD，練習3例1.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是PD上的點.如圖，連接BD，交AC于點H，連接EH，若PB∥平面AEC，求證：E是PD的中點.因為PB∥平面ACE，PB?平面PBD，且平面PBD∩平面ACE＝EH，所以PB∥EH，在△PBD中，H為BD的中點，所以E為PD的中點.練習4例2.如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，P為平面ABC外一點，E，F分別是PA，PC的中點.記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明.直線l∥平面PAC.證明如下：因為E，F分別是PA，PC的中點，所以EF∥AC.又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因為l?平面PAC，EF?平面PAC，所以l∥平面PAC.O典例解析

如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過點G和AP作平面，交平面BDM于GH.求證