2022年高考聯合模擬考試數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知全集〃=1<,集合A={x|-2Wx<3},B={y|y=2",xWl},則4口8=()

B.{x|-2<x<2}C.{x|0<x<2}{x|0<x<l}

2.已知復數z滿足|z|z=3+4i,則|z|=(

B.亞c.Vio

3.“一5<k<0”是“函數y=x2-kx-k的值恒為正值”的(

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.己知sin巳=二，則cos(a-i)=()

24

1515

A.—B.C.一一D.一一

2828

5.已知單位向量￡和坂滿足,一4=碼￡+年則￡與辦的夾角為()

7i卜2乃丁冗c5萬

A.-B.—C.—D.—

6336

6.已知直線/：“優一丁一3m+1=0恒過點p,過點P作直線與圓。：(*一lp+(y—2)2=25相交于A,

8兩點，則|A用的最小值為()

A.475B.2C.4D.2出

7.河圖是上古時代神話傳說中伏羲通過黃河中浮出龍馬身上的圖案，與自己的觀察，畫出的“八卦”，而龍

馬身上的圖案就叫做“河圖把一到十分成五組，如圖，其口訣：一六共宗，為水居北；二七同道，為火

居南；三八為朋，為木居東；四九為友，為金居西；五十同途，為土居中.“河圖''將一到十分成五行屬性

分別為金，木，水，火，土的五組，在五行的五種屬性中，五行相克的規律為：金克木，木克土，土克

水，水克火，火克金；五行相生的規律為：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.現從這十個數中

隨機抽取3個數，則這3個數字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數字的概率為()

o

CMXXMXX)

8.已知函數y=/(x),若/(x)>0且/'(x)+?(x)>0,則有()

A.7(x)可能是奇函數，也可能是偶函數B.

7t71cos2xi—

C時，/(sinx)<e2/(cosx)D./(0)<<e/(1)

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.下列說法中正確的是()

1Q

A.已知隨機變量X服從二項分布8(4,］),則O(X)=g

B.已知隨機變量X服從正態分布M3,。2)且尸(X<5)=0.85,則尸(I<XW3)=0.3

C.已知隨機變量X的方差為O(X),則Z)(2X-3)=4O(X)-3

D.以模型y=c、ek(c>0)去擬合一組數據時，設z=lny,將其變換后得到線性回歸方程z=2x-l,則

1

c=-

e

10.已知函數“X)對任意xeR都有,f(x+2)+/(x)=0,且函數〃x+l)的圖象關于(一1,0)對稱.當

時，〃x)=sinx.則下列結論正確的是()

A.函數y=f(x)的圖象關于點伏,0)(左GZ)中心對稱

B.函數y=|/(x)|的最小正周期為2

C.當xw[2,3]時，〃x)=sin(2-x)

D.函數y=/(附在［2k,2k+1］仕eZ)上單調遞減

11.已知拋物線C:y2=2px,C的準線與x軸交于K,過焦點F的直線/與C交于A、B兩點，連接AK、

BK,設A3的中點為P,過P作A3的垂線交x軸于。，下列結論正確的是()

A.網?網=網忸|B.tanZAKF=cosNPQF

c.AAXB的面積最小值為；D.\AB\=2\FQ\

12.已知正四棱臺ABC。-的上下底面邊長分別為4,6,高為、歷，E是的中點，則

（）

C.AE〃平面

D.4到平面Bq。的距離為生叵

5

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線C的一條漸近線方程為/：y=2x,且其實軸長小于4,則C的一個標準方程可以為

14.在（6-；工）"的展開式中，第3項和第6項的二項式系數相等，則展開式中的系數為.

15.在棱長為2的正方體A8CO—44G。中，￡是的中點，F是CG上的動點，則三棱錐

A-DEF外接球表面積的最小值為.

16.已知三棱錐O-ABC,P是面ABC內任意一點，數列｛q｝共9項，q=1,%+佝=2%且滿足

OP=（見一4一了礪一3a“OB+3（。,r+l）0C（2<H<9,neN*）,滿足上述條件數列共有

個.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知等差數列｛&｝的公差為正實數，滿足4=4,且q,4，%+4成等比數列.

（1）求數列｛4｝的通項公式；

（2）設數列｛d｝的前〃項和為S“，若4=1,且___________,求數列｛為也,｝的前項和為，，以下有三

個條件：①S"=2"-②5,=22—③5,出=25,一1,〃eN*從中選一個合適的條

件，填入上面橫線處，使得數列｛〃,｝為等比數列，并根據題意解決問題.

18.已知△A8C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinC=bcsin'+'.

2

（1）求角A的大小；

71

（2）若點。在邊BC上，且CE>=33D=3,NBAD=—,求△ABC的面積.

6

19.如圖，在直四棱柱ABC。一4四。。1中，底面ABC。為菱形，且N84￡>=60。，E為AB中點，F為

8G與四C的交點.

DiCi

（1）求證：平面DEF，平面CDD￡；

（2）若。。=A。，求二面角R—OE一夕的余弦值.

20.某汽車生產廠家為了解某型號電動汽車的“實際平均續航里程數”，收集了使用該型號電動汽車1年

以上的部分客戶的相關數據，得到他們的電動汽車的“實際平均續航里程數”.從年齡在40歲以下的客

戶中抽取10位歸為A組，從年齡在40歲（含40歲）以上的客戶中抽取10位歸為B組，將他們的電動

汽車的“實際平均續航里程數”整理成下圖，其中“+”表示A組的客戶，表示B組的客戶.

實際續航

里程(km)?

lo

4501

4001O

+?

350

+++1oo°

300+1

+1°

250

1

200++++oo°o

1「

10203040506070年齡(歲)

注：“實際平均續航里程數”是指電動汽車的行駛總里程與充電次數的比值.

(I)記4B兩組客戶的電動汽車的“實際平均續航里程數”的平均值分別為機，〃，根據圖中數據，

試比較加，〃的大小(結論不要求證明)；

(H)從4B兩組客戶中隨機抽取2位，求其中至少有一位是A組的客戶的概率；

(III)如果客戶的電動汽車的“實際平均續航里程數”不小于350,那么稱該客戶為“駕駛達人”.從

4B兩組客戶中，各隨機抽取1位，記“駕駛達人”的人數為求隨機變量。的分布列及其數學期望

轉.

22

21.已知橢圓C:=+與=1(。＞匕＞0)的左頂點為A,上頂點為3,右焦點為尸(1,0),。為坐標原點，

aZr

線段04的中點為D,且忸q=|OE|.

(1)求C的方程；

(2)已知點M,N均在直線1=2上，以為直徑的圓經過。點，圓心為點T，直線AM,4V分別交橢

圓。于另一點RQ,證明直線與直線07垂直.

im

22已知函數/(%)=%—/sinx-mlnx+l.

(1)當m=2時，試判斷函數/(幻在(兀,+8)上的單調性；

(2)存在和%e(0,+oo),占工工2，/(與)=/(巧)，求證：王々＜，〃2.

2022年高考聯合模擬考試數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知全集。=1<,集合A={x|-2Wx<3},B={y|y=2",xWl},則4口8=()

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|0<x<l}

【1題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根據指數函數的性質求出集合8,再根據交集的定義即可得出答案.

【詳解】解：因為A={x|-2Wx<3},B={y|y=2、,x<l}={y[0<y<2},

所以An3={x[0<xW2}.

故選；B.

2.已知復數z滿足|z|z=3+4i,則目=()

A.1B.75C.V10D.5

【2題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】將等式|z|z=3+4i兩邊同時取模可求解.

【詳解】將等式|z|z=3+4i兩邊同時取模，有||z|z|=|3+4i|=再不=5,

即||z|zHz『=5,所以|z|=6.

故選：B

3.“—5<女<0”是“函數y=xi-kx-k的值恒為正值”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【3題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根據函數y=/一行一z的值恒為正值求出人的范圍，再根據充分條件和必要條件的定義即可判斷.

【詳解】函數y=Y一丘一上的值恒為正值，

則△<（）=>女2+4攵<0=>-4<%<0，

V（-4,0）（-5,0）,

，“一5<k<0”是“函數y=x2-kx-k的值恒為正值”的必要不充分條件.

故選：B.

4.己知$血1里=乂^，則cos（a—萬）=（）

24

1515

A.—B.C.一一D.一一

2828

【4題答案】

【答案】D

【解析】

【分析】利用誘導公式以及余弦的二倍角公式即可求出結果.

?ci5

【詳解】cos（6Z--T）=-cos=2sin

故選：D.

5.已知單位向量［和B滿足歸―q=百.+耳，則￡與弓的夾角為（）

nc2乃八n-5萬

A.-B.—C.—D.—

6336

【5題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量數量積的運算律，將已知條件轉化為7+4-5+廣=0,即可求［與B的夾角.

【詳解】由題設，k-q=3.+閘,則-2a巨+斤=3（，+2a3+市），

^a+4a-b+b=0>又￡和」為單位向量，

--1

/.cos<a,b>=——又V>￡［（）,?］，

2

,一T27r

/.<a,b>=—.

3

故選：B

6.已知直線/：〃穴一丁一3加+1=0恒過點P,過點P作直線與圓。：（x—lp+（y—2）2=25相交于4

8兩點，則|A卸的最小值為（）

A.475B.2C.4D.245

【6題答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根據|4目=2/7萬將最小值問題轉化為d取得最大值問題，然后結合圖形可解.

【詳解】將如—y—3m+l=0,變形為y—1=加（工一3）,故直線/恒過點P（3,l）,

圓心。（1,2）,半徑r=5,已知點P在圓內，

過點P作直線與圓（為一1）2+（丁一2）2=25相交于4,B兩點,記圓心到直線的距離為乩則

上卸=2,2—筋=2,25-1,所以當d取得最大值時，|A8|有最小值，

結合圖形易知，當直線與線段0P垂直的時候，d取得最大值，即取得最小值，

此時|0P|=’（3-1）2+（1—2/二y［5，

所以|=2ylr2-\OPf=2xJ25-5=475.

故選：A.

7.河圖是上古時代神話傳說中伏羲通過黃河中浮出龍馬身上的圖案，與自己的觀察，畫出的“八卦”，而龍

馬身上的圖案就叫做“河圖把一到十分成五組，如圖，其口訣：一六共宗，為水居北；二七同道，為火

居南；三八為朋，為木居東；四九為友，為金居西；五十同途，為土居中.“河圖''將一到十分成五行屬性

分別為金，木，水，火，土的五組，在五行的五種屬性中，五行相克的規律為：金克木，木克土，土克

水，水克火，火克金；五行相生的規律為：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.現從這十個數中

隨機抽取3個數，則這3個數字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數字的概率為（）

o

【7題答案】

【答案】C

【解析】

【分析】

從這十個數中隨機抽取3個數，這3個數字的屬性互不相克，包含的基本事件個數

n=C；(C；C；+C；C1)=2(),這3個數字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數字包含的基本事件

個數為：m=+C；C；)=8,,由此能求出這3個數字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的

數字的概率.

【詳解】由題意得數字4,9屬性為金，3,8屬性為木，1,6屬性為水，

2,7屬性為火，5,10屬性為土，

從這十個數中隨機抽取3個數，這3個數字的屬性互不相克，

包含的基本事件個數〃=+=2(),

這3個數字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數字包含的基本事件個數為：

m=C；(C；C；+C；C；)=8,,

Q。

...這3個數字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數字的概率p=-=—=-.

n205

故選：C.

【點睛】此題考查古典概型，關鍵在于根據計數原理準確求解基本事件總數和某一事件包含的基本事件個

數.

8.已知函數y=〃x),若〃x)>0且/'(x)+4(x)>0,則有()

A./(x)可能是奇函數，也可能是偶函數B./(-1)>/(1)

7171.cos2xI—

C時，/(sinx)<e2/(cosx)D./(0)<<e/(1)

【8題答案】

【答案】D

【解析】

2

【分析】根據奇函數的定義結合/(x)>0即可判斷A；令g(x)=e5/(x)，利用導數結合已知判斷函數

g(x)的單調性，再根據函數g(x)的單調性逐一判斷BCD即可得解.

【詳解】解：若/(X)是奇函數，則"T)=―/(X)，

又因為〃無)>0,與/'(T)=-f(X)矛盾,

所有函數y=/(x)不可能時奇函數，故A錯誤；

令g(x)=e2/(x)，

則g'(x)=xe2/(x)+e2/'(x)=e2+

因為看〉()，/'(x)+V(x)>。,

所以g'(x)>0,所以函數g(x)為增函數，

所以g(—l)<g(l)，即//(—1)<e。⑴，

所以/(一1)</(1),故B錯誤；

冗兀/2

因為:所以0<COSJC<——，——<sinx<1?

4222

所以sinx>cosx,

故g(smx)>g(cosx),即e2/(sinx)>e2/(cosx),

cos'x-sin、xcos2x、

所以/(sinx)〉e2/(cosx)=e2/(cosx),故C錯送；

有g(0)<g(l)，即〃0)<府⑴,故D正確.

故選：D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.下列說法中正確的是()

1Q

A.已知隨機變量X服從二項分布6(4,§),則。(X)=§

B.己知隨機變量X服從正態分布N(3,『)且P(X<5)=0.85,則尸(1<X<3)=0.3

C.已知隨機變量X的方差為O(X),則。(2X—3)=4D(X)—3

D.以模型y=c、e，c>0)去擬合一組數據時，設z=lny,將其變換后得到線性回歸方程z=2x—l,則

1

C--

e

【9題答案】

【答案】AD

【解析】

【分析】根據二項分布得方差公式即可判斷A；

根據正態分布得對稱性求出P(X<1),從而可判斷B；

根據方差得性質即可判斷C；

根據題意求出A,C,即可判斷D.

【詳解】解：對于A,由隨機變量X服從二項分布8(4,；),

得Q(X)=4乂5乂(1_§)=§,故A正確；

對于B,因為隨機變量X服從正態分布N(3,4),則對稱軸為X=3,

又P(X45)=0.85,所以尸(X51)=0.15,

所以P(1<XW3)=0.5-尸(XW1)=0.35,故B錯誤；

對于C,因為隨機變量X的方差為O(x),則。(2X-3)=4O(X),故C錯誤；

對于D,模型y=ce"(c>0),則lny=lnc+Zix,

又因z=lny,z=2x-l,

所以左=2,lnc=-l,所以c=L,故D正確.

e

故選：AD.

10.已知函數/(X)對任意xeR都有〃x+2)+/(x)=0,且函數的圖象關于(—1,0)對稱.當

時，.f(x)=sinx.則下列結論正確的是()

A.函數y=f(x)的圖象關于點(NO)僅GZ)中心對稱

B.函數y=|/(x)|的最小正周期為2

C.當xe[2,3]時，./1(x)=sin(2-x)

D.函數y=/(附在[2k,2k+1](AeZ)上單調遞減

【10題答案】

【答案】BC

【解析】

【分析】先求出y=/(x)周期和解析式，畫出圖像，對四個選項一一驗證：

對于A：由圖像可判斷函數>=/'(X)的中心對稱；

對于B：利用圖像變換作出函數y=|/(x)|的圖象，即可判斷；

對于C：直接求出解析式即可判斷;

對于D：利用圖像變換作出y=/(國)的圖像，即可判斷；

【詳解】因為函數/(x)對任意xeR都有/(x+2)+/(x)=0,

所以/(x-2+2)+/(x-2)=0,即/(x)+/(尤一2)=0,所以/(x+2)=/(x-2)

所以/(x+2+2)=.f(x+2—2),即〃力=“％+4)恒成立,所以“X)的周期為4.

因為函數/(%+1)的圖象關于(-1,0)對稱，所以將y=/(x+l)的圖象向右平移一個單位，得到

y=/(x)的圖象，所以y=/(x)關于(0,0)對稱.

任取xw[l,3],則

因為函數〃尤)對任意xeR都有〃尤+2)+f(x)=0,即〃x)+/(x—2)=0,所以

/M=-/(^-2)=-sin(x-2).

[sinx,-l<x<1

所以4x)=[_sg.2),』《3’

作出>=/(》)的圖象如圖所示：

/X、疝，/V、

d-356\

-sinl

對于A：由圖象可知：函數y=/(x)的圖象關于點(2Z,0)(丘Z)中心對稱，故A錯誤；

對于B：函數y=『(x)|的圖象可以看成y=/(x)的圖象x軸上方的圖象保留，把x軸上方的圖象軸下方

的圖象翻折到x軸上方，所以函數y=|/(x)|的最小正周期為2.故B正確；

-4-3-2-1__9123456

-sinl

對于C：由前面的推導可得:當xe[l,3],〃x)=-sin(x-2)=sin(2-x).故C正確;

對于D：作出y=/（|x|）的圖像如圖所示，在上函數y=/（|x|）單調遞增.故D錯誤.

V

-1O~i1-2\3^/456\；

7-sinl

故選：BC

11.已知拋物線C:：/=2px,C的準線與x軸交于K,過焦點產的直線/與C交于A、8兩點，連接AK、

BK,設AB的中點為P，過P作A8的垂線交x軸于。，下列結論正確的是（）

A.|呵|明=|阻網B.tanZAKF=cosZ-PQF

2

c.AAXB的面積最小值為2D.|陰=2|同

2

【11題答案】

【答案】BD

【解析】

【分析】設直線A8的傾斜角為a,即NA&=a,設A（x，y）,6（生%），尸（％人）.可根據角平分線的

性質判斷A；

過A作AOLx軸，垂足為。，表示出tan/AKF、cos/PQF,即可判斷B；

SJKB=S&AK/+S/KF，數形結合即可判斷C;

求出?。方程，令y=0求出。的橫坐標，求出即可判斷它們的關系，由此判斷D.

【詳解】設直線AB的傾斜角為a,即NAEr=a,設A（m,y）,8（々,%），尸（知兒），

①若|A斗忸K|=|AKHM|,則四=粵，則根據角平分線的性質可知，x軸為乙4KB的角平分線,

\BF\16Kl

但x軸不一定是NAK8的平分線，故A錯誤;

②過4作A￡>_Lx軸，垂足為

ZAKF=cos/PQF=cos一a)=sinaXy

則tanp,1^1

X,4--x+K'

1212

，tan/AKF=cos/PQE,故B正確；

③LKB=SAW+S/KF=3，/斗|>1-必|=號帆一為>3，2〃=22,當|y—=|AB|=2〃，即

A8，x軸時，取等號，故八4/?的面積最小值為p?,故C錯誤；

1募=(%+%)叱力2〃(-2)，則tu急于

對于￡>：<

；.Q(p+Xo,O),

..PP

尸Q|=P+xo~~=~+xo，

二|AB|=玉+W+〃=2xo+〃=2|F0|,故D正確.

故選：BD.

12.已知正四棱臺A3CO-A與GR的上下底面邊長分別為4,6,高為血，E是A4的中點，則

A.正四棱臺A3CQ-AgGR的體積為必叵

3

B.正四棱臺ABCD-ABCA的外接球的表面積為104萬

C.AE〃平面BC\D

D.A到平面8G。的距離為生的

5

【12題答案】

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用正四棱臺ABC。—AgG2的體積計算可判斷A；連接AC、3。相交于。2,連接AG、BR

相交于。，分外接球的球心。在正四棱臺ABCD-A4G。的內部、內部，

2

根據”502-￡>0：+《DO?-DO；=002、SO-DQ；-^D0-D0l=0102，求出齊可判斷

B；取24的中點廣，利用面面平行的判斷定理可判斷平面GBO〃平面AEE，從而可判斷C；以。2為

原點，。。、。所在的直線分別為、、建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面

2O2A.QXyz

的一個法向量，利用點到平面8G。的距離的向量求法可判斷D.

【詳解】正四棱臺ABCO—A4GA的體積為V=g(SAB1G4+sABCD+^sAACiDsABCD)h,

V=1(16+36+V24)V2=52^+4^,故A錯誤；

連接AC、3。相交于。2,連接AG、耳。相交于。

如果外接球的球心。在正四棱臺ABCD-44G。的內部，

則。在002上，002=拒,

因為上下底面邊長分別為4,6,所以0a=；旦口=2四，=<06=30,

設外接球。的半徑為尺，所以個D。_D0；+JDCP_DO；=OR,即

正一8+五一18=桓,無解，所以外接球的球心。在正四棱臺—的外部，如下圖,

則。在延長線上，0,0=72,

因為上下底面邊長分別為4,6,所以4。=2&,D02=；DB=3上,

設外接球。的半徑為R,所以-DQ；D0?-DO；=QQ，即

，爐-8-，店一18=萬解得R2=26，

所以正四棱臺ABC。—45cq外接球的表面積為4萬箱=104%，故B正確;

取〃4的中點尸，連接AREF,AGC\EF=G,連接AG,

所以DiBJ/EF,所以G是4a的中點，因為4G=4八，所以Gq=30,

又AQ=3拒，所以GC|=AC>2,又因為GG〃AC)2,所以四邊形GCQ2A是平行四邊形,

所以G4〃GQ，G4a平面GB。，C。2U平面G8。，所以G4//平面C/。，

因為所以EF//BD,

平面G8O,BDu平面G8O,所以防〃平面C/。,

因為瓦'cAG=G,所以平面G8。〃平面AEF,

因為AGu平面AEE,所以AE〃平面GBD〃，

故C正確;

以。2為原點，Q。、02A,02a所在的直線分別為X、八Z建立如圖所示的空間直角坐標系，則

￡>(372,0,0),川―3a,0,0),G(。，-2及，閭，4(0,2逝,0),

西=(-3后,-2a詞，Bq=(372,-272,72),福=(0,-4a,0)

設平面BCQ的一個法向量為3=(x,y,z),

[DC.lnf-3缶-2夜y+及z=0-/、

所以一，即《二廠廠，令丁=1可得〃=(0」,2),

[BC]ln[3y/2x-2yl2y+y/2z=0

八|"，AG|4724V10

A到平面Bq。的距離為I口1=石=周一,故D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線C的一條漸近線方程為/：y=2x,且其實軸長小于4,則C的一個標準方程可以為

【13題答案】

2

【答案】/_21=]

4

【解析】

2

【分析】可設雙曲線的方程為爐一亍=2(x^0),假設2>0,則雙曲線的實軸為2再根據實軸長

小于4,求得此時2的范圍，即可寫出符合題意的雙曲線方程.

【詳解】解：可設雙曲線的方程為/一號=2(/1N0),

22

即土-匕=l(/lwO),

A44

當；1>（）時，雙曲線的實軸為2日，

則2jl<4,所以0<4<4,

可取4=1,

2

則C的一個標準方程可以為—匕=1.

4

2

故答案為：/一v匕=］.（答案不唯一）

4

14.在（6-；幻”的展開式中，第3項和第6項的二項式系數相等，則展開式中爐的系數為.

【14題答案】

【答案】一］35

【解析】

【分析】根據二項式的第3項和第6項的二項式系數相等，求得〃，再求出展開式的通項，令x的指數等于

5,從而可得出答案.

【詳解】解：因為二項式的第3項和第6項的二項式系數相等，

所以C；=C；,所以〃=7,

則二項式（?-；x）7展開式的通項為&=4（4廠｛一且=1_￡）.&/,

7+廠

令=5,則r=3,

所以展開式中V的系數為（—1］仁=—生.

I2）8

35

故答案：---.

8

15.在棱長為2的正方體ABC0-中，E是CD的中點，R是CG上的動點，則三棱錐

A-￡）所外接球表面積的最小值為.

【15題答案】

【答案】13"

【解析】

【分析】

作出圖形，設CV=x,利用基本不等式可求得tanNOEE的最大值，可求得sin/DEE的最小值，利用正

弦定理求得△/）匠戶外接圓直徑2r的最小值，可求得該三棱錐外接球直徑的最小值，由此可求得結果.

【詳解】如下圖所示，設圓柱的底面半徑為，母線長為肌圓柱的外接球半徑為A,

取圓柱的軸截面，則該圓柱的軸截面矩形的對角線的中點。到圓柱底面圓上每個點的距離都等于R,則。

為圓柱的外接球球心，由勾股定理可得⑵『+〃2=（2R）2.

本題中，平面OEE，設△￡＞所的外接圓為圓。I,可將三棱錐4一。￡廠內接于圓柱。1。2，如

下圖所示：

設尸的外接圓直徑為2r，AD=h,該三棱錐的外接球直徑為2H，則（2/?『=（2r『+/?.

如下圖所示：

Y

設CF=x,則0<x<2,tanZCEF=x,tanZCDF=—,

2

X

tanZCEF-tanZCDFX——x

tanZDFE=tan(ZC￡F-NCDF)=2

1+tanZCEFtanZCDF,尤x2+2

AL-rX--

2

2行4

當且僅當x=0時，tan/DEE取得最大值注,

4

'小”sinNDFE拒

tanZDFE=---------=——

cosZDFE4

由《sin2Z￡)FE+cos2ZDFE=1,sinZDFE=-,cosZDFE20

sinZZ)FE>0

iDE

所以，sinNDEE的最大值為不，由正弦定理得--------二3,即2廠的最小值為3,

3sinZDFE

因此，(2H)2=(2r)2+/?2N32+22=13,

所以，三棱錐A-￡>￡尸外接球的表面積為5=4萬4213乃.

故三棱錐A-。斯外接球的表面積的最小值為13乃.

故答案為：13%.

【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：

①補形法：側面為直角三角形，或正四面體，或對棱二面角均相等的模型，可以還原到正方體或長方體中

去求解；

②利用球的性質：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則

球心一定在垂線上，再根據帶其他頂點距離也是半徑，列關系求解即可.

16.已知三棱錐O-ABC,P是面ABC內任意一點，數列｛6,｝共9項，q=1,%+佝=2%且滿足

麗=(q,_41T)2±4_3a“赤+3(a,i+l)OC(2<n<9,neN*),滿足上述條件的數列共有

個.

【16題答案】

【答案】2

【解析】

【分析】根據題意可得(凡一a,-)?-3/+3(。1+D=1.從而可求得一”,1=1或%=2,再分

4,一。,1=1和%一=2討論結合等差數列的通項公式即可得出答案?

【詳解】解：因為P是面ABC內任意一點，

所以P,A,B,C四點共面，

因為麗=(4,_an_^OA-3a?OB+3(a?_,+1)OC(2W〃W9,〃eN*),

所以(a“一-3%+3(a“_1+1)=1,即(a“一4一3(%-q_J+2=0,

解得a“一a,-=1或。“一%=2,

當。"一=1時，

則數列｛4｝是以1為首項，1為公差的等差數列，

所以見=〃，

則q+佝=10=2%，符合題意；

當a“-a“T=2時，數列｛a,,｝是以1為首項，2為公差的等差數列，

所以a“=2〃-1,

則q+%=18=2%,符合題意,

所以滿足上述條件的數列共有2個.

故答案為：2.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知等差數列｛q｝的公差為正實數，滿足4=4,且q,%,%+4成等比數列.

(1)求數列｛為｝的通項公式；

(2)設數列｛d｝的前”項和為S,,若仇=1,且,求數列｛??-bn｝的前項和為T“,以下有三

個條件:①S”=2"-1/eN*；②S.=2"—1,〃€N*；③S,陽=2S,-1,及eN*從中選一個合適的條

件，填入上面橫線處，使得數列｛〃｝為等比數列，并根據題意解決問題.

【17~18題答案】

【答案】⑴an=2n+2

（2）7；=（2〃-3b2"+3

【解析】

【分析】（1）設等差數列｛%｝的公差為d,d>0,根據題意求得公差，從而可得出答案；

（2）根據數列通項與數列前〃項和的關系求出數列｛〃｝的通項公式，然后利用錯位相減法即可得出答案.

【小問1詳解】

解：設等差數列｛為｝的公差為”/>0,

因為6,%,。5+4成等比數列，

所以a/="（織+4）,即（4+2d）?=4（4d+8）,

解得d=±2（負值舍去），所以d=2,

所以=2〃+2；

【小問2詳解】

解：選①，由S“=2"—

當〃22時，2=S,,—S,I=2"T，

當〃=1時等式也成立，

所以"=2"，

則可也=（2〃-1）?"）

所以7；=1+3x2+5x22+…+（2〃-1）2”,

則27；=2+3X22+5X23+...+（2〃-3>2"T+（2〃-1>2”,

兩式相減得一北=1+2?+23+…+2”-（2〃-1）?2"

=1+——廣一^一（2〃—1卜2”

=_（2“_3）—3,

所以7；=（2〃一3>2"+3.

選②，由Sn=2仇,一1,〃eN”,

當〃22時，，bn-Sn-Sn_t-2bli_2b,

b

所以/-=2,

bn.\

所以數列｛d｝為以1為首項2為公比的等比數列，

所以勿=2"T,

則%也,=（2〃一1>2"、

以下步驟同①.

選③，由5n+1=25?-l,neN,,

得S”=2s-1,

兩式相減得：b“+、=2b",

又b[=1,

所以數列｛4｝為以1為首項2為公比的等比數列，

所以2=2"、

則a“?d=（2〃_l>2"T,

以下步驟同①.

18.已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinC=Gcsin',..

2

（1）求角A的大小；

TT

（2）若點。在邊BC上，且8=350=3,NBAD=—,求△ABC的面積.

6

【18~19題答案】

27c

【答案】（1）A=W；

⑵王

19

【解析】

LA

【分析】（1）由正弦定理的邊角關系、三角形內角的性質可得sinA=6cosu，再應用二倍角正弦公式化

2

簡可得sind=",即可求A的大小.

22

(2)由題設可得ND4C=二，法一：由正弦定理及NAD5+NADC=TI可得至2=￡,再由余弦定理

2CDb

得到加2=3，最后根據三角形面積公式求△ABC面積；法二：根據三角形面積公式有沙=三，由

192b

△B4O的邊BO與△ADC的邊QC上的高相等及已知條件可得￡■=’,再由余弦定理得到相？=3,

2b319

最后根據三角形面積公式求△ABC面積；

【小問1詳解】

由己知及正弦定理得：sinAsinC=6sinCsin'+。,又B+C=K-A,

2

B+C71A一八

-----=------,又sinCw（）,

222

??AGAAAITAAn

??sinA=<3cos—,則2sm—cos—=A/3COS—,而n。<一<一,

222222

COS-9^0,則sin&=@,故4=四，得A=&

222233

【小問2詳解】

27r7T7T

由NB4C='，ZBAD=-,則NDAC=±.

362

BDc

法一：在△河）中，.