連續(xù)時間傅里葉變換連續(xù)時間傅里葉變換從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換

頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別傅里葉反變換非周期矩形脈沖信號的頻譜分析第2頁,共86頁，2024年2月25日，星期天我們回憶一下：注：第3頁,共86頁，2024年2月25日，星期天注：為傅里葉級數(shù)的系數(shù)（頻譜系數(shù)）第4頁,共86頁，2024年2月25日，星期天第5頁,共86頁，2024年2月25日，星期天第6頁,共86頁，2024年2月25日，星期天當T0趨于無窮時，周期信號則變成了非周期信號第7頁,共86頁，2024年2月25日，星期天第8頁,共86頁，2024年2月25日，星期天1．從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換討論周期T增加對離散譜的影響：

周期為T寬度為t的周期矩形脈沖的Fourier系數(shù)為T趨于無窮大時，傅里葉系數(shù)趨于無窮小，為了描述非周期信號的頻譜特性引入了頻譜密度的概念，也就是傅里葉變換。第9頁,共86頁，2024年2月25日，星期天物理意義:F(jw)是單位頻率所具有的信號頻譜，稱之為非周期信號的頻譜密度函數(shù)，為了和傅立葉級數(shù)統(tǒng)一，也簡稱頻譜函數(shù)。

單位頻率因為：稱為：傅里葉變換第10頁,共86頁，2024年2月25日，星期天2.頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別(1)周期信號的頻譜為離散頻譜，

非周期信號的頻譜為連續(xù)頻譜。(2)周期信號的頻譜為Cn的分布，表示每個諧波分量的復振幅非周期信號的頻譜為TCn的分布，表示每單位帶寬內所有諧波分量合成的復振幅，即頻譜密度函數(shù)。兩者關系：第11頁,共86頁，2024年2月25日，星期天物理意義：非周期信號可以分解為無數(shù)個頻率為

，復振幅為[F(

)/2p]d

的復指數(shù)信號ejwt的線性組合。T

,記nw0=w,w0=2p/T=dw,3.傅里葉反變換第12頁,共86頁，2024年2月25日，星期天傅立葉正變換：傅立葉反變換：符號表示：第13頁,共86頁，2024年2月25日，星期天狄里赫萊條件注意：對于傅立葉變換，狄里赫萊條件是充分不必要條件（1）非周期信號在無限區(qū)間上絕對可積（充分非必要條件）（2）在任意有限區(qū)間內，信號只有有限個最大值和最小值（3）在任意有限區(qū)間內，信號僅有有限個不連續(xù)點，且這些點必須是有限值。第14頁,共86頁，2024年2月25日，星期天[例題]試求圖示非周期矩形脈沖信號的頻譜函數(shù)

[解]非周期矩形脈沖信號f(t)的時域表示式為由傅立葉正變換定義式，可得第15頁,共86頁，2024年2月25日，星期天分析：2.周期信號的離散頻譜可以通過對非周期信號的

連續(xù)頻譜等間隔取樣求得3.信號在時域有限，則在頻域將無限延續(xù)。4.信號的頻譜分量主要集中在零頻到第一個過零點

之間，工程中往往將此寬度作為有效帶寬。5.脈沖寬度

越窄，有限帶寬越寬，高頻分量越多。

即信號信息量大、傳輸速度快，傳送信號所占用

的頻帶越寬。

1.非周期矩形脈沖信號的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀

與周期矩形脈沖信號離散頻譜的包絡線相似。第16頁,共86頁，2024年2月25日，星期天常見連續(xù)時間信號的頻譜常見非周期信號的頻譜(頻譜密度)

單邊指數(shù)信號雙邊指數(shù)信號e-|t|

單位沖激信號

(t)

直流信號符號函數(shù)信號單位階躍信號u(t)

常見周期信號的頻譜密度虛指數(shù)信號正弦型信號單位沖激序列第17頁,共86頁，2024年2月25日，星期天1.常見非周期信號的頻譜(1)單邊指數(shù)信號幅度頻譜為相位頻譜為第18頁,共86頁，2024年2月25日，星期天單邊指數(shù)信號及其幅度頻譜與相位頻譜第19頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(2)雙邊指數(shù)信號e-|t|

幅度頻譜為

相位頻譜為第20頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(3)單位沖激信號δ(t)

單位沖激信號及其頻譜第21頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(4)直流信號

直流信號不滿足絕對可積條件,可采用極限的方法求出其傅里葉變換。第22頁,共86頁，2024年2月25日，星期天對照沖激、直流時頻曲線可看出:時域持續(xù)越寬的信號，其頻域的頻譜越窄；時域持續(xù)越窄的信號，其頻域的頻譜越寬。直流信號及其頻譜第23頁,共86頁，2024年2月25日，星期天（5）符號函數(shù)信號符號函數(shù)定義為第24頁,共86頁，2024年2月25日，星期天符號函數(shù)的幅度頻譜和相位頻譜第25頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(6)單位階躍信號u(t)

單位階躍信號及其頻譜第26頁,共86頁，2024年2月25日，星期天2常見周期信號的頻譜

(1)虛指數(shù)信號同理:第27頁,共86頁，2024年2月25日，星期天（2）正弦型信號余弦信號及其頻譜函數(shù)第28頁,共86頁，2024年2月25日，星期天正弦信號及其頻譜函數(shù)0w0w-w)(p)(p0)(wF第29頁,共86頁，2024年2月25日，星期天（3）一般周期信號

兩邊同取傅立葉變換

第30頁,共86頁，2024年2月25日，星期天（4）單位沖激序列

因為

T(t)為周期信號，先將其展開為指數(shù)形式傅立葉級數(shù)：第31頁,共86頁，2024年2月25日，星期天單位沖激序列及其頻譜函數(shù)第32頁,共86頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共86頁，2024年2月25日，星期天1.線性特性

2.共軛對稱特性3.對稱互易特性

4.展縮特性

5.時移特性6.頻移特性7.時域卷積特性

8.頻域卷積特性9.時域微分特性10.積分特性

11.頻域微分特性12.能量定理傅里葉變換的基本性質第34頁,共86頁，2024年2月25日，星期天1.線性特性其中a和b均為常數(shù)。第35頁,共86頁，2024年2月25日，星期天2.共軛對稱特性當f(t)為是實函數(shù)時，有|F(jw)|=|F(-jw)|，

f(w)=-f(-w)F(jw)為復數(shù)，可以表示為第36頁,共86頁，2024年2月25日，星期天3．時移特性

式中t0為任意實數(shù)證明：令x=t-t0，則dx=dt，代入上式可得信號在時域中的時移，對應頻譜函數(shù)在頻域中產生的附加相移，而幅度頻譜保持不變。

第37頁,共86頁，2024年2月25日，星期天[例1]試求圖示延時矩形脈沖信號f1(t)的頻譜函數(shù)F1(jw)。[解]無延時且寬度為

的矩形脈沖信號f(t)如右圖，因為故，由延時特性可得其對應的頻譜函數(shù)為第38頁,共86頁，2024年2月25日，星期天4.展縮特性

證明:令x=at，則dx=adt，代入上式可得時域壓縮，則頻域展寬；時域展寬，則頻域壓縮。第39頁,共86頁，2024年2月25日，星期天0wtA2)2(2wFtptp-0wtA)(wFtp2tp2-)2(tftA4t4t-)(21tftt-t0)(tft2t2t-0wtA21)21(21wFtp4tp4-第40頁,共86頁，2024年2月25日，星期天5.互易對稱特性

第41頁,共86頁，2024年2月25日，星期天6.頻移特性（調制定理）

若

f(t)

F(jw)式中

0為任意實數(shù)證明：

由傅立葉變換定義有則第42頁,共86頁，2024年2月25日，星期天信號f(t)與余弦信號cosw0

t相乘后，其頻譜是將原來信號頻譜向左右搬移w0，幅度減半。同理第43頁,共86頁，2024年2月25日，星期天

[例2]試求矩形脈沖信號f(t)與余弦信號cosw0t相乘后信號的頻譜函數(shù)。應用頻移特性可得[解]已知寬度為

的矩形脈沖信號對應的頻譜函數(shù)為第44頁,共86頁，2024年2月25日，星期天時間域相乘頻率域卷積第45頁,共86頁，2024年2月25日，星期天思考：我們如何恢復原始信號f(t)?即解調！幅度調制：在時間域，一個信號和另一個信號相乘，相應的，在頻率域，把信號的頻譜從低頻搬移到高頻。幅度解調：在頻率域，把信號的頻譜從高頻搬移到低頻。第46頁,共86頁，2024年2月25日，星期天時間域相乘頻率域卷積第47頁,共86頁，2024年2月25日，星期天時間域相乘頻率域卷積第48頁,共86頁，2024年2月25日，星期天7.時域微分特性則若

f(t)

F(jw)第49頁,共86頁，2024年2月25日，星期天

[例3]試利用微分特性求矩形脈沖信號的頻譜函數(shù)。

[解]

由時域微分特性

因此有第50頁,共86頁，2024年2月25日，星期天8.積分特性

若信號不存在直流分量，即F(0)=0則若

f(t)

F(jw)則第51頁,共86頁，2024年2月25日，星期天9.頻域微分特性則若

f(t)

F(jw)將上式兩邊同乘以j得證明：第52頁,共86頁，2024年2月25日，星期天[例4]試求單位斜坡信號tu(t)的傅立葉變換。

[解]已知單位階躍信號傅立葉變換為:利用頻域微分特性可得:第53頁,共86頁，2024年2月25日，星期天10.時域卷積特性證明：第54頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例5：求三角脈沖的頻譜三角脈沖可看成兩個同樣矩形脈沖的卷積卷乘FTFT第55頁,共86頁，2024年2月25日，星期天第56頁,共86頁，2024年2月25日，星期天11.頻域卷積特性(調制特性)證明：第57頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例6：求單個余弦脈沖的頻譜第58頁,共86頁，2024年2月25日，星期天乘FTFT卷第59頁,共86頁，2024年2月25日，星期天12.非周期信號的能量譜密度

由于信號f(t)為實數(shù)，故F(-jw)=F*(jw)，因此上式為第60頁,共86頁，2024年2月25日，星期天信號的能量可以由|F(jw)|2在整個頻率范圍的積分乘以1/2

來計算。

物理意義：非周期能量信號的歸一化能量在時域中與在頻域中相等，保持能量守恒。能量頻譜密度函數(shù)(能量頻)：單位角頻率的信號能量帕什瓦爾能量守恒定理第61頁,共86頁，2024年2月25日，星期天線性特性

對稱互易特性展縮特性

時移特性

5.頻移特性傅立葉變換性質一覽表第62頁,共86頁，2024年2月25日，星期天時域卷積特性 頻域卷積特性時域微分特性積分特性 10.頻域微分特性

第63頁,共86頁，2024年2月25日，星期天非周期信號頻域分析小結重要概念:非周期信號的頻譜1)非周期信號的頻譜與周期信號的頻譜的區(qū)別2)非周期信號頻譜的物理意義3)非周期信號頻譜的分析方法:應用常用基本信號的傅里葉變換與傅里葉變換的性質分析問題使用的數(shù)學工具:傅里葉變換工程應用:調制、解調，頻分復用第64頁,共86頁，2024年2月25日，星期天

離散時間Fourier變換（DTFT）

DTFT的定義

DTFT的性質

內插和抽取信號的頻譜常見DTFT變換對第65頁,共86頁，2024年2月25日，星期天一、DTFT的定義第66頁,共86頁，2024年2月25日，星期天所以，我們定義連續(xù)函數(shù)在的抽樣值等于DFS系數(shù)Fm回憶：離散周期信號系數(shù)DFS第67頁,共86頁，2024年2月25日，星期天第68頁,共86頁，2024年2月25日，星期天第69頁,共86頁，2024年2月25日，星期天一、DTFT的定義

DTFT

1)

F(ejW)是連續(xù)的

IDTFT

2)

F(ejW)是周期為2

的周期函數(shù)

F(ejW)特點：第70頁,共86頁，2024年2月25日，星期天解：第71頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例2解：第72頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例3利用泊松求和公式可得：解：第73頁,共86頁，2024年2月25日，星期天二、DTFT性質1.

線性特性第74頁,共86頁，2024年2月25日，星期天二、DTFT性質2.

對稱特性當

f[k]是實序列時:F(ejW)可表示為若

f[k]實偶對稱，則F(e