四川省成都市集賢中學高三數學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要條件是|x+1|＜b（a，b＞0），則a，b之間的關系是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】絕對值不等式；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計算題．【分析】化簡|f（x）﹣1|＜a得＜x＜．化簡|x+1|＜b得﹣b﹣1＜x＜b﹣1，由題意可得（，）?（﹣b﹣1，b﹣1），故﹣b﹣1≤，b﹣1≥，由此求得a，b之間的關系．【解答】解：|f（x）﹣1|＜a即|2x+2|＜a，即﹣a＜2x+2＜a，即＜x＜．|x+1|＜b即﹣b＜x+1＜b即﹣b﹣1＜x＜b﹣1．∵|f（x）﹣1|＜a的必要條件是|x+1|＜b（a，b＞0），∴（，）?（﹣b﹣1，b﹣1），∴﹣b﹣1≤，b﹣1≥，解得b≥，故選A．【點評】本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．2.已知，則復數z=（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i參考答案：A【考點】A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數的運算法則、共軛復數的定義即可得出．【解答】解：，∴=（1+i）（2+i）=1+3i．則復數z=1﹣3i．故選：A．3.函數是

（

）

A．最小正周期為的奇函數

B．最小正周期為的偶函數

C．最小正周期為的奇函數

D．最小正周期為的偶函數參考答案：A4.已知函數，若，則實數的取值范圍是（

）

A．

B.

C.

D.參考答案：C5.已知，則=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A6.已知命題p：，；命題q：，，則下列命題中為真命題的是：（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B考察函數圖象可知:命題為假命題，命題為真命題，所以為真命題．

7.已知，滿足那么的最小值是A.－1

B.0

C.1

D.2

參考答案：A8.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】根據三視圖得該幾何體是四棱錐，結合圖中數據求出它的體積．【解答】解：由三視圖知該幾何體是四棱錐，且底面是邊長為4的正方形，高為4×sin60°=2，∴該四棱錐的體積為V=×42×2=．故選：C．9.設a＞0，b＞0．若是3a與3b的等比中項，則+的最小值為(

) A．4 B．6 C．2 D．2參考答案：A考點：基本不等式；等比數列的通項公式．專題：不等式的解法及應用．分析：由題意易得正數a、b滿足a+b=1，進而可得+=（+）（a+b）=2++，由基本不等式求最值可得．解答： 解：a＞0，b＞0，是3a與3b的等比中項，∴3=3a?3b=3a+b，∴a+b=1，∴+=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，當且僅當=即a=b=時取等號，故選：A．點評：本題考查基本不等式求最值，涉及等比數列的性質，屬基礎題．10.已知數列{xn}滿足xn﹣1﹣xn=d（n∈N*，n≥2，d為常數），且x1+x2+…+x20=200，則x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40參考答案：B【考點】等差數列的性質．【分析】根據數列{xn}滿足xn﹣xn﹣1=d，得到此數列為等差數列，由x1+x2+…+x20=80，利用等差數列的前n項和公式表示出前20項的和等于80，根據等差數列的性質可知項數之和相等的兩項之和相等，得到10（x5+x16）等于80，即可求出x5+x16的值．【解答】解：根據題意可知數列{xn}為等差數列，則x1+x2+…+x20==10（x1+x20）=10（x5+x16）=200，所以x5+x16=20．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知球與棱長均為2的三棱錐各條棱都相切，則該球的表面積為

.參考答案：將該三棱錐放入正方體內，若球與三棱錐各棱均相切等價于球與正方體各面均相切，所以,則球的表面積為.12.若正實數滿足，則的最大值是

．參考答案：13.給出下列不等式：，，，…，則按此規律可猜想第n個不等式為

．參考答案：14.復數________.參考答案：.考點：復數的計算.15.

函數的單調增區間是__________參考答案：16.右圖給出的是計算的值的一個流程圖，其中判斷框內應填入的條件是

。參考答案：略17.設直線，與圓交于A，B，且，則a的值是______．參考答案：10或－30因為，圓心為，半徑為，，由垂徑定理得，所以圓心到直線的距離為4．，，故填10或－30．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.請你設計一個包裝盒，如圖所示，是邊長為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，在上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點。設。(Ⅰ）若廣告商要求包裝盒的側面積最大，試問應取何值？(Ⅱ）包裝盒的容積最大時，應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長之比。參考答案：（1）時最大；（2）時，體積最大，比值為。略19.已知橢圓過點，且離心率e＝.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。參考答案：（Ⅱ）設

由消去并整理得

…………8分∵直線與橢圓有兩個交點，即又

中點的坐標為……10分設的垂直平分線方程：在上

即……11分將上式代入得

即或

的取值范圍為……12分

略20.己知在銳角ΔABC中，角所對的邊分別為，且（Ⅰ）求角大小；（Ⅱ）當時，求的取值范圍.

參考答案：(1)(2)解析：解：（Ⅰ）由已知及余弦定理，得因為為銳角，所以（Ⅱ）由正弦定理，得，

由得

略21.設函數(a為實數)．⑴若a<0，用函數單調性定義證明：在上是增函數;⑵若a＝0，的圖象與的圖象關于直線y＝x對稱，求函數的解析式．參考答案：(1)設任意實數x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝＝＝

．

又，∴f(x1)－f(x2)<0，所以f(x)是增函數．

(2)當a＝0時，y＝f(x)＝2x－1，∴2x＝y＋1，∴x＝log2(y＋1)，y＝g(x)＝log2(x＋1)．解析:通過用定義證明函數的單調性考查指數函數的運算及其性質,通過求關于直線y＝x對稱函數的解析式考查指對互化及簡單求反函數的方法,該題屬于簡單題.22.如圖，點C為某沿海城市的高速公路出入口，直線BD為海岸線，，，是以A為圓心，半徑為1km的圓弧型小路.該市擬修建一條從C通往海岸的觀光專線，其中P為上異于B，C的一點，PQ與AB平行，設.（1）證明：觀光專線的總長度隨的增大而減小；（2）已知新建道路PQ的單位成本是翻新道路的