北京大山子中學高三數學文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，偶函數的圖象形如字母M，奇函數的圖象形如字母N，若方程：的實數根的個數分別為a、b、c、d，則=

A．27

B．30

C．33

D．36參考答案：B2.函數f(x)＝2sin｜x－｜的部分圖象是(

)

參考答案：答案:C3.若等于

（

）

A．2

B．1

C．-1

D．0參考答案：答案：B4.一個幾何體由多面體和旋轉體的整體或一部分組合而成，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B試題分析：由三視圖可知，這是半個圓柱和三棱柱組成的幾何體，所以體積為.考點：三視圖.5.已知數列，那么“對任意的，點都在直線”上是“為等差數列”的（

）A.必要而不充分條件

B.既不充分也不必要條件

C.充要條件

D.充分而不必要條件參考答案：D6.在如圖所示的算法流程圖中，輸出的值為（

）A．11

B．12

C．13

D．15參考答案：D試題分析：此程序框圖所表示的算法功能為，故選D.考點：程序框圖.7.已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f（x）=ex（x+1），給出下列命題：①當x＞0時，f（x）=﹣e﹣x（x﹣1）；②函數f（x）有2個零點；③f（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正確命題的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：C【考點】3L：函數奇偶性的性質．【分析】①根據f（x）為奇函數，可設x＞0，從而有﹣x＜0，從而可求出f（x）=e﹣x（x﹣1），②從而可看出﹣1，1，0都是f（x）的零點，這便得出①②錯誤，③而由f（x）解析式便可解出f（x）＜0的解集，從而判斷出③的正誤，④可分別對x＜0和x＞0時的f（x）求導數，根據導數符號可判斷f（x）的單調性，根據單調性即可求出f（x）的值域，這樣便可得出?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．【解答】解：①f（x）為R上的奇函數，設x＞0，﹣x＜0，則：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴故①錯誤，②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；又f（0）=0；∴f（x）有3個零點；故②錯誤，③當x＜0時，由f（x）=ex（x+1）＜0，得x+1＜0；即x＜﹣1，當x＞0時，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＜0，得x﹣1＜0；得0＜x＜1，∴f（x）＜0的解集為（0，1）∪（﹣∞，﹣1）；故③正確，④當x＜0時，f′（x）=ex（x+2）；∴x＜﹣2時，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0時，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（﹣2，0）上單調遞增；∴x=﹣2時，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2時，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；當x＞0時，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減；x=2時，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2時，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域為（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；故④正確，∴正確的命題為③④．故選：C8.已知點M在角θ終邊的延長線上，且|OM|=2，則M的坐標為（）A．（2cosθ，2sinθ） B．（﹣2cosθ，2sinθ）C．（﹣2cosθ，﹣2sinθ） D．（2cosθ，﹣2sinθ）參考答案：C【考點】任意角的三角函數的定義．【分析】由題意，M的坐標為（2cos（π+θ），2sin（π+θ）），即可得出結論．【解答】解：由題意，M的坐標為（2cos（π+θ），2sin（π+θ）），即（﹣2cosθ，﹣2sinθ），故選C．9.已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的是(

) A．若m⊥α，n⊥m則n∥α B．若α⊥β，β⊥γ則α∥β C．若m⊥β，n⊥β則m∥n D．若m∥α，m∥β，則α∥β參考答案：C考點：空間中直線與平面之間的位置關系；平面與平面之間的位置關系．專題：空間位置關系與距離．分析：對選項逐一分析，根據空間線面關系，找出正確選項．解答： 解：對于A，直線n有可能在平面α內；故A錯誤；對于B，α，γ還有可能相交，故B錯誤；對于C，根據線面垂直的性質以及線線平行的判定，可得直線m，n平行；對于D，α，β有可能相交．故選C．點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．10.若，定義運算“”和“”如下：，若正數滿足：，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

有一個數陣如下：記第行的第個數字為，（如），則等于

。

參考答案：-212.的展開式中常數項是_______。（用數字作答）參考答案：60；【分析】利用二項展開式，得出的指數，令指數為零，求出參數的值，并將參數的值代入可求出這個展開式中的常數項。【詳解】的展開式的通項，由，得，所以，常數項為，故答案為：。【點睛】本題考查二項式定理的應用，考查指定項的系數問題，考查計算能力，屬于基礎題。13.在邊長為1的正三角形ABC中，設，，則=．參考答案：﹣【考點】向量在幾何中的應用．【分析】根據，，確定點D，E在正三角形ABC中的位置，根據向量加法滿足三角形法則，把用表示出來，利用向量的數量積的運算法則和定義式即可求得的值．【解答】解：∵，∴D為BC的中點，∴，∵，∴，∴=）==﹣，故答案為：﹣．【點評】此題是個中檔題，考查向量的加法和數量積的運算法則和定義，體現了數形結合的思想．14.等差數列{an}的公差d≠0，a1=20，且a3，a7，a9成等比數列．Sn為{an}的前n項和，則S10的值為

．參考答案：110【考點】等差數列的前n項和．【專題】等差數列與等比數列．【分析】根據等比數列的性質建立條件關系，求出等差數列的公差，即可得到結論．【解答】解：由a3，a7，a9成等比數列，則a3a9=（a7）2，即（a1+2d）（a1+8d）=（a1+6d）2，化簡可得2a1d+20d2=0，由a1=20，d≠0，解得d=﹣2．則S10=10a1+×（﹣2）=110，故答案為：110．【點評】本題主要考查等差數列的性質和等差數列的求和，根據等比數列的性質求出等差數列的公差是解決本題的關鍵，屬于基礎題．15.函數y＝＋2單調遞減區間為________．參考答案：16.在中,分別是角的對邊,且,則角的大小為

參考答案：17.已知x8=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a8（x﹣1）8，則a7=．參考答案：8考點：二項式系數的性質．專題：計算題；二項式定理．分析：將x寫成1+（x﹣1），利用二項展開式的通項公式求出通項，令x﹣1的指數為7，求出a7．解答：解：∵x8=[1+（x﹣1）]8，∴其展開式的通項為Tr+1=C8r（x﹣1）r，令r=7得a7=C87=8．故答案為：8．點評：本題考查利用二次展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．關鍵是將底數改寫成右邊的底數形式．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，平面ABC⊥平面DBC，已知AB=AC，BC=6，∠BAC=∠DBC=90o,∠BDC=60o（1）求證：平面ABD⊥平面ACD；（2）求二面角A-CD-B的平面角的余弦值；（3）記經過直線AD且與BC平行的平面為，求點B到平面的距離參考答案：（1）證明CA⊥AB、CA⊥BD

由CA平面ACD，平面ABD⊥平面ACD

（2）（算出平面ACD的法向量3分，寫出平面BCD的法向量1分，結果1分；或作出并證明二面角的平面角3分，算出結果2分）

（3）（算出平面的法向量3分，算出結果2分；或作出并證明點B到平面的距離3分，算出結果2分）略19.已知函數，其中a為常數.(Ⅰ)若曲線在處的切線在兩坐標軸上的截距相等，求a的值；(Ⅱ)若對，都有，求a的取值范圍.參考答案：解：(Ⅰ)求導得，所以.又，所以曲線在處的切線方程為.由切線在兩坐標軸上的截距相等，得，解得即為所求.(Ⅱ)對，，所以在區間內單調遞減.（1）當時，，所以在區間內單調遞減，故，由恒成立，得，這與矛盾，故舍去.（2）當時，，所以在區間內單調遞增，故，即，由恒成立得，結合得.（3）當時，因為，，且在區間上單調遞減，結合零點存在定理可知，存在唯一，使得，且在區間內單調遞增，在區間內單調遞減.故，由恒成立知，，，所以.又的最大值為，由得，所以.設，則，所以在區間內單調遞增，于是，即.所以不等式恒成立.綜上所述，所求的取值范圍是.

20.已知函數.（1）如是函數的極值點，求實數的值并討論的單調性；（2）若是函數的極值點，且恒成立，求實數的取值范圍（注：已知常數滿足）.參考答案：（1），在上單調遞減，在上單調遞增；（2）.

試題解析：（1）∵是函數的極值點，∴.∴，.令，，∴在上單調遞增，，.∴當，；當，.∴在上單調遞減，在上單調遞增，此時，當時，取極小值.（2），設，則.∴在上單調遞增，∴在上單調遞增.∵是函數的極值點，∴是在上的唯一零點，∴.∵，，，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴有最小值.∴.∵恒成立，∴，∴，∴.∵，∴，∴，.考點：（1）利用導數研究函數的極值；（2）利用導數研究函數的單調性；（3）恒成立問題.【方法點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性以及求函數的最大值和最小值問題，以及對于不等式恒成立問題，解決不等式恒成立問題的常用方法是轉化為最值恒成立．考查函數的單調性，由，得函數單調遞增，得函數單調遞減；考查恒成立問題，正確分離參數是關鍵，也是常用的一種手段．通過分離參數可轉化為或恒成立，即或即可，利用導數知識結合單調性求出或即得解.請考生在第22、23中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.解答時請寫清題號.21.設直線l：y=kx+1與曲線f（x）=ax2+2x+b+ln（x+1）（a＞0）相切于點P（0，f（0））．（1）求b，k的值；（2）若直線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點，求a的值．參考答案：解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x+b+ln（x+1）∴f（0）=b，由切線y=kx+1，可得f（0）=1=b，∴f'（x）=，∴f′（0）=﹣1，切點P（0，1），切線l的斜率為k=﹣1；（2）切線l：y=﹣x+1與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1，即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一個實數解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），∵h（0）=0，∴方程h（x）=0有一解x=0h'（x）=2ax﹣1+，①若a=，則h'（x）=≥0（x＞﹣1），∴h（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增，∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；②若0＜a＜，則h′（x）=0兩根x1=0，x2=﹣1＞0，在x∈（﹣1，0），（x2，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）遞增，在（0，x2）時，h′（x）＜0，h（x）遞減，∴h（）＜h（0）=0，而h（）＞0，∴方程h（x）=0在（﹣1，+∞）上還有一解，則h（x）=0解不唯一；③若a＞，則h′（x）=0兩根x1=0，x2=﹣1∈（﹣1，0）同理可得方程h（x）=0在（﹣1，﹣1）上還有一解，則h（x）=0解不唯一；綜上，當切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點時，a=考點：利用導數研究曲線上某點切線方程．專題：綜合題；分類討論；轉化思想；導數的概念及應用．分析：（1）根據導數的幾何意義，求出函數f（x）在x=0處的導數，從而求出切線的斜率，可得b=1，k=﹣1；（2）將切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一個實數解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），求出h'（x），然后討論a與的大小，研究函數的單調性，求出滿足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范圍即可．解答：解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x+b+ln（x+1）∴f（0）=b，由切線y=kx+1，可得f（0）=1=b，∴f'（x）=，∴f′（0）=﹣1，切點P（0，1），切線l的斜率為k=﹣1；（2）切線l：y=﹣x+1與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1，即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一個實數解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），∵h（0）=0，∴方程h（x）=0有一解x=0h'（x）=2ax﹣1+，①若a=，則h'（x）=≥0（x＞﹣1），∴h（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增，∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；②若0＜a＜，則h′（x）=0兩根x1=0，x2=﹣1＞0，在x∈（﹣1，0），（x2，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）遞增，在（0，x2）時，h′（x）＜0，