第四篇圖形的性質(zhì)

專題19全等三角形

b解讀考點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)名師點(diǎn)晴

全等圖形理解全等圖形的定義，會(huì)識(shí)別全等圖形

全等三

理解并掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS.ASA.AAS,

全等三角形的判定

角形并會(huì)判定兩個(gè)三角形全等

直角三角形的判定會(huì)利用應(yīng)判定兩個(gè)三角形全等

角平分角平分線的性質(zhì)理解并掌握角平分線的性質(zhì)

線角平分線的判定利用角平分線的判定解決有關(guān)的實(shí)際問題

A2年中考

【2017年題組】

一、選擇題

1.（2017棗莊）如圖，在欣中，/e90°,以頂點(diǎn)/為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交/C,49于

點(diǎn)、M,N,再分別以點(diǎn)也，及為圓心，大于2腸y的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)只作射線/一交邊小于點(diǎn)A

2

若3=4,4后15,則△/做的面積是（）

A.15B.30C.45D.60

【答案】B.

【解析】

試題分析：由題意得力一是/%C的平分線，過點(diǎn)〃作皿46于2又：/華加。，...小綏.?.△加的面

積=工4./斤'X15X4=30.

22

故選B.

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì).

2.（2017山東省威海市）如圖，在加版中，/的6的平分線交切于點(diǎn)￡,交回的延長線于點(diǎn)G,AABC

的平分線交切于點(diǎn)尸，交力〃的延長線于點(diǎn)〃，4G與交于點(diǎn)0,連接應(yīng)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

AB

A.BO-OHB.DF^CEC.DH=CGD.AB=AE

【答案】D.

【解析】

試題分析：???四邊形H5co是平行四邊形，/XBC,.?./H=NHSG,-：ZHBG=ZHBA,Z.Z

H=4HBA,：.AH=AB,同理可證.JH=BG,\'AD=BC,：.DH=CG,故③正確，?，取”，40AH=

Z.OAB,：.OH=OB,故①正確，?:DFHAS,；.4DFH="H,,：4H=ZABH,：.4H=Z_DFH,：.DF=DH,

同理可證EOCG,'：DH=CG,J.DF=CE,故②正確，無法證明TEWB,故選D.

考點(diǎn)：1.平行四邊形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì).

3.（2017浙江省寧波市）如圖，四邊形4瓦力是邊長為6的正方形，點(diǎn)￡在邊46上，止4,過點(diǎn)￡作廝〃

BC,分別交加，CD于G,夕兩點(diǎn).若也N分別是“W的中點(diǎn)，貝hMV的長為（）

A.3B.273C.V13D.4

【答案】C.

【解析】

試題分析：連接尸MEMCM,?.?四邊形W3C。為正方形，.?.NdBaNBGXNzJDagO。，BOCD,-：

EFHBC,：.^GFD=ABCD=9Q°,EF=3C,：.EF=BC=DC,'：Z3DC=^^DC=45°，,2\G尸D是等腰直

角三角形，是DG的中點(diǎn)，。尸AmU.fG,FA/1DG,「.NGE宙NCDVM5°，:Z\04C\!D?

:.E\f=C\I,過二作M71CD于H,由勾股定理得：BD=56：+6：=60,24+6，=2而,VZ

E5G=45。，「.△EBG是等腰直角三角形，...EG=SE=』，.丁的』點(diǎn)，廬0,.F年「.C爭6

-1=5,*Jf+5」=后,?.,=：=￡.￡+（:”,二/瓦1?9。°,?.“》是EC的中點(diǎn)，/.

WXWIEO相；故選C.

7

考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.等腰直角三角形：3.正方形的性質(zhì).

4.（2017湖北省鄂州市）如圖四邊形46切中，AD//J3C,/BCSAB=BC+AD,/力用45°,E為CD上

一點(diǎn)，且/刃尺45°.若第=4,則△/跖的面積為（）

AD

2450

Bn.—D.—

77

【答案】D.

【解析】

試題分析：如圖取CD的中點(diǎn)尸,連接BF延長3F交AD的延長線于G,作FHL1B于H,EK1JB于K.作

BT1ADTT.\'BCllAG,：.ZBCF=ZFDG,,：^BFC=ADFG,FODF,：.ABCF^AGDF,：.BC=DG,

BF=FG,W-1B=BC+AD,AG=AI>^DG=A^3C,：.A3=AG,\'BF=FG,：.BF1BG,乙士BF=/G=/CBF,?:

FH[BA,FC1BC,：.FH=FC,易證>-D>；.BOBH,AD3B,由嚼ND=DO4,

設(shè)BOTD=BH=x,在R△鋁「中，?二廠+XN,「.(.v+4)-=4:+(4-x)/.x=l,：.BOBH=TD=\,

.45=5,設(shè)AK=EK=y,DE=z,\\4E-=AK?+E^=AI>+DE-,BE：=B%+KE：=BC+EC,.?.平+二千二①,(5-i)-+)-=l-+

->0I*>0々0

(4-z)：②，由①②可得產(chǎn)?，.?.5_<￡廣：><5><?=]，故選D.

考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.三角形的面積.

5.（2017黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在邊長為4的正方形4%為中，E、尸是"邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且力后外,

連接BE、CF、BD,6F與9交于點(diǎn)G,連接4G交回于點(diǎn)〃，連接的下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

①AABGs叢FDG②用?平分/￡以？③AGLBE④&械：以"tanADAG⑤線段小的最小值是2加-2.

C.4D.5

【答案】C.

【解析】

試題分析：?.?四邊形/BCD是正方形，.」界。，NR』D=ZJDC=90°,乙&DB=/CDB=45°,在4ABE

和ADCF中，\'AB=CD,NA4Z>=Z/1Z）C,.4￡=。尸，.?.AJ3&APC尸（$”），:.乙4BE=“CF,在A』DG

和ACDG中，'：AD=CD,乙ADBNCDB,DG=DG-D-&CDGqSAS）,J.^DAO^DCF,/.Z

ABE=ZDAG,?.?/DHG*NR好90°,：2BAE+/BAH=9Q°,:.乙4HB=9Q°,：.AG1BE,故③正確，

同法可證：-GB/4CGB,DFIICB,：.小CB-DG,：.AABNNDG,故①正確，,:SAG：S

^HBG-DG：BG=DF：BC=DF：CD=ianZ_FCD,又:/DNG=NFCD,;.S_JSDG：S^HBQ-ianZ_FCD,tanZ_DAG,

故④正確

取4?的中點(diǎn)0,連接OD、加?.?正方形的邊長為4,法4X4=2,由勾股定理得，01黃4?+*=275,

2

由三角形的三邊關(guān)系得，0、D、〃三點(diǎn)共線時(shí)，ZW最小，陽極卜=20-2.

無法證明加平分/夕傷，故②錯(cuò)誤，故①③④⑤正確，故選C.

（2）題圖

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.正方形的性質(zhì)；4.解直角三角形;

5.最值問題.

二、填空題

6.（2017湖南省婁底市）如圖，在.Rt叢ABC與RtADCB中,已知/4=/。90°,請(qǐng)你添加一個(gè)條件（不添

加字母和輔助線），使貶△46屋燈△比況你添加的條件是.

B

【答案】NB=DC.

【解析】

試題分析：???斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，...在無與&中，已知44=/

A90。，使Rr2k￡3C^rADC3,添加的條件是：AB=DC.故答案為：A5=DC.

考點(diǎn)：1.直角三角形全等的判定；2.探究型.

7.（2017湖南省婁底市）如圖，在等腰放況1中，乙4除90°,力廬上2,點(diǎn)。為4c的中點(diǎn)，點(diǎn)6,尸分

別是線段46,8上的動(dòng)點(diǎn)，且戶90°,若初的長為處則△麻尸的周長是（用含卬的代數(shù)式表

示）

B

【答案】（行冊(cè)2）.

【解析】

試題分析：如圖，連接弧在等腰應(yīng)△48C中，點(diǎn)〃是/C的中點(diǎn)，...劭，〃；...被M介微NDBONA=45°,

/ADB=9Q°,,:/ED六90°,:.NAD拄NBDF,在△/應(yīng)1和△物;'中，VZJ=ZW,AD-BD,NAD斤NBDF,

:.△ADE^/XBDFqAS4,：.AE=BF,DE=DF,在.Rt叢DEF中,Df^DE=m,:.E六五DE=C.m,△廢尸的周長

為筋明上班打眉■止力儕止2+應(yīng)加，故答案為：（0如'2）.

考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.等腰直角三角形；3.動(dòng)點(diǎn)型.

8.（2017湖南省湘潭市）如圖，在燈△/回中，Z^90°,BD平明■NABC交.AC干點(diǎn)、D,Z均垂直平分

垂足為￡點(diǎn)，請(qǐng)任意寫出一組相等的線段.

【答案】B后必（答案不唯一：BOBE=EA,BD=DA）.

【解析】

試題分析：：應(yīng)1垂直平分/瓦.*.止劭，故答案為：B斤劭（答案不唯一：B信止￡4,BADA）.

考點(diǎn)：1.線段垂直平分線的性質(zhì)；2.角平分線的性質(zhì)；3.開放型.

9.（2017內(nèi)蒙古包頭市）如圖，在△/外與①中，A廬AC,AD-AE,/BAONDAE,且點(diǎn)。在4?上，點(diǎn)E

與點(diǎn)。在43的兩側(cè)，連接％CD,點(diǎn)M"分別是“切的中點(diǎn)，連接物YAM,AN.

下列結(jié)論：①△/G儂△//陽②叢ABCs叢AMN；③是等邊三角形；④若點(diǎn)〃是腦的中點(diǎn)，貝U

△鹿?

其中正確的結(jié)論是.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①②④.

【解析】

試題分析：①在和5m中，,:q.WB,ABAOZD.-1E,AD=.-lE,/.△.-JCZ^A.15Z（￡45）,所以

①正確；

②二ZCD^ABE,：.CD=BE,N_\C；NJ3」，又O,一丫分別為5E,CD的中點(diǎn)，在△JUV

和中，"：AC=.4B,Z.4C\=Z-45.'./,C-：/..-1AK4.V/,NC4AN5WM,/.Z

5JOZ-U4.V,:/聲/仁.?.ZzJC^ZzLSC,「.Z?二CN"￡V,...A?3AzLUV,所以②正確；

③：434”,.?.△川仲為等腰三角形，所以③不正確；

@l\ACN=.:.SAACFSAMI,\,點(diǎn)1/、N分別是應(yīng)"、G9的中點(diǎn)，；.5MOF2WUC”S^.igr:2S^Am:.S&K滬S

4*E,；〃是46的中點(diǎn)，；.2sl械＞所以④正確；

本題正確的結(jié)論有：①②④；故答案為：①②④.

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)：3.等邊三角形的判定與性質(zhì).

10.（2017四川省南充市）如圖，正方形48繆和正方形御；邊長分別為a和8,正方形仔。繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，

給出下列結(jié)論：①B芹DG；②BELDG；@DE2+BG2=2a2+2b2,其中正確結(jié)論是（填序號(hào)）

【答案】①②③.

【解析】

試題分析:設(shè)交于。,；四邊形.q58和三可。都為正方形,，800。,底=。3,/58=/4第90°,

/.Z5C￡+Z^C￡=Z￡CG*ZPCF=90°+/DCE,即/5CE=/DCG,在A3C￡■和ADCG中，\'BC=DC,Z

BCE=ADCG,CE=CG,S.ASCE^ADCG(SAS),：.BE=DG,/.Z1=Z2,?.?/1+/4=/3+/1=90°,/.

0

Z2+Z3=90°,/.Z50090,：.BE1DG)故①?正確；

連接BD,EG,如圖所示，DAB6=B6=BC+B=NW,EO^+O^E^CG^+CE^b-,則

BG+DE^DAB(y+E(y+OG^=2a2+b-,故③正確.

故答案為：①②③.

考點(diǎn)：1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.正方形的性質(zhì).

11.（2017湖北省十堰市）如圖，正方形/陽9中，BE=EF^FC,CG=2GD,EG分別交4￡,AF于M,N.下列結(jié)

4BM3I

論：①AKL8G；②B2士NF；③°=巳；?SCGNF-S其中正確的結(jié)論的序號(hào)是_____.

3MG82

DG

【答案】①③.

【解析】

試題分析：①?四邊形'38為正方形，.=J=3O8,二5三=WF=FC,CO1GD,：.BF=CG,在A=3F和

△5CG中，,.FB=5C,Z.43.^Z3CG=9：j0,3"=CG,：.^3F^ABCG,"BAF="BG,'：^BAF+

乙3日=9。°,.,./C8G+/5E4=90°,即X.UBGj①正確I

Dy8c3

②在as△尸和ABCG中，?.?/C3G=/.'；5.L/3CG=-3F=<*,：./\B\T^3CG,：.—=—=-,

XT7m，

/.5.\=-.\F;②錯(cuò)誤;

③作EHVAF,令A(yù)B=3,則游2,BE=EF^CF^\,AF=yjAB2+BF2=V13,*：S△詼=AF?=AB?BF,：.

6V1324而9V13O/pl

冊(cè)-----，上一BN^——,：.A^AF-/2----------是跖中點(diǎn)，.?.夕/是△班V'的中位線，.?.冊(cè)△—,

133131313

除漢比，BN//EH,._11V13AN_MN,解得:好喑,

??nrF2------------MG=BG-

1313~AH~~EH11

8713BM3

—,二——-；③正確;

11MG8

7j13i1ij27

④連接4G,FG,根據(jù)③中結(jié)論，則八徒6G-BN^-----,,二S四邊形m尸見面什加公產(chǎn)一CG?CF+—NF，NG^\+---，

13221313

=

S四邊形心切=Su田加=—AMGN^—AD*DG^---1——，.*?S四邊形的屬一S四邊形A\儂，④錯(cuò)誤；

22132262

故答案為：①③.

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.正方形的性質(zhì)；4.綜合題.

12.（2017湖北省武漢市）如圖，在中，/廬力信26，/加俏120°，點(diǎn)〃、￡都在邊比1上，NDAE=60°.若

BA2CE,則膜的長為

【答案】3百一3.

【解析】

試題分析：將繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到ZUCF,連接EF,過點(diǎn)E作及W1CF于點(diǎn)過點(diǎn)工

作AV15C于點(diǎn).V,如圖所示.

'：AB=AC=2^3,ZBJ01200,/.5.\=CV,N8=N4C3=30°.

在Rr△屏LV中，NB=30°,AB=2出,.*.WV=g」5=J5,RV=，?-處*=3,^sc=6,

?：Z&1<=120°,Z04^60°,:.NBA丹NCA拄6Q°,AZFAE=ZFA&ZCA^ZBAIhZCAl^60a.

在△/應(yīng)1和1中，"：AD-AF,NDA/NFA斤60°,AE=AE,：./\ADE^/\AFE(S45),：.DE=FE.

"：BD=1CE,BD=CF,ZACf^ZB=3O°,.?.設(shè)上2人則EM=gx,項(xiàng)Mx-尸3x,止&>6-6x.

o_/o

在RtAEFM中，F(xiàn)E=6-6x,F拒3x,EM=下>x,：.E^=F#+EKh即(6-6x>=(3尤>+(也尤了，解得：A~r~~

2

x4避（不合題意，舍去），，修6-6尸36一3.故答案為：36—3.

2

考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.勾股定理；3.翻折變換（折疊問題）；4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

三、解答題

13.（2017四川省瀘州市）如圖，點(diǎn)4、F、a。在同一條直線上，已知A六DC,2歸ND,BC//EF,求證:

A廬鹿.

【答案】證明見解析.

【解析】

試題分析：欲證明."=DE,只要證明人二gADEF即可.

試題解析：..F4CD,，N4C3=NDFM在A45C和△￡>￡?中，,."ZJ=ND,/ODE,

乙&CB=4DFE,:.△ABgJSEF（AS.4）,:.AB=DE.

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)..

14.（2017內(nèi)蒙古呼和浩特市）如圖，等腰三角形/比'中，BD,四分別是兩腰上的中線.

（1）求證：3D=CE；

（2）設(shè)劭與磁相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M,N分別為線段加和如的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹匦牡巾旤c(diǎn)4的距離與底邊

長相等時(shí)，判斷四邊形龍:斜的形狀，無需說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形巫;腳是正方形.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件得到/方/￡,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到皮〃6C,ED=-BC,MN//BC,BC,等量代換得到功〃機(jī)MED=MN,

22

推出四邊形被慟是平行四邊形，由（1）知BD=CE,求得〃生￡?V；得到四邊形切麗/是矩形，根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得到0除0C,由三角形的重心的性質(zhì)得到。到區(qū)的距離」密根據(jù)直角三角形的判定得到BDV

2

CE,于是得到結(jié)論.

試題解析：（1）解：由題意得，AB=AC,'：BD,您分別是兩腰上的中線，.！4GAE=-AB,：.AD=AE,

22

在曲和△［四中，,:止AC,ZA=ZA,AD=AE,：./\ACE（ASA）,:.B氏CE；

（2）四邊形頌V是正方形，證明：,:E、〃分別是力氏4c的中點(diǎn)，代,46,AI>-AC,勿是△46C的

22

中位線，.?.Q〃6C,ED=-BC,I?點(diǎn),V、/V分別為線段60和C。中點(diǎn)，二2游6”,好0V,,惻是△觥■的中位

2

黑：.MN〃BC,胖、BC,：.ED〃MN,以左胸；...四邊形&M例是平行四邊形，由（1）知做=四，又'：OE=ON,

2

OD-OM,OM-BM,O^CN,:.D拒EN,.?.四邊形后見渺是矩形，在△吠與△儂中，"：BE-CD,C扶BD,BOCB,

:.XBDC^XCEB,：.ABCE=ACBD,：.OB=OC,況■的重心到頂點(diǎn)力的距離與底邊長相等，.?.0至|玄的

距離.?.ELL應(yīng)，.?.四邊形的腫是正方形.

2

MN

BC

考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.三角形的重心；3.等腰三角形的性質(zhì).

15.(2017江蘇省常州市)如圖，已知在四邊形4切力中，點(diǎn)V在/。上，NBCB=NACA90：ZBAOZD,

BOCE.

(1)求證：\OCD-,

(2)若A俏AE,求/班C的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析；(2)112.5°.

【解析】

試題分析：(I)根據(jù)同角的余角相等可得到/3=/5,結(jié)合條件可得到Nl=/D,再加上BOCE,可證得結(jié)

論；

(2)根據(jù)aWCD=90°,/OCD,得到N2=ND=45°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N4=/6=67.5°,由平

角的定義得到NDE。180。-Z6=112.5°.

試題解析：?.?/68/力今90°,；./3+/4=/4+/5,；./3=N5,在中，N467>90°,；./2+/方90°,

胡氏Nl+N2=90°,；.N1=ND,在△46C和△戚中，VZ1=ZAN3=/5,BOCE,:.△ABC^XDEC

(/粉，:.AC=CD；

(2)VZJCS=90°,AC=CD,AZ2=ZZ>=45O,'：AE=AC,AZ4=Z6=67.5°,鹿△180°-Z6=112.5°.

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).

16.(2017湖北省荊門市)已知：如圖，在/中，/力妙90°,點(diǎn)。是四的中點(diǎn)，點(diǎn)￡是辦的中點(diǎn),

過點(diǎn)。作ZW/8叫4?的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證：XAD曜l\FCE；

（2）若/比片120°,D序2,求比的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）4.

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)得出DE=CE,再由NBIICF可知.火NzlFC,根據(jù)A4S定理可

得出四△FCE,

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出一"）=8=匕瓦再由ABIICF可知NBDO180。-NDCFM80。-

120。=60。，由三角形外角的性質(zhì)可得出NDXC=/J6：N5Da30°,進(jìn)而可得出結(jié)論.

試題解析：（1）證明：...點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，二。￡==.

■：A3llCF,；.ABAF=^4FC.

在1與中，'：ZBA/^ZAFC,ZAED-AFEC,D^CE,匡△凡若（加IS）；

（2）解：由（1）得，CD=2DE,,:D序2,：.CD=4.

?點(diǎn)〃為48的中點(diǎn)，AACB-W,，4?=2必=8,AD-CD--AB.

2

?：AB//CF,，N切￡180°-N〃C7M80°-120°=60°,：.ADAOAACD--ABDO-X60°=30°,，

22

BC-LX8=4.

22

考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.直角三角形斜邊上的中線.

17.（2017重慶）在△48C中，乙仍滬45°,AMLBM,垂足為機(jī)點(diǎn)C是倒/延長線上一點(diǎn)，連接力C

（1）如圖1,若AB=36，BC=5,求47的長；

（2）如圖2,點(diǎn)〃是線段4y上一點(diǎn)，朗％灰；點(diǎn)￡是4/及7外一點(diǎn)，EOAC,連接切并延長交回于點(diǎn)凡

且點(diǎn)尸是線段比,的中點(diǎn)，求證：NBD廣匕CEF.

E

【答案】（1）V13；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：3）先由也小史，仁州8*5。=3可得仃佇2,再由勾股定理可得TC的長；

（2）延長吁到點(diǎn)G,使得尸G=EF,證AS，彳A-/C得一4CBD,再證可得5G=CE,Z

G=Z￡,從而得3ABecE,即可得/3DG=NG=NE.

試題解析：（1）:乙二-任右。，.—91史./,一―儂史°=3V：X—=3,則CTU3C-5￡5-2=2,

.\AC=y/^f2+CM2=4+3?=屈;

（2）延長〃到點(diǎn)G,使得FG=EF,連接BG.

由。忙MC,ABMD=ZAMC,B的AM,△砌屋依（05）,：.AC=BD,又上AC,因此盼龍，由止乙Z

BFG=Z.EFC,FG=FE,:.XBF摩/\CFE,椒BG=CE,NRN￡,所以B>BG=CE,因此/敬方/e/￡.

考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.勾股定理.

18.（2017重慶8）如圖，△/8C中，ZJG?=90o,4工%；點(diǎn)￡是4C上一點(diǎn)，連接弧

（1）如圖1,若4反4挺,除5,求絲的長；

（2）如圖2,點(diǎn)〃是線段秋延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)［作于點(diǎn)E連接切、CF,當(dāng)月后的時(shí)，求證:

DC=BC.

試題分析：（1沖艮據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到工。3。4."=4,根據(jù)勾股定理得到CE==3,

于是得到結(jié)論J

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到/C4B=45。，由于乙4尸爐4C3=90。，推出/,F,C,B四點(diǎn)共圓,

根據(jù)圓周角定理得到NCF3=NC==45。，求得ND尸￡上/4尸。435。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)

論.

拒__________

試題解析：（1）'：AACB-W,AOBC,：.AOBO—V^5,：.C^\lBE2-BC2=3,.\z!f=4-3=1；

2

（2）VZAC3=90°,AC=BC,：.^CAB=45°,'：AFLBD,:.NAFB=NACB=9Q°,：.A,F,C,6四點(diǎn)共圓，

：.ACFB=ACAB=^°,：.￡DF（=￡AF（=\^,在與△呼中，"：AF=DF,AAFC=ADFC,CF^CF,

ACF94DCF,：.CD-AC,"：AOBC,：.AC=BC.

考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.勾股定理.

19.（2017北京市）在等腰直角中，ZACB=W°,尸是線段燈?上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)反。不重合），連接

AP,延長比■至點(diǎn)0,使得我=",過點(diǎn)0作烈1_"于點(diǎn)兒交加?于點(diǎn)也

（1）若N為俏a,求N4%的大小（用含a的式子表示）.

（2）用等式表示線段，監(jiān)與網(wǎng)之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴N4圖=45°+a；(2)PQ=6MB.

【解析】

試題分析：(D由等腰直角三角形的性質(zhì)得出/3XCNB75。，NR4=45。-a,由直角三角形的性質(zhì)即

可得出結(jié)論J

(2)連接d。，作A￡J_Q5,由￡必證明A」PCSZk2怎，得出A的是等腰直角三角形，由

等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

試題解析：(1)N4/@=45°+a；理由如下：

VAPAOa,△4方是等腰直角三角形，AZfi4C^Z5=45°,/為廬45°-a,?:QH1AP,:.N川昨90°,

...24吐180°-ZAHM-ZPAB=450+a；

(2)監(jiān)；理由如下：

連接40,作，監(jiān)工/，如圖所示：

'：ACLQP,C牛CP,：.ZQAC=ZPAC=a,二滬45°+a=N4媳，J.AP-AQ-QM,在△4PC和△QJffi'中，VZ

MQE-APAC,AAC^zLQEM,AF^QM,：./\APC^/\QME(71AS),:.POME,，△4龐是等腰直角三角形，，

-PQ--MB,:.P牛五MB.

22

考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.等腰直角三角形；3.探究型；4.動(dòng)點(diǎn)型.

20.（2017四川省廣安市）如圖，四邊形切是正方形，E、尸分別是了48、4,上的一點(diǎn)，且叫U龍，垂

足為G,求證：A2BE.

【答案】證明見解析.

【解析】

試題分析：直接利用已知得出N5CE=/?F,進(jìn)而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出/尸=BE.

試題解析：???四邊形且BCD是正方形，Z.4=ZC55=906,-：BF1CE,：.ZBCE+ZCBG=90°,

,.?NzLBF+NC3G=90°,；2BCE=43F,在ZkSCE和△與F中，：/5C￡=乙L5F,BOAB,2CBE=ZA,

:.ABC區(qū)&ABF（AS.4）,：.BE=AF.

考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì).

21.（2017四川省成都市）問題背景：如圖1,等腰△力6c中，AB=AC,N為0120°,做ALLLBC于點(diǎn)、D,則

〃為8c的中點(diǎn)，NBA斤上NBAO60°,于是變=竺2=6；

2ABAB

遷移應(yīng)用：如圖2,△力比'和△力龍"都是等腰三角形，NBAO/ADE=120°,D,E,6?三點(diǎn)在同一條直線上，

連接弧

①求證：XAD心XAEC：

②請(qǐng)直接寫出線段加，BD,切之間的等量關(guān)系式；

拓展延伸：如圖3,在菱形中，ZAB（=120a,在內(nèi)作射線倒/,作點(diǎn)C關(guān)于5"的對(duì)稱點(diǎn)發(fā)連

接并延長交身/于點(diǎn)R連接出CF.

①證明△戚是等邊三角形；

②若4尺5,C序2,求防的長.

【答案】遷移應(yīng)用：①證明見解析；②。拒A/BD；拓展延伸：①證明見解析；②3G.

【解析】

試題分析：遷移應(yīng)用：①如圖②中，只要證明即可根據(jù)解決問題；

②結(jié)論：CD=y/3ALH-BD.由“US絲可知5D=CE,在刀”中，DH=AD-cos3^=—AD,

SAD=AE,AH1DE,推出DH=HE,由CADE+EO1DH+BA相RABD,即可解決問題：

拓展延伸：①如圖3中，作5Hl￡于凡頡站.BOBE=BD=3A,FE=FC,推出d、D、E、C四點(diǎn)、

共圓，推出乙4口04」￡0=120。，推出/尸EO6。。，推出△EFC是等邊三角形；

HF

②由TE=5,EOEF=1,推出上中HE=：.E,F田在2:八5巨中，由/比F=30°,可得一=555300,

BF

由此即可解決問題.

試題解析：遷移應(yīng)用：①證明：如圖②

,：ZBA(=ZADB=120°,：.ADAB=ACAE,在△的￡1和「中，DA=EA,ADAB-Z.EAC,AB-AC,:*XDA監(jiān)

△EAC；

②解：結(jié)論：CD=/A肚BD.

'：/\DAB^/\EAC,：.BD-CE,在Rt/\ADH中,DI=A?co史G=—AD,'：AD-AE,MLDE,：.DU-HE,：

2

CD-DE+E(=2DlhBD=百AABD.

拓展延伸：①證明：如圖3中，作BH_LAE于H,連接質(zhì)

?.?四邊形4a》是菱形，N/陷120°,:.XABD,笫是等邊三角形，：.BA=BD-BC,,:E、C關(guān)于對(duì)稱，

:.BeBE=BD-BA,曄FC,."、D、E、C四點(diǎn)共圓，：.ZA￡）（=ZA^120°,：.ZFEC-60°,.?.△￡7守是等邊

HF

三角形，②解：；45=5,EC=EA2,：.A由HE=2.5,FH=4.5,在應(yīng)△即中，：N班后30°,——=cos30°,

BF

,BF==3G.

V3

T

考點(diǎn)：1.三角形綜合題；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.探究型；4.變式探究；5.和差倍分；6.壓

軸題.

22.（2017湖北省隨州市）如圖，在放中，/e90°,小比，點(diǎn)。在48上,經(jīng)過點(diǎn)/的。。與8c

相切于點(diǎn)〃，交46于點(diǎn)￡.

（1）求證：A〃平分/胡C；

（2）若61,求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留n）.

JT

【答案】（1）證明見解析；（2）1--.

4

【解析】

試題分析：3）連接DE,OD.利用弦切角定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等角的余角相等證明Nnwa

ZC4D,進(jìn)而得出結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,由3C相切。。于點(diǎn)。，得到/。刃=90。，求得OABD,

乙88=45°,設(shè)BD=x,則8=。==.,。3=0,根據(jù)勾股定理得到5Ag0,于是得到結(jié)論.

試題解析：（1）證明：連接班；OD.

相切。0于點(diǎn)〃:.NCDA=4AED,為直徑，:"ADE=9Q°,?:AC1BC,：.ZACD=90Q,AZDAO=

/CAD,；.助平分/胡C；

(2)；在燈△相，中，Z^90°,AC=BC,：.AB=^BAC=^a,,.?以;相切。。于點(diǎn)〃，二廬90°,：.OD=BD,

:.NBOD=45°,設(shè)BFx,則0戶OA=x,08=&x,:.BOAO/1,；〃+初=初，.\2(A+1)2=(行A+X)2,

：.X=y[l,:.B廬0戶6.,.,.圖中陰影部分的面積=5ka?-Sw病—XV2Xy/2,.....——―=1——.

23604

考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)；2.角平分線的性質(zhì)；3.等腰直角三角形；4.扇形面積的計(jì)算.

23.（2017四川省阿壩州）如圖，△/!附和△//座是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，N胡氏/%尺90°,點(diǎn)

一為射線放，酸的交點(diǎn).

（1）求證：BD=CE；

（2）若/廬2,小1,把△/應(yīng)'繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/以仁90°時(shí)，求陽的長；

【答案】（1）證明見解析；（2）陽的長為氈或述.

55

【解析】

試題分析：⑴依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到-3WC,3巴依據(jù)同角的余角相等得到然

后依據(jù)可證明逐最后，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到gCE；

（2）分為點(diǎn)E在.45上和點(diǎn)E在一45的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明ADEBsA正C,最后依據(jù)

相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.

試題解析：（1）a'和應(yīng)是等腰直角三角形，NBA俏NDA少90°,：.AI^AC,AD=AE,NDAB=NCAE,

：./\ADB^l\AEC,：.BD=CE.

（2）解：①當(dāng)點(diǎn)￡在加上時(shí)，BB=AB-AE=1.

'：ZEAO90°,：.CE-yjAE2+AC2^75.

同（1）可證△/龐9△/￡，，ZDBA=ZECA.

,PBBE?PB12V5

'：APEB=AAEC,：./\PEB^/\AEC,>>--------=---------j=,:.PB=------

ACCE1,VV55

②當(dāng)點(diǎn)￡在胡延長線上時(shí)，止3.

同（1）可證△//^△/成?，：.4DB歸乙ECA.

DDBF.PB_36A/5

'：4BE44CEA,：./\PEB^/\AEC,?=——

ACCEF飛5

綜上所述，陽的長為拽或述.

55

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.等腰直角三角形；4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);

5.分類討論.

24.（2017黑龍江省龍東地區(qū)）已知：△力仍和如均為等腰直角三角形，N46快NC〃廬90°.連接力〃，

6C,點(diǎn)〃為形中點(diǎn)，連接加

（1）如圖1所示，易證：初一4?且限L49（不需證明）

2

（2）將△CM繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2,圖3所示位置時(shí)，線段如與力〃又有怎樣的關(guān)系，并選擇一個(gè)圖形證明

你的結(jié)論.

【答案】（1）證明見解析；（2）圖2,圖3的結(jié)論都相同：OH=-AD,OHLAD.

2

【解析】

試題分析：3）只要證明人』。喀△30C,即可解決問題；

（2）①如圖2中，結(jié)論：。聲LAD,0H1AD.延長。占到E,使得HE=OH,連接BE,由A3E怎△㈤」

即可解決問題；

②如圖3中，結(jié)論不變.延長加到其使得/后連接BE,延長￡0交/〃于G由陷△物1即可解

決問題；

試題解析：（1）證明：如圖1中，???△的占與△筋為等腰直角三角形，NA0B=/C0D=9Q：：.OOOD,OA=OB,

在△/勿與△8%中，VOA=OB,AAOD=ABOC,OD-OC,:.△AOMXBOCqSAS）,：,Z.ADOABCO,乙OAW乙

OBC,?.,點(diǎn)〃為線段a'的中點(diǎn)，OIf=IIB,：.AOB1^AHOB-AOAD,又：/如分N49390°,：.

6阱90°,：.OHVADx

（2）解：①結(jié)論：OH--AD,OHVAD,如圖2中，延長。/至I」5使得用方陽連接質(zhì)易證△即運(yùn)△加1,

2

?.OB-AD,OE=-AD.由△鹿儂△颯，知/EO+ZDAO,：.2DAS4A0卞/E0濟(jì)NA0詼9Q°,：.OH

22

LAD.

②如圖3中，結(jié)論不變.延長如到反使得止掰連接BE,延長切交于G.

易證△俄'儂△煙，OE=AD,：.OH=-OE=-AD.

22

由△勿儂△如，除乙EOF乙DAO,：./DA必N加后NEOB+/AOG=9G°,，N/G390°,OHVAD.

考點(diǎn)：1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.等腰直角三角形；4.和差倍分；5.探究型；6.變

式探究；7.壓軸題.

25.(2017山東省萊蕪市)已知與△〃笫是兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形.

(1)如圖①所示，連接DB,試判斷線段和陽的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖②所示，連接，6,將線段龐繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到陰連接4尸，試判斷線段然和/尸的數(shù)

量和位置關(guān)系，并說明理由.

圖①圖②

【答案】(1)A芹DB,AELDB；(2)D芹AF,DEVAF.

【解析】

試題分析：3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)'全等三角形的判定定理證明治△BC溶出AWCE,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)解答；

(2)證明核人」。尸，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可.

試題解析：(1〉.2E=DB,XEDB.證明如下：

?「△zhBC與△DEC是等腰直角三角形，：.AC=BC,EC=DC,在RtABCD^0Rt^CEEp,"：AC=BC,S=

/B