傾斜角與斜率(教學設計)

一、內容及內容解析

1.內容

本章內容選自《普通高中數學選擇性必修第一冊》人教A版(2019)第二章《直線和

圓的方程》的包括兩部分.第一部分是直線的方程，包括“直線的傾斜角與斜率”“2.2直線的方程”

直線的交點坐標與距離公式"3節；第二部分是圓的方程，包括圓的方程”“2.5直線與圓、圓與

圓的位置關系”2節.

2.內容解析

(1)內容的本質

在學生親身體驗直線的傾斜角與斜率這兩個數學概念形成的過程。因為數學課程要講邏輯

推理，更要講道理，要通過典型例子的分析和學生的自主探索活動，促使學生理解數學概念、

結論逐步形成的過程，從而體會蘊涵在其中的數學思想方法。

(2)蘊含的思想與方法

本章研究直線、圓及其相關問題，用的是坐標法.坐標法是解析幾何最基本的研究方法，

它建立了幾何與代數之間的聯系，體現了數形結合的思想.

(3)培育的數學核心素養

通過直線的傾斜角和斜率的求解，以及在人們的生活、生產、科技中有著廣泛的實際應

用，發展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養。

(4)教學重點

(1)過兩點的直線斜率公式是建立直線方程的基礎；

(2)兩點間的距離公式是建立圓的標準方程的基礎；

(3)建立的直線的方程、圓的方程；

(4)研究兩條直線的位置關系、交點坐標；

(5)點到直線的距離、直線與圓、圓與圓的位置關系。

二、目標與目標解析

(一)本單元教學目標

1.直線的方程

(1)在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.

(2)理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的

直線斜率的計算公式.

(3)能根據斜率判斷兩條直線平行或垂直.

(4)根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的三種形式：點斜式、兩點式、一

般式.

(5)能用解方程組的方法求兩條宜線的交點坐標.

(6)探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距

離.

2.圓的方程

(1)回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程.

(2)能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系.

(3)能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.

(二)目標解析

達成上述目標的標志是：

(1)理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直

線斜率的計算公式.

(2)能根據斜率判斷兩條直線平行或垂直.

(3)根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的三種形式：點斜式、兩點式、一般

式.

(4)能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.

(5)探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.

(6)能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系.

(7)能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.

三、教學問題診斷分析

1.問題診斷

直線和圓是平面幾何中已經研究過的圖形，本章用解析幾何的方法進行再研究，可以使

學生體會解析幾何方法的特點.本章首先在平面直角坐標系中，探索確定直線位置和圓的幾何

要素；然后用代數方法刻畫直線的斜率、兩點間的距離.在此基礎上，建立直線和圓的方程；

用方程研究兩條直線的位置關系、交點坐標、點到直線的距離以及直線與圓、圓與圓的位置關

系；解決簡單的數學問題和實際問題，初步感悟平面解析幾何蘊含的數學思想.

2.教學難點

用向量方法推導點到直線的距離公式，以及對直線與直線的方程，圓與圓的方程之間關系的認

識，學生理解可能會有一定的困難，它們是本章的難點.

四、教學支持條件分析

1.技術支持

利用電腦、互聯網，可以非常方便快捷地查找到有關史料故事、拓寬視野，感悟數學的文化

價值,提高學生的數學文化素養；借助計算器或電腦，可以計算較大數目的數量，獲得比較精準的

數值；借助實物投影或PPT,展示學生的學習成果，

2.知識儲備

直線和圓是平面幾何中已經研究過的圖形，本章用解析幾何的方法進行再研究，可以使學生體

會解析幾何方法的特點.

五、課時教學設計

直線的傾斜角與斜率（第1課時）

一、內容和內容解析

（一）內容

直線的傾斜角、斜率的概念，過兩點的直線的斜率公式.

（二）內容解析

直線的傾斜角和斜率分別從形和數刻畫了直線的方向：相對于1軸的傾斜程度，一點和傾

斜角，或一點和斜率確定了平面直角坐標系中直線的位置.過兩點的直線斜率公式把直線的傾

斜角（方向或傾斜程度）與其上兩點的坐標聯系起來，實現了對直線幾何特征的代數刻畫.它是解

析幾何中的基本公式，是建立直線方程的基礎.

為了用代數方法研究直線的有關問題，首先需要探索在平面直角坐標系中確定直線位置

的幾何要素，然后用代數方法把這些幾何要素表示出來.通過一點和一個方向確定一條直線，

引入直線傾斜角的概念刻畫直線的方向；進而通過向量法，用直線上兩點的坐標刻畫直線傾斜

角的正切值，把它表示為這兩點縱橫坐標的差商，引出直線斜率的概念；最后建立過兩點的直

線的斜率公式，以及直線的斜率與其方向向量的關系.這一過程了體現了坐標法的基本思想.

二、目標和目標解析

(-)目標

(1)初步了解解析幾何的產生及其意義，初步認識坐標法思想.

(2)理解直線的傾斜角與斜率的概念.

(3)掌握過兩點的直線的斜率公式.

(二)目標解析

達成上述目標的標志是：

(1)通過介紹章引言，學生能夠說出坐標法的基本思想，知道笛卡兒、費馬是解析幾何的創立

者，了解解析幾何在數學歷史發展中的作用.

(2)通過對平面直角坐標系中直線的分析，認識一點和一個方向唯一確定一條直線.過同一點的

直線的方向不同，其傾斜程度就不同，直線就不同；對于傾斜程度，可以用傾斜角刻畫，也可

以用斜率(傾斜角的正切值垓IJ畫；進一步，斜率可以用直線上兩點的坐標定量刻畫.

(3)能夠運用向量法，承過對過原點及其上一具體點、不過原點過兩個其他具體點，以及過任

意兩點的直線傾斜角正切后的獲得過程，體會從特殊到一般，從具體到抽象的研究方法；建立

直線傾斜角的正切值與直線上任意兩點坐標之間的關系，進而獲得斜率的概念；經歷上述用坐

標法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.

三、教學問題診斷分析

本小節《直線的傾斜角與斜率》。主要內容是直線的傾斜角和斜率的概念，傾斜角與斜

率之間的關系，過兩點的直線斜率公式，以及運用直線的斜率判斷兩條直線平行或垂直的位置

關系.為了用代數方法研究直線的有關問題，教科書首先探索在平面直角坐標系中確定直線位

置的幾何要素，然后用代數方法表示這些幾何要素.通過一點和一個方向確定一條直線，引入

直線傾斜角刻畫直線的傾斜程度(方向)；然后通過具體實例，由具體到一般，通過向量法，

用直線上兩點的坐標刻畫傾斜角；把傾斜角的正切值表示為這兩點縱坐標的差與橫坐標的差的

商，進而引出直線斜率的概念；建立過兩點的直線斜率公式，以及直線的斜率與其方向向量的

關系.由于兩條直線平行或垂直取決于它們的方向，所以由它們斜率的關系可以判斷兩條直線

平行或垂直的位置關系.

解析幾何的創立與對數的發明、微積分的建立被恩格斯并稱為17世紀數學的三大成就,

其意義不言而喻.學生初次接觸解析幾何內容，需要教師通過章引言的教學，讓他們了解解析

幾何創立的背景、內涵、思想方法，以及歷史意義，初步認識坐標法.

在本節課的學習中，學生知道兩點確定一條直線，以及一點和一個方向確定一條直線，

但對于如何把這種確定直線位置的幾何要素轉化為平面直角坐標系中的代數刻畫存在困難.其

中，將兩點確定一條直線歸結為一點和一個方向確定一條直線，以及把直線的方向轉化為直線

的傾斜角，都是本節課的難點.教學中，要結合前面方向向量的學習，引導學生將兩點確定一

條直線歸結為一點和一個方向確定一條直線；引導學生觀察過一點的不同直線的區別，幫助學

生建立直線的方向和傾斜角之間的聯系.

傾斜角是對直線傾斜程度的幾何度量，是個幾何量；而斜率公式中的縱橫坐標的差商，

是個代數量，是對直線傾斜程度的代數度量.建立兩者之間的關系，對于學生來說，也有一定

的困難.教學中，要借助向量工具，通過從特殊到一般的過程，引導學生層層遞進地理解用點

的縱橫坐標的差商刻畫直線傾斜角的方法，建立直線的斜率公式.

四、教學重點、難點

重點：直線的傾斜角和斜率的概念，過兩點的直線斜率公式.

難點：用直線的傾斜角和斜率刻畫直線的幾何特征，建立直線的傾斜角、斜率及直線上任意兩

點縱橫坐標差商之間的關系.

五、教學過程設計

環節一創設情境，引入課題

引導語：十六、十七世紀，為了描述現實世界中的運動變化現象，如行星的運動、平面

拋體的運動等，需要對它們的運動軌跡進行精確的代數刻畫，運動變化進入了數學，變量觀念

成為數學中的重要理念.在眾多數學家工作的基礎上，法國數學家笛卡兒、費馬集其大成，創

立了坐標系，用坐標刻畫運動變化.這是解析幾何的創始.

我們知道，點是構成直線的基本元素.在平面直角坐標系中，可以用坐標表示點，那么，

如何用坐標表示直線呢？為了用代數方法研究直線的有關問題，本節我們首先在平面直角坐標

系中探索確定直線位置的幾何要素，然后用代數方法把這些幾何要素表示出來.

問題1:回顧平面幾何的學習，我們主要研究了哪些類型的圖形？所用的研究方法是什么？

我們知道，平面直角坐標系中的點與有序實數對一一對應，那么平面中的圖形和怎樣的

代數對象對應呢？從本章開始的解析幾何就要解決這個問題，把幾何問題轉化為代數問題，實

現通過代數運算來研究幾何圖形性質的目的.

交通工程上一般用“坡度”來描述一段道路對

于水平方向的傾斜程度，如圖，一輛汽車沿某條道路

從A點前進到B點，在水平方向前進的距離為AD,

豎直方向上升的高度為DB（如果是下降，則DB的值

為負實數）,則坡度=*k>0表示上坡,k<0

表示下坡,為了實際應用與安全，在道路鋪設時常要

規劃坡度的大小.

追問：那么“坡度”是如何來刻畫道路的傾斜程度的呢?

為了用代數方法研究直線的有關問題，需要把直線代數化.也就是教科書中提到的“直線如

何表示?”，這個表示指的就是代數化.何為代數化？如何代數化？

師生活動：教師引導學生回顧平面幾何中的研究對象、研究方法的基礎上，指出本章要用坐標

法對這些對象進行再研究，并說明坐標法與綜合法的異同，特別要強調坐標法實現了對圖形性

質的定量化研究.

設計意圖：通過回顧，明確解析幾何學的研究對象，使學生對坐標法形成初步印象，并引出本

節的研究內容.

環節二觀察分析，感知概念

問題2：直線是最簡單的幾何圖形之一，確定一條直線的幾何要素是什么？

師生活動：學生獨立思考并回答.學生的最常見的回答是“兩點確定一條直線

追問：還有沒有其他確定一條直線的方法？

思考

確定一條直線的兒何要素是什么？對于平面直角坐標系中的一條直線/（圖2.1-1）,如何利用

坐標系確定它的位置？

圖2.1-1

我們知道，兩點確定一條直線，一點和一個方向也可以確定一條直線.

問題3：下面我們利用直角坐標系進一步研究確定直線位置的幾何要素.觀察圖2.1-2中經過定

點P的直線束，它們的區別是什么？你能用利用直角坐標系中的一些元素將這些直線區分開

來嗎？

設4,8為直線上的兩點，則在就是這條直線的方向向量.所以，兩點確定一條直線

可以歸結為一點和一個方向確定一條直線.

在平面直角坐標系中，經過一點P可以作無數條直線/2,4…，它們組成一個直線束（圖

2.1-2）,這些直線的區別是什么？

師生活動：教師引導學生思考，得出一點和一個方向也能確定一條直線，并把兩點確定一條直

線歸結為一點和一個方向確定一條直線.

設計意圖：引導學生在兩點確定一條直線的基礎上，認識到“一點和一個方向”也可以唯一確定

一條直線，方向是直線的一個重要幾何要素.

在上述探究過程中，學生的第一反應是與x軸的夾角.教師要做好引導，說明方向與夾

角之間的關系，兩者都描述了直線的傾斜程度.

在平面直角坐標系中，我們規定水平直線的方向向右，其他直線向上的方向為這條直線

的方向.因此，這些直線的區別是它們的方向不同.如何表示這些直線的方向？

我們看到，這些直線相對于X軸的傾斜程度不同，也就是它們與X軸所成的角不同.因

此，我們可以利用這樣圖的角來表示這些直線的方向.

師生活動：學生可能會指出這些直線的區別在于它們的方向不同，也可能會說這些直線與1

軸所成的角不同.在學生充分討論的基礎上，教師可以引導學生思考，以平面直角坐標系中坐

標軸為基準規定直線的方向，并用直線與］軸形成的角刻畫直線的方向，在此基礎上引入傾斜

角的概念.

設計意圖：讓學生通過觀察過同一點的不同位置的直線，并強調以直角坐標系為參照系，探究

區分不同位置直線的方法，引導學生感受在直角坐標系中利用傾斜角刻畫直線方向的合理性.

問題4:你認為直線的傾斜角在什么范圍內變化？

當直線/與x軸相交時,我們以x軸為基準，x軸正向與直線/向上的方向之間所成的角Q

叫做直線/的傾斜角.圖中直線4的傾斜角必為銳角，直線r的傾斜角優為鈍角.當直線/與x

軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0。.因此，直線的傾斜角a的取值范圍為

0°^a<180°

這樣，在平面直角坐標系中，每一條直線都有一個確定的傾斜角，而且方向相同的直線，其傾

斜程度相同，傾斜角相等；方向不同的直線，其傾斜程度不同，傾斜角不相等.因此，我們可

以用傾斜角表示平面直角坐標系中一條直線的傾斜程度，也就表示了直線的方向.

師生活動：教師可通過信息技術演示直線/與x軸平行或重合時開始繞一個點旋轉的過程，讓

學生感受直線的傾斜角的變化范圍是使學生確認0°Wa<180。范圍內的角能表示所有直線的

方向.

設計意圖：借助信息技術的直觀，引導學生討論在直角坐標系中直線的傾斜角取值的各種情況,

進一步確認用傾斜角刻畫一條直線傾斜程度的合理性.

環節三抽象概括，形成概念

問題5：直線/的傾斜角刻畫了它的傾斜程度，是否還能用其他方法刻畫直線的傾斜程度呢？

我們知道，直線/可由其上任意兩點小司,必），6（々,外）唯一確定，可以推斷，直線/的

傾斜角一定與片,2兩點的坐標有內在聯系.到底具有怎樣的聯系？

下面我們利用向量來研究這個問題.在平面直角坐標系中，設直線/的傾斜角為a.

（1）已知直線/經過。（0,0）,P也1）,a與。，尸的坐標有什么關系？

（2）類似地，如果直線/經過［（-1,1）,￡（后,0）,a與4，￡的坐標又有什么關系？

師生活動：教師提出問題，引導學生體會向量法的優勢，以及為什么要用正切函數來建立角a

與給定兩點坐標之間的聯系（作為比較，必要時可以引導學生分析用正弦函數或余弦函數的弊

端）

追問：你能將上述方法進行一般性的推廣嗎？

師生活動：學生通過獨立思考，將問題推廣到一般情形，并自主探究解答.當職的方向不同

時，教師要引導學生討論傾斜角與片，，兩點坐標的關系，得到計算公式后追問下面的問題.

一般地，如果直線/經過兩點6（演,凹），鳥（4,歹2）（玉W/），那么a與6，鳥的坐標有怎

樣的關系？

環節四辨析理解深化概念

下面我們利用向量法探究上述問題

對于問題⑴，如圖向量無=（行,1）,且直線OP的傾斜角為a.由正切函數的定義,

有

1V3

tana=-i==——

733

對于問題（2）,如圖2.1-3（2）,筋=（-1-及,1-0）=（-1-垃,1）.平移向量箭到而,

則點尸的坐標為（-1-板,1）,且直線OP的傾斜角也是a.由正切函數的定義，有

tana=——-i==\-42.

-1-V2

一般地，如圖，當向量月月的方向向上時，月月=（%-%,%-弘），平移向量五耳到麗,

則點尸的坐標為（9-4力-%），且直線OP的傾斜角也是《，由正切函數的定義，有

tana=-~.

X2-%!

同樣，當向量“的方向向上時，如圖，麗=（七-々，%-歹2），也有

Bii-s

問題6：tana=上二及這個公式對任何給定的兩點都適用嗎？這個公式的意義是什么？與我

x2-Xx

們日常生活中刻畫斜面傾斜程度的坡度有聯系嗎？

思考

當直線62與x軸平行或重合時，上述式子還成立嗎？為什么？

綜上可知，直線/的傾斜角a與直線/上的兩點片區,乂），鳥*2，%）（玉片》2）的坐標有

如下關系：

tana=—~.

我們把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母左表示，即

左=tana②

注釋：日常生活中常用坡度表示傾斜面的傾斜程度：坡度=萼魯3.當直線的傾斜角為銳角

水平寬度

時，直線的斜率與坡度是類似的.

師生活動：學生在觀察與分析中能發現公式對垂直于X軸的直線不適用，其他都適用；并能在

討論交流中認識到該公式是通過點的坐標刻畫傾斜角，也就是直線的方向，這正是我們最希望

得到的一個量——用點的坐標表示直線的方向.從而引導學生將其命名為斜率（顧名思義，就

是傾斜程度的一個比值），并用小寫字母人表示，即k=tana|.最后引導學生回憶日常生活中

坡度的計算方法：坡度=魯舞，感知直線的斜率與坡度有相似的地方.

水平寬度

設計意圖：通過對特殊問題一般化的抽象得到傾斜角的正切值，即斜率的計算公式，并通過師

生對該公式意義的分析，發現它正是我們尋求的刻畫直線方向的代數表達.這種形式能直接參

與代數運算，實現用代數方法處理幾何問題的目的.

問題7：當直線的傾斜角變化時，直線的斜率如何變化？當直線的傾斜角是0。或90。時，直

線的斜率是多少？

傾斜角是90。的直線沒有斜率，傾斜角不是90。的直線都有斜率，例如，傾斜角《=30。時，這

條直線的斜率

k=tan30°=—.

3

傾斜角a=120。時，這條直線的斜率

k=tan120°=-tan60°=一6.

師生活動：引導學生通過正切函數的概念以及單調性回答，可以畫出正切函數的圖象，幫助學

生理解其中的變化情況和特殊點的取值.

設計意圖：結合正切函數的概念及其單調性，幫助學生認識隨著傾斜角的變化，斜率的變化情

況，理解其中斜率不存在的情況，使得學生對傾斜角和斜率的概念有更清晰的認識.

注釋：當直線的傾斜角由明逐漸增大到恒時，其斜率如何變化？為什么？

由正切函數的單調性，傾斜角不同的直線，其斜率也不同.因此，我們可以用斜率表

示傾斜角不等于90。的直線相對x軸的傾斜程度，進而表示直線的方向.

如果直線經過兩點片（事,乂），巴（迎,8）3*%），那么由①②可得如下的斜率公式:

攵=9

我們發現，在平面直角坐標系中，傾斜角和斜率分別從形和數兩個角度刻畫了直線相對

于X軸的傾斜程度.

思考

(1)已知直線上的兩點4)，B(b\,bD,運用上述公式計算直線的斜率時，與48兩

點的順序有關嗎？

(2)當直線平行于歹軸，或與y軸重合時，上述公式還適用嗎？為什么？

問題8：你能發現直線的方向向量與斜率之間的關系嗎？

我們知道，直線［鳥上的向量而以及與它平行的向量都是直線的方向向量.直線［6的方向

向量片￡的坐標為

。2一石，為一弘)?

當直線々鳥與X軸不垂直時，X,*x2,此時向量」一職也是直線6鳥的方向向量，且它的

々一玉

坐標為一--乂)，即1產一凹.=(1,6，其中左是直線48的斜率.因此，若直線

x2-石I工2一%

/的斜率為左，它的一個方向向量的坐標為(x,y),則人=』.

X

師生活動：教師引導學生建立直線的方向向量與其斜率之間的關系，利用直線的方向向量

設計意圖：利用斜率公式和直線的方向向量的坐標表示，建立二者之間的聯系，為今后相關問

題的解決奠定基礎.

環節五概念應用，鞏固內化

例1如圖，已知1(3,2),5(-4,1),C(O,-1),求直線BC,C4的斜率，并判斷這些直線

的傾斜角是銳角還是鈍角.

1-21-1-1_-2

解：直線的斜率3=工=于直線8C的斜率限

0-(-4)-T2

直線CA的斜率kCA=2一（-1）=2=1,

口3-03

由七百＞0＞及左0〉。可知，直線48與C4的傾斜角均為銳角；由品°＜0可知，直線6C的傾斜

角為鈍角.

師生活動：例1由學生自己完成，可以請一位同學上講臺板書解題過程；思考題為備選題，

視學生學情而定，可以師生共同分析完成..

設計意圖：通過例1幫助學生鞏固掌握斜率公式，熟悉斜率大小與傾斜角的關系；思考題是為

基礎比較好的班級學生設計的，也可以留作學生課后思考討論.例1分為兩步，第一步是根據

兩點的坐標，直接求經過兩點的直線的斜率，是過兩點的直線斜率公式的直接應用，目的是讓

學生了解公式的結構；第二步由斜率的正負以及正切函數的取值規律，可以得到直線的傾斜角

是銳角或鈍角，它是由斜率判斷傾斜角，目的是讓學生進一步認識傾斜角與斜率的關系.教學

時，要適當復習正切函數的概念和性質，包括自變量的取值范圍，函數值的取值規律，區間上

的單調性，等等.至于角度是用角度制，還是用弧度制，沒有特別的要求，兩種度量值都可以.

環節六歸納總結，反思提升

課堂小結：教師引導學生回顧本節課所學知識，并讓學生對本節課的研究對象與結論、研究的

基本思路與思想進行梳理.

問題9：請同學們回顧本節課的學習內容，并回答下列問題：

1.本節課學習的概念有哪些？

2.在解決問題時，用到了哪些數學思想？

1.知識總結：

2.學生反思:

(1)通過這節課，你學到了什么知識?

(2)在解決問題時，用到了哪些數學思想？

設計意圖：

通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高概括能力，提高學生的數學運算能力和

邏輯推理能力。

師生活動：教師提出問題，先由學生梳理，其他同學補充，師生再一起整理出本節課研究問題

的基本流程框圖.教師再結合框圖，總結本節課蘊含的主要數學思想方法：類比聯想、分類討

論、坐標法、數形結合思想.

環節七目標檢測，作業布置

完成教材：布置作業

教科書習題第1,2,3,4,7,8題.

練習(第55頁)

1.已知下列直線的傾斜角，求直線的斜率：

27r34

(1)a=30。；(2)a=45°；(3)?=—；(4)=—.