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文檔簡介

安徽省新城高升學校2024屆高三3月份第一次模擬考試數學試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.雙曲線的右焦點為,過點且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點,與雙曲線的其中一個交點為,若,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.若集合,,則A. B. C. D.3.函數的圖象在點處的切線為,則在軸上的截距為()A. B. C. D.4.已知點,點在曲線上運動,點為拋物線的焦點,則的最小值為()A. B. C. D.45.《聊齋志異》中有這樣一首詩:“挑水砍柴不堪苦,請歸但求穿墻術.得訣自詡無所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”:,,,,則按照以上規律,若具有“穿墻術”,則()A.48 B.63 C.99 D.1206.如圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構成,三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C. D.7.設集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個 B.4個 C.5個 D.6個8.已知函數,下列結論不正確的是()A.的圖像關于點中心對稱 B.既是奇函數,又是周期函數C.的圖像關于直線對稱 D.的最大值是9.一個陶瓷圓盤的半徑為,中間有一個邊長為的正方形花紋,向盤中投入1000粒米后,發現落在正方形花紋上的米共有51粒,據此估計圓周率的值為(精確到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.14710.2019年10月1日,中華人民共和國成立70周年,舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個數字按照任意次序排成一行,拼成一個6位數,則產生的不同的6位數的個數為A.96 B.84 C.120 D.36011.已知為兩條不重合直線,為兩個不重合平面,下列條件中,的充分條件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.12.已知定義在R上的偶函數滿足,當時,,函數(),則函數與函數的圖象的所有交點的橫坐標之和為()A.2 B.4 C.5 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上,圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為__________.14.已知平行于軸的直線與雙曲線:的兩條漸近線分別交于,兩點,為坐標原點,若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為______.15.正方體中,是棱的中點,是側面上的動點,且平面,記與的軌跡構成的平面為.①,使得;②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是;③與平面所成銳二面角的正切值為;④正方體的各個側面中,與所成的銳二面角相等的側面共四個.其中正確命題的序號是________.(寫出所有正確命題的序號)16.某四棱錐的三視圖如圖所示,那么此四棱錐的體積為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,曲線,曲線的參數方程為(為參數).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線、的極坐標方程;(2)在極坐標系中,射線與曲線,分別交于、兩點(異于極點),定點,求的面積18.(12分)在創建“全國文明衛生城”過程中,運城市“創城辦”為了調查市民對創城工作的了解情況,進行了一次創城知識問卷調查(一位市民只能參加一次),通過隨機抽樣,得到參加問卷調查的人的得分統計結果如表所示:.組別頻數(1)由頻數分布表可以大致認為,此次問卷調查的得分似為這人得分的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表),利用該正態分布,求;(2)在(1)的條件下,“創城辦”為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案:①得分不低于的可以獲贈次隨機話費,得分低于的可以獲贈次隨機話費;②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為:贈送話費的金額(單位:元)概率現有市民甲參加此次問卷調查,記(單位:元)為該市民參加問卷調查獲贈的話費,求的分布列與數學期望.附:參考數據與公式:,若,則,,19.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,底面.(1)證明:;(2)求二面角的正弦值.20.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,E,F分別是棱AB,PC的中點.求證:(1)EF//平面PAD;(2)平面PCE⊥平面PCD.21.(12分)已知數列中,,前項和為,若對任意的,均有(是常數,且)成立,則稱數列為“數列”.(1)若數列為“數列”,求數列的前項和;(2)若數列為“數列”,且為整數,試問:是否存在數列,使得對任意,成立?如果存在,求出這樣數列的的所有可能值,如果不存在,請說明理由.22.(10分)為了解廣大學生家長對校園食品安全的認識,某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安全網絡知識問卷調查,每一位學生家長僅有一次參加機會,現對有效問卷進行整理,并隨機抽取出了200份答卷,統計這些答卷的得分(滿分:100分)制出的頻率分布直方圖如圖所示,由頻率分布直方圖可以認為,此次問卷調查的得分服從正態分布,其中近似為這200人得分的平均值(同一組數據用該組區間的中點值作為代表).(1)請利用正態分布的知識求;(2)該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調查的學生家長制定如下獎勵方案:①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費,得分低于的可以獲贈1次隨機話費:②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為:獲贈的隨機話費(單位:元)概率市食品安全檢測部門預計參加此次活動的家長約5000人,請依據以上數據估計此次活動可能贈送出多少話費?附:①;②若;則,,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點,再利用,求出點,因為點在雙曲線上,及,代入整理及得,又已知,即可求出離心率.【詳解】由題意可知,代入得:,代入雙曲線方程整理得:,又因為,即可得到,故選:D.【點睛】本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質和向量的坐標運算,離心率問題關鍵尋求關于,,的方程或不等式,由此計算雙曲線的離心率或范圍,屬于中檔題.2、C【解析】

解一元次二次不等式得或,利用集合的交集運算求得.【詳解】因為或,,所以,故選C.【點睛】本題考查集合的交運算,屬于容易題.3、A【解析】

求出函數在處的導數后可得曲線在處的切線方程,從而可求切線的縱截距.【詳解】,故,所以曲線在處的切線方程為:.令,則,故切線的縱截距為.故選:A.【點睛】本題考查導數的幾何意義以及直線的截距,注意直線的縱截距指直線與軸交點的縱坐標,因此截距有正有負,本題屬于基礎題.4、D【解析】

如圖所示:過點作垂直準線于,交軸于,則,設,,則,利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示:過點作垂直準線于,交軸于,則,設,,則,當,即時等號成立.故選:.【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題,意在考查學生的計算能力和轉化能力.5、C【解析】

觀察規律得根號內分母為分子的平方減1,從而求出n.【詳解】解:觀察各式發現規律,根號內分母為分子的平方減1所以故選:C.【點睛】本題考查了歸納推理,發現總結各式規律是關鍵,屬于基礎題.6、D【解析】

由半圓面積之比,可求出兩個直角邊的長度之比,從而可知,結合同角三角函數的基本關系,即可求出,由二倍角公式即可求出.【詳解】解:由題意知,以為直徑的半圓面積,以為直徑的半圓面積,則,即.由,得,所以.故選:D.【點睛】本題考查了同角三角函數的基本關系,考查了二倍角公式.本題的關鍵是由面積比求出角的正切值.7、A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個元素,故選A.考點:集合的運算.8、D【解析】

通過三角函數的對稱性以及周期性,函數的最值判斷選項的正誤即可得到結果.【詳解】解:,正確;,為奇函數,周期函數,正確;,正確;D:,令,則,,,,則時,或時,即在上單調遞增,在和上單調遞減;且,,,故D錯誤.故選:.【點睛】本題考查三角函數周期性和對稱性的判斷,利用導數判斷函數最值,屬于中檔題.9、B【解析】

結合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可【詳解】如圖,由幾何概型公式可知:.故選:B【點睛】本題考查隨機模擬的概念和幾何概型,屬于基礎題10、B【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,得所有不以0開頭的排列數共個,其中含有2個10的排列數共個,所以產生的不同的6位數的個數為.故選B.11、D【解析】

根據面面垂直的判定定理,對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可.【詳解】對于A,當,,時,則平面與平面可能相交,,,故不能作為的充分條件,故A錯誤;對于B,當,,時,則,故不能作為的充分條件,故B錯誤;對于C,當,,時,則平面與平面相交,,,故不能作為的充分條件,故C錯誤;對于D,當,,,則一定能得到,故D正確.故選:D.【點睛】本題考查了面面垂直的判斷問題,屬于基礎題.12、B【解析】

由函數的性質可得:的圖像關于直線對稱且關于軸對稱,函數()的圖像也關于對稱,由函數圖像的作法可知兩個圖像有四個交點,且兩兩關于直線對稱,則與的圖像所有交點的橫坐標之和為4得解.【詳解】由偶函數滿足,可得的圖像關于直線對稱且關于軸對稱,函數()的圖像也關于對稱,函數的圖像與函數()的圖像的位置關系如圖所示,可知兩個圖像有四個交點,且兩兩關于直線對稱,則與的圖像所有交點的橫坐標之和為4.故選:B【點睛】本題主要考查了函數的性質,考查了數形結合的思想,掌握函數的性質是解題的關鍵,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由圓柱外接球的性質,即可求得結果.【詳解】解:由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,設圓柱底面半徑為,由已知有,∴,即圓柱的底面半徑為.故答案為:.【點睛】本題考查由圓柱的外接球的性質求圓柱底面半徑,屬于基礎題.14、2【解析】

根據為等邊三角形建立的關系式,從而可求離心率.【詳解】據題設分析知,,所以,得,所以雙曲線的離心率.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求解,根據條件建立之間的關系式是求解的關鍵,側重考查數學運算的核心素養.15、①②③④【解析】

取中點,中點,中點,先利用中位線的性質判斷點的運動軌跡為線段,平面即為平面,畫出圖形,再依次判斷:①利用等腰三角形的性質即可判斷;②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設正方體的棱長為2,進而求解;③由,取為中點,則,則即為與平面所成的銳二面角,進而求解;④由平行的性質及圖形判斷即可.【詳解】取中點,連接,則,所以,所以平面即為平面,取中點,中點,連接,則易證得,所以平面平面,所以點的運動軌跡為線段,平面即為平面.①取為中點,因為是等腰三角形,所以,又因為,所以,故①正確;②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設正方體的棱長為2,當點為中點時,直線與直線所成角最小,此時,;當點與點或點重合時,直線與直線所成角最大,此時,所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,②正確;③與平面的交線為,且,取為中點,則即為與平面所成的銳二面角,,所以③正確;④正方體的各個側面中,平面,平面,平面,平面與平面所成的角相等,所以④正確.故答案為:①②③④【點睛】本題考查直線與平面的空間位置關系,考查異面直線成角,二面角,考查空間想象能力與轉化思想.16、【解析】

利用三視圖判斷幾何體的形狀,然后通過三視圖的數據求解幾何體的體積.【詳解】如圖:此四棱錐的高為,底面是長為,寬為2的矩形,所以體積.所以本題答案為.【點睛】本題考查幾何體與三視圖的對應關系,幾何體體積的求法,考查空間想象能力與計算能力.解決本類題目的關鍵是準確理解幾何體的定義,真正把握幾何體的結構特征,可以根據條件構建幾何模型,在幾何模型中進行判斷.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2).【解析】

(1)先把參數方程化成普通方程,再利用極坐標的公式把普通方程化成極坐標方程;(2)先利用極坐標求出弦長,再求高,最后求的面積.【詳解】(1)曲線的極坐標方程為:,因為曲線的普通方程為:,曲線的極坐標方程為;(2)由(1)得:點的極坐標為,點的極坐標為,,點到射線的距離為的面積為.【點睛】本題考查普通方程、參數方程與極坐標方程之間的互化,同時也考查了利用極坐標方程求解面積問題,考查計算能力,屬于中等題.18、(1)(2)詳見解析【解析】

由題意,根據平均數公式求得,再根據,參照數據求解.由題意得,獲贈話費的可能取值為,求得相應的概率,列出分布列求期望.【詳解】由題意得綜上,由題意得,獲贈話費的可能取值為,,的分布列為:【點睛】本題主要考查正態分布和離散型隨機變量的分布列及期望,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.19、(1)見解析(2)【解析】

(1)利用正弦定理求得,由此得到,結合證得平面,由此證得.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值,再轉化為正弦值.【詳解】(1)在中,由正弦定理可得:,,底面,平面,;(2)以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,,設平面的法向量為,由可得:,令,則,設平面的法向量為,由可得:,令,則,設二面角的平面角為,由圖可知為鈍角,則,,故二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20、(1)見解析;(2)見解析【解析】

(1)取的中點構造平行四邊形,得到,從而證出平面;(2)先證平面,再利用面面垂直的判定定理得到平面平面.【詳解】證明:(1)如圖,取的中點,連接,,是棱的中點,底面是矩形,,且,又,分別是棱,的中點,,且,,且,四邊形為平行四邊形,,又平面,平面,平面;(2),點是棱的中點,,又,,平面,平面,,底面是矩形,,平面,平面,且,平面,又平面,,,,又平面,平面,且,平面,又平面,平面平面.【點睛】本題主要考查線面平行的判定,面面垂直的判定,首選判定定理,是中檔題.21、(1)(2)存在,【解析】

由數列為“數列”可得,,,兩式相減得,又,利用等比數列通項公式即可求出,進而求出;由題意得,,,兩式相減得,,據此可得,當時,,進而可得,即數列為常數列,進而可得,結合,得到關于的不等式,再由時,且為整數即可求出符合題意的的所有值.【詳解】因為數列為“數列”,所以,故,兩式相減得,在中令,則可得,故所以,所以數列是以為首項,以為公比的等比數列,所以,因為,所以.(2)由題意得,故,兩式相減得所以,當時,又因為所以當

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