3.【考點梳理】考點一：橢圓的簡單幾何性質焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長短軸長＝2b，長軸長＝2a焦點(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)考點二：直線與橢圓的位置關系直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關系的判斷方法：聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一個關于x的一元二次方程．直線與橢圓的位置關系、對應一元二次方程解的個數及Δ的取值的關系如表所示．直線與橢圓解的個數Δ的取值兩個不同的公共點兩解Δ>0一個公共點一解Δ＝0沒有公共點無解Δ<0重難點技巧：弦長的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點坐標，用兩點間距離公式求弦長．(2)聯立直線與橢圓的方程，消元得到關于一個未知數的一元二次方程，利用弦長公式：|P1P2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數的關系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長．【題型歸納】題型一：橢圓的焦點、焦距.頂點，長短軸1．（2023·全國·高二）橢圓和（

）A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．焦距相等 D．頂點相同【答案】C【分析】由橢圓的簡單幾何性質求解即可.【詳解】對于橢圓，，，，∴，，，∴長軸長，短軸長，焦距，對于橢圓，，，，∴，，，∴長軸長，短軸長，焦距，∴橢圓和的長軸長和短軸長均不相等，故頂點不相同，焦距相等.故選：C.2．（2023秋·陜西西安·高二統考期末）已知橢圓的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則（

）A．2 B．1 C． D．4【答案】D【分析】根據橢圓的方程，結合橢圓的幾何性質，列式求解.【詳解】由條件可知，，，且，解得：.故選：D3．（2022秋·高二課時練習）已知橢圓為其左焦點，過點且垂直于軸的直線與橢圓的一個交點為，若（為原點），則橢圓的長軸長等于（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】結合橢圓的幾何性質求出，由條件列方程求出，由此可求長軸長.【詳解】因為橢圓的左焦點為，所以，又垂直于軸，在橢圓上，故可設，所以，又，所以，又所以．，解得從而，故選：C.題型二：橢圓的橢圓的范圍問題4．（2022·江蘇·高二專題練習）橢圓的焦點為F1、F2，點P為橢圓上一動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P的橫坐標的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，根據橢圓方程求得兩焦點坐標，根據是鈍角可得，代入點的坐標可求得的不等式關系，求得的范圍【詳解】設，由題意可得,因為是鈍角，所以，所以，所以，所以，得，所以，故選：C5．（2022·全國·高二專題練習）設、分別是橢圓的左、右焦點，若是該橢圓上的一個動點，則的最大值和最小值分別為（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】A【分析】設點，則，且，利用平面向量數量積的坐標運算結合二次函數的基本性質可求得的最大值和最小值.【詳解】在橢圓中，，，，則點、，設點，則，且，則，所以，，，所以，，所以，當時，取最小值，當時，取最大值.故選：A.6．（2022秋·河南洛陽·高二宜陽縣第一高級中學校考階段練習）已知焦點在x軸上且離心率為的橢圓E，其對稱中心是原點，過點的直線與E交于A，B兩點，且，則點B的縱坐標的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，，利用，得到，再由橢圓的離心率為，設橢圓E的標準方程為，由A，B兩點在橢圓上，得到求解.【詳解】設，，則由，可得，解得，，即.因為橢圓的離心率為，所以可設橢圓E的標準方程為，所以，消去，的平方項，得，由，即，解得，又，所以，所以，故選：A.題型三：橢圓的離心率問題7．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學校考開學考試）已知是橢圓的左焦點，若過的直線與圓相切，且的傾斜角為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據直線與圓相切的位置關系可構造的齊次方程，結合橢圓關系可求得離心率.【詳解】由題意知：，則直線，即，與圓相切，，即，，，橢圓的離心率.故選：A.8．（2023·江蘇·高二專題練習）已知A，B，C是橢圓上的三個點，直線AB經過原點O，直線AC經過橢圓的右焦點F，若，且，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設橢圓左焦點為，設，根據橢圓對稱性表示相關線段長，以及推出，利用勾股定理推出，在中，再利用勾股定理即可得的關系，即可求得答案.【詳解】設橢圓左焦點為，連接，設，結合橢圓對稱性得，由橢圓定義得，則.因為，則四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，故，故選：C9．（2023·江蘇·高二專題練習）已知橢圓E：與直線相交于A，B兩點，O是坐標原點，如果是等邊三角形，那么橢圓E的離心率等于（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據題意不妨設點B在第一象限，則，結合直線OB的斜率運算求解即可.【詳解】聯立方程，解得，不妨設點B在第一象限，則，由題意可知：OB的傾斜角是，則，所以橢圓的離心率.故選：C．題型四：橢圓的中點弦問題10．（2023秋·全國·高二期中）若橢圓的弦被點平分，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用點差法求出直線的斜率，再利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】若直線軸，則點、關于軸對稱，則直線的中點在軸，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設點、，則，所以，，兩式作差可得，即，即，可得直線的斜率為，所以，直線的方程為，即.故選：B.11．（2023·江蘇·高二專題練習）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點四點．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意分析可知：的中點即為弦的中點，利用點差法運算求解.【詳解】設直線：，可得，設的中點為，連接OM，則，，因為，則，即為弦的中點，設，則，因為，可得，兩式相減得，整理得，可得，即，可得，所以橢圓的離心率為.故選：D.12．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據中點弦點差法可得弦中點和直線斜率得，進而可得.【詳解】設直線與橢圓相交于，兩點，弦的中點坐標是，則，，直線的斜率.由，得，得，所以，故橢圓的離心率.故選：B.題型五：直線與橢圓的弦長問題13．（2023·全國·高二專題練習）若橢圓的弦的中點為，則弦的長為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據題意，利用中點弦的“平方差法”求得弦的斜率，得出的直線方程，聯立方程組，結合弦長公式，即可求解.【詳解】設，因為弦的中點為，可得，又因為在橢圓上，可得，兩式相減可得，可得，即直線的斜率為，所以弦的直線方程為，即，聯立方程組，整理得，可得，由弦長公式，可得.故選：A.14．（2023秋·天津北辰·高二校考期末）已知，是橢圓的焦點，過且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，且，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意設橢圓方程為，再將代入橢圓方程求出，則有，再結合可求出，從而可得橢圓方程.【詳解】由題意設橢圓方程為，則，當時，，則，因為，所以，得，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以橢圓方程為，故選：C15．（2022秋·湖南長沙·高二長沙一中校聯考期中）已知橢圓的上頂點為，左右焦點為，離心率為.過且垂直于的直線與交于兩點，，則的周長是（

）A．19 B．14 C． D．13【答案】D【分析】由離心率為，得到a，b，c之間的關系，做出簡圖，分析可得直線的方程為：，且直線垂直平分，所以的周長等于的周長，等于，將直線方程與橢圓方程聯立，利用弦長公式求出c，a的值.【詳解】因為橢圓的離心率為，所以，，如圖，，所以為正三角形，又因為直線過且垂直于，所以，直線的方程為：，設點D坐標，點E坐標，將直線方程與橢圓方程聯立，得，則，，所以，得，.由圖，直線垂直平分，所以的周長等于的周長，等于.故選：D.題型六：橢圓中的向量問題16．（2023春·河南信陽·高二潢川縣高級中學（河南省潢川高級中學）校考階段練習）已知過橢圓的上焦點且斜率為的直線交橢圓于兩點，為坐標原點，直線分別與直線相交于為銳角，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據橢圓的標準方程求出焦點坐標，利用直線的斜截式方程設出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯立，再利用韋達定理及兩直線相交聯立方程組求出交點坐標，結合已知條件、點在直線上及向量的數量積的坐標運算即可求解.【詳解】由題意可知，所以所以橢圓的上焦點為，設直線的方程為，聯立消去，得，所以.由題設知，所在的直線方程為.因為直線與直線相交于點，所以；同理可得.所以.因為為銳角，所以，所以，即，解得：或，所以，或，或.故直線的斜率的取值范圍是.故選:D.17．（2023·全國·高二專題練習）若點O和點F分別是橢圓的中心和左焦點，點P為該橢圓上的任意一點，則的最大值為（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】A【分析】設，由數量積的運算及點在橢圓上，可把表示成為的二次函數，根據二次函數性質可求出其最大值.【詳解】設，，則，則，因為點為橢圓上，所以有：，即，所以，又因為，所以當時，的最大值為6.故選：A.18．（2023秋·全國·高二期中）點為橢圓的右頂點，為橢圓上一點（不與重合），若（是坐標原點），則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，由，得到，再與橢圓方程聯立得到，再由點P的位置求解.【詳解】解：設，又，且，則，與橢圓方程聯立，即，解得或，則，即，即，則，故選：B題型七：橢圓的定點、定值、最值問題19．（2023·全國·高二隨堂練習）已知橢圓的離心率為，點在C上，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.【答案】證明見解析【分析】根據橢圓離心率結合點在橢圓上，求出橢圓方程，設A，B坐標，利用點差法即可證明結論.【詳解】證明：由題意可得，解得，故橢圓方程為，由題意可設直線l的方程為，設，則，則，兩式相減得，即，即，又M為線段AB的中點，即有,即，即直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.20．（2023春·浙江·高二校聯考開學考試）已知橢圓：．(1)直線：交橢圓于，兩點，求線段的長；(2)為橢圓的左頂點，記直線，，的斜率分別為，，，若，試問直線是否過定點，若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)直線過定點【分析】（1）將與橢圓聯立得到、、和，進而得到；（2）設直線：，聯立橢圓與直線得到韋達定理以及，利用進而得到，由得到的值，最后舍去不符合題意的即可.【詳解】（1）

將直線與橢圓方程聯立，即，得，即，故；（2）設直線：，，，由得，，，又，，故，由，得，故或，①當時，直線：，過定點，與已知不符，舍去；②當時，直線：，過定點，，符合題意．21．（2023春·福建泉州·高二校考期末）已知橢圓C：的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為，O為坐標原點，線段OA的中點為D，且.(1)求C的方程；(2)已知點M、N均在直線上，以MN為直徑的圓經過O點，圓心為點T，直線AM、AN分別交橢圓C于另一點P、Q，證明直線PQ與直線OT垂直.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題設易知且，根據有即可求，進而寫出橢圓方程.（2）令，，則，而，即可寫出直線、的方程，聯立橢圓方程并設、，應用韋達定理求、的坐標，進而可求，結合及，即可證直線與直線垂直.【詳解】（1）由題意知：，，則，而，所以，即，又，所以，解得或（舍去），故，所以的方程.（2）令，，則，而，所以，，聯立橢圓方程，整理得，顯然，若，則，得，則，即，同理，整理得，顯然，若，可得，則，即.所以，又，則，所以，故，而，所以，則直線與直線垂直，得證.【雙基達標】一、單選題22．（2023秋·高二課時練習）曲線與曲線的（

）.A．長軸長相等 B．焦距相等 C．離心率相等 D．短軸長相等【答案】B【分析】通過方程分別研究兩曲線的相關性質，比較即可.【詳解】曲線是焦點在軸上的橢圓，則，長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率.曲線，由得，且，故曲線也是焦點在軸上的橢圓，，長軸長、離心率、短軸長均與有關，不一定與曲線的相同；而其焦距為，與曲線的焦距相同.故選：B.23．（2023秋·高二課時練習）直線與橢圓的公共點的個數是（

）A．0 B．1C．2 D．無數個【答案】C【分析】聯立直線與橢圓的方程消去y，再利用判別式判斷作答.【詳解】由消去y并整理得，顯然，所以直線與橢圓相交，有2個公共點.故選：C24．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考階段練習）橢圓的一個焦點為，點在橢圓上且在第一象限，如果線段的中點在軸上，那么點的縱坐標是（

）追A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意確定的位置，然后利用代入法進行求解即可.【詳解】由，因為點在橢圓上且在第一象限，如果線段的中點在軸上，所以是左焦點，坐標為，設，因為線段的中點在軸上，所以，代入橢圓方程中，得，或舍去，因為線段的中點是，所以點的縱坐標是，故選：A25．（2023·全國·高二隨堂練習）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)長軸長為6，離心率為；(2)經過點，離心率為，焦點在x軸上；(3)x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6.【答案】(1)或(2)(3)【分析】(1)根據離心率與長軸的定義，求解出橢圓的、、，再按焦點所在坐標軸分別寫出橢圓的標準方程即可；(2)根據離心率與頂點坐標的定義，求解橢圓的、、即可(3)根據為等腰直角三角形，利用勾股定理求解出、、的關系即可.【詳解】（1）由題意得：，則，又因為，所以，則由橢圓的幾何性質得：，所以，所以橢圓的標準方程為：或.（2）因為橢圓的焦點在軸上，由題設得：，又因為，所以，則由橢圓的幾何性質得：，所以，所以橢圓的標準方程為：.（3）設橢圓標準方程為：，如圖所示，為等腰直角三角形，為斜邊上的中線，且，，又因為焦距為6，所以，則由橢圓的幾何性質得：，所以橢圓的標準方程為：.26．（2023秋·高二課時練習）已知是橢圓上的兩點，關于原點對稱，是橢圓上異于的一點，直線和的斜率滿足.(1)求橢圓的標準方程；(2)若斜率存在且不經過原點的直線交橢圓于兩點異于橢圓的上、下頂點），當的面積最大時，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩點的斜率公式計算化簡即可；（2）設直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理、弦長公式計算面積，結合基本不等式求出面積最大時的關系式，再計算斜率之積即可.【詳解】（1）設，易知，由，得，化簡得，故橢圓的標準方程為.（2）

設的方程為，，，將代入橢圓方程整理得，，，，，則，又原點到的距離為，故，當且僅當時取等號，此時，的面積最大.故.【高分突破】一、單選題27．（2023春·湖北恩施·高二校聯考期中）已知橢圓，斜率為的直線與橢圓交于兩點，在軸左側，且點在軸上方，點關于坐標原點對稱的點為，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作軸交于點，得到，設出直線方程，聯立方程組，結合韋達定理與兩點斜率公式，列出方程求得，進而求得橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，作軸交于點，因為直線的斜率為，設直線方程為且，則，聯立方程組，整理得，則，可得，，由，可得，所以，可得，則橢圓的離心率為.故選：D.28．（2023秋·吉林四平·高二校考階段練習）已知，分別是橢圓（）的左，右焦點，M，N是橢圓C上兩點，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，結合橢圓的定義，在中利用勾股定理求得，中利用勾股定理求得，可求橢圓C的離心率.【詳解】連接，設，則，，，在中，即，，，，，，在中，，即，，，又，.故選：C.29．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，直線過橢圓的左焦點和一個頂點B，該橢圓的離心率為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據題意可得，結合之間的關系可得，即可得結果.【詳解】設橢圓的焦距為，則，因為直線的斜率，由題意可得，則，解得，所以橢圓的離心率為.故選：D.30．（2023·江蘇·高二專題練習）設橢圓的焦點為為橢圓上的任意一點，的最小值取值范圍為，其中，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，設，可表示出，結合化簡，進而可得當時，取得最小值，進而求解即可.【詳解】由題意可知，，設，因為，所以，又，，所以，因為，則，當時，取得最小值，即，即，所以，即橢圓的離心率為.故選：D.31．（2023春·吉林長春·高二校考開學考試）已知是橢圓：的右焦點，點P在橢圓上，線段與圓相切于點，且，則橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設橢圓的左焦點為，確定，，，即可求得，根據橢圓的離心率即可得到所求．【詳解】設橢圓的左焦點為，連接，設圓心為，則，則圓心坐標為,，半徑為，由于,,，，故,,線段與圓（其中相切于點，,,，則，，故選：D．二、多選題32．（2023秋·高二課時練習）已知橢圓與直線交于兩點，且，則實數＝（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】聯立橢圓方程與直線方程，用韋達定理即可表示出弦長并結合即可求解.【詳解】由消去并整理，得設，則.由題意得，即，解得．故選：AD.33．（2023春·甘肅天水·高二校考期中）橢圓以x軸和y軸為對稱軸，經過點，長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的標準方程可能為（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據題意可得，分類討論焦點所在的位置，運算求解即可.【詳解】設長軸長為，短軸長為，因為長軸長是短軸長的2倍，則，即，又因為橢圓經過點，則有：若橢圓的焦點在x軸上，可知，橢圓的標準方程為；若橢圓的焦點在y軸上，可知，橢圓的標準方程為；綜上所述：橢圓的標準方程為或.故選：AC.34．（2023秋·高二單元測試）已知橢圓E：的離心率為，左、右焦點分別為，，上頂點為P，若過且傾斜角為的直線l交橢圓E于A，B兩點，的周長為8，則（

）A．直線的斜率為 B．橢圓E的短軸長為4C． D．四邊形的面積為【答案】ACD【分析】對于A：根據離心率可得，進而可得，結合斜率公式運算求解；對于B：根據題意分析可得關于直線l對稱，結合橢圓的定義運算求解；對于C：根據數量積的定義運算求解；對于D：聯立方程，利用韋達定理和弦長公式求面積即可.【詳解】對于選項A：設橢圓的半焦距為，因為，解得，可知，直線的斜率為，故A正確；對于選項B：由選項A可知：，且，則為等邊三角形，由題意可知：，即直線l為的角平分線，則點關于直線l對稱，所以的周長為8，則，可得，所以橢圓E的短軸長為，故B錯誤；對于選項C：因為，所以，故C正確，對于選項D：因為直線l的方程為，橢圓方程為，設，聯立方程，消去x得，則，可得，則，點直線l的距離為，所以四邊形的面積為，故D正確；故選：ACD.35．（2023秋·高二單元測試）已知橢圓的上頂點為，兩個焦點為，離心率為．過且垂直于的直線與交于兩點，若的周長是26，則（

）A． B．C．直線的斜率為 D．【答案】ACD【分析】根據離心率為，得到為等邊三角形，再由過且垂直于直線的，得到，為等腰三角形，再根據的周長，得到a，進而得到b，c，然后設DE所在直線方程，與橢圓方程聯立，利用弦長公式驗證D選項.【詳解】解：如圖所示：∵橢圓的離心率為，∴不妨設橢圓．∵的上頂點為，兩個焦點為，∴為等邊三角形，∵過且垂直于的直線與交于兩點，∴．故C項正確．由等腰三角形的性質可得．由橢圓的定義可得的周長為，∴．故A項正確，B項錯誤．對于D項，設，聯立，消去y得：，則，由韋達定理得，所以，故D項正確．故選：ACD36．（2023春·江西撫州·高二江西省樂安縣第二中學校考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為，且，點在橢圓內部，點在橢圓上，則以下說法正確的是（

）A．的最小值為B．橢圓的短軸長可能為2C．橢圓的離心率的取值范圍為D．若，則橢圓的長半軸長為【答案】AC【分析】利用橢圓的定義計算判斷A；點在橢圓內建立不等式，推理計算判斷BC；求出點的坐標，列出方程計算判斷D作答.【詳解】對于A，由，得，則，當三點共線時取等號，A正確；對于B，由點在橢圓內部，得，則，有，橢圓的短軸長大于2，B錯誤；對于C，因為，且，于是，即，解得，即，因此，橢圓的離心率的取值范圍為，C正確；對于D，由，得為線段的中點，即，則，又，即，解得，則，橢圓的長半軸長為，D錯誤.故選：AC【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數法，若題目的條件和結論能體現某種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值或范圍．三、填空題37．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考階段練習）已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為.【答案】【分析】根據橢圓的標準方程以及其離心率的定義，可得答案.【詳解】由橢圓，顯然，則，，，由題意可得，解得，所以橢圓的長軸長.故答案為：.38．（2023秋·高二課時練習）已知橢圓：的上頂點為，兩個焦點為，，線段的垂直平分線過點，則橢圓的離心率為．【答案】/【分析】求出線段的中點坐標，根據兩直線垂直斜率關系可得，再結合可求得離心率.【詳解】

如圖，設的垂直平分線與交于點，由題，，，，則，，，，，化簡得，，由，解得，，即.故答案為：.39．（2023·江蘇·高二專題練習）設，分別是橢圓的左，右焦點，過點的直線交橢圓于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為.【答案】/【分析】如圖，設，由題意，橢圓定義結合余弦定理可得，后在由余弦定理可得，即可得答案.【詳解】如圖，設，則，.又由橢圓定義可得.則在中，由余弦定理可得:.則，則在由余弦定理可得：.又.故答案為：40．（2023秋·高二課時練習），是橢圓E：的左，右焦點，點M為橢圓E上一點，點N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為.【答案】【分析】根據，得到，且是的角平分線，再結合和角平分線定理得到，然后在中，利用勾股定理求解.【詳解】解：因為，所以，則是的角平分線，所以，又因為，所以，設，由橢圓定義得，即，解得，則，則，所以，則，故答案為：41．（2023秋·高二單元測試）若橢圓上存在一點M，使得（，分別為橢圓的左、右焦點），則橢圓的離心率e的取值范圍為.【答案】【分析】方法一：設點M的坐標是，則，由題意，即，結合點M在橢圓上，可得，即可求出橢圓的離心率的取值范圍；方法二：設點M的坐標是，由已知可得出關于、的方程組，求出，可得出關于、、的不等式組，由此可解得橢圓的離心率的取值范圍；方法三：設橢圓的一個短軸端點為P，由題意，則，進而可求得橢圓的離心率的取值范圍.【詳解】方法一：設點M的坐標是，則.∵，，∴，.∵，∴，即.又點M在橢圓上，即，∴，即，∴，即，又，∴，故橢圓的離心率e的取值范圍是.方法二：設點M的坐標是，由方法一可得消去，得，∵，∴，由②得，此式恒成立.由①得，即，∴，則.又，∴.綜上所述，橢圓的離心率e的取值范圍是.方法三：設橢圓的一個短軸端點為P，∵橢圓上存在一點M，使，∴，則，（最大時，M為短軸端點）∴，即，又，∴，故橢圓的離心率e的取值范圍為.故答案為：.四、解答題42．（2023春·河南周口·高二校聯考階段練習）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．(1)求橢圓的標準方程；(2)若橢圓過原點的弦相互垂直，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過離心率，可得與的關系；再利用點，得到與的關系；通過方程組求得橢圓方程；（2）先分斜率是否存在分類討論，再設直線方程，與橢圓方程聯立，通過根與系數關系可利用弦長公式和點到直線距離公式得,再結合橢圓的對稱性將四邊形面積轉化為求解,結合不等式求四邊形面積的最大值．【詳解】（1）由，得，則，故橢圓方程可化為，將代入上式得，則，故橢圓的標準方程為．（2）由題意得，四邊形為菱形，則菱形的面積當直線的斜率不存在或為0時，易得當直線的斜率存在且不為0時，設直線的方程為，則的方程為，設，將代入，得，則，則