2023-2024學年廣西柳州市融水苗族自治縣中學高三下第一次測試數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，則A．PQ B．QPC．Q D．Q2．已知函數滿足：當時，，且對任意，都有，則（）A．0 B．1 C．-1 D．3．我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺體的體積公式）.A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸4．已知集合，，若，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知集合，若，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知函數滿足當時，，且當時，；當時，且).若函數的圖象上關于原點對稱的點恰好有3對，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象，則的最小值為（）A． B． C． D．8．某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為，若低于60分的人數是18人，則該班的學生人數是（）A．45 B．50 C．55 D．609．過拋物線的焦點的直線交該拋物線于，兩點，為坐標原點.若，則直線的斜率為()A． B． C． D．10．在邊長為1的等邊三角形中，點E是中點，點F是中點，則（）A． B． C． D．11．在中，，，，若，則實數()A． B． C． D．12．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內切圓與線段在其中點處相切，與相切于點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合,,則__________．14．若橢圓：的一個焦點坐標為，則的長軸長為_______．15．的展開式中的常數項為_______．16．已知，圓，直線PM，PN分別與圓O相切，切點為M，N，若，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）解不等式；（2）使得，求實數的取值范圍.18．（12分）已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，離心率為，且過點.（1）求橢圓C的方程；（2）過左焦點的直線l與橢圓C交于不同的A，B兩點，若，求直線l的斜率k.19．（12分）如圖，是矩形，的頂點在邊上，點，分別是，上的動點（的長度滿足需求）.設，，，且滿足.（1）求；（2）若，，求的最大值.20．（12分）已知中心在原點的橢圓的左焦點為，與軸正半軸交點為，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作斜率為、的兩條直線分別交于異于點的兩點、.證明：當時，直線過定點.21．（12分）如圖，正方形所在平面外一點滿足，其中分別是與的中點.（1）求證：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，三棱柱的側棱垂直于底面，且，，，，是棱的中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

解：因為P={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q={y|y=2x，x∈R}={y|y>0},因此選C2、C【解析】

由題意可知，代入函數表達式即可得解.【詳解】由可知函數是周期為4的函數，.故選：C.【點睛】本題考查了分段函數和函數周期的應用，屬于基礎題.3、B【解析】試題分析：根據題意可得平地降雨量，故選B.考點：1.實際應用問題；2.圓臺的體積.4、B【解析】

解出,分別代入選項中的值進行驗證.【詳解】解：，.當時,，此時不成立.當時,，此時成立，符合題意.故選:B.【點睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關系.5、A【解析】

解一元二次不等式化簡集合的表示，求解函數的定義域化簡集合的表示，根據可以得到集合、之間的關系，結合數軸進行求解即可.【詳解】，.因為，所以有，因此有.故選：A【點睛】本題考查了已知集合運算的結果求參數取值范圍問題，考查了解一元二次不等式，考查了函數的定義域，考查了數學運算能力.6、C【解析】

先作出函數在上的部分圖象，再作出關于原點對稱的圖象，分類利用圖像列出有3個交點時滿足的條件，解之即可.【詳解】先作出函數在上的部分圖象，再作出關于原點對稱的圖象，如圖所示，當時，對稱后的圖象不可能與在的圖象有3個交點；當時，要使函數關于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點，則，解得.故選：C.【點睛】本題考查利用函數圖象解決函數的交點個數問題，考查學生數形結合的思想、轉化與化歸的思想，是一道中檔題.7、A【解析】

首先求得平移后的函數，再根據求的最小值.【詳解】根據題意，的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應的函數，所以，所以．又，所以的最小值為．故選：A【點睛】本題考查三角函數的圖象變換，誘導公式，意在考查平移變換，屬于基礎題型.8、D【解析】

根據頻率分布直方圖中頻率＝小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率，再根據樣本容量求出班級人數.【詳解】根據頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴樣本容量（即該班的學生人數）是60（人）.故選：D.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了頻率的應用問題，屬于基礎題9、D【解析】

根據拋物線的定義，結合，求出的坐標，然后求出的斜率即可．【詳解】解：拋物線的焦點，準線方程為，設，則，故，此時，即．則直線的斜率．故選：D．【點睛】本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題．10、C【解析】

根據平面向量基本定理，用來表示，然后利用數量積公式，簡單計算，可得結果.【詳解】由題可知：點E是中點，點F是中點，所以又所以則故選：C【點睛】本題考查平面向量基本定理以及數量積公式，掌握公式，細心觀察，屬基礎題.11、D【解析】

將、用、表示，再代入中計算即可.【詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，，所以，.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算，是一道中檔題.12、D【解析】

可設的內切圓的圓心為，設，，可得，由切線的性質：切線長相等推得，解得、，并設，求得的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結合離心率公式可得所求值．【詳解】可設的內切圓的圓心為，為切點，且為中點，，設，，則，且有，解得，，設，，設圓切于點，則，，由，解得，，，所以為等邊三角形，所以，，解得.因此，該橢圓的離心率為.故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義和性質，注意運用三角形的內心性質和等邊三角形的性質，切線的性質，考查化簡運算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接根據集合和集合求交集即可.【詳解】解:,,所以.故答案為:【點睛】本題考查集合的交集運算,是基礎題.14、【解析】

由焦點坐標得從而可求出，繼而得到橢圓的方程，即可求出長軸長.【詳解】解：因為一個焦點坐標為，則，即，解得或由表示的是橢圓，則，所以，則橢圓方程為所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯點是忽略，從而未對的兩個值進行取舍.15、【解析】

寫出展開式的通項公式，考慮當的指數為零時，對應的值即為常數項.【詳解】的展開式通項公式為：，令，所以，所以常數項為.

故答案為：.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數的求解，難度較易.解答問題的關鍵是，能通過展開式通項公式分析常數項對應的取值.16、【解析】

由可知R為中點,設,由過切點的切線方程即可求得,，代入，，則在直線上，即可得方程為，將，代入化簡可得，則直線過定點,由則點在以為直徑的圓上，則.即可求得.【詳解】如圖，由可知R為MN的中點，所以，，設，則切線PM的方程為，即，同理可得，因為PM，PN都過，所以，，所以在直線上，從而直線MN方程為，因為，所以，即直線MN方程為，所以直線MN過定點,所以R在以OQ為直徑的圓上，所以.故答案為:.【點睛】本題考查直線和圓的位置關系,考查圓的切線方程,定點和圓上動點距離的最值問題,考查學生的數形結合能力和計算能力,難度較難.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】

（1）分段討論得出函數的解析式，再分范圍解不等式，可得解集；（2）先求出函數的最小值，再建立關于的不等式，可求得實數的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以當時，；當時，無解；當時，；綜上，不等式的解集為；（2），又，或.【點睛】本題考查分段函數，絕對值不等式的解法，以及關于函數的存在和任意的問題，屬于中檔題.18、（1）（2）直線l的斜率為或【解析】

(1)根據已知列出方程組即可解得橢圓方程;(2)設直線方程,與橢圓方程聯立,轉化為,借助向量的數量積的坐標表示,及韋達定理即可求得結果.【詳解】（1）由題意得解得故橢圓C的方程為.（2）直線l的方程為，設，，則由方程組消去y得，，所以，，由，得，所以，又所以，即所以，因此，直線l的斜率為或.【點睛】本題考查橢圓的標準方程,考查直線和橢圓的位置關系,考查學生的計算求解能力,難度一般.19、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理和余弦定理化簡，根據勾股定理逆定理求得.（2）設，由此求得的表達式，利用三角函數最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設，，，由，根據正弦定理和余弦定理得.化簡整理得.由勾股定理逆定理得.（2）設，，由（1）的結論知.在中，，由，所以.在中，，由，所以.所以，由，所以當，即時，取得最大值，且最大值為.【點睛】本小題考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函數性質及其三角恒等變換等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，化歸與轉換思想，應用意識.20、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）在中，計算出的值，可得出的值，進而可得出的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）設點、，設直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理，根據已知條件得出，利用韋達定理和斜率公式化簡得出與所滿足的關系式，代入直線的方程，即可得出直線所過定點的坐標.【詳解】（1）在中，，，，，，，，因此，橢圓的標準方程為；（2）由題不妨設，設點，聯立，消去化簡得，且，，，，，∴代入，化簡得，化簡得，，，，直線，因此，直線過定點.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中直線過定點的問題，考查計算能力，屬于中等題.21、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）先證明EF平面，即可求證；（2）根據二面角的余弦值，可得平面，以為坐標原點，建立空間直角坐標系,利用向量計算線面角即可.【詳解】（1）連接，交于點，連結.則，故面.又面，因此.（2）由（1）知即為二面角的平面角，且.在中應用余弦定理，得，于是有，即，從而有平面.以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,則，于是，，設平面的法向量為，則，即，解得于是平面的一個法向量為.設直線與平面所成角為，因此.【點睛】本題主要考查了線面垂直，線線垂直的證明，二面角，線面角的向量求法，屬于中檔題.22、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）根據平面，四邊形是矩形，由為中點，且，利用平面幾何知識，可得，又平面，所以，根據線面垂直的判定定理可有平面，從而得證.