第第頁柯西不等式在高中數學解題中的應用彝

解題技巧與方法躲I

拇不贅燕窬咿欺篇蕤嘹蟋康◎朱亞嚦(南省衡東縣第一中學湖柯西不等式是個特別聞名的不等式，新教材中涌現在越來越多與之有關的應用.活而奇妙地運用柯西不等式靈解決相關數學問題，往可以收到事半功倍的效果.往相關定理柯西不等式是指下面的定理：定理設a,,=12…,)那么bER(,,n,一

410)240

()果，,≥12如):且+,++.

+

:,E:2iN~i

≥

、

證明

留意到++

:,由柯西不等式，2又得

n

H

、

而.

+-z1y1-?！?/p>

+

+

(。i≤∑n(6.∑)(∑b))當數組a,:…,6,…,不全為0時，號成。0,0,。b,6等立當且僅當b=A1≤n,中A為實常數.a(≤i)其二、西不等式的證明柯常用的證明柯西不等式的方法有：1.配方法利用判別式證明

麗

而

+

+V一(++1所不、/以Yzz

等式得證.

假設∑。:,n一一n=,等顯成.0那么。:0不式然立i=1

2.求函數的最值()1設++=10求_,,)=*+y+1z的Y0,廠y(342最大值.解由柯西不等式，得(*+43y+1z≤(+Y)(。+42)+3+1.2)..

假設∑?！?0構造二次函數_)(。。一廠=∑()i=11

3+y+1z面*42￣92+.0-

=310,、值.d

2∑。+∑6=∑(ib0于R成()6a—i對恒*)ti1=i=1Ei^

從而_Y3+y十2廠(,)=*41z的最大值是10,3.

立，此所以二次函()判別式A(2。。一數廠的=一∑。)6‘i1=nnn

(),2求()=

Cc08os

sni

￣

4∑n∑bo(ni≤∑n∑62,∑)≤即b‘2.當b

=A1≤n時顯著不等式取等號.a(≤i)當不等式取等號時A=0二次函數有唯一實根設為A,fA=,那么()(iaA—b)=,b0即=A1≤n,以，西不等式a(≤i)所柯得證.

解設量=c,1=O,日由西向口(s/Cs)柯不、s1Si,On,日no西等知(+)()。+n)以式，3≤24,(ss日所c日i,八)=4+

_9的最小值是2.__5sn0i

。。

2.用向量法證明設n維空間中有兩個向量a=(。a,,,a,:…a)b=(。b,b,,,中a,…,b,…,為任意兩組…b)其a,a,。b,b實數.

3.求解方程組㈩解方程組.

解

由柯西不等式知，

由向量的長度定義，In+:…+有I:o+nn,b=/+b+6.￣6+。:。又由內積的定義，b=lloO其中0是ab的aalbls,c,夾角，有a6=aI1+ab且b22+…+ab.nloO≤1故IsI,ablIIc≤al61.‘’

+∥][)(](+(≥*2(+2y

即+≥35程解4),{6’組故無3方(在數內方組222,2實集解程』++=)y詈【8+y2z3.一6一4:9解由柯西不等式，得

.

于是lllb+。+nl￣。+‘+:‘口b+22ab≤/。+?！?

/b++:b+…b,目(1122口06+。b+…+ab)n≤(++…+n)bn。:(+

b+…+:.;b)當且僅當{o0-csI1時，口與b共線時等號成立.即由ab共線可知，Ala=b,,b(,a=b,2A2…a=AA∈R),

(++)(一8++(一2)≥(一86,Y[)64]*+)一24).①(z2z)(一)+6+y+[8zz+(一4z(4+2)]:96...

即=…一(0i12

…,)≠b≠,=,,n.o102o

36+4*14)=3,49又‘.(一8*+6y一2z=3,4)9..

由以上，題得證.命三、西不等式的應用柯

(

Y)(一8+6+[)+(一2)4]=(一8*

1明不等式.證()知ab是不相等的兩個正數，證：a+b(+1已，求()ab)(+b.a)

62z即①式取等號.y一4),

由西等取號條有==.②柯不式等的件詈=

證明

(+=(o+ob)。)+(

)[)≤(+9

②與862=聯，有=告y式一+一z3立那么一，y49=18

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