行程之多人多次相遇行程之多人多次相遇第三講教學目標教學目標行程問題是各種競賽與小升初入學考試必考大題，其中多人多次相遇問題是行程問題中的難點，本講從一般的相遇與追及問題出發，討論在環形線路、變速變向等多種行程問題，并引伸到與行程問題相類似的鐘面問題?；仡櫥疖囘^橋、流水行程等問題；環形路線上的相遇和追及問題；速度行程問題與比例關系；鐘面上的行程問題。專題回顧專題回顧一條船順水航行48千米，再逆水航行16千米，共用了5小時；這知船順水航行32千米，再逆水航行24千米，也用5小時。求這條船在靜水中的速度。這道題的數量關系比較隱蔽，我們條件摘錄整理如下：順水逆水時間48千米16千米5小時32千米24千米比較條件可知，船順水航行48千米，改為32千米，即少行了48-32=16（千米），那么逆水行程就由16千米增加到24千米，這就是在相同的時間里，船順水行程是逆水行程的16÷8=2倍。所以“逆水航行16千米”，可轉換為“順水航行16×2=32（千米），這樣船5小時一共順水航行18+32=80（千米），船順水速為80÷5=16千米，船逆水速為16÷2=8（千米）。船靜水速為（16+8）÷2=12（千米）。甲、乙二人分別從、兩地同時出發，往返跑步。甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他們的第四次相遇點與第五次相遇點的距離是150米，求、兩點間的距離為多少米？

（法一）畫圖分析知甲、乙速度比為：，第四次相遇甲乙共走：4×2－1＝7（個全程），甲走了：3×7＝21（份）在點，第五次相遇甲乙共走：5×2－1＝9（個全程），甲走了：3×9＝27（份）在點,已知是150米，所以的長度是150÷6×（3+7）＝250（米）。（法二）也有不畫圖又比較快的方法：第四次相遇：（2×4－1）×3÷20余數為1則在的位置，第五次相遇：（2×5－1）×3÷20余數為7則在的位置，表示速度基數，

，（米），即全程為250米?！就卣埂浚?8年首屆奧數網杯）電子玩具車與在一條軌道的兩端同時出發，相向而行。已知比的速度快，根據推算，第次相遇點與第次相遇點相距58厘米，這條軌道長_厘米。、兩車速度比為；第次相遇點的位置在：；第次相遇點的位置在：所以這條軌道長（厘米）經典精講經典精講環形跑道行程環形跑道行程如下圖所示，某單位沿著圍墻外面的小路形成一個邊長300米的正方形。甲、乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方向同時出發。如果甲每分走90米，乙每分走當甲看到乙的時候，甲和乙在同一條邊上，甲乙兩人之間的距離最多有米長。當甲、乙之間的距離等于300米時，即甲追上乙一條邊（米）需（分），此時甲走了（條）邊，所以甲、乙不在同一條邊上，甲看不到乙。但是甲只要再走條邊就可以看到乙了，即甲從出發走條邊后可看到乙，共需（分），即分秒。甲乙兩名選手在一條河中進行劃船比賽，賽道是河中央的長方形，其中米，米，已知水流從左到右，速度為每秒1米，甲乙兩名選手從處同時出發，甲沿順時針方向劃行，乙沿逆時針方向劃行，已知甲比乙的靜水速度每秒快1米，（、邊上視為靜水），兩人第一次相遇在邊上的點，，那么在比賽開始的5分鐘內，兩人一共相遇幾次？（5次）設乙的速度為米/秒，則可列得方程：解得：。所以甲的速度為米/秒。甲游一圈需要秒，乙游一圈需要秒。5分鐘內，甲游了3圈還多20秒，乙游了2圈還多秒。多余的時間不夠合游一圈，所以兩人合游了5圈。所以兩人共相遇了5次。（2005年《小學生數學報》優秀小讀者評選活動）有一種機器人玩具裝置，配備長、短不同的兩條跑道，其中長跑道長400厘米，短跑道長300厘米，且有200厘米的公用跑道(如下圖)。機器人甲按逆時針方向以每秒6厘米的速度在長跑道上跑動，機器人乙按順時針方向以每秒厘米的速度在短跑道上跑動。如果甲、乙兩個機器人同時從點出發，那么當兩個機器人在跑道上第迎面相遇時，機器人甲距離出發點點多少厘米?第一次在點相遇，甲、乙共跑了400厘米(見左下圖)。第二次在點相遇（要排除甲還沒有第二次上長跑道時可能發生的相遇事件），甲、乙共跑了700厘米(見右上圖)。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了700厘米。共用時間(400+700+700)÷(6+4)=180(秒)，甲跑了6×180=1080(厘米)，距點400×3—1080=120(厘米)。注：處理多次相遇問題時，有一種常見思考方法——分段考慮。（第五屆“走進美妙的數學花園”決賽）如圖，甲、乙兩只蝸牛同時從點出發，甲沿長方形逆時針爬行，乙沿逆時針爬行．若，，，且兩只蝸牛的速度相同，則當兩只蝸牛間的距離第一次達到最大值時，它們所爬過的路程的和為多少?很顯然，在這幅地圖上最長的距離是長方形的對角線，如果兩只蝸牛同時處于一條對角線的兩端，那么這是這兩只蝸牛之間的距離達到最大值.對角線有兩條所以也應該分為兩種情況：情況一；甲在點，乙在點，這種情況下乙走了整數圈，甲走了若干圈又一條短邊，一條長邊，設乙走了圈，甲已走了圈.則可以列出不定方程：化簡為，由于等式右邊是24的倍數，所以x至少應該取12，此時，兩只蝸牛共走了816。情況二：甲在點，乙在點，這種情況下乙走了若干圈又20，甲走了若干圈又10，設兩只蝸牛分別行走了圈和圈，則可以列出不定方程：化簡為，是方程的最小解，此時，兩只蝸牛一共行走了788.顯然情況二最先發生，所以當兩只蝸牛間的距離第一次達到最大值時，它們所爬過的路程的和為788。事實上兩只蝸牛在走過情況二之后各走了14，就變成了情況一的情形，如果在討論兩種情況之前就想到這一點，就可以少討論一種情況了。一個圓周長厘米，個點把這個圓周分成三等分，只爬蟲，，分別在這個點上。它們同時出發，按順時針方向沿著圓周爬行，速度分別是厘米/秒、厘米/秒、厘米/秒，只爬蟲出發后多少時間第一次到達同一位置？（法一）先來詳細討論一下：⑴先考慮與這兩只爬蟲，什么時候能到達同一位置。 開始時,他們相差厘米,每秒鐘能追上的路程為5-3=2(厘米)；(秒) 因此，秒后與到達同一位置.以后再要到達同一位置，要追上一圈，也就是追上厘米,需要(秒)。 與到達同一位置,出發后的秒數是，，，，， ⑵再看看與什么時候到達同一位置。 第一次是出發后(秒)， 以后再要到達同一位置是追上一圈,需要(秒)。 與到達同一位置,出發后的秒數是，，，，，…… 對照兩行列出的秒數，就知道出發后秒3只爬蟲到達同一位置。（法二）本題的數學模型，其實是一個數被除余，這個數被除余6。設兩個商分別為和，那么可得到等量關系式，整理得到，和是滿足條件的最小自然數組。所以只爬蟲出發后60秒多少時間第一次到達同一位置。如圖，在長為490米的環形跑道上，、兩點之間的跑道長50米，甲、乙兩人同時從、兩點出發反向奔跑．兩人相遇后，乙立刻轉身與甲同向奔跑，同時甲把速度提高了25％，乙把速度提高了20％．結果當甲跑到點時，乙恰好跑到了點．如果以后甲、乙的速度和方向都不變，那么當甲追上乙時，從一開始算起，甲一共跑了多少米。相遇后乙的速度提高20％，跑回點，即來回路程相同，乙速度變化前后的比為，所以所花時間的比為。設甲在相遇時跑了6單位時間，則相遇后到跑回點用了5單位時間。設甲原來每單位時間的速度，由題意得：解得：。從點到相遇點路程為，所以。兩人速度變化后，甲的速度為，乙的速度為，從相遇點開始，甲追上乙時，甲比乙多行一圈，∴甲一共跑了490÷（50－40）×50＋240＝2690（米）。注：對于環形跑道問題，抓住相遇（或追及的）的路程和（或路程差）恰好都是一圈。（這是指同地出發的情況，不同地，則注意兩地距離在其中的影響）。另外，本題涉及量化思想，即將比中的每一份看作一個單位，進一步來說，一個時間單位乘以一個速度單位，得到一個路程單位。（法二）設相遇處為點：因為甲前后速度比為，乙前后速度比為,所以，乙先后在處的時間比為,也即甲先后兩段路程與所用的時間比也是，則甲所行段路程與段路程之比為。所以，的路程為（米），BC的路程為（米）所以，在1個單位時間內的速度為：甲是（米）；乙是（米）。則甲追上乙的時間需要（單位時間）所以，甲一共行全程是（米）烏龜和蝸牛賽跑，跑道是周長300厘米的等邊三角形。它們從三角形的同一頂點同時出發，烏龜每分鐘行50厘米，蝸牛每分鐘行46厘米，它們每到三角形的一個頂點都要休息1烏龜追上蝸牛有三種情況：⑴蝸牛在某頂點剛休息完，正準備走時，烏龜到達該頂點(追上蝸牛)。此時，烏龜比蝸牛多走一周，本來應多休息3次，但因為烏龜在最后一個頂點尚未休息，而蝸牛已經休息完了，所以烏龜比蝸牛多休息2次。⑵蝸牛在某頂點休息了一會兒，但還沒休息完，烏龜到達該點(追上蝸牛)。此時，因為蝸牛最后一次還沒休息完，所以烏龜比蝸牛多休息2次多，但不足3次。⑶烏龜在途中追上蝸牛(包括烏龜、蝸牛同時到達某頂點)。此時，烏龜比蝸牛多休息3次。這三種情況到底發生哪種，這要根據烏龜、蝸牛的速度，每條邊的長，到達每個頂點休息的時間等因素來確定。假設烏龜比蝸牛恰好多休息2次(即第⑴種情況)。設烏龜不算休息時間共行了分鐘，因為蝸牛少休息2次(2分鐘)，所以蝸牛共行分鐘。根據烏龜比蝸牛多行1周(300厘米)，可得方程，①解得(分)。因為烏龜2分鐘走一條邊長，98是2的整數倍，烏龜剛好走到一個頂點，所以假設成立(即第⑴種情況成立)。烏龜休息了(分)，烏龜追上蝸牛共用(分)。為什么要先假設第⑴種情況?而不假設第⑵⑶種情況呢?事實上，我們先假設第⑵種情況，解出烏龜行走的時間t后，要檢驗行走t分后，烏龜是否剛好走到一個端點。如果是，假設成立；如果不是，假設就不成立。例如，如果將例題中三角形周長改為330厘米，其它條件不變，那么解得(分)，烏龜共行(厘米)，因為每邊長110厘米，5275不是110的整數倍，所以第⑴種情況不成立。為了說明問題，在例題中我們再假設烏龜比蝸牛恰好多休息3次(即第⑶種情況)。類似地，可以得到方程，②解得(分)。烏龜走2分鐘休息1分鐘，。共休息54分鐘。由此得烏龜追上蝸牛共用(分)。我們檢驗一下出發后分鐘，烏龜是否追上蝸牛。烏龜走了分鐘，共走(厘米)；蝸牛少休息3次，實際走了分鐘，共走(厘米)。(厘米)，烏龜正好比蝸牛多走一周，烏龜在邊上距點厘米處追上蝸牛。從檢驗結果看，經過分鐘，烏龜確實追上了蝸牛，但這不是烏龜第1次追上蝸牛，而是第7次追上蝸牛了!①式的解(分)，②式的解(分)。由前面的解題過程知道，烏龜走分鐘時在某頂點第1次追上蝸牛，此時蝸牛剛休息完，正準備走。當烏龜休息1分鐘準備出發時，蝸牛已經走出46厘米，因為烏龜比蝸牛走得快，所以在下一個頂點處烏龜又追上正在休息的蝸牛。因為走完一條邊烏龜需2分鐘，蝸牛需分鐘，所以烏龜走了100分鐘時第2次追上蝸牛，這時蝸牛還要休息云分鐘才出發。同理，烏龜走102，104，106，108分鐘時，分別第3，4，5，6次追上蝸牛，不同的是，烏龜追上蝸牛時，蝸牛在該頂點已經休息了的時間越來越少(每次減少分鐘)。烏龜第6次追上蝸牛時，蝸牛剛剛休息了(分)，也就是說，在該點烏龜比蝸牛晚出發分鐘，烏龜出發時蝸牛已走了(厘米)。烏龜2分鐘比蝸牛多走8厘米，多走6厘米需分鐘，所以烏龜從該點出發分鐘，走了(厘米)時第7次追上蝸牛。通過上面的分析，這類題目的解法就越來越清楚了，我們歸納一下。為敘述方便，將烏龜走一條邊所需時間記為。先按第⑴種情況列方程，求出烏龜追上蝸牛所需總時間中，走路需要的時間。若是的整數倍，則第⑴種情況成立，烏龜追上蝸牛共需時間。若不是的整數倍，再按第⑶種情況列方程，求出烏龜追上蝸牛所需要的時間。在與之間若有的整數倍的數，其中最小的記為，則第⑵種情況成立，烏龜追上蝸牛共需時間。在與之間若沒有的整數倍的數，則第⑶種情況成立，烏龜追上蝸牛共需時間,其中表示不大于的最大整數。鐘面行程問題鐘面行程問題【前鋪】某小組在下午6點多開了一個會，剛開會時小張看了一下手表，發現那時手表的分針和時針垂直。下午7點之前會就結束了，散會時小張又看了一下手表，發現分針與時針仍然垂直，那么這個小組會共開了分鐘?！痉治觥糠轴樏糠昼娹D圈，時針每分鐘轉圈。分針要比時針多轉圈，需要（分）小明在1點多鐘時開始做奧數題，當他做完題時，發現還沒到2：30，但此時的時針和分針與開始做題時正好交換了位置，你知道小明做題用了多長時間，做完題時是幾點嗎？在不到1.5小時的時間內，時針與分針正好交換了一下位置，說明兩針在此時間內共轉了一圈，則經分鐘。兩針在此時間內共轉了一圈，所以時針實際轉了圈，所以開始做作業時分針在時針前圈，做完作業時時針在分針前圈，2點的時候，時針在分針前圈，所以還要經過小時，即分，小明所以做完作業時是2點分。某工廠的一只走時不夠準確的計時鐘需要69分鐘（標準時間）時針與分針才能重合一次。工人每天的正常工作時間是8小時，在此期間內，每工作一小時付給工資4元，而若超出規定時間加班，則每小時付給工資6元。如果一個工人照此鐘工作小時，那么他實際上應得工資多少元？時鐘的一圈有60小格，分針每分鐘走1格，時針每分鐘走格。時針和分針從一次重合到下一次重合，分針應比時針多走一圈，因此需要時間（分鐘）。于是依題設可知，計時鐘的分鐘相當于標準時間的69分鐘。從而用此鐘計時的8小時，實際上應該是（小時），那么工人實際上應得的工資為元。注：在鐘面追及與相遇問題中，通常使用的單位有：圈數、角度、格數（一般用小格為單位）本題雜糅了其他應用題的數量關系（分段算工資），單就鐘面問題，應該問到“實際時間用了多少小時”就結束；把一個綜合應用題根據數量關系拆分開來看問題，這是一種高級的審題能力，也是一種很好的解題思路，這樣才能保證思路清晰。（2006年北京市“數學解題能力展示”讀者評選活動）一個掛鐘每天慢30秒。一個人在3月23日12時校正了掛鐘，到4月2日14時至15時之間，掛鐘的時針與分針重合在一起時，標準時間應該是4從3月23日12時30×10÷60=5（分）此時掛鐘顯示11時55分。因為時針與分針兩次重合時間為（分）；所以從標準時間4月 （分）；相當于標準時間 (分)≈2時15分57秒所求時刻為14時15分57秒。附加題目附加題目（第五屆“走進美妙的數學花園”決賽）小王8點騎摩托車從甲地出發前往乙地，8點15追上一個騎車人．小李開大客車8點15從甲地出發前往乙地，8點半追上這個騎車人．小張8點多也從甲地開小轎車出發前往乙地，速度是小李的1.25倍．當他追上騎車人后，速度提高了20％．結果小王、小李、小張三人一同于9點整到達乙地．小王、小李、騎車人的速度始終不變．騎車人從甲地出發時是幾點幾分，小張從甲地出發時是8點幾分幾秒？不妨設從甲地到乙地的距離為單位“1”，小王從甲地到乙地一共用了1小時，所以小王的速度為1，小李從甲地到乙地一共用了45分鐘（即小時），所以小李的速度為，小王追上騎車人時，走了總路程的，而小李追上騎車人時，走了總路程的，可見騎車人在兩次被追上之間走了總路程的，所以騎車人的速度為，因為騎車人8點15被小王追上時已經走了總路程的四分之一，所以騎車人的出發時間是小時以前，即7點30分。如圖，、兩地位于圓形公路一條直徑的兩個端點。一天上午8點甲從出發，沿順時針方向步行，同時乙從出發，騎自行車沿逆時針方向行進。8點40分時乙將自行車放在路邊，自己改為步行。當甲走到自行車停放地點時，就騎上自行車繼續前進。結果在點的時候兩人同時到達地。已知兩人步行速度相同，都是每小時5千米，而甲騎自行車的速度是乙騎車速度的3.5倍，求乙騎車的速度。根據題意，可知乙騎了小時，步行了小時。由于甲乙步行速度相同，所以甲應步行小時后騎上自行車，騎了小時后到達地。因為甲的路程是乙的路程的2倍，所以乙騎小時，步行小時等于甲騎小時，步行小時。而甲騎自行車的速度是乙騎車速度的3.5倍，所以甲騎小時相當于乙騎小時。5×(-)÷(-)=(千米/小時)，所以乙騎車的速度是千米/小時。如圖，長方形的長與寬的比為，、為邊上的三等分點，某時刻，甲從點出發沿長方形逆時針運動，與此同時，乙、丙分別從、出發沿長方形順時針運動．甲、乙、丙三人的速度比為．他們出發后分鐘，三人所在位置的點的連線第一次構成長方形中最大的三角形，那么再過多少分鐘，三人所在位置的點的連線第二次構成最大三角形？長方形內最大的三角形等于長方形面積的一半，這樣的三角形一定有一條邊與長方形的某條邊重合，并且另一個點恰好在該長方形邊的對邊上。所以我們只要討論三個人中有兩個人在長方形的頂點上的情況。將長方形的寬等分，長等分后，將長方形的周長分割成段，設甲走段所用的時間為個單位時間，那么一個單位時間內，乙、丙分別走段、段，由于、、兩兩互質，所以在非整數單位時間的時候，甲、乙、丙三人最多也只能有個人走了整數段。所以我們只要考慮在整數單位時間，三個人運到到頂點的情況。對于甲的運動進行討論：時間（單位時間）……地點對于乙的運動進行討論：時間（單位時間）……地點對于丙的運動進行討論：時間（單位時間）……地點需要檢驗的時間點有、、、、……個單位時間的時候甲和丙重合無法滿足條件。個單位時間的時候甲在上，三人第一次構成最大三角形．所以一個單位時間相當于分鐘。個單位時間的時候甲、乙、丙分別在、、的位置第二次構成最大三角形。所以再過分鐘。三人所在位置的點的連線第二次構成最大三角形？鞏固精練鞏固精練周老師和王老師沿著學校的環形林蔭道散步，王老師每分鐘走55米，周老師每分鐘走65米。已知林蔭道周長是480米，他們從同一地點同時背向而行。在他們第10次相遇后，王兩人每共走1圈相遇1次，用時480÷(55+60)=4(分)，到第10次相遇共用40分鐘，王老師共走了55×40=2200（米），要走到出發點還需走480×5-2200=200（米）。有甲乙兩只鐘表，甲表8時15分時，乙表8時31分。甲表比標準時間每9小時快3分（每標準時間的9小時，甲表分針多走3小格），乙表比標準時間每7小時慢3分（每標準時間的7小時，乙表分針少走3小格）。至少要經過幾小時，兩種表的指針指在同一時刻？起始時間時，乙表領先甲表16格，以后每63小時，甲表比標準時鐘多走3×7=21格，乙表少走3×9=27格，甲表比乙表多走48小格，所以只要小時，甲表和乙表重合。一個圓周長70厘米，甲、乙兩只爬蟲從同一點同時出發，同向爬行，甲以4厘米/秒的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在離出發點30厘米處與甲第一種情況是表示回到點后又走到是30厘米，設點是起始點，乙的爬行速度是厘米/秒，乙爬到點走了厘米，所用時間為秒。乙反向后在離出發點30厘米處與甲相遇，所用時間是秒，即從出發開始計算，乙爬行時間是秒，而甲爬行時間是秒，所以，可列出等量關系式：+=，解得（厘米/秒）。第二種情況是從走到走了40厘米，即從到到還有30厘米。則有方程：解得：(厘米/秒)，但是在這種情況下乙的初速度大于甲的速度，也就是說，在乙還沒有反向爬行前，乙一直領先于甲，所以乙與甲的第一次相遇，應該發生在乙返回途中，相遇點距離出發點的距離小于15厘米，所以這種情況應該被排除。正方形場地，邊長米，甲從點、乙從點同時沿逆時針方向運動，每分鐘甲行135米，乙行120米，每過一個頂點時要多用5秒。出發后，甲與乙相會需多長時間?在何處相會?假設甲與乙休息次數相同(即第(1)種情況)。設甲不算休息共行了秒。根據甲比乙多行80米，可得方程：解得(秒)。甲走一條邊需(秒)，因為，所以甲正好走了9條邊，假設成立。甲休息了9-1=8(次)，甲追上乙共需：(秒)即6分鐘。甲走了9條邊，追上的位置在點。

游泳比賽是一個集競技游泳、跳水、花樣游泳和水球為一體的大型項目。在２００８年北京奧運會上，游泳比賽共設４６個小項，其中競技游泳３４項、跳水８項、水球和花樣游泳各２項，金牌之多僅次于田徑比賽。

奧運會競技游泳主要采用四種姿勢比賽，即自由泳、仰泳、蛙泳和蝶泳。自由泳俗稱“爬泳”，是競技游泳中速度最快的泳姿，行進時兩臂輪流由前向后滑行，動作像爬行。

仰泳俗稱“背泳”，游進時，兩腿交替上下打水，由大腿發力帶動小腿，上踢下壓，以提高身